专题01 数据的收集、整理与描述和认识概率12大题型（期末复习知识清单）八年级数学下学期新教材苏科版

专题01 数据的收集、整理和描述与认识概率 数据的分析（普查与抽样调查） 1.普查（全面调查）：对所有考察对象进行调查，适用于范围小、无破坏性、结果要求精准的场景。 2.抽样调查：对部分考察对象调查，推断总体；适用于范围广、有破坏性、耗时费力的场景。 3.核心概念 · 总体：考察对象的全体； · 个体：总体中的每一个考察对象； · 样本：从总体中抽取的一部分个体； · 样本容量：样本中个体的数目。 统计图表（条形、折线、扇形、频数分布直方图） 1.条形统计图：清晰显示每组数据的具体数量，便于对比大小； 2.折线统计图：清晰反映数据的变化趋势、增减规律； 3.扇形统计图：表示各部分占总体的百分比；圆心角= 360°×该部分百分比。 4.频数分布直方图 · 绘制步骤：算极差（最大值-最小值）→定组距与组数→列频数分布表→画直方图； · 横轴：数据分组；纵轴：频数；长方形高度代表频数大小。 频数与频率 1.频数：某个对象出现的次数（如掷硬币10次，正面6次，频数为6）； 2.频率：频数与数据总数的比值；公式：频率=频数÷总数；所有组频率和为1； 3.常见计算：已知总数和频率求频数、已知频数和频率求总数、补全频数/频率表格。 统计应用 1.统计图选择：数量对比→条形图；变化趋势→折线图；占比关系→扇形图； 2.用样本估计总体：通过样本的频数、频率、分布特征，推断总体情况。 事件分类 1.必然事件：一定发生，概率P=1； 2.不可能事件：一定不发生，概率P=0； 3.随机事件：可能发生也可能不发生，概率0<P<1。 概率定义与计算 1.随机事件概率：事件发生的结果数与所有等可能结果总数的比。 2.摸球、掷骰子、抽卡片、转盘等等可能题型套用公式计算； 3.比较随机事件发生可能性大小。 频率与概率 1.频率：实际试验中事件出现次数 ÷ 总试验次数； 2.规律：试验次数越大，频率越稳定趋近于概率； 3.可用稳定频率估计概率。 概率实际应用 判断游戏公平性：双方获胜概率相等则公平，不等则不公平。 判断全面调查与抽样调查 【例1】（25-26八年级下·江苏盐城·期中）下列各项调查中，最适合采用普查方式的是（ ） A．全班学生身高的调查 B．全市初中生每天运动时间的调查 C．全市居民每周收看新闻联播次数的调查 D．某品牌节能灯使用寿命的调查 【变式1-1】（25-26八年级下·江苏南京·期中）下列调查中，最适合抽样调查的是（   ） A．调查某校足球队员的身高 B．调查旅客随身携带的违禁物品 C．调查某班学生完成眼保健操执行的情况 D．调查全国中小学生对我国《梦舟》载人飞船的关注度 【变式1-2】（25-26八年级下·江苏泰州·期中）下列调查中，最适合采用普查的是（    ） A．调查江苏省中学生的睡眠时间 B．调查溱湖的水质情况 C．调查某批次新能源汽车的智能驾驶状况 D．调查全班同学的视力情况 【变式1-3】（25-26八年级下·江苏无锡·期中）下列调查中，最适合采用普查的是（　　） A．了解无锡市民对中超13支队伍的支持度 B．检测“长征八号”飞船的零部件 C．调查某新能源汽车的抗撞击能力 D．了解全国中小学人工智能课程的开展情况 总体、个体、样本、样本容量 【例2】（25-26八年级下·江苏盐城·期中）为了解我市初中八年级6800名学生的体育成绩，抽查了其中1700名学生的体育成绩进行统计分析．下面叙述正确的是（　　） A．6800名学生是总体 B．1700名学生的体育成绩是总体的一个样本 C．每名学生是总体的一个个体 D．以上调查是普查 【变式2-1】（25-26八年级下·江苏南京·期中）为了解某市八年级学生的数学考试情况，评卷人从该市八年级考生中随机抽取了800名考生的数学成绩进行调查．下列说法正确的是（   ） A．这种调查方式属于普查 B．调查的总体是八年级学生 C．样本是随机抽取的800名考生的数学成绩 D．样本容量是800名学生 【变式2-2】（25-26八年级下·江苏无锡·期中）为了解我校八年级480名学生期中数学考试成绩，从中抽取了100名学生的数学成绩进行统计．下列判断正确的是（   ） A．被抽取的100名学生的数学成绩是总体 B．被抽取的100名学生的数学成绩是个体 C．被抽取的100名学生是总体的一个样本 D．样本容量是100 【变式2-3】（25-26八年级下·江苏连云港·期中）为了解某县年参加中考的名学生的身高情况，抽查了其中名学生的身高进行统计分析．下列叙述正确的是（    ） A．名学生是总体 B．从中抽取的名学生的身高是总体的一个样本 C．每名学生是总体的一个个体 D．以上调查是普查 扇形统计图 【例3】（25-26八年级下·江苏盐城·期中）如图的扇形统计图描述了某水果商店一周内四种水果的销售占比情况，根据扇形统计图中的信息，该水果商店的负责人应该多购进（    ） A．苹果 B．香蕉 C．西瓜 D．樱桃 【变式3-1】（25-26七年级上·全国·期末）某校七年级学生参与“跑步、跳绳、篮球”三个课外活动小组的人数和比例如扇形统计图所示．若参加跑步小组的人数是30人，则全校七年级参加课外活动的总人数是 ______ 人． 【变式3-2】（25-26八年级下·江苏无锡·期中）某校科技社团为了解本校学生对的使用情况，对使用进行作业答疑、资料查找、知识梳理、创意绘图的情况进行了抽样调查．将收集的数据绘制成如图所示的扇形统计图，其中扇形统计图中创意绘图部分对应的圆心角为．已知该校共有1500名学生，估计该校最常使用进行知识梳理的学生人数是_____人． 选择合适的统计图 【例4】（25-26八年级下·江苏镇江·期中）要清晰反映豆包大模型在连续一周内，每日处理用户问题数量的变化趋势，最合适的统计图是（    ） A．折线统计图 B．扇形统计图 C．频数分布直方图 D．条形统计图 【变式4-1】（25-26八年级下·江苏泰州·期中）小姜是一个气象迷，他要统计姜堰区3月份日平均气温的变化过程和趋势，采用（    ）比较合适． A．条形统计图 B．扇形统计图 C．折线统计图 D．统计表 【变式4-2】（25-26八年级下·江苏无锡·期中）下列问题中，最适合用扇形统计图表示的是（    ） A．小亮一天中的体温变化情况 B．第四季度四款饮料的销售量比较 C．牛奶中各种营养成分的含量 D．某射击队5名队员的成绩 【变式4-3】（25-26八年级下·江苏南京·期中）八年级个班开展“学雷锋做好人好事”活动，为了清楚表明四月份各班做好人好事的件数，最好选用______统计图． 频率与频数 【例5】（25-26八年级下·江苏镇江·期中）“一俯一仰一场笑，一江明月一江秋．”这句话中，“一”字出现的频率是（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】（25-26八年级下·江苏连云港·期中）某射手在一次射击训练中共射击40发子弹，射中7环、8环的频数分别为6次、13次，射中10环的频率为，其余均射中9环，则射中9环的频数为__________． 【变式5-2】（25-26八年级下·江苏常州·期中）“动脑思考”四字的汉语拼音中，字母“”出现的频率是（    ） A． B． C． D． 【变式5-3】（25-26八年级下·江苏无锡·期中）在期末体育考核中，成绩分为优秀、合格、不合格三个档次，八年级（1）班有48名学生，达到优秀有15人，合格的有21人，在这次体育考核中，不合格学生的频数是_____． 【变式5-4】（25-26八年级下·江苏无锡·期中）某市教育局对八年级学生进行体质监测，共收集了名学生的体重数据，并绘制成频数分布直方图．若从左往右每个小长方形的面积之比为，则其中第三组的频数为__________． 事件的分类 【例6】（25-26八年级下·江苏南京·期中）下列事件中，为必然事件的是（   ） A．抛掷一枚硬币，正面朝上 B．掷一枚骰子，向上一面的点数是7 C．任意买一张电影票，座位号是偶数 D．13个人中至少有2人的出生月份相同 【变式6-1】（25-26八年级下·江苏连云港·期中）下列事件中，是不可能事件的为（    ） A．瓜熟蒂落 B．旭日东升 C．水中捞月 D．水涨船高 【变式6-2】（25-26八年级下·江苏常州·期中）下列成语所描述的事件中，属于必然事件的是（    ） A．亡羊补牢 B．拔苗助长 C．画饼充饥 D．瓜熟蒂落 【变式6-3】（25-26八年级下·江苏盐城·期中）下列成语所描述的事件中，属于随机事件的是（    ） A．不期而遇 B．旭日东升 C．水中捞月 D．水涨船高 判断事件发生可能性大小 【例7】（25-26八年级下·江苏南京·期中）下列语句所描述的事件，可能性最小的是（   ） A．旭日东升 B．小暑热得透，大暑凉飕飕 C．水中捞月 D．种瓜得瓜，种豆得豆 【变式7-1】（25-26八年级下·江苏盐城·期中）下列成语反映的事件中，发生的可能性最大的是（   ） A．守株待兔 B．大海捞针 C．水中捞月 D．冬去春来 【变式7-2】（25-26八年级下·江苏徐州·期中）某同学抛掷一枚质地均匀的硬币三次，三次都是正面朝上，抛掷第四次，则下列说法正确的是（  ） A．第四次一定是反面朝上 B．第四次反面朝上的概率大于正面朝上的概率 C．第四次一定是正面朝上 D．第四次可能还是正面朝上 求某件事的频率 【例8】（25-26八年级下·江苏盐城·期中）小明做“用频率估计概率”的试验时，统计了某一结果出现的频率，绘制出的折线统计图如图所示，符合这一结果的试验最有可能是（   ） A．从，，这个数中随机抽到数字的频率 B．一副去掉大小王的扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃的频率 C．抛一枚硬币，出现正面朝上的频率 D．掷一枚质地均匀的骰子，出现点朝上的频率 【变式8-1】（25-26八年级下·江苏扬州·期中）在最近天内，某市空气质量为优的天数为天，则空气质量为优的频率是____． 【变式8-2】（25-26八年级下·江苏宿迁·期中）假期将至，学校向全校师生发出倡议“不去河沟游玩，防落水；不去河沟游泳，防溺水”．在这句宣传语中，“河”字出现的频率为________． 易错1：混淆普查与抽样调查的适用条件 · 错因：认为“普查一定更好”，忽略其耗时、费力、有破坏性的局限。 易错2：总体、个体、样本概念理解错误 · 错因：把“考察对象”当成“物体本身”，而非“对象的某项指标”。 易错3：样本容量带单位 · 错因：混淆“样本容量” 与“样本”，样本容量是数目，无单位。 易错4：扇形统计图圆心角计算错误 · 错因：百分比未乘360°，或计算时百分比换算错误。 易错5：频数分布直方图分组错误 · 错因：极差 ÷ 组距后组数取整错误，或组距不统一、分组重叠/遗漏。 易错6：频率计算错误 · 错因：频数与总数对应错误，或频率和不为 1（计算失误）。 易错7：混淆事件类型 · 把随机事件当成必然/不可能事件，凭主观直觉判断而非客观逻辑。 易错8：计算概率漏数、重数 · 结果列举等可能结果不全，导致分子分母数值出错。 易错9：频率≠概率 · 单次试验频率不能等同于概率，只有大量试验后频率才可估计概率。 易错10：判断游戏公平只看次数不看概率 · 次数多不代表概率大，必须计算概率对比。 易错11：放回与不放回模型混用 · 摸球放回总数不变，不放回总数递减，计算时分母易错。 抽样调查的可靠性 【例9】（22-23八年级下·江苏连云港·期中）第十二届江苏省园艺博览会将于北京时间2023年4月26日在连云港盛大开幕．为了调查全校学生对园博会的了解，下列抽样调查最适合的是（   ） A．从七年级学生中随机抽取300名 B．从八年级学生中随机抽取300名 C．从九年级学生中随机抽取300名 D．从每个年级学生中各随机抽取100名 【变式9-1】（25-26八年级下·江苏南京·期中）某数学兴趣小组为了了解所在地区老年人的健康状况，设计了下列三种不同的抽样调查：①在公园调查1000名老年人的健康状况；②调查10名老年邻居的健康状况；③利用派出所的户籍网随机调查该地区10%的老年人的健康状况．其中抽样合理的序号是______________． 【变式9-2】（25-26八年级下·江苏南京·期中）为了解某初中学校学生的视力情况，该校数学兴趣小组设计了如下三种调查方案：①随机抽取300名女生调查；②分别从三个年级中各随机抽取100名学生调查；③从初一年级中随机抽取300名学生调查，其中抽取的样本具有代表性的是______（填序号） 频数分布直方图 【例10】（25-26八年级下·江苏常州·期中）为了调查钟楼区居民区的白天噪声污染情况，环保部门抽样调查了40个噪声测量点的噪声声强级，结果如下（每组包含起点值，不包含终点值）： (1)在噪声最低的测量点，其噪声声强级在哪个范围？ (2)噪声声强级高于的测量点有多少个？ 【变式10-1】（25-26八年级下·江苏南京·期中）某校为调查学生对海洋科普知识的了解情况，从全校学生中随机抽取n名学生进行测试，测试成绩进行整理后分成五组，并绘制成如下不完整的频数直方图和扇形统计图．（50~60表示大于等于50分同时小于60分，依次类推）      请根据图中信息解答下列问题： (1)本次抽样调查中_____，“”这组的频率是______； (2)在扇形统计图中，“”这组的圆心角为_______°． (3)若成绩达到80分以上（含80分）为优秀，请你估计全校1200名学生对海洋科普知识了解情况为优秀的学生人数． 技巧1：普查与抽样调查快速判断法 · 三看：看范围（小→普查，大→抽样）；看破坏性（有→抽样，无→普查）；看精度（高→普查，一般→抽样）。 技巧2：统计图表选择口诀 · 数量多少条形图，变化趋势折线图，占比关系扇形图，频数分布直方图。 技巧3：频数、频率计算“三公式” · 频率=频数÷总数 · 频数=总数×频率 · 总数=频数÷频率（知二求一，快速计算）。 技巧4：频数分布直方图绘制“四步法” · 算极差：最大值−最小值 · 定组距组数：组数≈极差÷组距（组数取整数，一般5-12组） · 划记频数：用“正”字统计每组数据个数 · 画图：横轴分组、纵轴频数，长方形无间隔。 技巧5：样本估计总体“两步法” · 先算样本中某特征的频率/占比 · 再用总体数量×频率，估计总体中该特征的数量。 技巧6 事件速判 · 铁定发生→必然；铁定不发生→不可能；不确定→随机 技巧7 求概率通用步骤 · 找出全部等可能结果总数 · 统计符合条件的结果数 · 代入公式计算比值 技巧8 列举常用方法 · 枚举法、列表法，适用于简单等可能事件 技巧9 公平性判断步骤 · 分别算出各方获胜概率 · 概率相等公平，不等则不公平 技巧10 频率估概率 · 试验次数越多，频率越贴近真实概率，取稳定数值当作概率。 用样本估计总体 【例11】（24-25八年级下·江苏常州·期末）我市今年“全民阅读日”的主题是“爱读书，读好书，善读书”．为了解学生每天的23．读书情况，某数学兴趣小组随机抽取了部分学生展开调查，了解他们每天读书时长情况，并按时长（单位：分钟）分为4个等级：；；；，将调查结果绘制成了如下两幅不完整的统计图，请回答下列问题： (1)这次被调查的学生共有__________人，扇形统计图中的值是__________； (2)请将条形统计图补充完整； (3)如果该校有1500名学生，请你估计该校每天读书时长不少于15分钟的学生大约有多少人？ 【变式11-1】（25-26八年级下·江苏连云港·期中）为了解八年级学生最喜欢的球类运动，以便合理安排活动场地，在八年级学生中随机抽取了若干名学生，对其喜欢的球类运动进行调查，调查的结果如下： (1)本次抽样调查的人数为__________，其中，喜欢乒乓球的有__________人； (2)扇形统计图中，喜欢排球一项的圆心角为，则喜欢排球的人数为__________，补全条形统计图； (3)估计全年级名学生中，有多少人喜欢其他球类运动？ 【变式11-2】（2026·江苏扬州·一模）某校随机对部分学生“整理错题的行为习惯”进行问卷调查．问卷主题是：“作业或考试中做错的题目及时纠错解疑情况”，设置的选项有：A：偶尔，B：较少，C：较多，D：一直．将调查结果的数据进行了整理、绘制成部分统计图如图． 请根据图中信息，解答下列问题： (1)本次抽样调查人数是________，请补全条形统计图； (2)扇形统计图中选项“较少”占的百分比中_______，选项“偶尔”对应的圆心角是________； (3)若该校共2000名学生，请根据统计结果估计“一直”对错题进行纠错解疑的学生约有多少名？ 【变式11-3】（2026·江苏泰州·模拟预测）为了解九年级学生体育模拟测试成绩情况，某学校从九年级随机抽取了部分学生的体育模拟测试成绩进行统计分析（成绩分为36分、37分、38分、39分、40分，满分40分），并将结果绘制成如下不完整的统计图（条形统计图和扇形统计图）．根据图中信息，解答下列问题： (1)本次调查一共抽取了 名学生，扇形统计图中“36分”对应的圆心角为 °； (2)请补全条形统计图； (3)若该校九年级共有800名学生，试估计体育模拟测试成绩为40分的学生人数． 频率估计概率 【例12】（2026·江苏泰州·一模）下列说法正确的是（   ） A．某彩票的中奖概率是，那么买100张彩票一定有5张中奖 B．掷一枚质地均匀的硬币次，正面向上的频率随着的增大，稳定在附近 C．概率很小的事件是不可能事件 D．只要试验的次数足够多，频率就等于概率 【变式12-1】（25-26八年级下·江苏盐城·期中）植树节为每年月日，某单位买了一批树苗组织员工去植树，资料显示该种树苗在相同条件下成活试验的部分结果如下表： 每批棵数 成活的棵数 成活的频率 (1)完成上述表格：___________，___________； (2)这种树苗成活的概率估计值为___________（精确到）． 【变式12-2】（25-26八年级下·江苏南京·期中）某批羽毛球的质量检验结果如下： 抽取的羽毛球数/只 50 100 200 500 1000 1500 2000 次品的频数 2 5 12 29 54 75 102 次品的频率 0.040 0.050 0.060 0.058 0.054 0.050 m (1)完成上述表格：______； (2)从这批羽毛球中，任意抽取一只羽毛球是次品的概率估计值是______（精确到0.01）； (3)若该批次共生产了100000只羽毛球，估计其中次品的数量． 【变式12-3】（25-26八年级下·江苏连云港·期中）某批篮球的次质量检验结果如下表： 抽取的篮球球数 优等品的频数 优等品的频率 （精确到） (1)填空：__________；__________（结果精确到）； (2)请在图中补全这批篮球“优等品”频率的折线统计图． (3)这批篮球“优等品”概率的估计值大约是__________（结果精确到）． 学科网（北京）股份有限公3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 数据的收集、整理和描述与认识概率 数据的分析（普查与抽样调查） 1.普查（全面调查）：对所有考察对象进行调查，适用于范围小、无破坏性、结果要求精准的场景。 2.抽样调查：对部分考察对象调查，推断总体；适用于范围广、有破坏性、耗时费力的场景。 3.核心概念 · 总体：考察对象的全体； · 个体：总体中的每一个考察对象； · 样本：从总体中抽取的一部分个体； · 样本容量：样本中个体的数目。 统计图表（条形、折线、扇形、频数分布直方图） 1.条形统计图：清晰显示每组数据的具体数量，便于对比大小； 2.折线统计图：清晰反映数据的变化趋势、增减规律； 3.扇形统计图：表示各部分占总体的百分比；圆心角= 360°×该部分百分比。 4.频数分布直方图 · 绘制步骤：算极差（最大值-最小值）→定组距与组数→列频数分布表→画直方图； · 横轴：数据分组；纵轴：频数；长方形高度代表频数大小。 频数与频率 1.频数：某个对象出现的次数（如掷硬币10次，正面6次，频数为6）； 2.频率：频数与数据总数的比值；公式：频率=频数÷总数；所有组频率和为1； 3.常见计算：已知总数和频率求频数、已知频数和频率求总数、补全频数/频率表格。 统计应用 1.统计图选择：数量对比→条形图；变化趋势→折线图；占比关系→扇形图； 2.用样本估计总体：通过样本的频数、频率、分布特征，推断总体情况。 事件分类 1.必然事件：一定发生，概率P=1； 2.不可能事件：一定不发生，概率P=0； 3.随机事件：可能发生也可能不发生，概率0<P<1。 概率定义与计算 1.随机事件概率：事件发生的结果数与所有等可能结果总数的比。 2.摸球、掷骰子、抽卡片、转盘等等可能题型套用公式计算； 3.比较随机事件发生可能性大小。 频率与概率 1.频率：实际试验中事件出现次数 ÷ 总试验次数； 2.规律：试验次数越大，频率越稳定趋近于概率； 3.可用稳定频率估计概率。 概率实际应用 判断游戏公平性：双方获胜概率相等则公平，不等则不公平。 判断全面调查与抽样调查 【例1】（25-26八年级下·江苏盐城·期中）下列各项调查中，最适合采用普查方式的是（ ） A．全班学生身高的调查 B．全市初中生每天运动时间的调查 C．全市居民每周收看新闻联播次数的调查 D．某品牌节能灯使用寿命的调查 【答案】A 【分析】对于精确度要求高，调查范围小，无破坏性的调查适合选择普查，对于调查范围大，具有破坏性或受时间经费限制的调查适合选择抽样调查，据此判断即可． 【详解】解：A．调查对象是全班学生，人数少，调查身高无破坏性，要求结果准确，所以适合采用普查，符合题意； B．调查对象是全市初中生，数量多，范围大，所以适合抽样调查，不符合题意； C．调查对象是全市居民，数量多，范围大，所以适合抽样调查，不符合题意； D．调查节能灯使用寿命会对产品造成破坏，所以适合抽样调查，不符合题意． 【变式1-1】（25-26八年级下·江苏南京·期中）下列调查中，最适合抽样调查的是（   ） A．调查某校足球队员的身高 B．调查旅客随身携带的违禁物品 C．调查某班学生完成眼保健操执行的情况 D．调查全国中小学生对我国《梦舟》载人飞船的关注度 【答案】D 【分析】根据调查范围大小、结果准确性要求选择调查方式， 一般来说，范围小、易调查、结果要求准确；事关安全的调查适合普查，调查范围广、工作量大的调查适合抽样调查，逐个分析选项． 【详解】解：∵ 选项A中某校足球队员人数少，适合全面调查， ∴A不符合题意； ∵ 选项B中检查旅客违禁物品事关公共安全，必须逐一检查，适合普查， ∴B不符合题意； ∵ 选项C中某班学生人数少，适合全面调查， ∴C不符合题意； ∵ 选项D中调查对象是全国中小学生，范围广、人数多，工作量大，适合抽样调查， ∴D符合题意． 【变式1-2】（25-26八年级下·江苏泰州·期中）下列调查中，最适合采用普查的是（    ） A．调查江苏省中学生的睡眠时间 B．调查溱湖的水质情况 C．调查某批次新能源汽车的智能驾驶状况 D．调查全班同学的视力情况 【答案】D 【详解】解：A中调查江苏省中学生的睡眠时间，调查范围过大，不适合普查； B中调查溱湖的水质情况，无法开展全面普查，适合抽样调查； C中调查某批次新能源汽车的智能驾驶状况，调查具有破坏性，不适合普查； D中调查全班同学的视力情况，范围小，易操作，最适合采用普查． 【变式1-3】（25-26八年级下·江苏无锡·期中）下列调查中，最适合采用普查的是（　　） A．了解无锡市民对中超13支队伍的支持度 B．检测“长征八号”飞船的零部件 C．调查某新能源汽车的抗撞击能力 D．了解全国中小学人工智能课程的开展情况 【答案】B 【分析】根据普查的适用场景判断即可，普查结果准确，但成本较高，适合对精度要求极高，调查对象范围有限的调查． 【详解】解：A、调查对象为无锡市民，数量多范围广，适合抽样调查，不符合题意． B、飞船零部件关乎飞行安全，每个零件都需要检查，对精度要求极高，最适合采用普查，符合题意． C、测试汽车抗撞击能力具有破坏性，不适合普查，不符合题意． D、调查对象为全国中小学，范围广数量大，适合抽样调查，不符合题意． 总体、个体、样本、样本容量 【例2】（25-26八年级下·江苏盐城·期中）为了解我市初中八年级6800名学生的体育成绩，抽查了其中1700名学生的体育成绩进行统计分析．下面叙述正确的是（　　） A．6800名学生是总体 B．1700名学生的体育成绩是总体的一个样本 C．每名学生是总体的一个个体 D．以上调查是普查 【答案】B 【分析】根据统计相关的基本概念，包括总体、个体、样本、普查与抽样调查的定义，判断各选项即可． 【详解】解：A．总体是我市初中八年级名学生的体育成绩，不是名学生，错误，故不符合题意； B．名学生的体育成绩是从总体中抽取的一部分个体，符合样本的定义，∴B正确； C．总体的一个个体是每名学生的体育成绩，不是每名学生，错误，故不符合题意； D．本次调查只抽取了部分学生，属于抽样调查，不是普查，错误，故不符合题意． 【变式2-1】（25-26八年级下·江苏南京·期中）为了解某市八年级学生的数学考试情况，评卷人从该市八年级考生中随机抽取了800名考生的数学成绩进行调查．下列说法正确的是（   ） A．这种调查方式属于普查 B．调查的总体是八年级学生 C．样本是随机抽取的800名考生的数学成绩 D．样本容量是800名学生 【答案】C 【分析】本题考查统计基础概念，需区分调查方式，明确总体、样本、样本容量的定义，根据定义逐一判断即可。 【详解】解：∵ 本次调查仅从总体中抽取部分对象进行研究，属于抽样调查，不属于普查， ∴A错误； ∵ 本次研究的内容是该市八年级学生的数学考试成绩， ∴总体是该市八年级全体学生的数学考试成绩，不是八年级学生， ∴B错误； ∵ 样本是总体中抽取的用于调查的研究对象， ∴本题样本是随机抽取的800名考生的数学成绩， ∴C正确； ∵ 样本容量是样本中包含的个体数目，是一个纯数值，没有单位， ∴样本容量为800，不是800名学生， ∴D错误. 【变式2-2】（25-26八年级下·江苏无锡·期中）为了解我校八年级480名学生期中数学考试成绩，从中抽取了100名学生的数学成绩进行统计．下列判断正确的是（   ） A．被抽取的100名学生的数学成绩是总体 B．被抽取的100名学生的数学成绩是个体 C．被抽取的100名学生是总体的一个样本 D．样本容量是100 【答案】D 【分析】先根据总体、个体、样本、样本容量的定义确定考查对象，再逐一对应概念判断选项． 【详解】解：A、总体是我校八年级480名学生的期中数学考试成绩，故本选项错误； B、个体是我校八年级每一名学生的期中数学考试成绩，故本选项错误； C、抽取的100名学生的期中数学考试成绩是总体的一个样本，不是100名学生本身，故本选项错误； D、样本容量是100，故本选项正确． 【变式2-3】（25-26八年级下·江苏连云港·期中）为了解某县年参加中考的名学生的身高情况，抽查了其中名学生的身高进行统计分析．下列叙述正确的是（    ） A．名学生是总体 B．从中抽取的名学生的身高是总体的一个样本 C．每名学生是总体的一个个体 D．以上调查是普查 【答案】B 【分析】根据总体、个体、样本、普查、抽样调查的概念，逐项判断即可求解． 【详解】解：、总体是名学生的身高情况，不是名学生，故选项错误； 、从总体中抽取的名学生的身高是总体的一个样本，故选项正确； 、总体的一个个体是每名学生的身高，不是每名学生，故选项错误； 、本次调查只抽查了部分学生，属于抽样调查，不是普查，故选项错误． 扇形统计图 【例3】（25-26八年级下·江苏盐城·期中）如图的扇形统计图描述了某水果商店一周内四种水果的销售占比情况，根据扇形统计图中的信息，该水果商店的负责人应该多购进（    ） A．苹果 B．香蕉 C．西瓜 D．樱桃 【答案】C 【分析】根据扇形统计图中各种水果销量所占的百分比求出西瓜销量所占的百分比，通过比较可知销量最大的是西瓜，所以水果商店的负责人应该多购进西瓜． 【详解】解：由扇形统计图可知，西瓜的销售量为， ， 西瓜的销量最大， 该水果商店的负责人应该多购进西瓜． 【变式3-1】（25-26七年级上·全国·期末）某校七年级学生参与“跑步、跳绳、篮球”三个课外活动小组的人数和比例如扇形统计图所示．若参加跑步小组的人数是30人，则全校七年级参加课外活动的总人数是 ______ 人． 【答案】100 【分析】本题主要考查了根据扇形统计图求总数，根据参加跑步小组的人数是30人，占总人数的，求出结果即可． 【详解】解：全校七年级参加课外活动的总人数是： （人）， 故答案为：100． 【变式3-2】（25-26八年级下·江苏无锡·期中）某校科技社团为了解本校学生对的使用情况，对使用进行作业答疑、资料查找、知识梳理、创意绘图的情况进行了抽样调查．将收集的数据绘制成如图所示的扇形统计图，其中扇形统计图中创意绘图部分对应的圆心角为．已知该校共有1500名学生，估计该校最常使用进行知识梳理的学生人数是_____人． 【答案】 【分析】用1500减去其它已知数目即可求解． 【详解】解：由扇形统计图得最常使用进行知识梳理的学生人数是： （人）． 选择合适的统计图 【例4】（25-26八年级下·江苏镇江·期中）要清晰反映豆包大模型在连续一周内，每日处理用户问题数量的变化趋势，最合适的统计图是（    ） A．折线统计图 B．扇形统计图 C．频数分布直方图 D．条形统计图 【答案】A 【详解】解：∵不同统计图有不同特点，折线统计图的特点是能清晰展示数据的变化趋势， ∵扇形统计图用于反映各部分占总体的比例，频数分布直方图用于反映数据的分布情况，条形统计图用于反映各组的具体数量， ∵题目要求反映连续一周内每日处理用户问题数量的变化趋势， ∴最合适的统计图是折线统计图． 【变式4-1】（25-26八年级下·江苏泰州·期中）小姜是一个气象迷，他要统计姜堰区3月份日平均气温的变化过程和趋势，采用（    ）比较合适． A．条形统计图 B．扇形统计图 C．折线统计图 D．统计表 【答案】C 【详解】解：∵条形统计图侧重体现具体数量的多少，扇形统计图侧重体现各部分占总体的比例，折线统计图侧重体现数据的变化过程与趋势，题目要求统计日平均气温的变化过程和趋势， ∴采用折线统计图比较合适． 【变式4-2】（25-26八年级下·江苏无锡·期中）下列问题中，最适合用扇形统计图表示的是（    ） A．小亮一天中的体温变化情况 B．第四季度四款饮料的销售量比较 C．牛奶中各种营养成分的含量 D．某射击队5名队员的成绩 【答案】C 【分析】本题考查不同统计图的适用特点，扇形统计图的作用是反映各部分占总体的百分比，根据各选项需求判断即可． 【详解】解：∵不同统计图有不同适用场景：折线统计图反映数据变化趋势，条形统计图比较不同类别数据的大小，扇形统计图展示各部分占总体的比例关系， ∴A选项，小亮一天体温变化需要体现变化趋势，适合用折线统计图，不符合要求； B选项，四款饮料销售量比较需要比较数据大小，适合用条形统计图，不符合要求； C选项，牛奶中各营养成分的含量需要体现各成分占总体的比例，最适合用扇形统计图，符合要求； D选项，5名队员的成绩比较需要比较数据大小，适合用条形统计图，不符合要求； 因此答案选C． 【变式4-3】（25-26八年级下·江苏南京·期中）八年级个班开展“学雷锋做好人好事”活动，为了清楚表明四月份各班做好人好事的件数，最好选用______统计图． 【答案】条形 【详解】解：三种常见统计图的特点为： 条形统计图能清楚表示出每个项目的具体数目； 折线统计图能清楚反映事物的变化趋势； 扇形统计图能清楚表示出各部分占总体的百分比； 本题要求清楚表示出各班做好人好事的具体件数，符合条形统计图的特点，因此选用条形统计图． 频率与频数 【例5】（25-26八年级下·江苏镇江·期中）“一俯一仰一场笑，一江明月一江秋．”这句话中，“一”字出现的频率是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】用“一”字出现的次数除以汉字总数即可得到答案． 【详解】解：∵一共有14个汉字，“一”字出现了次， ∴“一”字出现的频率为． 【变式5-1】（25-26八年级下·江苏连云港·期中）某射手在一次射击训练中共射击40发子弹，射中7环、8环的频数分别为6次、13次，射中10环的频率为，其余均射中9环，则射中9环的频数为__________． 【答案】14 【分析】根据频数，频率和总数的关系求出射中10环的频数，再利用所有分组的频数之和等于总次数，计算射中9环的频数即可． 【详解】解：由题意可知，总射击次数为． 根据频率，可得射中10环的频数为： ． 因为所有分组的频数之和等于总次数，所以射中9环的频数为： ． 【变式5-2】（25-26八年级下·江苏常州·期中）“动脑思考”四字的汉语拼音中，字母“”出现的频率是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：“动脑思考”四字的汉语拼音为， 所有字母的总个数为，字母出现的频数为3， 则字母o出现的频率为． 【变式5-3】（25-26八年级下·江苏无锡·期中）在期末体育考核中，成绩分为优秀、合格、不合格三个档次，八年级（1）班有48名学生，达到优秀有15人，合格的有21人，在这次体育考核中，不合格学生的频数是_____． 【答案】12 【分析】先计算出不合格的人数，根据频数的定义，不合格人数即为不合格学生的频数． 【详解】解：由题意可得，总人数为，优秀人数为，合格人数为． 不合格人数为： ． 根据频数的定义，可知不合格学生的频数为． 【变式5-4】（25-26八年级下·江苏无锡·期中）某市教育局对八年级学生进行体质监测，共收集了名学生的体重数据，并绘制成频数分布直方图．若从左往右每个小长方形的面积之比为，则其中第三组的频数为__________． 【答案】 【分析】本题考查频数分布直方图，用总人数乘以第三组频数占总数的比例即可求解． 【详解】解：第三组的频数为． 事件的分类 【例6】（25-26八年级下·江苏南京·期中）下列事件中，为必然事件的是（   ） A．抛掷一枚硬币，正面朝上 B．掷一枚骰子，向上一面的点数是7 C．任意买一张电影票，座位号是偶数 D．13个人中至少有2人的出生月份相同 【答案】D 【详解】解：选项A中，抛掷一枚硬币，正面朝上可能发生也可能不发生，属于随机事件，不符合题意； 选项B中，掷一枚骰子，向上一面的最大点数为6，点数为7是不可能事件，不符合题意； 选项C中，任意买一张电影票，座位号可能是偶数也可能是奇数，属于随机事件，不符合题意； 一年共有12个月份，13个人中即使前12个人出生月份各不相同，第13个人的出生月份必然和其中1人重复， 因此至少有2人的出生月份相同，是必然事件，符合题意． 【变式6-1】（25-26八年级下·江苏连云港·期中）下列事件中，是不可能事件的为（    ） A．瓜熟蒂落 B．旭日东升 C．水中捞月 D．水涨船高 【答案】C 【详解】解：必然事件是一定条件下一定发生的事件，不可能事件是一定条件下一定不会发生的事件， A瓜熟蒂落，B旭日东升，D水涨船高都是一定发生的事件，属于必然事件， 水中捞月一定不会发生，属于不可能事件． 【变式6-2】（25-26八年级下·江苏常州·期中）下列成语所描述的事件中，属于必然事件的是（    ） A．亡羊补牢 B．拔苗助长 C．画饼充饥 D．瓜熟蒂落 【答案】D 【详解】解： A、“亡羊补牢”是不一定会发生的事件，属于随机事件； B、“拔苗助长”不可能实现，属于不可能事件； C、“画饼充饥”不能真正解决饥饿，属于不可能事件； D、“瓜熟蒂落”符合自然规律，一定会发生，属于必然事件． 【变式6-3】（25-26八年级下·江苏盐城·期中）下列成语所描述的事件中，属于随机事件的是（    ） A．不期而遇 B．旭日东升 C．水中捞月 D．水涨船高 【答案】A 【分析】本题考查事件的分类，需根据随机事件、必然事件、不可能事件的概念判断各选项，随机事件指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 【详解】解：A、不期而遇是可能发生也可能不发生的事件，属于随机事件； B、旭日东升是必然发生的事件，属于必然事件； C、水中捞月是不可能发生的事件，属于不可能事件； D、水涨船高是必然发生的事件，属于必然事件． 判断事件发生可能性大小 【例7】（25-26八年级下·江苏南京·期中）下列语句所描述的事件，可能性最小的是（   ） A．旭日东升 B．小暑热得透，大暑凉飕飕 C．水中捞月 D．种瓜得瓜，种豆得豆 【答案】C 【分析】先判断每个选项对应事件的类型，得到各事件发生的概率大小，再比较即可得到可能性最小的事件． 【详解】A选项“旭日东升”是必然事件，发生的概率为； B选项“小暑热得透，大暑凉飕飕”是随机事件，发生的概率小于； C选项“水中捞月”是不可能事件，发生的概率为； D选项“种瓜得瓜，种豆得豆”受种子不发芽、植株死亡等因素影响，属于随机事件，发生的概率小于， 因此C选项描述的事件发生的可能性最小． 故选：C． 【变式7-1】（25-26八年级下·江苏盐城·期中）下列成语反映的事件中，发生的可能性最大的是（   ） A．守株待兔 B．大海捞针 C．水中捞月 D．冬去春来 【答案】D 【详解】解：∵ 必然事件发生的可能性为1，不可能事件发生的可能性为0，随机事件发生的可能性介于0和1之间， 其中水中捞月是不可能事件，可能性为0， 大海捞针、守株待兔是发生可能性极低的随机事件，可能性远小于1， 冬去春来是必然事件，发生可能性为1， ∴ 四个选项中，冬去春来发生的可能性最大． 【变式7-2】（25-26八年级下·江苏徐州·期中）某同学抛掷一枚质地均匀的硬币三次，三次都是正面朝上，抛掷第四次，则下列说法正确的是（  ） A．第四次一定是反面朝上 B．第四次反面朝上的概率大于正面朝上的概率 C．第四次一定是正面朝上 D．第四次可能还是正面朝上 【答案】D 【分析】质地均匀的硬币每次抛掷是独立的随机事件，前几次的抛掷结果不会影响下一次抛掷的结果，每次抛掷正面和反面朝上的概率相等． 【详解】解：∵抛掷一枚质地均匀的硬币，每次抛掷都是独立的随机事件，前三次抛掷的结果不会对第四次抛掷产生影响，且每次抛掷正面朝上和反面朝上的概率都为， ∴第四次抛掷既可能正面朝上，也可能反面朝上，两种结果的概率相等，故D正确． 求某件事的频率 【例8】（25-26八年级下·江苏盐城·期中）小明做“用频率估计概率”的试验时，统计了某一结果出现的频率，绘制出的折线统计图如图所示，符合这一结果的试验最有可能是（   ） A．从，，这个数中随机抽到数字的频率 B．一副去掉大小王的扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃的频率 C．抛一枚硬币，出现正面朝上的频率 D．掷一枚质地均匀的骰子，出现点朝上的频率 【答案】D 【分析】根据大量重复实验下的频率即为概率，可依次对各选项进行判断． 【详解】解：选项A：从，，这个数中随机抽到数字的频率约为，不符合题意； 选项B：一副去掉大小王的扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃的频率约为，不符合题意； 选项C：抛一枚硬币，出现正面朝上的频率约为，不符合题意； 选项D：掷一枚质地均匀的骰子，出现点朝上的频率约为，符合题意． 【变式8-1】（25-26八年级下·江苏扬州·期中）在最近天内，某市空气质量为优的天数为天，则空气质量为优的频率是____． 【答案】 【分析】频率的计算公式为． 【详解】解：由题意可得，空气质量为优的频率是． 【变式8-2】（25-26八年级下·江苏宿迁·期中）假期将至，学校向全校师生发出倡议“不去河沟游玩，防落水；不去河沟游泳，防溺水”．在这句宣传语中，“河”字出现的频率为________． 【答案】 【分析】本题主要考查了频数与频率的运用，解题时注意：频率＝频数÷数据总数，即用“河”字出现的次数除以总的字的个数求解． 【详解】解：“不去河沟游玩，防落水；不去河沟游泳，防溺水”，共有18个字，其中“河”字出现的次数为2次， ∴“河”字出现的频率为． 易错1：混淆普查与抽样调查的适用条件 · 错因：认为“普查一定更好”，忽略其耗时、费力、有破坏性的局限。 易错2：总体、个体、样本概念理解错误 · 错因：把“考察对象”当成“物体本身”，而非“对象的某项指标”。 易错3：样本容量带单位 · 错因：混淆“样本容量” 与“样本”，样本容量是数目，无单位。 易错4：扇形统计图圆心角计算错误 · 错因：百分比未乘360°，或计算时百分比换算错误。 易错5：频数分布直方图分组错误 · 错因：极差 ÷ 组距后组数取整错误，或组距不统一、分组重叠/遗漏。 易错6：频率计算错误 · 错因：频数与总数对应错误，或频率和不为 1（计算失误）。 易错7：混淆事件类型 · 把随机事件当成必然/不可能事件，凭主观直觉判断而非客观逻辑。 易错8：计算概率漏数、重数 · 结果列举等可能结果不全，导致分子分母数值出错。 易错9：频率≠概率 · 单次试验频率不能等同于概率，只有大量试验后频率才可估计概率。 易错10：判断游戏公平只看次数不看概率 · 次数多不代表概率大，必须计算概率对比。 易错11：放回与不放回模型混用 · 摸球放回总数不变，不放回总数递减，计算时分母易错。 抽样调查的可靠性 【例9】（22-23八年级下·江苏连云港·期中）第十二届江苏省园艺博览会将于北京时间2023年4月26日在连云港盛大开幕．为了调查全校学生对园博会的了解，下列抽样调查最适合的是（   ） A．从七年级学生中随机抽取300名 B．从八年级学生中随机抽取300名 C．从九年级学生中随机抽取300名 D．从每个年级学生中各随机抽取100名 【答案】D 【分析】本题考查了抽样调查的可靠性，样本具有代表性是指抽取的样本必须是随机的，即各个方面，各个层次的对象都要有所体现．根据抽样调查的可靠性：抽样调查要具有广泛性、代表性，可得答案． 【详解】解：为了了解全校学生对园博会的了解情况，应该从每个年级随机抽取样本，才能更全面地反映全校学生的认知情况． 故选：D． 【变式9-1】（25-26八年级下·江苏南京·期中）某数学兴趣小组为了了解所在地区老年人的健康状况，设计了下列三种不同的抽样调查：①在公园调查1000名老年人的健康状况；②调查10名老年邻居的健康状况；③利用派出所的户籍网随机调查该地区10%的老年人的健康状况．其中抽样合理的序号是______________． 【答案】 ③ 【分析】本题考查抽样调查的可靠性，判断抽样是否合理，需看样本是否具有广泛性和代表性，能否反映总体的情况 【详解】解：①在公园调查1000名老年人，该样本的调查对象多为坚持锻炼的老年人，无法代表该地区全体老年人，样本不具有代表性，抽样不合理； ②仅调查10名老年邻居，样本容量过小，不具有广泛性，无法准确反映总体情况，抽样不合理； ③利用派出所的户籍网随机调查该地区的老年人，抽样随机，样本覆盖该地区不同情况的老年人，具有广泛性和代表性，抽样合理 【变式9-2】（25-26八年级下·江苏南京·期中）为了解某初中学校学生的视力情况，该校数学兴趣小组设计了如下三种调查方案：①随机抽取300名女生调查；②分别从三个年级中各随机抽取100名学生调查；③从初一年级中随机抽取300名学生调查，其中抽取的样本具有代表性的是______（填序号） 【答案】② 【分析】根据样本需涵盖总体的各个部分，且为随机抽样，即可判断各方案． 【详解】解：要判断样本是否具有代表性，需保证样本能反映总体的特征，涵盖总体中不同群体，且为随机抽样 方案①只抽取女生，未涵盖男生群体，无法反映全校学生的整体视力情况，不具有代表性. 方案③只抽取初一年级学生，未涵盖初二、初三年级群体，无法反映全校学生的整体视力情况，不具有代表性. 方案②分别从三个年级中各随机抽取100名学生，覆盖了全校各个年级的学生，属于随机抽样，能够反映全校学生的视力情况，因此具有代表性． 频数分布直方图 【例10】（25-26八年级下·江苏常州·期中）为了调查钟楼区居民区的白天噪声污染情况，环保部门抽样调查了40个噪声测量点的噪声声强级，结果如下（每组包含起点值，不包含终点值）： (1)在噪声最低的测量点，其噪声声强级在哪个范围？ (2)噪声声强级高于的测量点有多少个？ 【答案】(1)（或） (2)26个 【分析】(1) 观察频数分布直方图，找出频数不为零的最低组即可确定噪声最低的测量点所在的范围． (2) 找出噪声声强级高于的各组，将其频数相加即可． 【详解】（1）(1) 解：∵频数分布直方图中最低组为， ∴噪声最低的测量点，其噪声声强级在范围内． （2）解：∵噪声声强级高于的组有、、， ∴测量点个数为个． 【变式10-1】（25-26八年级下·江苏南京·期中）某校为调查学生对海洋科普知识的了解情况，从全校学生中随机抽取n名学生进行测试，测试成绩进行整理后分成五组，并绘制成如下不完整的频数直方图和扇形统计图．（50~60表示大于等于50分同时小于60分，依次类推）      请根据图中信息解答下列问题： (1)本次抽样调查中_____，“”这组的频率是______； (2)在扇形统计图中，“”这组的圆心角为_______°． (3)若成绩达到80分以上（含80分）为优秀，请你估计全校1200名学生对海洋科普知识了解情况为优秀的学生人数． 【答案】(1)50，0.08 (2)72 (3)672 【分析】（1）先利用的人数除以其占比可得总人数，再利用的人数除以总人数即可； （2）由这组人数除以总人数乘以即可； （3）先求解80分（含80分）以上的占比，再利用1200乘以这个百分比即可． 【详解】（1）解：本次抽样调查中， “”这组的频率是； （2）解：“”这组的圆心角为； （3）解：（人）， 答：估计全校1200名学生对海洋科普知识了解情况为优秀的学生人数为672人． 技巧1：普查与抽样调查快速判断法 · 三看：看范围（小→普查，大→抽样）；看破坏性（有→抽样，无→普查）；看精度（高→普查，一般→抽样）。 技巧2：统计图表选择口诀 · 数量多少条形图，变化趋势折线图，占比关系扇形图，频数分布直方图。 技巧3：频数、频率计算“三公式” · 频率=频数÷总数 · 频数=总数×频率 · 总数=频数÷频率（知二求一，快速计算）。 技巧4：频数分布直方图绘制“四步法” · 算极差：最大值−最小值 · 定组距组数：组数≈极差÷组距（组数取整数，一般5-12组） · 划记频数：用“正”字统计每组数据个数 · 画图：横轴分组、纵轴频数，长方形无间隔。 技巧5：样本估计总体“两步法” · 先算样本中某特征的频率/占比 · 再用总体数量×频率，估计总体中该特征的数量。 技巧6 事件速判 · 铁定发生→必然；铁定不发生→不可能；不确定→随机 技巧7 求概率通用步骤 · 找出全部等可能结果总数 · 统计符合条件的结果数 · 代入公式计算比值 技巧8 列举常用方法 · 枚举法、列表法，适用于简单等可能事件 技巧9 公平性判断步骤 · 分别算出各方获胜概率 · 概率相等公平，不等则不公平 技巧10 频率估概率 · 试验次数越多，频率越贴近真实概率，取稳定数值当作概率。 用样本估计总体 【例11】（24-25八年级下·江苏常州·期末）我市今年“全民阅读日”的主题是“爱读书，读好书，善读书”．为了解学生每天的23．读书情况，某数学兴趣小组随机抽取了部分学生展开调查，了解他们每天读书时长情况，并按时长（单位：分钟）分为4个等级：；；；，将调查结果绘制成了如下两幅不完整的统计图，请回答下列问题： (1)这次被调查的学生共有__________人，扇形统计图中的值是__________； (2)请将条形统计图补充完整； (3)如果该校有1500名学生，请你估计该校每天读书时长不少于15分钟的学生大约有多少人？ 【答案】(1)，20． (2)见解析 (3) 【分析】（1）用B等级的人数除以其人数占比即可得到这次被调查的学生人数；用D人数除以这次被调查的学生人数，得到D等级的人数占比，即可得到答案； （2）先求出C等级的人数，然后补全统计图即可； （3）用乘以样本中C等级和D等级的人数占比之和即可得到答案． 【详解】（1）解：人， ∴这次被调查的学生共有人， ， ∴． 故答案为：，20． （2）由（1）得C等级的人数为人， 补全统计图如下所示： （3）人， ∴该校每天读书时长超过15分钟的学生大约有人． 【点睛】本题主要考查了条形统计图与扇形统计图信息相关联，用样本估计总体，正确读懂统计图是解题的关键． 【变式11-1】（25-26八年级下·江苏连云港·期中）为了解八年级学生最喜欢的球类运动，以便合理安排活动场地，在八年级学生中随机抽取了若干名学生，对其喜欢的球类运动进行调查，调查的结果如下： (1)本次抽样调查的人数为__________，其中，喜欢乒乓球的有__________人； (2)扇形统计图中，喜欢排球一项的圆心角为，则喜欢排球的人数为__________，补全条形统计图； (3)估计全年级名学生中，有多少人喜欢其他球类运动？ 【答案】(1)， (2)，图见解析 (3)全年级名学生中约有人喜欢其他球类运动 【分析】本题考查统计图的理解与分析，收集已知数据得到未知数据，补全条形统计图，用样本估计总体等知识点． （1）由统计图中数据得到本次调查的学生人数，再根据喜欢乒乓球的人数的占比得到喜欢乒乓球的人数． （2）根据扇形统计图中喜欢排球的人数所占的圆心角为，得到喜欢排球的人数，再计算出喜欢其他球类运动的人数，即可补充出条形统计图． （3）计算出样本中喜欢其他球类运动的人数占比，用总人数乘计算出的占比即可得到答案． 【详解】（1）解：学校本次调查的学生人数为：（人）， 喜欢乒乓球的有：（人）， 故答案为：，； （2）解：喜欢排球的人数为：（人）， 喜欢其他球类运动的人数为：（人）， 补全条形统计图如下： 八年级学生喜爱的球类运动条形统计图， 故答案为：； （3）解：（人）， 答：全年级名学生中约有人喜欢其他球类运动． 【变式11-2】（2026·江苏扬州·一模）某校随机对部分学生“整理错题的行为习惯”进行问卷调查．问卷主题是：“作业或考试中做错的题目及时纠错解疑情况”，设置的选项有：A：偶尔，B：较少，C：较多，D：一直．将调查结果的数据进行了整理、绘制成部分统计图如图． 请根据图中信息，解答下列问题： (1)本次抽样调查人数是________，请补全条形统计图； (2)扇形统计图中选项“较少”占的百分比中_______，选项“偶尔”对应的圆心角是________； (3)若该校共2000名学生，请根据统计结果估计“一直”对错题进行纠错解疑的学生约有多少名？ 【答案】(1)200；见解析 (2)25；36 (3)700 【分析】（1）用“偶尔”的人数除以其人数占比求得抽样调查的人数，作差求出“较多”的人数，然后补全条形统计图即可； （2）用“较少”的人数除以抽样调查的人数求出其占比，用乘以“偶尔”的人数占比可求出对应的圆心角； （3）用2000乘以样本中“一直”的人数占比即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意得，本次抽查的人数为（人）， ∴“较多”的人数为（人）， 补全条形统计图，如图所示： （2）解：“较少”的百分比为， ∴， “偶尔”对应的圆心角的度数为； （3）解：（人）． 答：“一直”对错题进行纠错解疑的学生约有名． 【变式11-3】（2026·江苏泰州·模拟预测）为了解九年级学生体育模拟测试成绩情况，某学校从九年级随机抽取了部分学生的体育模拟测试成绩进行统计分析（成绩分为36分、37分、38分、39分、40分，满分40分），并将结果绘制成如下不完整的统计图（条形统计图和扇形统计图）．根据图中信息，解答下列问题： (1)本次调查一共抽取了 名学生，扇形统计图中“36分”对应的圆心角为 °； (2)请补全条形统计图； (3)若该校九年级共有800名学生，试估计体育模拟测试成绩为40分的学生人数． 【答案】(1)； (2)补全条形统计图见解析 (3)估计成绩为40分的学生有400人 【分析】（1）由条形统计图与扇形统计图中的信息关联求解即可； （2）由（1）中“36分”人数占比求出该项人数，即可补全条形统计图； （3）由扇形统计图中“40分”人数占比为估计总体即可． 【详解】（1）解：由条形统计图与扇形统计图中“40分”人数占比可得本次调查一共抽取的学生数为； 由扇形统计图可知“36分”和“37分”人数占比为， 由条形统计图知“37分”人数为，占比为， 则“36分”人数占比为， 则扇形统计图中“36分”对应的圆心角为 （2）解：由（1）知“36分”人数占比为，则“36分”人数为， 补全条形统计图如下： ； （3）解：由扇形统计图中“40分”人数占比为可得该校九年级800名学生体育模拟测试成绩为40分的学生人数： （人） 答：估计成绩为40分的学生有400人． 频率估计概率 【例12】（2026·江苏泰州·一模）下列说法正确的是（   ） A．某彩票的中奖概率是，那么买100张彩票一定有5张中奖 B．掷一枚质地均匀的硬币次，正面向上的频率随着的增大，稳定在附近 C．概率很小的事件是不可能事件 D．只要试验的次数足够多，频率就等于概率 【答案】B 【分析】本题考查概率与频率的基本概念，辨析各选项是否符合概率相关定义即可得出答案． 【详解】解：A选项，∵中奖概率表示每张彩票中奖的可能性为，买张彩票是随机事件，不一定有张中奖， ∴A错误． B选项，∵根据频率的稳定性，掷质地均匀的硬币，当试验次数增大时，正面向上的频率会稳定在概率附近， ∴B正确． C选项，∵概率很小的事件仍有可能发生，不可能事件是一定不发生的事件，概率为，∴C错误． D选项，∵当试验次数足够多时，频率会稳定在概率附近，是接近概率，并非等于概率，∴D错误． 【变式12-1】（25-26八年级下·江苏盐城·期中）植树节为每年月日，某单位买了一批树苗组织员工去植树，资料显示该种树苗在相同条件下成活试验的部分结果如下表： 每批棵数 成活的棵数 成活的频率 (1)完成上述表格：___________，___________； (2)这种树苗成活的概率估计值为___________（精确到）． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）用总棵数乘以成活的频率求出的值，用成活的棵数除以总棵数求出的值； （2）随着树苗棵数的增加，即可估算得出答案． 【详解】（1）解：由题意得，，； （2）解：由表格中的数据可知，随着树苗棵数的增加，成活的频率稳定在附近， ∴这种树苗成活的概率估计值为． 【变式12-2】（25-26八年级下·江苏南京·期中）某批羽毛球的质量检验结果如下： 抽取的羽毛球数/只 50 100 200 500 1000 1500 2000 次品的频数 2 5 12 29 54 75 102 次品的频率 0.040 0.050 0.060 0.058 0.054 0.050 m (1)完成上述表格：______； (2)从这批羽毛球中，任意抽取一只羽毛球是次品的概率估计值是______（精确到0.01）； (3)若该批次共生产了100000只羽毛球，估计其中次品的数量． 【答案】(1)0.051 (2)0.05 (3)次品数量为5000只 【分析】（1）根据题意列式计算即可； （2）利用频率估计概率求解即可； （3）用总数乘样本中次品的数量所占百分比即可． 【详解】（1）解：； （2）解：从这批羽毛球中，任意抽取一只羽毛球是次品的概率估计值是0.05； （3）解：（只）， 答：该批次共生产了100000只羽毛球，估计其中次品的数量为5000只． 【变式12-3】（25-26八年级下·江苏连云港·期中）某批篮球的次质量检验结果如下表： 抽取的篮球球数 优等品的频数 优等品的频率 （精确到） (1)填空：__________；__________（结果精确到）； (2)请在图中补全这批篮球“优等品”频率的折线统计图． (3)这批篮球“优等品”概率的估计值大约是__________（结果精确到）． 【答案】(1)， (2)见解析； (3) 【分析】（1）根据频率的计算公式计算即可； （2）根据检验结果补全折线统计图即可； （3）计算优等品频率的平均数即可． 【详解】1）解：， ∴， ． （2）解：根据检验结果补全这批篮球“优等品”频率的折线统计图如下： （3）解：由表格可知，这批篮球“优等品”概率的估计值大约是． 学科网（北京）股份有限公3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $