2026年山东省德州市庆云县渤海中学九年级中考第三次学情自测数学试题

**基本信息** 渤海中学初中数学三模试卷，以机器人、滑雪大跳台等科技现实情境及《张丘建算经》文化素材为载体，通过选择（12题40分）、填空（5题20分）、解答（8题90分）三题型，全面考查数与代数、图形与几何、统计与概率，凸显数学眼光、思维与语言的核心素养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|12/40|实数、三视图、概率等|第6题以《张丘建算经》问题考查方程组，渗透文化传承| |填空题|5/20|对称、方程根与系数、反比例函数等|第15题正方形动点问题构建函数关系，发展创新意识| |解答题|8/90|统计分析、几何证明、二次函数等|第20题机器人采购问题体现模型意识，23题几何综合题考查推理能力，梯度合理|

渤海中学三模试题 一、选择题（每题4分，12小题，共40分） 1．实数，，在数轴上对应点的位置如图所示，下列四个点中，表示1的点可能是（   ） A． B． C． D． 2.某几何体的三视图如图所示，则这个几何体是（   ） A. B． C． D． 3．人体中红细胞的直径约为，用科学记数法表示是（   ） A． B． C． D． 4. 国庆假期，嘉嘉和琪琪准备乘坐高铁去北京旅游，高铁座位安排如图所示，这两位同学从这五个座位中依次随机选取1个座位，他们选取到相邻座位（不能间隔过道）的概率是（    ） A． B． C． D． 5．下列运算结果等于的是（   ） A． B． C． D． 6．《张丘建算经》由北魏数学家张丘建所著，其中有这样一个问题：“今有客不知其数．两人共盘，少两盘；三人共盘，长三盘．问客及盘各几何？”题目大意为：现有若干名客人．若2个人共用1个盘子，则少2个盘子；若3个人共用1个盘子，则多出来3个盘子．问客人和盘子各有多少？设客人有人，盘子有个，根据题意，下列方程组正确的是（    ） A． B． C． D． 7．如图，已知．现按如下步骤作图：①以为圆心，以任意长为半径画弧，分别交于，；②分别以，为圆心，以大于长为半径画弧，两弧交于点，连接交于；③以为圆心，长为半径画弧，交于点；④以为圆心，长为半径画弧，交前弧于点；⑤作射线交OA于点I．若测得，则点E到的距离为（   ） A． B．3 C． D． 8. 在边长为3的正六边形中，将四边形绕顶点A顺时针旋转到四边形处，如图，此时边与对角线重叠，则图中阴影部分的面积是（    ） A． B． C． D． 9. 如图，在平行四边形中，对角线，相交于点O，，，点E在边上，且，连接并延长与的延长线相交于点F，则的长为（    ）． A．3 B．4 C．5 D．6 7题图 8题图 9题图 10．二次函数的图象过点，，．若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 二、填空题（每题4分，5小题，共20分） 11．在平面直角坐标系中，已知点与点关于轴对称，则__________． 12．设，是关于的方程的两个根，且，则__________． 13. 如图，在△ABC中，，分别以点、点为圆心，大于长为半径作弧，两弧分别相交于点，，作直线交于点，交于点，连接，，则的度数为__________． 14．如图，在平面直角坐标系中，点A为反比例函数的图象上一点，连接并延长到点B，使，将点向下平移个单位长度得到点，点恰好在反比例函数的图象上，连接并延长交轴于点，连接．已知△ACD的面积为，则的长为______． 13题图 14题图 15题图 15. 如图正方形，点为边上一动点，连接，作于点，连接，以长为横坐标，以长为纵坐标，绘制图象如图所示，则的最小值为______． 三、解答题（8道大题，共90分） 16．（10分）计算：(1)； (2)化简：． 17．（10分） 年月4日是第十二个国家宪法日．为进一步增强学生的宪法意识，弘扬宪法精神，维护宪法权威，某校开展了一次宪法知识竞赛（百分制）．七、八年级各有名学生参赛，对他们的成绩进行整理、描述和分析．将成绩（均为整数，单位：分）分为5组：①；②；③；④；⑤．部分信息如下： a．七年级②组的学生人数占七年级参赛人数的； 八年级③组中最低的个成绩分别为． b．七、八年级成绩统计图如下： c．七、八年级成绩的平均数，中位数，众数如下： 年级 平均数 中位数 众数 七 八 根据以上情况回答下列问题： (1)____________，____________； (2)请补全条形统计图； (3)这次竞赛中，甲、乙两名同学的成绩均为分，但甲的成绩在其所在年级中排名更靠前，可知甲是____________（填“七”或“八”）年级的学生； (4)综合上表中的统计量，在此次竞赛中，哪个年级的学生对宪法知识掌握得更好？请说明理由． 18．（10分）如图，在△ABC中，，点分别是的中点．连接并延长至点，使得．连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)若与△ACD的周长差为7，，求菱形的面积． 19．（10分） 跳台滑雪要想取得好成绩，就必须在第一阶段达到高速度，所以大跳台必须达到一定的高度．如图1是首钢滑雪大跳台，是冬奥历史上第一座与工业遗产再利用直接结合的竞赛场馆，是世界首例永久性保留和使用的滑雪大跳台场馆，跳台造型设计融入了中国知名的世界文化遗产——敦煌壁画中的“飞天”元素．图2是其示意图，为登台梯，C为大跳台最高点，赛道由三段组成（平行于地面）． (1)数学兴趣一组已测得，，求平台与地面之间的距离．（，结果保留到个位）． (2)数学兴趣二组通过测量得到，，从E处看C的仰角为（即），并由计算器查得，，请问能否根据两个兴趣小组获得的这些数据求出大跳台最高点的高度？若能，请求出来；若不能，请说明理由．（结果保留到个位） 20．（12分） 2026年春晚舞台上，人形机器人表演再次惊艳全球，展现了“中国智造”的无限活力和广阔未来，点燃了全世界对人形机器人赛道的憧憬，向全世界传递了中国科技自立自强的最强声音．某公司计划采购甲、乙两种机器人，已知甲种机器人的单价比乙种机器人的单价少5万元，花费1200万元购进甲种机器人的数量是花费650万元购进乙种机器人数量的2倍． (1)求甲种机器人和乙种机器人的单价分别是多少万元？ (2)该公司计划购进甲，乙两种机器人共40台，且甲种机器人的购买数量不超过乙种机器人购买数量的2倍，该公司购进甲种机器人多少台时花费最少？最少费用是多少万元？ 21．（12分） 如图，是直径，点D是上一点，是切线，连接交于点E，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 22．（12分） 已知关于x的二次函数． (1)当函数图象经过点时．①求该二次函数的表达式． ②若将平面内一点向右平移个单位或向左平移个单位，都恰好落在的图象上，求的值． (2) 设点，是该函数图象上的两点，且．求证：． 23． （14分） 【基础巩固】 （1）如图1，在△ABC中，D为上一点，．求证：． 【尝试应用】 （2）如图2，在中，E为上一点，F为延长线上一点，．若，．求的长． 【拓展提高】 （3）如图3，在菱形中，E是上一点，F是△ABC内一点，，，．，，求菱形的边长 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C B D D D D B B A B 二、填空题 11.-4 12．4 13．55° 14． 15． 3、 解答题 16.解：（1） ； ………………………………………………………………5分 （2） 解： ………………………………………………………………10分 17. （1） ，． ………………………………………………………………2分 （2）解：七年级组的学生人数为 (人)， 组的学生人数为 (人)， 补全条形统计图如答图所示． ………………………………………………4分 （3） 解：这次竞赛中，甲、乙两名同学的成绩均为分，但甲的成绩在其所在的年级中排名更靠前，根据八年级成绩的中位数为，故分在年级中排名在第名之后，而七年级成绩的中位数为，故分在年级中排名在第名之前，可知甲是七年级的学生． 故答案为∶七； ………………………………………………7分 （4）解：八年级的学生对宪法知识掌握得更好． 理由：在所抽取的样本中，七、八年级成绩的平均数相同，但八年级成绩的中位数、众数均比七年级高， 因此八年级学生对宪法知识掌握得更好． ……………………………………………10分 18.（1）证明：∵点E是的中点， ∴． ∵， ∴四边形是平行四边形．            ∵在中，，点D是的中点， ∴．                             ∴四边形是菱形． ………………………………………………………………5分 （2）解：∵与的周长差为7， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴，∴菱形的面积． …………………………………10分 19.（1）解：如图，过点E作于点N， 在中，由， 得． …………………………………………4分 答：平台与地面之间的距离约为． （2）解：能求出大跳台最高点的高度． 如图，在第（1）题答图的基础上连接．过点C作于点M，延长ED交CM于点P， ∵，， ∴． ∵，， ∴． ∵， ∴，． ∴， ∴四边形是矩形． ∴， 设， 在中，由， 得， 在中，由， 得， ∵， 即， 解得． ． 答：大跳台最高点的高度约为． ………………………………………………10分 20.（1）解：设购买一个乙种机器人需万元，则购买一台甲种机器人需万元， 根据题意得，， …………………………3分 解得， …………………………5分 经检验，是原方程的解，且符合题意， ， 答：购买一台甲种机器人需60万元，一台乙种机器人需65万元； …………………………6分 （2）解：设该公司购进甲种机器人台，总花费为万元， 根据题意，得：， 解得，， …………………………8分 ， ， 随的增大而减小， ∵，a为整数， 当时，取得最小值， 此时（万元）， 答：购进26台甲种机器人花费最少，最少费用是2470万元 ……………………………12分 答：安排台型收割机每小时花费最少，最少是元．     21.（1）证明：∵是切线， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； ………………………………………………6分 （2）∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 连接，则：， ∴， ∴． …………………………………………………12分 22.（1）解：①∵二次函数的图象经过点， ∴， 解得：， ∴该二次函数的表达式为． ………………………………………………4分 ②∵， ∴点向右平移个单位的坐标为，向左平移个单位的坐标为， ∵点向右平移个单位或向左平移个单位，都恰好落在函数的图象上， ∴， 解得：． ………………………………………………8分 （2）证明：∵， ∴， ∵点，是该函数图象上的两点， ∴， ， ∴ ， ∵， ∴． ………………………………………………………………12分 23.（1）证明：∵，， ∴， ∴， ∴； ………………………………………………4分 （2）解：∵四边形是平行四边形， ∴，， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ………………………………………………8分 （3）解：如图，分别延长相交于点G， ∵四边形是菱形， ∴，， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴，，， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴菱形的边长为． ………………………………………………………14分 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $