专题06 平行四边形（期末真题汇编，辽宁专用）八年级数学下学期北师大版

**基本信息** 辽宁多地期末试题汇编，聚焦平行四边形四大核心考点，整合性质应用、判定综合、中位线定理及函数结合题型，分层覆盖基础巩固与综合探究，适配期末复习需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择|15题|含平行四边形性质（如坐标求解、角度计算）、中位线应用（如测量距离）|结合生活情境（自行车停放区标志）、地方期末真题| |填空|6题|涉及平移性质、中点坐标计算|注重几何直观与空间观念| |解答|12题|包括尺规作图（如角平分线）、函数动态问题（如平行四边形存在性）|综合考查推理能力与模型意识，适配中考命题趋势|

专题06 平行四边形 高频考点概览 考点01利用平行四边形的性质求解 考点02平行四边形的证明及性质与判定综合 考点03三角形中位线定理 考点04平行四边形与函数结合 考点01 利用平行四边形的性质求解 1．（24-25八年级下·辽宁沈阳·期末）如图，在平行四边形中，尺规作图得，若，，则长为（   ） A．6 B．8 C．10 D．12 2．（24-25七年级下·辽宁大连·期末）如图，平行四边形三个顶点坐标分别是，则点B的坐标为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·辽宁辽阳·期末）如图，在平面而直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，若存在一点，使组成的四边形是平行四边形，则点的坐标不可能为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级下·辽宁丹东·期末）如图，是“自行车停放区”的标志图，其中四边形为平行四边形．若 ，则的度数为（　　） A． B． C． D． 5．（24-25八年级下·辽宁葫芦岛·期末）在中，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 6．（24-25八年级下·辽宁营口·期末）在平行四边形中，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 7．（24-25八年级下·辽宁沈阳·期末）如图，在平行四边形中，点是的中点，点，分别在边，上，线段经过点，下列结论： ； ； ； ．其中错误结论的个数为（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 8．（24-25八年级下·辽宁沈阳·期末）如图，已知四边形是平行四边形，，，，点M是上一动点，N为的中点，连接，，当时，点M的坐标为 ____________ ． 9．（24-25八年级下·辽宁大连·期末）如图，在中，E、F是对角线上两点，且，．求证：． 考点02 平行四边形的证明及性质与判定综合 1．（24-25八年级下·辽宁大连·期末）小强不小心将一块平行四边形的玻璃打碎成如图所示的四块，他带了其中的两块碎玻璃到商店配了一块与原先相同的平行四边形玻璃，他带的两块碎玻璃编号是（　　） A．①② B．①③ C．②③ D．②④ 2．（24-25八年级下·辽宁朝阳·期末）学习平行四边形一章时王老师要求某一小组A、B、C、D四名同学每人准备四根小木棒（单位：），把四人准备的小木棒首尾顺次连接，可以拼成一个平行四边形的是（   ） A．2，3，4，5 B．3，2，3，5 C．3，4，5，3 D．2，3，2，3 3．（24-25八年级下·辽宁丹东·期末）如图，在四边形中，，添加下列一个条件后，不能判定四边形是平行四边形的是（　　） A． B． C． D． 4．（24-25八年级下·辽宁大连·期末）如图，在中，，，以点B为圆心、的长为半径作弧交边于点E；分别以点A，E为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点P，作射线交边于点F，则四边形的周长为（    ） A．10 B．12 C．14 D．16 5．（24-25八年级下·辽宁沈阳·期末）如图，平移到的位置，则下列说法： ①；②；③平移的方向是点C到点E的方向； ④四边形，，为平行四边形． 其中说法正确的序号为______． 6．（24-25八年级下·辽宁沈阳·期末）如图，为的对角线，点E为线段的中点，连接与的延长线交于点F． (1)求证：． (2)若，，．求的长． 7．（24-25八年级下·辽宁辽阳·期末）如图，在中，分别是边和上的点，交于点交于点． (1)求证：； (2)若，求的长． 8．（24-25八年级下·辽宁丹东·期末）如图，在中，以点为圆心，任意长为半径作弧，分别交，于点，再分别以点，点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在内交于点，作射线交于点．    (1)射线的尺规作图过程是在作___________的___________线； (2)请在图中以点为顶点，作的角平分线，交于点．（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） (3)在（1）（2）的条件下，求证：四边形是平行四边形． 9．（24-25八年级下·辽宁本溪·期末）如图，在平行四边形中，E，F是对角线上的两点，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)当时，，，求线段的长． 考点03 三角形中位线定理 1．（24-25八年级下·辽宁沈阳·期末）如图，在中，点，分别是，的中点，若，，则的长为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（24-25八年级下·辽宁阜新·期末）如图，每个小正方形的边长为，在中（其中点，点为网格格点），点，分别为，的中点，则线段的长为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·辽宁沈阳·期末）如图，在中，点D，E分别是，的中点，若，，则的长为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．（24-25八年级下·辽宁朝阳·期末）某中学八年级科技社团“智慧”小组要制作一个以中心对称为主题的桥梁模型．他们设计了如图所示的结构，其中与关于点成中心对称，点M、N分别是的中点，横梁用于支撑桥梁．通过测量得到的长度为，是模型中需要的主承重钢梁，根据以上信息模型中的长是（   ） A．20 B．40 C．80 D．90 5．（24-25八年级下·辽宁大连·期末）如图，A，B两处被池塘隔开，为了测量A，B两处之间的距离，在直线外选一点C，连接，并分别取线段的中点E，F，测得，则的长为（    ） A． B． C． D． 6．（24-25八年级下·辽宁丹东·期末）如图，施工队打算测量两地之间的距离，但两地之间有一个池塘，于是施工队在处取点，连接并延长至点，连接并延长至点，使得分别是的中点．若，则两地之间的距离为（　　） A． B． C． D． 7．（24-25八年级下·辽宁锦州·期末）如图，在四边形中，分别是的中点，．若，，则的长度为（    ） A．8 B．10 C．12 D．13 8．（24-25八年级下·辽宁大连·期末）如图，A、B两点被池塘隔开，在外选一点C，连接和，并分别找出它们的中点P、，若测得，则A、B两点间的距离为______． 9．（24-25八年级下·辽宁沈阳·期末）如图，某景区要在处架一条钢丝，已知点P，Q分别是的边和的中点，且米，则的长是________． 10．（24-25八年级下·辽宁大连·期末）如图，某公园有一块三角形空地，点D，E分别是的中点，沿放置一道栅栏把分成两个区域，，则栅栏的长为 ________m． 11．（24-25八年级下·辽宁沈阳·期末）如图，平行四边形的对角线、相交于点O，，点E是的中点，连接、，若，下列结论：①；②；③，其中正确的序号为 _________ ． 12．（24-25八年级下·辽宁沈阳·期末）综合与实践 【问题情境】 如图1，在中，对角线与交于点O，，，，点E为的中点，连接并延长，交于点， （1）判断线段与的数量关系，并说明理由； （2）在图1的基础上，若点G是的中点，连接并延长，交于点H，顺次连接E，G，F，H，得到图2，则四边形的形状是______．并说明理由； 【图形变式】 （3）在图2中，隐去线段与，将四边形绕点O顺时针方向旋转，如图3，当点G，H首次分别落在边上时，请直接写出线段的长． 13．（24-25八年级下·辽宁朝阳·期末）【课本再现】我们把连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线． 下面是三角形中位线的性质及证明三角形中位线定理的两种添加辅助线的方法： 三角形中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半．已知：如图1，在△中，点，分别是，边的中点．求证：，且．    方法一：证明：如图2，延长到点，使，连接，，．    方法二：证明：如图3，取的中点，连接并延长到点，使，连接．    【回顾证法】 （1）请你选择其中一种证法，继续完成证明过程． 【实践应用】 （2）如图4，，两地被池塘隔开，在无法直接测量的情况下，小明通过下面的方法测出了，间的距离：先在池塘外选一点，连接，，然后测出，的中点，，并测出的长度为12米，则，两点间的距离为_____米．   （3）如图5，在四边形中，，，分别是，的中点，连接并延长，分别与，的延长线交于点，，求证：． 14．（24-25九年级上·辽宁沈阳·期末）【基础探究】 （1）如图1，中，，，点在边上，点在边上，且，，连接，点是的中点，点是的中点，点是的中点，连接，，请直接写出线段与的数量关系； 【变式探究】 （2）如图2，中，，，中，，，，点在内部，且，连接，点是的中点，点是的中点，点是的中点，连接，猜想线段与的数量关系，并说明理由； 【拓展探究】 （3）如图3，中，，，中，，，，点在外部，且，连接，点是的中点，点是的中点，点是的中点，连接， ①求证：； ②猜想线段与的数量关系，并说明理由． 考点04 平行四边形与函数结合 1．（24-25八年级下·辽宁阜新·期末）如图，把放在直角坐标系中，其中，，点，的坐标分别是和，将沿轴向右平移，当点落在直线上时，线段扫过的面积为______． 2．（24-25八年级下·辽宁营口·期末）如图，平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于两点，，点是直线上一动点，将点向左平移1个单位得到点，点，则的最小值为___________． 3．（24-25八年级下·辽宁沈阳·期末）直线经过点，与y轴交于点B，与直线交于点C，点C的横坐标为2，点P是直线上的一个动点（点P不与A，B，C重合），过点P作x轴的平行线，交直线于点D，过点P作y轴的平行线，交x轴于点E，设动点P的横坐标为t． (1)求直线的函数表达式； (2)如图1，当点P在线段上时，求的长（用含t的代数式表示）； (3)在点P运动过程中，是否存在某一时刻，使得以A，P，D，E为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，说明理由． 4．（24-25八年级下·辽宁营口·期末）如图，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，与正比例函数的图象交于点． (1)求一次函数的解析式； (2)点是正比例函数第一象限内图象上一点，过点作轴的垂线，交轴于点，交直线于点，当时，求点坐标； (3)在坐标平面内，是否存在一点，使点构成一个平行四边形，若存在，请直接写出点坐标；若不存在，请说明理由． 5．（24-25八年级下·辽宁盘锦·期末）如图，在中，点B在x轴上，直线经过点，且与x轴交于点C，直线与x轴相交于点B，与相交于点D． (1)求直线的表达式 (2)在y轴上是否存在一点E，使是等腰三角形，若存在，求出点E坐标：若不存在，请说明理由； (3)点P在直线上，点Q在直线上，当点O，D，P，Q为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出点Q的坐标． 6．（24-25八年级下·辽宁抚顺·期末）定义：函数(且)和函数互为“逆反函数”．例如：和互为“逆反函数”．如图1，一次函数：的图象分别交轴、轴于点、． (1)请写出一次函数的“逆反函数”的解析式 ；点在的函数图象上，则的值是 ． (2)如图1，点是一次函数图象上一点，又是它的“逆反函数”图象上的点． ①求的面积； ②若点为平面直角坐标系第四象限内一点，是否存在以点、、、为顶点的平行四边形，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． (3)函数和它的“逆反函数”，组合成新的函数．当时，函数的最大值与最小值的差为． ①时，求的值； ②时，求的值； ③时，求的值． 7．（24-25八年级下·辽宁盘锦·期末）已知关于的一次函数，当时，我们称一次函数为“新函数”，一次函数为“新函数”的“关联函数”．“新函数”的图象记为直线，它的“关联函数”的图象记为直线． 例如：“新函数”的“关联函数”为． (1)直接写出“新函数”的“关联函数”表达式； (2)请说明：直线，直线与y轴的交点是同一个点； (3)如图，若“新函数”的表达式为，点在直线上，点在直线上，轴，，求点的坐标； (4)“新函数”的表达式为．若直线，直线与轴围成的图形面积为9，点在直线上，过作轴交直线于点，过作轴交直线于点，过作轴交直线于点，连接．设点的横坐标为，四边形的周长为，直接写出关于的函数表达式． 8．（24-25八年级下·辽宁沈阳·期末）已知和都是关于自变量的函数，若当时，（，为常数），当时，（，为常数），此时，函数的图象与函数的图象互相垂直，则称函数为函数的“垂直函数”． (1)请直接写出函数的“垂直函数”的函数表达式并写出自变量的取值范围； (2)如图，函数和它的“垂直函数”组成的图象记为，图象与轴交点记为点，线段的两个端点坐标分别为，． ①当图象与线段有两个公共点时，求的取值范围； ②如图，分别过两点作轴的平行线交图象于点，连接，当以，，，四个点为顶点的四边形是平行四边形时，求这个平行四边形的面积； ③如图，连接，当的值最大时，直接写出的值． 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 平行四边形 高频考点概览 考点01利用平行四边形的性质求解 考点02平行四边形的证明及性质与判定综合 考点03三角形中位线定理 考点04平行四边形与函数结合 考点01 利用平行四边形的性质求解 1．（24-25八年级下·辽宁沈阳·期末）如图，在平行四边形中，尺规作图得，若，，则长为（   ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】B 【分析】本题主要考查平行四边形，菱形，勾股定理等知识，根据尺规作图可知是的角平分线，且，可得，四边形是菱形，在中，求出的长度，根据，由此即可求解． 【详解】解：根据题意可知，是的角平分线，，， ∴是的垂直平分线，如图所示，设与交于点，连接， ∵四边形是平行四边形， ∴根据对角线相互垂直且平分的四边形是菱形可得，四边形是菱形， ∵，， ∴， 在中，， ∴， 故选：． 2．（24-25七年级下·辽宁大连·期末）如图，平行四边形三个顶点坐标分别是，则点B的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行四边形的性质，点坐标平移的性质，解题的关键是熟练掌握平行四边形的性质． 根据平行四边形的性质，以及点的平移性质，即可求出点B的坐标． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵ ∴， ∵， ∴点B的坐标为，即． 故选：A． 3．（24-25八年级下·辽宁辽阳·期末）如图，在平面而直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，若存在一点，使组成的四边形是平行四边形，则点的坐标不可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的性质、坐标与图形的性质；熟练掌握平行四边形的性质是解决问题的关键．分三种情况：①为对角线时，②为对角线时，③为对角线时；由平行四边形的性质容易得出点D的坐标，即可得出答案． 【详解】解：设，分三种情况： ①为对角线时，，解得：，即点D的坐标为； ②为对角线时，，解得：，即点D的坐标为； ③为对角线时，，解得：，即点D的坐标为； 综上所述，点D的坐标是或或， 则点的坐标不可能为． 故选：B． 4．（24-25八年级下·辽宁丹东·期末）如图，是“自行车停放区”的标志图，其中四边形为平行四边形．若 ，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形对角相等是解题关键．根据平行四边形对角相等即可求出． 【详解】解：在中有：，， ， ， ， ， ， 故选：C． 5．（24-25八年级下·辽宁葫芦岛·期末）在中，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，利用平行四边形的对角相等和邻角互补的性质解题即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 6．（24-25八年级下·辽宁营口·期末）在平行四边形中，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查平行四边形邻角互补、对角相等的性质，熟练掌握这些性质是解题关键．利用平行四边形邻角互补、对角相等的性质，结合与的比例关系求解的度数． 【详解】解： 四边形是平行四边形，平行四边形邻角互补，即，且，设，， ，解得，则， 又 平行四边形对角相等，， ． 故选：A ． 7．（24-25八年级下·辽宁沈阳·期末）如图，在平行四边形中，点是的中点，点，分别在边，上，线段经过点，下列结论： ； ； ； ．其中错误结论的个数为（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】A 【分析】本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质，根据平行四边形的对边平行、对角相等可知、正确；因为与有交点，所以错误，故错误；因为是平行四边形的对角线，所以，利用可证，所以可知，从而可证，故正确． 【详解】解：四边形是平行四边形， ， 故正确； 与相交于点， 与不平行， 故错误； 四边形是平行四边形， ， 故正确； 四边形是平行四边形，是的对角线， ，， ， 点是的中点， ， 在和中，， ， ， ， ， 故正确． 综上所述，错误结论的个数为. 故选： A． 8．（24-25八年级下·辽宁沈阳·期末）如图，已知四边形是平行四边形，，，，点M是上一动点，N为的中点，连接，，当时，点M的坐标为 ____________ ． 【答案】 【分析】本题主要考查平行四边形的性质、中点坐标公式及两点间距离公式，先根据平行四边形性质确定点B坐标，进而得出中点N坐标，设出点M坐标，利用，结合两点间距离公式列方程求解． 【详解】解：∵平行四边形中，，，，且（O为坐标原点）， ∴，， ∵N为中点，，， ∴， 设， ∵， ∴， 解方程得， ∴， 故答案为：． 9．（24-25八年级下·辽宁大连·期末）如图，在中，E、F是对角线上两点，且，．求证：． 【答案】见解析 【分析】此题重点考查平行四边形的性质、平行线的性质、全等三角形的判定与性质等知识，证明是解题的关键． 由平行四边形的性质得，，则，再由“”证明，即可得出结论． 【详解】证明：四边形是平行四边形， ，， ， ，， ， ， ． 考点02 平行四边形的证明及性质与判定综合 1．（24-25八年级下·辽宁大连·期末）小强不小心将一块平行四边形的玻璃打碎成如图所示的四块，他带了其中的两块碎玻璃到商店配了一块与原先相同的平行四边形玻璃，他带的两块碎玻璃编号是（　　） A．①② B．①③ C．②③ D．②④ 【答案】D 【分析】此题重点考查平行四边形的判定，通过观察，找到拼在一起后能够确定原来平行四边形的两组对边所在位置的两块玻璃的编号是解题的关键．观察图形，将②号玻璃和④号玻璃拼在一起，能够确定原来平行四边形的两组对边所在的位置，所以他带的两块碎玻璃编号是②④，于是得到问题的答案． 【详解】解：如图，将②号玻璃和④号玻璃拼在一起，延长交于点A，延长交于点C， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴他带的两块碎玻璃编号是②④， 故选：D． 2．（24-25八年级下·辽宁朝阳·期末）学习平行四边形一章时王老师要求某一小组A、B、C、D四名同学每人准备四根小木棒（单位：），把四人准备的小木棒首尾顺次连接，可以拼成一个平行四边形的是（   ） A．2，3，4，5 B．3，2，3，5 C．3，4，5，3 D．2，3，2，3 【答案】D 【分析】此题考查了平行四边形的判定， 根据平行四边形的判定条件，四根木棒首尾顺次连接构成平行四边形的必要条件是两组对边分别相等，据此求解即可． 【详解】选项A：2，3，4，5．四根长度均不同，无法形成两组相等的对边，排除． 选项B：3，2，3，5．仅有两根3，其余为2和5，无法使对边相等（如对边为3和3，另一组为2和5，不相等），排除． 选项C：3，4，5，3．对边为3和5，4和3，均不相等，排除． 选项D：2，3，2，3．对边为2和2，3和3，满足两组对边相等，符合条件． 故选：D． 3．（24-25八年级下·辽宁丹东·期末）如图，在四边形中，，添加下列一个条件后，不能判定四边形是平行四边形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查学生对平行四边形的判定方法的理解能力，常用的平行四边形的判定方法有：（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形．（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形．（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形．（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形．据此来判定即可． 【详解】解：， ， 又， 四边形是平行四边形，故选项A不符合题意； ， ， 在和中 ， ， ， 又， 四边形为平行四边形，故选项B不符合题意； 在四边形中，，， 四边形是平行四边形，故选项C不符合题意； ，无法得出四边形是平行四边形，故选项D符合题意． 故选：D． 4．（24-25八年级下·辽宁大连·期末）如图，在中，，，以点B为圆心、的长为半径作弧交边于点E；分别以点A，E为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点P，作射线交边于点F，则四边形的周长为（    ） A．10 B．12 C．14 D．16 【答案】B 【分析】本题主要考查尺规作角平分线，角平分线的定义，平行四边形的判定与性质，熟练掌握角平分线的定义是解题的关键．根据作图过程得到，为的平分线，即可证明四边形为平行四边形，即可得到答案． 【详解】解： ， ， ， 根据作图过程得到，为的平分线， ∴ ， ， ， ， 四边形为平行四边形， ， 四边形的周长为． 故选：B． 5．（24-25八年级下·辽宁沈阳·期末）如图，平移到的位置，则下列说法： ①；②；③平移的方向是点C到点E的方向； ④四边形，，为平行四边形． 其中说法正确的序号为______． 【答案】①②④ 【分析】本题考查平移的性质，平行线的性质以及平行四边形的判定，掌握平移的性质是解题的关键． 根据平移的性质，平行线的性质以及平行四边形的判定逐项进行判断即可． 【详解】由平移的性质可知，，故①正确； 由平移的性质可知，，因此，故②正确； 平移的方向是点C到点F的方向，故③错误； 由平移的性质可知，，，，，因此四边形为平行四边形，故④正确； 综上可知，正确的有①②④． 故答案为：①②④． 6．（24-25八年级下·辽宁沈阳·期末）如图，为的对角线，点E为线段的中点，连接与的延长线交于点F． (1)求证：． (2)若，，．求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，勾股定理及其逆定理： （1）根据平行四边形的性质可得，可证明，从而得到，即可求证； （2）根据勾股定理逆定理可得以及平行四边形的性质可得，，再由勾股定理解答即可． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，即， ∴， ∵点E为线段的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴； （2）解：∵，，， ∴， ∴是直角三角形，且， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵点E为线段的中点， ∴， ∴． 7．（24-25八年级下·辽宁辽阳·期末）如图，在中，分别是边和上的点，交于点交于点． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)4 【分析】本题考查了平行四边形的性质与判定，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键； （1）根据平行四边形的性质可得，根据得出四边形是平行四边形，进而得出四边形是平行四边形，即可得证； （2）由（1）得，四边形是平行四边形，得出，进而根据，即可求解． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， 即， ，即， 四边形是平行四边形， ． （2）解：由（1）得，四边形是平行四边形， ， ， ． 8．（24-25八年级下·辽宁丹东·期末）如图，在中，以点为圆心，任意长为半径作弧，分别交，于点，再分别以点，点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在内交于点，作射线交于点．    (1)射线的尺规作图过程是在作___________的___________线； (2)请在图中以点为顶点，作的角平分线，交于点．（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） (3)在（1）（2）的条件下，求证：四边形是平行四边形． 【答案】(1)；角平分 (2)见解析 (3)见解析 【分析】题目主要考查平行四边形的判定和性质，角平分线的作法，理解题意，熟练掌握角平分线的作法是解题关键． （1）根据角平分线的作法即可得出结果； （2）根据作角平分线的步骤作图即可； （3）根据平行四边形的性质得出，再由角平分线及平行线的性质确定，即可判定，即可证明． 【详解】（1）解：根据题意得射线的尺规作图过程是在作的角平分线， 故答案为：；角平分 （2）如图所示即为所求；    （3）∵， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形． 9．（24-25八年级下·辽宁本溪·期末）如图，在平行四边形中，E，F是对角线上的两点，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)当时，，，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2)20 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题关键． （1）连接，交于点，先根据平行四边形的性质可得，从而可得，再根据平行四边形的判定即可得证； （2）先利用平行四边形性质得出，，再利用勾股定理可得，求解即可得． 【详解】（1）证明：如图，连接交于点O， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， 即， ∴四边形是平行四边形． （2）解：∵四边形是平行四边形， ，， ， ， 在中，， ， 又，， ， ． 考点03 三角形中位线定理 1．（24-25八年级下·辽宁沈阳·期末）如图，在中，点，分别是，的中点，若，，则的长为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】本题考查了三角形中位线定理，掌握定理内容是解题的关键；由题意知，是的中位线，由三角形中位线定理即可求解． 【详解】解：∵点，分别是，的中点， ∴是的中位线， ∴； 故选：D． 2．（24-25八年级下·辽宁阜新·期末）如图，每个小正方形的边长为，在中（其中点，点为网格格点），点，分别为，的中点，则线段的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是三角形中位线定理、勾股定理，熟记三角形中位线等于第三边的一半是解题的关键．根据勾股定理求出，再根据三角形中位线定理求出． 【详解】解：由勾股定理得：， 点，分别为，的中点， 是的中位线， ， 故选：B． 3．（24-25八年级下·辽宁沈阳·期末）如图，在中，点D，E分别是，的中点，若，，则的长为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】本题考查的是三角形中位线定理，三角形中位线等于第三边的一半．根据三角形中位线定理计算即可． 【详解】解：∵点D，E分别是，的中点， ∴是的中位线， ∴， 故选：D． 4．（24-25八年级下·辽宁朝阳·期末）某中学八年级科技社团“智慧”小组要制作一个以中心对称为主题的桥梁模型．他们设计了如图所示的结构，其中与关于点成中心对称，点M、N分别是的中点，横梁用于支撑桥梁．通过测量得到的长度为，是模型中需要的主承重钢梁，根据以上信息模型中的长是（   ） A．20 B．40 C．80 D．90 【答案】C 【分析】本题主要考查了中心对称图形的性质，三角形中位线定理．根据中心对称图形的性质可得，再由三角形中位线定理可得，即可求解． 【详解】解：∵与关于点成中心对称， ∴， ∴， ∵点M、N分别是的中点，的长度为， ∴， ∴． 故选：C 5．（24-25八年级下·辽宁大连·期末）如图，A，B两处被池塘隔开，为了测量A，B两处之间的距离，在直线外选一点C，连接，并分别取线段的中点E，F，测得，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的中位线定理，熟练掌握三角形的中位线等于第三边的一半是解题的关键． 根据三角形的中位线定理得到，即可求解． 【详解】解：∵线段的中点E，F， ∴为的中位线， ∴， 故选：C． 6．（24-25八年级下·辽宁丹东·期末）如图，施工队打算测量两地之间的距离，但两地之间有一个池塘，于是施工队在处取点，连接并延长至点，连接并延长至点，使得分别是的中点．若，则两地之间的距离为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形中位线定理，熟知三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．根据三角形中位线定理即可得出结果． 【详解】解：如图，连接， 分别是的中点，， 为三角形的中位线， ． 故选：B． 7．（24-25八年级下·辽宁锦州·期末）如图，在四边形中，分别是的中点，．若，，则的长度为（    ） A．8 B．10 C．12 D．13 【答案】D 【分析】本题考查了三角形的中位线定理，勾股定理，平行线的判定和性质． 连接，由分别是的中点，可知，，而，所以，在中，根据勾股定理计算即可． 【详解】解：如图，连接， ∵分别是的中点， ∴，即 又 ∵， ， 则， ∴在中，， 故选：D． 8．（24-25八年级下·辽宁大连·期末）如图，A、B两点被池塘隔开，在外选一点C，连接和，并分别找出它们的中点P、，若测得，则A、B两点间的距离为______． 【答案】24 【分析】本题考查的是三角形中位线定理，熟记三角形中位线等于第三边的一半是解题的关键． 根据三角形中位线定理计算即可． 【详解】解：点P、Q分别为的中点， 是的中位线， ． 故答案为：． 9．（24-25八年级下·辽宁沈阳·期末）如图，某景区要在处架一条钢丝，已知点P，Q分别是的边和的中点，且米，则的长是________． 【答案】20米 【分析】本题考查了三角形的中位线的性质．由三角形的中位线得，即可求解． 【详解】解：点P，Q分别是的边和的中点， 是的中位线， （米）， 故答案为：20米． 10．（24-25八年级下·辽宁大连·期末）如图，某公园有一块三角形空地，点D，E分别是的中点，沿放置一道栅栏把分成两个区域，，则栅栏的长为 ________m． 【答案】3 【分析】本题考查三角形的中位线性质的应用，三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半．由此可解． 【详解】解：点D，E分别是的中点， 是的中位线， ， ． 故答案为：3． 11．（24-25八年级下·辽宁沈阳·期末）如图，平行四边形的对角线、相交于点O，，点E是的中点，连接、，若，下列结论：①；②；③，其中正确的序号为 _________ ． 【答案】①② 【分析】本题考查平行四边形的性质，三角形中位线定理，三角形的面积，等边三角形的判定和性质，判定是等边三角形，得到，，由等腰三角形的性质和三角形的外角性质推出，由平行线的性质得到，由三角形中位线定理推出，即可得到，由三角形面积公式得到． 【详解】解：∵点E是的中点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 故①符合题意； ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵E是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴， ∴， 故②符合题意； ∵， ∴的面积的面积， ∵， ∴的面积的面积， ∴， ∵的对角线互相平分， ∴， ∴， ∴， 故③不符合题意， ∴其中正确的序号为①②． 故答案为：①②． 12．（24-25八年级下·辽宁沈阳·期末）综合与实践 【问题情境】 如图1，在中，对角线与交于点O，，，，点E为的中点，连接并延长，交于点， （1）判断线段与的数量关系，并说明理由； （2）在图1的基础上，若点G是的中点，连接并延长，交于点H，顺次连接E，G，F，H，得到图2，则四边形的形状是______．并说明理由； 【图形变式】 （3）在图2中，隐去线段与，将四边形绕点O顺时针方向旋转，如图3，当点G，H首次分别落在边上时，请直接写出线段的长． 【答案】（1），见解析；（2） 平行四边形，见解析；（3） 【分析】本题是四边形的综合题，考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，三角形的面积的计算，正确地添加辅助线是解题的关键． （1）根据平行四边形的性质得到，，根据全等三角形的性质得到； （2）根据平行四边形的性质得到，，根据全等三角形的性质得到，由知，根据平行四边形的判定定理得到四边形的形状是平行四边形； （3）如图，连接，过点O作于点，则，根据勾股定理得到，根据平行四边形的性质得到，在中，，，根据勾股定理得到，根据三角形中位线定理得到，如图3，在中，，于是得到． 【详解】（1）， 证明：在中，，， ，， ， ； （2）四边形的形状是平行四边形， 理由：在中，，， ，， ， ， 由知， 四边形的形状是平行四边形， 故答案为：平行四边形； （3）如图，连接，过点O作于点，则， 在中，，，， ， ， ， 在中，，， ， 在中，，， ， ， 在图2中，点O，G分别是的中点， 是的中位线． ， 如图3，在中，， ， ． 13．（24-25八年级下·辽宁朝阳·期末）【课本再现】我们把连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线． 下面是三角形中位线的性质及证明三角形中位线定理的两种添加辅助线的方法： 三角形中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半．已知：如图1，在△中，点，分别是，边的中点．求证：，且．    方法一：证明：如图2，延长到点，使，连接，，．    方法二：证明：如图3，取的中点，连接并延长到点，使，连接．    【回顾证法】 （1）请你选择其中一种证法，继续完成证明过程． 【实践应用】 （2）如图4，，两地被池塘隔开，在无法直接测量的情况下，小明通过下面的方法测出了，间的距离：先在池塘外选一点，连接，，然后测出，的中点，，并测出的长度为12米，则，两点间的距离为_____米．   （3）如图5，在四边形中，，，分别是，的中点，连接并延长，分别与，的延长线交于点，，求证：． 【答案】（1）见解析；（2）24；（3）见解析． 【分析】（1）取的中点，连接并延长到点，使，连接，利用全等三角形的判定与性质得到，，利用平行四边形的判定定理得到四边形为平行四边形，利用平行四边形的性质和线段中点的定义得到，，则四边形为平行四边形，利用平行四边形的性质即可得出结论； （2）利用三角形的中位线定理解答即可； （3）连接，取的中点，连接，，利用三角形的中位线定理得到，，，，利用平行线的性质得到，，利用等量代换的性质和等腰三角形的判定定理与性质定理得到，则． 【详解】（1）证明：取的中点，连接并延长到点，使，连接，如图， 是边的中点， ． 在和中，， ∴， ，， ， 为的中点， ， ， 四边形为平行四边形， ∴，， ，， ，， 四边形为平行四边形， ，． 即三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半． （2）解：，分别是，的中点， 为的中位线， （米）． 故答案为：24 （3）证明：如图，连接，取的中点，连接，， 点为的中点，点为的中点， 为的中位线， ，， ， 点为的中点，点为的中点， 为的中位线， ，， ． ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了三角形的中位线定理的证明及其应用，全等三角形的判定与性质，平行线的判定与性质，平行四边形的判定与性质，线段的中点的定义，添加适当辅助线构造全等三角形和平行四边形是解题的关键． 14．（24-25九年级上·辽宁沈阳·期末）【基础探究】 （1）如图1，中，，，点在边上，点在边上，且，，连接，点是的中点，点是的中点，点是的中点，连接，，请直接写出线段与的数量关系； 【变式探究】 （2）如图2，中，，，中，，，，点在内部，且，连接，点是的中点，点是的中点，点是的中点，连接，猜想线段与的数量关系，并说明理由； 【拓展探究】 （3）如图3，中，，，中，，，，点在外部，且，连接，点是的中点，点是的中点，点是的中点，连接， ①求证：； ②猜想线段与的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）；（2），理由见解析；（3）①见解析；②，理由见解析 【分析】（1）连接，根据等腰直角三角形的性质得，再根据得，证明是的中位线，是的中位线，则，，进而得，则是等腰直角三角形，然后由勾股定理可得出线段与的数量关系； （2）连接，，与的延长线交于点M，先证明和全等得，，进而得，则，再证明是的中位线，是的中位线，则 ，， ，进而得，，则是等腰直角三角形，然后由勾股定理可得出线段与的数量关系； （3）①先证明，进而可依据“”判定和全等，然后个根据全等三角形的性质可得出结论； ②连接，设与交于点N，先证和全等得，由此得，证明是的中位线，是的中位线，则，，进而得，则是等边三角形，然后根据等边三角形的性质可得出线段与的数量关系． 【详解】解：（1），理由如下： 连接， ∵在中，， ， ， ， ， ， 点是的中点，点是的中点，点是的中点， 是的中位线，是的中位线， ，，， ， ， ，即， 是等腰直角三角形， 由勾股定理得：． （2），理由如下： 连接，，与的延长线交于点M， ， ， ， ， ∴在和中， ， ，， ， ， 即， 点是的中点，点是的中点，点是的中点， 是的中位线，是的中位线， ， ，， ， ， ，即， 是等腰直角三角形， 由勾股定理得：． （3）①证明：∵，， ∴， ∴， ∴， 在和中 ， ∴， ∴． ②，理由如下： 连接，设与交于点N， 在中，， ， ， ， $ 点是的中点，点是的中点，点是的中点， 是的中位线，是的中位， ， ，， ， ，， 是等边三角形， 【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，三角形中位线定理，平行线的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，理解等腰直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，平行线的性质，熟练掌握三角形中位线定理，全等三角形的判定和性质，灵活运用勾股定理进行计算是解决问题的关键． 考点04 平行四边形与函数结合 1．（24-25八年级下·辽宁阜新·期末）如图，把放在直角坐标系中，其中，，点，的坐标分别是和，将沿轴向右平移，当点落在直线上时，线段扫过的面积为______． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理，平移的性质，坐标与图形的性质，平行四边形的判定和性质，关键是由勾股定理求出的长，由平移的性质判定四边形是平行四边形．由，的坐标，得到，，求出，由勾股定理求出，当时，，求出，得到，求出，因此，由平移的性质判定四边形是平行四边形，得到线段扫过的面积． 【详解】 解：，的坐标分别是和， ，， ∴， ，， ∴， 将沿轴向右平移到，点落在直线上的， ∴， 当时，， ， ∴， ∴， ∴ 由平移的性质得到，， 四边形是平行四边形， 线段扫过的图形是， 线段扫过的面积． 故答案为：． 2．（24-25八年级下·辽宁营口·期末）如图，平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于两点，，点是直线上一动点，将点向左平移1个单位得到点，点，则的最小值为___________． 【答案】 【分析】取点，作点关于直线的对称点，连接，交直线于，连接，作轴于，根据题意就是的最小值，由直线的解析式求得的坐标，进而求得的长，从而求得和，然后根据勾股定理即可求得． 【详解】解：取点，作点关于直线的对称点，连接，交直线于，连接，作轴于， 连接， 根据平移可得，且， ∴四边形和四边形是平行四边形， ∴， ∴， 当点D于于时， 根据对称可得， ∴，即， ∴的最小值为， 由题可知， 令，解得， 则， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了一次函数的性质，轴对称-最短路线问题以及平行四边形的性质、平移的性质，勾股定理的应用，证得是的最小值是本题的关键． 3．（24-25八年级下·辽宁沈阳·期末）直线经过点，与y轴交于点B，与直线交于点C，点C的横坐标为2，点P是直线上的一个动点（点P不与A，B，C重合），过点P作x轴的平行线，交直线于点D，过点P作y轴的平行线，交x轴于点E，设动点P的横坐标为t． (1)求直线的函数表达式； (2)如图1，当点P在线段上时，求的长（用含t的代数式表示）； (3)在点P运动过程中，是否存在某一时刻，使得以A，P，D，E为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题是一次函数的综合，考查了待定系数法求一次函数解析式，平行四边形的判定，分类讨论等知识与思想； （1）由题意可求得点C的坐标为，由待定系数法即可求得直线的函数表达式； （2）由点P的横坐标及点P在直线上，可求得点P的纵坐标，从而求得点D的坐标，即可求得的长； （3）分两种情况考虑：点在射线上；点在射线上；根据平行四边形的判定即可求解． 【详解】（1）解：∵直线与直线交于点C，点C的横坐标为2， ∴把点C的横坐标代入直线中，得， 即点C的坐标为； 设直线的解析式为, 由于直线经过点，点，则有，解得：， ∴， 即直线的解析式为； （2）解：∵点P在线段上，且点P的横坐标为t， ∴点P的纵坐标为，即； ∵轴，且直线解析式为， ∴点的纵坐标为， ∴点的横坐标为， 即， ∴； （3）解：∵轴，即， ∴当时，以A，P，D，E为顶点的四边形是平行四边形； 当点在射线上时，此时且不为6； 与（2）同理得：， ∵ ∴， 解得：或（舍去）， ∴， ∴； 当点在射线上时，且不为0； 由（2）知，，； ，， 则， 解得：， ∴； 综上，或． 4．（24-25八年级下·辽宁营口·期末）如图，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，与正比例函数的图象交于点． (1)求一次函数的解析式； (2)点是正比例函数第一象限内图象上一点，过点作轴的垂线，交轴于点，交直线于点，当时，求点坐标； (3)在坐标平面内，是否存在一点，使点构成一个平行四边形，若存在，请直接写出点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3)或或 【分析】本题考查了一次函数的综合应用，待定系数法求解析式，两直线的交点问题，平行四边形的性质，熟练掌握以上知识是解题的关； （1）将，，代入，待定系数法求解析式，即可求解； （2）设，其中，则，，表示出，根据，建立方程，解方程，即可求解； （3）先求得点的坐标，分三种情况讨论，根据平行四边形的性质以及中点坐标公式，即可求解． 【详解】（1）解：将，，代入得， 解得： ∴ （2）解：设，其中，则， ∴，， ∵， ∴ 解得：或 ∴或 （3）解： 解得： ∴， 设，∵， ①当为对角线时， 解得：，则 ②当为对角线时， 解得：，则 ③当为对角线时，， 解得：，则 综上所述，或或 5．（24-25八年级下·辽宁盘锦·期末）如图，在中，点B在x轴上，直线经过点，且与x轴交于点C，直线与x轴相交于点B，与相交于点D． (1)求直线的表达式 (2)在y轴上是否存在一点E，使是等腰三角形，若存在，求出点E坐标：若不存在，请说明理由； (3)点P在直线上，点Q在直线上，当点O，D，P，Q为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出点Q的坐标． 【答案】(1) (2)或或或 (3)存在，或 【分析】（1）由直线：经过点，再利用待定系数法可得答案； （2）设，先求解，可得，，，结合是等腰三角形，再分类讨论即可； （3）如图，设，，当为对角线时，如图，当为对角线时，如图，当为对角线时，再利用平行四边形的性质建立方程求解即可； 【详解】（1）解：∵直线：经过点， ∴， 解得：， ∴直线为； （2）解：如图，设， ∵， 解得：， ∴， ∴，，， ∵是等腰三角形， 当时，， 解得：， ∴或， 当时，， 解得：， ∴， 当时，， 解得：（舍去），， ∴， 综上：或或或； （3）解：如图，∵点P在直线上，Q在直线上， ∴设，， 当为对角线时， ∴， 解得：， ∴； 如图，当为对角线时， ∴， 解得：， ∴； 如图，当为对角线时， ∴， 解得：， ∴， 综上：或． 【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解一次函数的解析式，勾股定理的应用，等腰三角形的性质，平行四边形的性质，一次函数的几何应用，清晰的分类讨论是解本题的关键. 6．（24-25八年级下·辽宁抚顺·期末）定义：函数(且)和函数互为“逆反函数”．例如：和互为“逆反函数”．如图1，一次函数：的图象分别交轴、轴于点、． (1)请写出一次函数的“逆反函数”的解析式 ；点在的函数图象上，则的值是 ． (2)如图1，点是一次函数图象上一点，又是它的“逆反函数”图象上的点． ①求的面积； ②若点为平面直角坐标系第四象限内一点，是否存在以点、、、为顶点的平行四边形，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． (3)函数和它的“逆反函数”，组合成新的函数．当时，函数的最大值与最小值的差为． ①时，求的值； ②时，求的值； ③时，求的值． 【答案】(1)， (2)①；②存在， (3)①；②；③ 【分析】本题考查一次函数与几何综合，熟练掌握一次函数的图象及性质，平行四边形的性质，理解定义是解题的关键． （1）根据定义直接求出的解析式为，再将点代入该解析式即可求的值； （2）①求出，，再求的面积即可； ②设，且，，根据平行四边形的对角线分三种情况讨论即可； （3）①时，当时，根据题意得，求得； ②时，当时，根据题意得，求得； ③当时，当时，根据题意得，求得． 【详解】（1）解： 中，， ∴函数的“逆反函数”的解析式为， ∵点在的函数图象上， ， 解得， 故答案为：，； （2）①点是两个函数的交点， ， 则，， 点； ：，当时，， ， ， ， . ②存在，如图，过点向右作线段，使且. ∵且， 四边形是平行四边形， ， 点向右平移个单位得到点， ， . （3）①当时，根据题意， 当时，取得最大值，， 当时，取得最小值，， ，解得. ②当时，根据题意， 当时，取得最大值，， 当时，取得最小值，， ，解得. ③当时，根据题意， 当时，取得最大值，， 当时，取得最小值，， ，解得. 7．（24-25八年级下·辽宁盘锦·期末）已知关于的一次函数，当时，我们称一次函数为“新函数”，一次函数为“新函数”的“关联函数”．“新函数”的图象记为直线，它的“关联函数”的图象记为直线． 例如：“新函数”的“关联函数”为． (1)直接写出“新函数”的“关联函数”表达式； (2)请说明：直线，直线与y轴的交点是同一个点； (3)如图，若“新函数”的表达式为，点在直线上，点在直线上，轴，，求点的坐标； (4)“新函数”的表达式为．若直线，直线与轴围成的图形面积为9，点在直线上，过作轴交直线于点，过作轴交直线于点，过作轴交直线于点，连接．设点的横坐标为，四边形的周长为，直接写出关于的函数表达式． 【答案】(1) (2)见解析 (3)点A的坐标为或 (4) 【分析】本题属于一次函数的综合题，平行四边形的判定与性质，涉及一次函数的图象与性质，一次函数图象上点的坐标特点，熟练掌握相关知识点是解决本题的关键． （1）直接根据“新函数”写出表达式即可； （2）求出“新函数”与它的“新函数”与y轴的交点即可； （3）先求出直线，直线的交点为，当点A在点B上面时，当点A在点B的下面时，分别求解即可； （4）先求出“新函数”表达式为，它的“关联函数”表达式为，再证明四边形为平行四边形即可． 【详解】（1）解：根据“新函数”的“关联函数”的定义可知： “新函数”的“关联函数”为； （2）在“新函数” 中，令，则， ∴直线与y轴交点为， 在它的“关联函数”中，令x=0，则， ∴直线与y轴交点为， ∴直线，直线与y轴的交点为同一个点； （3）“新函数”的表达式为， “关联函数”的表达式为， 令，则， ∴直线，直线的交点为， ∵点在直线上， ∴设 ∵点B在直线上， 当点A在点B上面时， 轴， ， ， ， 当点A在点B的下面时， ， 综上所述，点A的坐标为或； （4）①∵“新函数”的表达式为 ∴它的“关联函数”为， 令， ， ∴直线，直线交点为， 如图，则 ，，， ，即， ， ∴“新函数”的表达式为，它的“关联函数”表达式为， ，轴交于点F， ， ， ， 轴， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 轴， ， ， 又，轴， ， ∴四边形为平行四边形， ． 【点睛】本题属于一次函数的综合题，平行四边形的判定与性质，涉及一次函数的图象与性质，一次函数图象上点的坐标特点，熟练掌握相关知识点是解决本题的关键． 8．（24-25八年级下·辽宁沈阳·期末）已知和都是关于自变量的函数，若当时，（，为常数），当时，（，为常数），此时，函数的图象与函数的图象互相垂直，则称函数为函数的“垂直函数”． (1)请直接写出函数的“垂直函数”的函数表达式并写出自变量的取值范围； (2)如图，函数和它的“垂直函数”组成的图象记为，图象与轴交点记为点，线段的两个端点坐标分别为，． ①当图象与线段有两个公共点时，求的取值范围； ②如图，分别过两点作轴的平行线交图象于点，连接，当以，，，四个点为顶点的四边形是平行四边形时，求这个平行四边形的面积； ③如图，连接，当的值最大时，直接写出的值． 【答案】(1) (2)①；②；③ 【分析】（）根据“垂直函数”的定义解答即可； （）①根据“垂直函数”的定义求出，再利用待定系数法求出的解析式，分别联立和的解析式，联立和的解析式，根据的取值范围求出的取值范围，再求出直线经过点时的值，根据图象与线段有两个公共点可求出的取值范围；②根据平行线的性质可得点横坐标为，点横坐标为，即得，，得到，，再利用平行线的性质求出的值即可求解；③，作点关于轴的对称点，连接交轴于点，连接，则，，，利用轴对称的性质可得，可知当点在点位置，即点三点共时，的值最大，利用待定系数法求出直线的解析式，进而求出点的坐标，再代入解答即可求解； 本题考查了一次函数的新定义，一次函数的几何应用，平行四边形的性质等，理解一次函数的新定义是解题的关键． 【详解】（1）解：∵函数， ∴，， ∴函数的“垂直函数”的函数表达式为； （2）解：①∵函数， ∴函数和它的“垂直函数”， 当与线段有交点时， 设的解析式为，把，代入得， ， 解得， ∴的解析式为， 由，得， ∴， ∵， ∴， 解得； 由，得， ∴， ∵， ∴， 解得； 把代入，得， ∴， 即直线经过点时， ∵要使图象与线段有两个公共点， ∴， ∴的取值范围为； ②如图，∵，，平行于轴， ∴点横坐标为，点横坐标为， 把代入，得， ∴点， 把代入，得， ∴， ∴，， ∵四边形是平行四边形， ∴， 即， 解得， ∴， ∵的水平距离为， ∴平行四边形的面积为； ③如图，作点关于轴的对称点，连接交轴于点，连接，则，，， ∴ 又∵， ∴当点在点位置，即点三点共时，的值最大， 设直线的解析式为，把和代入得， ， 解得， ∴直线的解析式为， ∴， 把代入，得， ∴． 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $