专题05 分式与分式方程（期末真题汇编，辽宁专用）八年级数学下学期北师大版

**基本信息** 辽宁多市初中数学期末试题汇编，聚焦分式与分式方程专题，涵盖7大核心考点，基础巩固与综合应用分层设计，适配八年级期末复习需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择/填空|约40题|分式有意义条件、基本性质、运算|基础题占比大，如分式有意义的取值范围判断| |解答题|约30题|化简求值、含参问题、实际应用|结合文化（《四元玉鉴》）与生活（环保、购物）情境，如分式方程解工程问题|

命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题05 分式与分式方程 ☆高频烤点概览 考点01分式有意义、无意义、值为零条件求值 考点02分式基本性质变形、约分通分 考点03分式与分式方程的运算 考点04分式的化简求值 考点05根据分式方程根的情况求字母含参数 考点06分式方程的实际应用 考点07分式及分式方程的其他应用 目目 考点01 分式有意义、无意义、值为零条件求值 1.(24-25八年级上辽宁大连期末)使分式有意义的实数a的取值范围是（) A.a≠3 B.a≠-3 C.a≠5 D.a23 2.(24-25八年级上辽宁盘锦期末)若分式有意义，则a的取值范围是() A.a≠1 B.a≠0 C.a≠-1 D.a=1 3.(24-25八年级上·辽宁大连期末)下列分式中，无论x取何实数，分式总有意义的是（) A. B.I C.六 D.4 4.(2425八年级上辽宁大连期末)若分式器有意义，则x的取值范围是() A.x≠5 B.X≠-胃 C.x≠-号且x≠-5 D.x≠-号或x≠-5 5.(24-25八年级下·辽宁抚顺期末)函数y=是中的自变量x的取值范围是() A.x>0 B.x≤5 C.x>0且x≠5 D.x≠0 6.(24-25八年级下辽宁丹东期末)若分式二台有意义，则x的取值范围为( ) A.x≠士1 B.x=士1 C.x≠1 D.x=1 7.(2425八年级下辽宁辽阳期末)若分式有意义，则x满足的条件是 8.(24-25八年级上辽宁抚顺期末)要使分式x是有意义，则x的取值应满足 9.(24-25八年级上辽宁大连期末)若分式马有意义，则字母x满足的条件是 10.(24-25八年级上辽宁大连期末)分式告有意义，则x的取值范围是 11.(24-25八年级下辽宁鞍山期末)使一在实数范围内有意义的x的取值范围是 1/11 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 12.(24-25八年级下·辽宁朝阳期末)已知当x=1时，分式没有意义；而当x=2时，该分式值为0， 则代数式(a-b)2020= 目目 考点02 分式基本性质变形、约分通分 1.(24-25八年级下·辽宁沈阳·期末)下列各式从左到右变形正确的是() A.景=-景B.=青 C.=x-3 D.()=器 2.(24-25八年级上辽宁大连期末)如果把号中的x与y都封扩大为原来的2倍，那么这个代数式的值() A.不变 B.缩小为原来的与 C.扩大为原来的2倍 D.扩大为原来的4倍 3.(24-25八年级下·辽宁阜新期末)若a≠b,则下列分式化简正确的是() A.=君 B.=君 C.器= D.=8 2x-y 4.(24-25八年级下·辽宁丹东期末)要将分式4化成最简分式，应将其分子分母同时约去的公因式为() A.2 B.2x C.x2y D.2x2y 5.(24-25七年级上·辽宁大连期末)若a≠b,则下列化简一定正确的是() A.=君B.= c.= D.器= 6.(24-25八年级上·辽宁大连期末)下列是最简分式的是() A.部器 B.燕 c.6 D. 9a246ab+b8 3a+b 7.(24-25八年级上辽宁大连期末)把分式x+中的x、y的值同时扩大为原来的3倍，则分式的值() A.不变 B.原来的3倍 C.原来的倍 D.原来的 8.(24-25八年级上·辽宁铁岭期末)下列各式中，正确的是() A.26=2 b B.名= C.-二=Ψ D.=诗 9.(24-25八年级上辽宁大连期末)下列式子中，属于最简分式的是() A. B.蹭 C.42+b a2-b2 D.atab ab 10.(2425八年级下辽宁偏州期未)分式器化简的结果为 2/11 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 目目 考点03 分式与分式方程的运算 1.(24-25八年级上辽宁葫芦岛期未)解分式方程品=是时，去分母后正确的是() A.2x+3(x-3)=0 B.3x=2(x-3) C.3x+2(x-3)=0 D.2x=3(x-3) 2.(24-25八年级下辽宁沈阳期末)分式方程的+器=1的解为 3.(2425八年级下辽宁沈阳期末)计算三-马的结果是 4.(24-25八年级上辽宁营口期末)分式方程安=弓的解是 5.(24-25八年级下辽宁阜新期末)解分式方程：器=芒告-3 6.(24-25八年级上辽宁盘锦期末)(1)计算：(2a-1)2-(3a-1)(3a+1): (2)解方程：4+=1. 7.(2425八年级上辽宁铁岭期末)解方程：是-之=二2 8245八年绿上辽宁证用携未利计笑：N5-2+(-)2-(202-号)°+扁 (2)解方程：高-1=惡 9.(24-25八年级上·辽宁盘锦期末)计算： (1)6x2y-2xy+y)÷xy2 a÷(1-品)】 10.(24-25八年级下辽宁沈阳期末)(1)解分式方程：产一1=24 (2)计算：（器-x)÷4 1.(2425八年级上辽宁抚颗期末)(1)计算：(+吉)2÷（京-寺） (2)解方程：器-=1 12.(24-25八年级上辽宁大连期末)(1)计算：(x+2-点)·是÷号： (2)解分式方程：=是 13.(24-25八年级上·辽宁大连期末)计算： 3/11 命学科网 www.zx×k.com 让教与学更高效 器+： ②（点-马）÷ 14.(24-25八年级上辽宁铁岭期末)解下列分式方程： 0⑩商=+1 2)舜-=2 15.(24-25八年级上辽宁大连期末)化简和解分式方程： ()(a+1)2-2(a+1)(a-3)+(a-3)2; 2)+1=品 目目 考点04 分式的化简求值 1.(2425八年级下辽宁丹东期末)先化简，再求值：（音-1）÷品，其中x=3. 2.(2425八年级下辽宁锦州期末)先化简，再求值：是÷(1-寺)，其中a=-3 3.(24-25八年级下辽宁沈阳期末)先化简，再求值：(1-是)÷，其中a=3. 4.(2425八年级上辽宁大连期末)先化简，再求值：6×÷器，其中a=1 16-a2 5.(2425八年级上辽宁大连期末)先化简，再求值：21÷(m-),其中m=-2 2-m 6.(2425八年级上辽宁大连期末)先化简，再求值：÷品-音，其中x=-2, 7.(24-25八年级下·辽宁朝阳期末)先化简，再求值： (+)÷普，其中a=2. 8.(24-25八年级下·辽宁大连期末)计算. 1W24×信+(1-V2)÷2 2)当a=V2时，求(a+1-寻)÷马的值. 9.(2425八年级下辽宁丹东期末)先化简再求值：（学-a+1)÷名，其中a=3: 10.(24-25八年级下-辽宁沈阳期末)先化简：（告-a+1)÷号，再从-1<a<3中选出一个合适 的整数a的值，代入求值. 4/11 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 11.(2425八年级下辽宁沈阳期末)先化简：÷时品-若，再从-2，-1,0,2,3这五个数 中选择一个合适的数代入求值， 12.(24-25八年级上辽宁大连期末)先化简，再求值： 学÷器-器，其中x=2 13.(2425八年级上辽宁大连期末)先化简，再求值：（苦+1）÷品，其中a=3 14.(24-25八年级上·辽宁鞍山期末)如图，某同学进行分式化简求值的部分运算过程如下： 先化简，再求值：气+1，其中x=■ 解：原式=气·(x-4)+(x-4)① =3-x十x-4.② =-1 回答问题： ()上面的运算过程中第 步出现了错误； (②)上面运算过程出现了错误，但最后所求的值是正确的，求图中x的值. 15.(24-25八年级上辽宁大连期末)阅读理解 [提出问圈]已知号=号=号，求分式器的值： [分析问题本题己知条件是连等式，因此可用设参数法，即设出参数t,得出α，b,c与t的关系，然后再 代入待求的分式化简即可； ()[解决问题]设号=号=号=t,则a=3t,b=5t,c=2t,将它们分别代入器中并化简，可得分式 a-3b 器的值为一； 、y2-3xy-z2 (2[拓展应用已知等=一号=号，求分式4+2z的值。 目目 考点05 根据分式方程根的情况求字母含参数 1.(24-25八年级下辽宁阜新期末)若关于x的分式方程音+3=兴的解为正数，则m的取值范围是() A.m<3 B.m>3 C.m<3且m≠-1 D.m>3且m≠-1 2.(24-25八年级下辽宁朝阳期末)若分式方程弓=的解为正数，则k的取值范围为() A.k>-6B.k<6 C.k<6且k≠4D.k>-6且k≠-4 5/11 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 3.(24-25八年级下辽宁丹东期末)若关于x的分式方程兴+马=1有增根，则m的值为(） A.-1 B.1 C.-3 D.3 4.(24-25八年级下辽宁朝阳期末)若方程2+3=答有增根，则a的值为 5.(24-25八年级下辽宁辽阳期末)关于x的方程x产一3=碧有增根，则m的值为一. 6.(24-25八年级下辽宁丹东期末)若关于x的分式方程=马有增根，则实数m的值为 7.(24-25八年级上辽宁盘锦期末)若关于x的方程器=4-受无解，则m的值为 8.(24-25八年级上辽宁葫芦岛期末)已知关于x的分式方程学=景+2与马=景的解相同，则m的值 是 目目 考点06 分式方程的实际应用 1.(24-25八年级下·辽宁丹东期末)《四元玉鉴》全中国古代著名的数学专著，书里记载一道这样的题：“今 有绫、罗共三丈，各值钱八百九十六文.只云绫、罗各一尺共值钱一百二十文，问绫、罗尺价各几何？”（题 目译文是：现在有绫布和罗布，布长共3丈(1丈=10尺)，已知绫布和罗布分别全部出售后均能收入896 文；绫布和罗布各出售1尺共收入120文.问两种布每尺各多少钱？若设绫布有x尺，根据题意可列方程是 () A.-120=婴9 B.2=120+8婴9 C.+盟=120 D.婴+鹏=120 2.(24-25八年级上·辽宁大连期末)甲、乙两同学分别去文具店买硬皮本与软皮本.已知硬皮本价格是软 皮本价格的1.5倍，乙同学花40元买软皮本比甲同学花72元买硬皮本少买4本.若设软皮本单价是x元， 则下列方程正确的是() A.努-0=4 B.张-9=4 C.齐-努=4 D.9-张=4 3.(24-25九年级上·辽宁本溪·期末)我国已经成为全球最大的电动汽车市场，电动汽车在环保，节能等方 面较传统汽车都有明显优势.经过对某款电动汽车和某款燃油汽车对比调查发现，电动汽车平均每公里的 充电费比燃油汽车平均每公里的加油费少0,4元.若充电费和燃油费均为300元时，电动汽车可行驶的总路 程是燃油汽车的3倍，求这款电动汽车平均每公里的充电费用是多少？若设这款电动汽车平均每公里的充 6/11 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 电费用是x元，则下列正确的是() A.=0×3 B.9=品×3 C.9×3=9 D. 9×3=9 4.(24-25八年级上·辽宁葫芦岛期末)两个工程队共同参与一项工程，若由甲工程队单独施工，则恰好能 在规定的时间内完成，若由乙工程队单独施工，则需要的时间是甲工程队的2倍.己知甲、乙两个工程队 先合作10天，余下的任务由甲工程队单独完成仍需要5天，求甲工程队单独完成此项工程需要多少天？设 甲工程队单独完成此项工程需要x天，根据题意可列方程为() A.(安+奈)×10+景=1 B.9+装=1 C.(京+会)×5+9=1 D.(安+会)×15+京=1 5.(24-25八年级下辽宁朝阳·期末)《九章算术》中记录有这样一道题：今有驿使乘快马、慢马行九百里.慢 马较限期多一日，快马较限期少三日，且快马之速为慢马二倍.问限期几何？原题译成白话文：现在有驿 使骑着快马和慢马行进九百里，慢马比规定时间多用1天，快马比规定时间少用3天，且快马的速度是慢 马的2倍.问规定的时间是多少天？设规定的时间为x天，可列分式方程· 6.(24-25八年级下·辽宁沈阳·期末)随着人们环保意识的增强，混动汽车也成了广大消费者的宠儿.某品 牌油电混合动力汽车从甲地行驶到乙地，若完全用油做动力行驶，则费用为70元；若完全用电做动力行驶， 则费用为30元，已知汽车行驶中每千米用油费用比用电费用多0.4元.求汽车行驶中每千米用电费用是多 少元？甲、乙两地的距离是多少千米？ 7.(24-25八年级下·辽宁丹东·期末)4月23日是世界读书日，为激发学生的阅读热情，弘扬和传承中华优 秀传统文化，某中学计划用3000元购买一批图书用于图书馆更新.实际购买时，书店推出优惠活动：每本 图书的价格是原来价格的倍，则学校可以用相同预算比原计划多买25本.求原计划每本图书的价格是多 少元？ 8.(24-25八年级下·辽宁沈阳期末)甲、乙两人加工同一种零件，甲比乙每小时多加工10个这种零件，甲 加工150个这种零件所用的时间与乙加工120个这种零件所用的时间相等，求乙每小时加工多少个这种零 件？ 9.(24-25八年级下·辽宁锦州期末)某城市的一条主干道排水管道改造工程由甲、乙两个工程队承担.已 知甲工程队每天改造管道的长度是乙工程队的1.2倍，甲工程队改造720米管道所用的天数比乙工程队改造 300米管道所用的天数多6天.求乙工程队每天改造多少米管道？ 10.(24-25七年级上·辽宁大连·期末)AB两种型号机器人搬运原料，己知A型机器人比B型机器人每小时 7/11 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 多搬运20kg,A型机器人搬运1000kg所用时间与B型机器人搬运800kg所用时间相等，这两种机器人每 小时分别搬运多少原料？ 11.(24-25八年级下·辽宁沈阳·期末)某文具店用900元购进甲品牌文具盒的数量比用600元购进乙品牌文 具盒的数量多10个，其中甲品牌文具盒每个进价是乙品牌文具盒每个进价的12倍. ()求甲，乙两种品牌文具盒每个进价各是多少元？ (2)已知甲品牌文具盒每个售价为23元，若使这批文具盒全部售完后利润不低470元.乙品牌文具盒每个售 价至少是多少元？ 12.（24-25八年级下·辽宁丹东期末)“读书不觉已春深，一寸光阴一寸金”，每年4月23日是世界读书日， 某社区为丰富居民的文化生活购进了一批图书.已知用260元购买科普读物的数量是用150元购买文学类 书籍数量的2倍，其中文学类书籍的单价比科普读物的单价多4元. (1)求文学类书籍的单价是多少元？ (2)该社区准备购进两种图书共100册，总费用不超过2840元，则该社区最多购进文学类书籍多少册？ 13.(24-25八年级下·辽宁本溪·期末)“绿水青山就是金山银山”，人们对生态环境的保护意识不断提高.某 园区开展植树护林活动，据了解A种树木的单价比B种树木的单价多8元，且用400元购买A种树木的数 量与用240元购买B种树木的数量相同， (1)求A、B两种树木的单价； (②)若该园区计划购买A,B两种树木共100棵，总费用不超过1600元，最多需要购买A种树木多少棵？ 14.（24-25八年级下·辽宁沈阳期末)为了加强学生的体育锻炼，某班计划购买部分绳子和实心球，已知每 条绳子的价格比每个实心球的价格少23元，且84元购买绳子的数量与360元购买实心球的数量相同. (1)绳子和实心球的单价各是多少元？ (②)如果本次购买的总费用不超过510元，且购买绳子的数量是实心球数量的3倍，那么绳子最多能购买多 少条？ 15.(24-25八年级上·辽宁大连·期末)2024年中央一号文件强调“强化农业科技支撑”.为充分发挥科技生产 力对农业发展的作用，某地与农业大学合作开发小麦试验田，并利用机械化播种、收割小麦， am (a1)m (I)现有A,B两种小麦播种机，A型播种机比B型播种机每小时多播种3hm2,A型播种机播种90hm所用 时间与B型播种机播种60hm所用时间相等，两种播种机每小时分别播种多少hm小麦？ 8/11 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (②)如图，“丰收1号”小麦的试验田是边长为am(a>1)的正方形去掉一个边长为1m的正方形蓄水池后余下 的部分.“丰收2号”小麦的试验田是边长为(a一1)m的正方形.两块试验田的小麦都收获了500kg. ①哪种小麦的单位面积产量高？ ②请直接写出高的单位面积产量是低的单位面积产量的 倍（用含a的代数式表示）： (3)一台小麦收割机的工作效率相当于一个农民工作效率的150倍，用这台收割机收割10hm2小麦比100个 农民人工收割这些小麦要少用1h,这台收割机每小时收割多少hm小麦？ 目目 考点07 分式及分式方程的其他应用 1.(2425八年级下辽宁阜新期未)已知层-子=3，则高器 2.(24-25八年级下辽宁沈阳期末)若a-2b=0,且a≠0，则分式号的值为 3.(24-25八年级上辽宁大连期末)若a十b=6,ab=4,则唱+号= 4.(24-25八年级上辽宁大连期末)定义新运算：a⊕b=言+言，若a⊕(-b)=3,则2的值是 5.(24-25八年级上辽宁鞍山期末)已知a,b,c,d为四个不为零的数，且满足君=台： (1)请举出满足条件的a,b,c,d的数： (2)利用(1)中的数判断分式与的数量关系，并证明结论. 6.(24-25八年级上·辽宁大连期末)【阅读材料】 要想比较a和b的大小关系，可以进行作差法，若a-b>0,则a>b;若a一b<0,则a<b;若 a-b=0,则a=b. 【学以致用】 (1)若a≠1，比较a2与2a-1的大小，并说明理由； 1 1 (2)若x为全体实数，比较x42+与2x4+1西的大小. 2m-4 m 1m- 甲 11m-2 【拓展延伸】 (3)如图，甲、乙两块长方形小麦试验田，甲小麦试验田的相邻两边长分别为(-1)米，(2m一4)米， 9/11 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 乙小麦试验田的相邻两边长分别为m米，(m-2)米，其中m>2.两块试验田的小麦都收获了500千克. ①哪块试验田的小麦单位产量高？请说明理由： ②高的单位面积产量是低的单位面积产量的多少倍？（用含m的代数式表示） 7.(24-25八年级上·辽宁大连·期末)分式中，在分子、分母都是整式的情况下，如果分子的次数低于分母 的次数，称这样的分式为真分式，例如：分式幸，器是真分式.如果分子的次数不低于分母的次数，称 这样的分式为假分式.例如：器=2器空-2型-祭=2x-2空2-2x一2+品. +1 +1 十1 ()将假分式告化为一个整数与一个真分式的和； (2)若x是整数，且假分式的值为正整数，求x的值： (3)若假分式4化为一个整式与一个真分式的和的形式为A+言，4，B均为关于x的多项式，若 A=4a-9,B=b-10,求a2+b2+ab的最小值. 8.(24-25八年级上辽宁大连期末)【类比学习】 在数学的奇妙世界里，分式与分数有着紧密的联系，就像我们从分数的基本性质类比出分式的基本性质一 样，分数的大小比较的方法也能给分式的大小比较带来启发.我们知道在分数中，当分子和分母都大于0 时，有： 1.当分子相同时，分母越小，分数的值越大.如号<： 2.当分母相同时，分子越大，分数的值越大.如号<； 3.当分子、分母都不相同时，一般来说，分子越大且分母越小，分数的值越大. 例如：从3、5、7中选两个数组成分数，子是最大的，它的分子是所选数字中的最大数，分母是所选数字中 的最小数 【问题呈现】 小明和小强一起做分式的游戏，他们各自有三张牌，如下图所示.小明的牌分别是x十1、x十3、x十5， 小强的牌分别是x-1、x-3、x-5.他们各自选两张牌组成分式，并且约定x是大于5的正整数，然后 比较他们组成的分式值的大小，值大者胜。 小明 小强 x+1 x+3 x+5 (1)小明组成的分式中值最大的分式是 10/11 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 小强组成的分式中值最大的分式是 (②)小强思考了一下说：“虽然我是三张带减号的牌，但最终我一定是胜者”，小强说的有道理吗？请你通过计 算加以证明 9.(24-25八年级上·辽宁大连期末)综合与探究 我们把形如x+驶=a十b(a,b不为零)，且两个解分别为x1=a,x2=b的方程称为十字分式方程”. 例：x+是=4为十字分式方程”，可化为x+餐=1+3，“x1=1,x2=3 x-是=2为十字分式方程”可化为x+-4=(-2)+4,X1=-2,x2=4. 应用上面的结论，解答下列问题： ()若x+景=一7为“十字分式方程”，则x1=；x2= (2)若十字分式方程，x一=一3的两个解分别为x1=mx2=n求贵+晋的值； (3)若关于x的“十字分式方程x-202=024逖=2025k-2028的两个解分别为x1,X2(k>2,且 +3 x>2,求转的值。 11/11 专题05 分式与分式方程 高频考点概览 考点01分式有意义、无意义、值为零条件求值 考点02分式基本性质变形、约分通分 考点03分式与分式方程的运算 考点04分式的化简求值 考点05根据分式方程根的情况求字母含参数 考点06分式方程的实际应用 考点07分式及分式方程的其他应用 考点01 分式有意义、无意义、值为零条件求值 1．（24-25八年级上·辽宁大连·期末）使分式有意义的实数a的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查分式有意义的条件，熟练掌握分母不为零的条件是解题的关键．根据分母不为零的条件进行解题即可． 【详解】解：要使分式有意义，分母不为零， 即， 解得． 故选：B． 2．（24-25八年级上·辽宁盘锦·期末）若分式有意义，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查分式有意义的条件，解题的关键是掌握分式有意义的条件：分母不等于零． 根据分式有意义的条件求解即可． 【详解】∵式子有意义， ∴， 解得： 故选：A． 3．（24-25八年级上·辽宁大连·期末）下列分式中，无论x取何实数，分式总有意义的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了分式有意义的条件，当分母不等于零时，分式有意义；当分母等于零时，分式无意义．分式是否有意义与分子的取值无关． 【详解】解：A．当时，无意义，故不符合题意；     B．当时，无意义，故不符合题意；     C．当时，无意义，故不符合题意； D．无论x取何实数，总有意义，故符合题意； 故选D． 4．（24-25八年级上·辽宁大连·期末）若分式有意义，则x的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．或 【答案】B 【分析】本题考查了分式有意义的条件，熟练掌握分式有意义的条件是解题的关键．分式有意义的条件是分母不为零．根据分式有意义的条件，得到，即可求得答案． 【详解】解：分式 有意义， 分母 ， ， ． 故选：B． 5．（24-25八年级下·辽宁抚顺·期末）函数中的自变量x的取值范围是（   ） A． B． C．且 D． 【答案】D 【分析】本题考查了分式有意义的条件，分母不能为零，确定自变量的取值范围． 【详解】解：函数中，分母为．因为分式的分母不能为零，所以．因此，自变量的取值范围是“所有实数，且不等于0”， 故选：D． 6．（24-25八年级下·辽宁丹东·期末）若分式有意义，则的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了分式有意义的条件．要使分式有意义，分式的分母不能为0，即，解得的取值范围． 【详解】解：根据题意得： 解得：． 故选：C． 7．（24-25八年级下·辽宁辽阳·期末）若分式有意义，则满足的条件是______． 【答案】 【分析】本题考查了分式有意义的条件，熟练掌握分式有意义的条件为分母不等于零是解题的关键．直接根据分式有意义的条件进行计算即可． 【详解】解：根据题意得：， 解得：， 故答案为：． 8．（24-25八年级上·辽宁抚顺·期末）要使分式有意义，则的取值应满足______． 【答案】 【分析】本题考查分式有意义的条件，根据分式有意义的条件列不等式求解．理解分式有意义的条件（分母不能为零）是解题关键． 【详解】解：由题意可得：， 解得：， 故答案为：． 9．（24-25八年级上·辽宁大连·期末）若分式有意义，则字母满足的条件是______． 【答案】 【分析】本题考查了分式有意义的条件，解题的关键是明确分式的分母不能为零． 根据分式有意义的条件，确定分母不为零的情况，从而得出的取值范围． 【详解】要使其有意义，则有， 解得． 故答案为：． 10．（24-25八年级上·辽宁大连·期末）分式有意义，则的取值范围是_____． 【答案】 【分析】本题考查了分式有意义的条件，分式有意义则分母不能为． 根据分式有意义的条件得出，计算即可得到答案． 【详解】解：分式有意义， ， 故答案为： ． 11．（24-25八年级下·辽宁鞍山·期末）使在实数范围内有意义的的取值范围是_____． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式和分式有意义的条件，熟练掌握二次根式和分式有意义的条件是解题的关键． 根据二次根式和分式有意义的条件，即可求解． 【详解】解：根据题意得：且， 解得：， 即在实数范围内有意义的的取值范围是． 故答案为：． 12．（24-25八年级下·辽宁朝阳·期末）已知当时，分式没有意义；而当时，该分式值为，则代数式_____． 【答案】 【分析】本题考查分式无意义的条件，分式的值为零的条件，解题的关键是掌握：①分式无意义的条件：分式的分母等于零；②分式的值为零的条件：分子等于零且分母不等于零．据此列式分别求出，的值，再代入计算即可． 【详解】解：∵当时，分式， 此时分式没有意义， ∴， 解得：， ∵当时，分式， 此时分式的值为， ∴且， 解得：，， ∴，， ∴． 故答案为：． 考点02 分式基本性质变形、约分通分 1．（24-25八年级下·辽宁沈阳·期末）下列各式从左到右变形正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查分式的乘除法，分式的基本性质，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．利用分式的乘除法则及性质逐项判断即可． 【详解】解：A、，则A不符合题意， B、是最简分式，则B不符合题意， C、，则C不符合题意， D、，则D符合题意， 故选：D 2．（24-25八年级上·辽宁大连·期末）如果把中的x与y都扩大为原来的2倍，那么这个代数式的值（    ） A．不变 B．缩小为原来的 C．扩大为原来的2倍 D．扩大为原来的4倍 【答案】C 【分析】本题考查了分式的基本性质，根据分式的基本性质进行计算即可解答． 【详解】解：由题意得：， ∴如果把中的x与y都扩大为原来的2倍，那么这个代数式的值扩大为原来的2倍， 故选：C． 3．（24-25八年级下·辽宁阜新·期末）若，则下列分式化简正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查分式的基本性质，解题的关键是掌握分式的基本性质．根据分式的基本性质，观察各选项可得答案． 【详解】解：A．，分子分母同时减去2，不符合分式基本性质，例如，取，，左边为，右边为，不相等，故A错误； B．．分子分母同时加上，若，分式值改变．例如，取，，，左边为，右边为，不相等，故B错误． C．．分子分母同时除以2，根据分式的基本性质，分式值不变，故C正确． D．．分子分母需同时开平方才能得到，但分式化简不涉及开方操作，例如，取，，左边为，右边为，不相等，故D错误； 故选：C． 4．（24-25八年级下·辽宁丹东·期末）要将分式化成最简分式，应将其分子分母同时约去的公因式为（　　） A．2 B．2 C． D．2 【答案】D 【分析】本题考查的是最简分式的概念、公因式的概念，各项都含有一个公共的因式，叫做这个多项式各项的公因式．找出分子、分母的公因式即可． 【详解】解：， 则将化成最简分式，应将分子分母同时约去的公因式为, 故选：D． 5．（24-25七年级上·辽宁大连·期末）若，则下列化简一定正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了分式的基本性质：分子分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变，据此即可得出答案． 【详解】解：选项A、B、C均不符合分式的基本性质，无法直接化简，只有选项D符合这一性质，分子分母同时除以2，分式的值不变，因此可以化简为， 故答案为：D． 6．（24-25八年级上·辽宁大连·期末）下列是最简分式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了分式的化简、最简分式，要想化简分式，先把分子分母分别因式分解，把分子分母的公因式消掉即可；解决此题的关键是会正确的分解因式． 【详解】解：，不是最简分式，故选项A不符合题意； 是最简分式，故选项B符合题意； ，不是最简分式，故选项C不符合题意； ，不是最简分式，故选项D不符合题意； 故选：B． 7．（24-25八年级上·辽宁大连·期末）把分式中的、的值同时扩大为原来的3倍，则分式的值（   ） A．不变 B．原来的3倍 C．原来的倍 D．原来的 【答案】B 【分析】本题考查分式的基本性质．利用分式的基本性质即可求得答案． 【详解】解：把分式中的、的值同时扩大为原来的3倍可得 ， 即分式的值为原来的3倍， 故选：B． 8．（24-25八年级上·辽宁铁岭·期末）下列各式中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了分式的性质，根据分式的性质逐项判断即可求解． 【详解】解：A、等号右边分子分母同时乘以，得左边，故A错误，不合题意； B、分式的分子分母同时加一个非零的数，得到的分式值与原分式不一定相等，故B错误，不合题意； C、，故C错误，不合题意； D、分子分母同时乘以，即，故D正确，符合题意． 故选：D 9．（24-25八年级上·辽宁大连·期末）下列式子中，属于最简分式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查最简分式，解题的关键是熟知一个分式的分子和分母没有公因式时，这个分式称为最简分式．根据最简分式的定义依次判断即可． 【详解】解：A、，故不符合题意； B、是最简分式，符合题意； C、，故不符合题意； D、，故不符合题意， 故选：B． 10．（24-25八年级下·辽宁锦州·期末）分式化简的结果为______． 【答案】 【分析】本题考查了约分，解题的关键是约去分式的分子与分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分．分式约分的结果可能是最简分式，也可能是整式． 将分子与分母的公因式约去即可． 【详解】解：， 故答案为：． 考点03 分式与分式方程的运算 1．（24-25八年级上·辽宁葫芦岛·期末）解分式方程时，去分母后正确的是（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了解分式方程，能把分式方程转化成整式方程是解此题的关键．方程两边都乘得出，再得出选项即可． 【详解】解：， 方程两边都乘，得， 即只有选项D符合题意， 故选：D． 2．（24-25八年级下·辽宁沈阳·期末）分式方程的的解为_______． 【答案】 【分析】本题考查了解分式方程，熟练掌握解方程的一般步骤是解题的关键． 根据解分式方程的一般步骤即可解答，最后记得检验． 【详解】解： 去分母得：， 移项、合并同类项得：， 将系数化为1，得：， 检验：当时，， 分式方程的解为， 故答案为：． 3．（24-25八年级下·辽宁沈阳·期末）计算的结果是__________ 【答案】2 【分析】本题考查了同分母分式的加减．直接利用同分母分式的加减的运算法则计算即可． 【详解】解： ， 故答案为：2． 4．（24-25八年级上·辽宁营口·期末）分式方程的解是________． 【答案】 【分析】本题考查解分式方程，方程两边都乘以，得出，求出方程的解，再进行检验即可．能把分式方程转化成整式方程是解题的关键． 【详解】解：方程两边都乘以，得： ， 解得：， 检验：当时，， ∴是原方程的解， 即原分式方程的解是． 故答案为：． 5．（24-25八年级下·辽宁阜新·期末）解分式方程： 【答案】 【分析】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键．先去分母化为整式方程，再解整式方程得到的值，最后验根即可得出答案． 【详解】解：， 去分母得：， 整理得：， 解得：， 检验：当，， ∴是原分式方程的解． 6．（24-25八年级上·辽宁盘锦·期末）（1）计算：； （2）解方程：． 【答案】； 【分析】（1）利用完全平方公式和平方差公式展开并化简即可 （2）方程去分母后转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解． 此题考查了完全平方公式和平方差公式，解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根． 【详解】解： 解： ， 去分母得：， 整理得：， 解得： 经检验是分式方程的解； 7．（24-25八年级上·辽宁铁岭·期末）解方程：； 【答案】 【分析】本题考查了分式方程的解法，注：（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．（2）解分式方程一定注意要验根． 先去分母，再解方程即可． 【详解】解：， 去分母得，， 解得：， 将代入最简公分母进行检验，， ∴是原分式的解． 8．（24-25八年级上·辽宁辽阳·期末）（1）计算：． （2）解方程：． 【答案】（1）  （2） 【分析】本题考查了实数的运算，解分式方程，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）先计算零指数幂、负整数指数次幂、绝对值和分母有理化，然后合并同类二次根式解答即可； （2）先乘以得到整式方程，解整式方程求出x的值，检验解答即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： 两边同时乘以得 整理得， 解得， 经检验：是原方程的解， ∴原方程的解为． 9．（24-25八年级上·辽宁盘锦·期末）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查整式的计算和分式的计算， （1）先计算单项式乘以多项式，再计算多项式除以单项式； （2）先化简括号中的异分母分式减法，再将除法化为乘法，计算乘法即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 10．（24-25八年级下·辽宁沈阳·期末）（1）解分式方程：； （2）计算：． 【答案】（1）无解；（2） 【分析】本题考查了解分式方程，分式的混合运算，掌握解分式方程的方法，分式的混合运算顺序和法则，是解题的关键． （1）先把分式方程转变为整式方程，解整式方程求出x的值，然后检验即可； （2）根据分式混合运算法则，先计算小括号的分式减法，然后再计算分式除法即可． 【详解】解：（1）， 方程两边同时乘，得， 去括号，得， 解得：， 检验：把代入， 是分式方程的增根， 分式方程无解； （2） ． 11．（24-25八年级上·辽宁抚顺·期末）（1）计算： （2）解方程： 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了分式的化简，分式方程，熟练计算是解题的关键． （1）先计算括号里，再算除法，约分化简即可； （2）去分母化成整式方程，解答后检验即可得出答案． 【详解】解：（1）， ， ， ， ； （2）， ， ， ， ， ， 检验：当时，，所以原分式方程的解为． 12．（24-25八年级上·辽宁大连·期末）（1）计算：； （2）解分式方程：． 【答案】（1）2；（2）无解 【分析】本题主要考查了分式的混合运算，平方差公式，解分式方程等知识点，熟练掌握其运算法则是解决此题的关键． （1）先算括号内的，再进行乘除运算即可得解； （2）先去分母化为整式方程，然后解方程，最后进行检验即可得解． 【详解】（1）解： ； （2）解：， 方程两边乘，得， 解得， 检验：当时，， 不是原分式方程的解， 原分式方程无解． 13．（24-25八年级上·辽宁大连·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分式的混合运算，熟练掌握分式的混合运算法则是关键． （1）先将两个分式整理成同分母分式，再按照同分母分式相加减即可； （2）先整理括号内的分式，再将除号变乘号，根据分式的乘法运算法则运算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 14．（24-25八年级上·辽宁铁岭·期末）解下列分式方程： (1) (2) 【答案】(1)无解 (2) 【分析】本题考查了分式方程的解法，掌握分式方程的求解方法，验根是关键． （1）方程两边乘最简公分母，把分式方程转化为整式方程，求出方程的解，再进行检验即可； （2）方程两边乘最简公分母，把分式方程转化为整式方程，求出方程的解，再进行检验即可． 【详解】（1）解： 方程两边都乘得：，即， 解得： 检验：把代入得， ∴是原分式方程的增根， ∴原分式方程无解； （2）解： 方程两边都乘得：，即， ∴，即， ∴， 解得：， 检验：把，代入，把，代入， ∴是原分式方程的增根，是原分式方程的解． 15．（24-25八年级上·辽宁大连·期末）化简和解分式方程： (1)； (2)． 【答案】(1)16 (2) 【分析】本题考查了整式的混合运算，解分式方程，正确计算是解题的关键． （1）先根据完全平方公式、多项式乘多项式法则计算，再合并同类项即可； （2）先变形，再方程两边同乘，将分式方程化为整式方程求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：， 方程可化为， 方程两边同乘，得 ， 解得， 检验：当时，， 所以是方程的解， 所以原分式方程的解是． 考点04 分式的化简求值 1．（24-25八年级下·辽宁丹东·期末）先化简，再求值：，其中． 【答案】，2 【分析】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把x的值代入进行计算即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 2．（24-25八年级下·辽宁锦州·期末）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查分式的化简求值，将分式化简正确是解决本题的关键． 先对原式中的分子分母进行因式分解，再根据分式的运算法则进行化简，最后将给定的值代入化简后的式子求值即可． 【详解】解： ． 当时，原式． 3．（24-25八年级下·辽宁沈阳·期末）先化简，再求值：，其中． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，先把小括号内的式子通分化简，再把除法变成乘法后约分化简，最后代值计算即可得到答案． 【详解】解： ， 当时，原式． 4．（24-25八年级上·辽宁大连·期末）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将的值代入计算即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 5．（24-25八年级上·辽宁大连·期末）先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【分析】本题考查了分式的化简求值．原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把的值代入计算即可求出值． 【详解】解： ． 当时，原式． 6．（24-25八年级上·辽宁大连·期末）先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【分析】本题考查了分式化简求值，根据分式的混合运算进行计算，把代入进行计算即可得． 【详解】解： ； 当时，原式 7．（24-25八年级下·辽宁朝阳·期末）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查分式的化简求值. 将括号内的分式因式分解并约分后再算加法，然后将除法化为乘法并计算，最后代入数值计算即可． 【详解】解：原式 ； 当时， 原式． 8．（24-25八年级下·辽宁大连·期末）计算． (1) (2)当时，求的值． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题考查的是二次根式的混合运算，分式的化简求值，熟知二次根式和分式的混合运算法则是解题的关键． （1）先算乘除，再算加减即可； （2）先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把代入进行计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ， 当时，原式． 9．（24-25八年级下·辽宁丹东·期末）先化简再求值：，其中． 【答案】． 【分析】本题考查的是分式的化简求值，完全平方公式，掌握知识点是解题的关键． 先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把代入进行计算即可． 【详解】解：原式 当时，原式 10．（24-25八年级下·辽宁沈阳·期末）先化简：，再从中选出一个合适的整数的值，代入求值． 【答案】，时，原式 【分析】本题考查分式的化简求值． 先通分括号内的式子，同时将括号外的除法转化为乘法，然后约分，再从0，1，2中选出使得原分式有意义的整数代入化简后的式子计算即可． 【详解】解： ， 对于，则或1或2， 当或1的时候，原分式无意义， ∴，则原式． 11．（24-25八年级下·辽宁沈阳·期末）先化简：，再从，，0，2，3这五个数中选择一个合适的数代入求值． 【答案】，当时，原式， 【分析】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是熟练掌握分式混合运算顺序和运算法则．先根据分式混合运算顺序和运算法则化简原式，再选取使分式有意义的x的值代入计算可得． 【详解】解： ， ∵且， 且， ∴取， 当时，原式 12．（24-25八年级上·辽宁大连·期末）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查了分式的化简求值，先根据分式的性质和运算法则对分式进行化简，再把的值代入到化简后的结果中计算即可求解，掌握分式的性质和运算法则是解题的关键． 【详解】解：原式 ， 当时，原式． 13．（24-25八年级上·辽宁大连·期末）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查了分式的化简求值，平方差公式，完全平方公式的应用，先将括号里的式子通分，再将除法变为乘法，进行约分化简，最后将代入求值即可． 【详解】解：原式      ， 当时， 原式． 14．（24-25八年级上·辽宁鞍山·期末）如图，某同学进行分式化简求值的部分运算过程如下： 先化简，再求值：，其中■ 解：原式……① ……② 回答问题： (1)上面的运算过程中第__________步出现了错误； (2)上面运算过程出现了错误，但最后所求的值是正确的，求图中x的值． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（）分式通分时漏乘公因式； （）根据题意列出方程，然后求解即可； 本题考查了分式的运算和解分式方程，掌握运算法则和解方程步骤是解题的关键． 【详解】（1）解：第步运算，分式通分时不乘，化为， 故答案为：； （2）解：原式 ， ∴ 解得， 经检验：是原方程的解， ∴图中的值为． 15．（24-25八年级上·辽宁大连·期末）阅读理解 [提出问题]已知，求分式的值； [分析问题]本题已知条件是连等式，因此可用设参数法，即设出参数t，得出a，b，c与t的关系，然后再代入待求的分式化简即可； (1)[解决问题]设，则，将它们分别代入中并化简，可得分式的值为 ____； (2)[拓展应用]已知，求分式的值． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）把a，b，c的值代入进行计算，即可解答； （2）仿照（1）的解题思路进行计算，即可解答． 本题考查了分式的化简求值，准确熟练地进行计算是解题的关键． 【详解】（1）解：设，则， 将它们分别代入中， 则2， 故答案为：； （2）解：设t， ∴， ∴． 考点05 根据分式方程根的情况求字母含参数 1．（24-25八年级下·辽宁阜新·期末）若关于的分式方程的解为正数，则的取值范围是（   ） A． B． C．且 D．且 【答案】C 【分析】本题考查分式方程的解，掌握分式方程的解法，理解分式方程增根的定义是正确解答的关键．根据分式方程的解法和增根的定义即可确定的取值范围． 【详解】解：将关于的分式方程的两边都乘以得， ， 解得， 由于分式方程的解为正数， 所以， 解得， 又因为分式方程的增根是， 所以， 解得， 综上所述，且． 故选：C． 2．（24-25八年级下·辽宁朝阳·期末）若分式方程的解为正数，则的取值范围为（   ） A． B． C．且 D．且 【答案】D 【分析】本题主要考查了分式方程的解，在解分式方程时应方程两边同乘以方程的最简公分母，化为整式方程，得到解要检验．首先解分式方程，得到解关于k的表达式，再结合解为正数及分母不为零的条件，确定k的取值范围． 【详解】同乘以最简公分母得： 整理得： 由题意，解需满足，即：，故， 原方程分母，即，代入解得：即， 另一分母，即，代入解得：即， 综上，且， 故选：D． 3．（24-25八年级下·辽宁丹东·期末）若关于的分式方程有增根，则的值为（   ） A． B．1 C． D．3 【答案】D 【分析】本题主要考查分式方程的增根，熟练掌握分式方程的增根问题是解题的关键．先把分式方程化为整式方程，然后再根据增根可进行求解． 【详解】解：由化简可得：， ∵关于x的分式方程有增根， ∴增根为， ∴， 解得：； 故选：D． 4．（24-25八年级下·辽宁朝阳·期末）若方程有增根，则a的值为_______ ． 【答案】 【分析】本题考查了分式方程的增根，掌握在分式方程变形时，有可能产生不适合原方程的根，即代入分式方程后分母的值为0或是转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值的根，叫做原方程的增根是解题的关键． 先将分式方程去分母，转化为整式方程；再根据分式方程有增根，得到，代入整式方程即可得到a的值． 【详解】解：原式去分母得：， ∵分式方程有增根， ∴， 解得， ∴， 解得． 故答案为：． 5．（24-25八年级下·辽宁辽阳·期末）关于的方程有增根，则的值为______． 【答案】 【分析】本题考查根据分式方程解的情况确定参数，分式方程的增根是使得最简公分母为0的未知数的取值，根据分式方程的增根定义即可求解． 【详解】解：， ∴， ∵关于x的分式方程的增根是， ∴把代入， 解得：． 故答案为：． 6．（24-25八年级下·辽宁丹东·期末）若关于的分式方程有增根，则实数的值为___________． 【答案】 【分析】本题考查分式方程无解问题，熟练掌握该知识点是解题关键． 先将分式方程化为整式方程，再根据该分式方程有增根，确定该整式方程的根为，再代入得到关于m的方程并求解即可． 【详解】解：将关于x的分式方程的两边同时乘以得． ∵该分式方程有增根， ∴． 把代入得． 解得． 故答案为：． 7．（24-25八年级上·辽宁盘锦·期末）若关于的方程无解，则的值为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了解分式方程和分式方程无解的条件，分式方程无解的条件是：去分母后所得整式方程无解或解这个整式方程得到的解使原方程的分母等于0，将分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程无解确定出的值即可． 【详解】解： 去分母，得：， 移项，合并得：， 化系数为1得： ∵原方程无解， ∴，解得：， ∴，解得：． 故答案为：． 8．（24-25八年级上·辽宁葫芦岛·期末）已知关于的分式方程与的解相同，则的值是________． 【答案】5 【分析】本题考查了分式方程的解及解分式方程，解决本题的关键是熟练掌握解分式方程，先解，再将把代入，即可解答． 【详解】解：， ， 解得：， 经检验，是原方程的解， 关于的分式方程与的解相同， ∴将代入，得： ， 解得：， 故答案为：5． 考点06 分式方程的实际应用 1．（24-25八年级下·辽宁丹东·期末）《四元玉鉴》全中国古代著名的数学专著，书里记载一道这样的题：“今有绫、罗共三丈，各值钱八百九十六文．只云绫、罗各一尺共值钱一百二十文，问绫、罗尺价各几何？”（题目译文是：现在有绫布和罗布，布长共3丈（1丈尺），已知绫布和罗布分别全部出售后均能收入896文；绫布和罗布各出售1尺共收入120文．问两种布每尺各多少钱？若设绫布有尺，根据题意可列方程是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了列分式方程，根据题意，绫布和罗布总长30尺，分别卖出后各得896文，且各一尺共120文．设绫布有尺，则罗布为尺．绫布每尺价格为文，罗布每尺价格为文．根据“各一尺共120文”的条件，可列方程． 【详解】解：设绫布有尺，则罗布为尺，则绫布单价：文/尺，罗布单价：文/尺， 可得： 故选D． 2．（24-25八年级上·辽宁大连·期末）甲、乙两同学分别去文具店买硬皮本与软皮本．已知硬皮本价格是软皮本价格的1.5倍，乙同学花40元买软皮本比甲同学花72元买硬皮本少买4本．若设软皮本单价是元，则下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查由实际问题抽象出分式方程．设软皮本单价是x元，硬皮本价格是软皮本价格的，甲同学花72元买硬皮本的数量为，乙同学购买软皮本的数量为，根据题意列出方程即可． 【详解】解：软皮本单价是x元，硬皮本价格是软皮本价格的元， 由题意可得：， 故选：B． 3．（24-25九年级上·辽宁本溪·期末）我国已经成为全球最大的电动汽车市场，电动汽车在环保，节能等方面较传统汽车都有明显优势．经过对某款电动汽车和某款燃油汽车对比调查发现，电动汽车平均每公里的充电费比燃油汽车平均每公里的加油费少元．若充电费和燃油费均为300元时，电动汽车可行驶的总路程是燃油汽车的3倍，求这款电动汽车平均每公里的充电费用是多少？若设这款电动汽车平均每公里的充电费用是元，则下列正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了分式方程的应用，等量关系式：电动车充电费为300元时能行驶的总路程燃油车燃油费为300元时能行驶的总路程，据此列方程，即可求解；找出等量关系式是解题的关键． 【详解】解：由题意得， 故选：B． 4．（24-25八年级上·辽宁葫芦岛·期末）两个工程队共同参与一项工程，若由甲工程队单独施工，则恰好能在规定的时间内完成，若由乙工程队单独施工，则需要的时间是甲工程队的2倍．已知甲、乙两个工程队先合作10天，余下的任务由甲工程队单独完成仍需要5天，求甲工程队单独完成此项工程需要多少天？设甲工程队单独完成此项工程需要天，根据题意可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了分式方程的应用，设甲工程队单独完成此项工程需要天，根据“甲、乙两个工程队合作天，余下的任务甲工程队单独完成仍需要天”列分式方程求解即可； 【详解】解：设甲工程队单独完成此项工程需要天， 可得：， 故选：A 5．（24-25八年级下·辽宁朝阳·期末）《九章算术》中记录有这样一道题：今有驿使乘快马、慢马行九百里．慢马较限期多一日，快马较限期少三日，且快马之速为慢马二倍．问限期几何？原题译成白话文：现在有驿使骑着快马和慢马行进九百里，慢马比规定时间多用1天，快马比规定时间少用3天，且快马的速度是慢马的2倍．问规定的时间是多少天？设规定的时间为x天，可列分式方程_____． 【答案】 【分析】本题考查列分式方程，设规定的时间为x天，根据“慢马比规定时间多用1天，快马比规定时间少用3天，且快马的速度是慢马的2倍”列方程即可． 【详解】解：设规定的时间为x天，列方程为：， 故答案为：． 6．（24-25八年级下·辽宁沈阳·期末）随着人们环保意识的增强，混动汽车也成了广大消费者的宠儿．某品牌油电混合动力汽车从甲地行驶到乙地，若完全用油做动力行驶，则费用为70元；若完全用电做动力行驶，则费用为30元，已知汽车行驶中每千米用油费用比用电费用多元．求汽车行驶中每千米用电费用是多少元？甲、乙两地的距离是多少千米？ 【答案】汽车行驶中每千米用电费用是元，甲、乙两地的距离是100千米 【分析】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 设汽车行驶中每千米用电费用是x元，则每千米用油费用为元，根据从甲地行驶到乙地的路程相等，列出分式方程，解方程即可． 【详解】解：设汽车行驶中每千米用电费用是x元，则每千米用油费用为元，甲、乙两地的距离是千米， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ， 答：汽车行驶中每千米用电费用是元，甲、乙两地的距离是100千米． 7．（24-25八年级下·辽宁丹东·期末）4月23日是世界读书日，为激发学生的阅读热情，弘扬和传承中华优秀传统文化，某中学计划用3000元购买一批图书用于图书馆更新．实际购买时，书店推出优惠活动：每本图书的价格是原来价格的倍，则学校可以用相同预算比原计划多买25本．求原计划每本图书的价格是多少元？ 【答案】原计划每本图书的价格是40元． 【分析】本题考查分式方程的应用，找到等量关系是解题的关键． 设原计划每本图书的价格是x元，根据用3000元购买一批图书用于图书馆更新．实际购买时，书店推出优惠活动：每本图书的价格是原来价格的倍，则学校可以用相同预算比原计划多买25本，列出分式方程，即可解答． 【详解】解：设原计划每本图书的价格是x元，依题意，得 解得 ， 经检验，是原方程的解． 答：原计划每本图书的价格是40元． 8．（24-25八年级下·辽宁沈阳·期末）甲、乙两人加工同一种零件，甲比乙每小时多加工10个这种零件，甲加工150个这种零件所用的时间与乙加工120个这种零件所用的时间相等，求乙每小时加工多少个这种零件？ 【答案】 【分析】本题考查了分式方程的应用，理解题意正确列方程是解题关键．设乙每小时加工个这种零件，根据“甲加工150个这种零件所用的时间与乙加工120个这种零件所用的时间相等”，列方程求解即可． 【详解】解：设乙每小时加工个这种零件，则甲每小时加工个这种零件， 则， 解得：， 经检验，是原分式方程的解， 答：乙每小时加工个这种零件． 9．（24-25八年级下·辽宁锦州·期末）某城市的一条主干道排水管道改造工程由甲、乙两个工程队承担．已知甲工程队每天改造管道的长度是乙工程队的1.2倍，甲工程队改造720米管道所用的天数比乙工程队改造300米管道所用的天数多6天．求乙工程队每天改造多少米管道？ 【答案】乙工程队每天改造50米管道 【分析】本题考查了分式方程的应用．设乙工程队每天改造管道米，则甲工程队每天改造管道米，甲工程队改造720米管道所用的天数比乙工程队改造300米管道所用的天数多6天，列出方程，可求解． 【详解】解：设乙工程队每天改造管道米，则甲工程队每天改造管道米． 根据题意得，． 解得． 经检验，是原方程的根． 答：乙工程队每天改造50米管道 10．（24-25七年级上·辽宁大连·期末）两种型号机器人搬运原料，已知型机器人比型机器人每小时多搬运，型机器人搬运所用时间与型机器人搬运所用时间相等，这两种机器人每小时分别搬运多少原料？ 【答案】型机器人每小时搬运原料，型机器人每小时搬运原料 【分析】本题考查分式方程的实际应用，设型机器人每小时搬运原料，根据型机器人搬运所用时间与型机器人搬运所用时间相等，列出方程进行求解即可． 【详解】解：设型机器人每小时搬运原料，则型机器人每小时搬运原料 去分母得． 解得． 检验：当时，， 所以，原分式方程的解为． ； 答：型机器人每小时搬运原料，型机器人每小时搬运原料． 11．（24-25八年级下·辽宁沈阳·期末）某文具店用900元购进甲品牌文具盒的数量比用600元购进乙品牌文具盒的数量多10个．其中甲品牌文具盒每个进价是乙品牌文具盒每个进价的1.2倍． (1)求甲，乙两种品牌文具盒每个进价各是多少元？ (2)已知甲品牌文具盒每个售价为23元，若使这批文具盒全部售完后利润不低470元．乙品牌文具盒每个售价至少是多少元？ 【答案】(1)甲品牌文具盒每个进价18元，乙品牌文具盒每个进价15元 (2)乙品牌文具盒每个售价至少是元． 【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． （1）设乙品牌文具盒每个进价是x元，则甲品牌文具盒每个进价是元，根据某文具店用900元购进甲品牌文具盒的数量比用600元购进乙品牌文具盒的数量多10个，列出分式方程，解方程即可； （2）设乙品牌文具盒每个售价是m元，根据使这批文具盒全部售完后利润不低于470元，列出一元一次不等式，解不等式即可． 【详解】（1）解：设乙品牌文具盒每个进价是x元，则甲品牌文具盒每个进价是元， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴， 答：甲品牌文具盒每个进价是18元，乙品牌文具盒每个进价是15元； （2）解：由（1）可知，乙品牌文具盒的数量为（个），甲品牌文具盒的数量为50个， 设乙品牌文具盒每个售价是m元， 由题意得：， 解得：， 答：乙品牌文具盒每个售价至少是元． 12．（24-25八年级下·辽宁丹东·期末）“读书不觉已春深，一寸光阴一寸金”，每年4月23日是世界读书日，某社区为丰富居民的文化生活购进了一批图书．已知用260元购买科普读物的数量是用150元购买文学类书籍数量的2倍，其中文学类书籍的单价比科普读物的单价多4元． (1)求文学类书籍的单价是多少元？ (2)该社区准备购进两种图书共100册，总费用不超过2840元，则该社区最多购进文学类书籍多少册？ 【答案】(1)文学类图书的单价为30元； (2)该社区最多购进文学类书籍60册． 【分析】本题主要考查分式方程的应用和一元一次不等式的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程和不等式． （1）设文学类图书的单价为x元，则科普读物的单价为元，根据题意列出分式方程求解即可； （2）设学校购进文学类图书m册，则购进科普读物册，依题意得列出不等式求解即可． 【详解】（1）解：设文学类图书的单价为x元，则科普读物的单价为元 依题意得： 解得： 经检验：是原方程解 答：文学类图书的单价为30元； （2）解：设学校购进文学类图书m册，则购进科普读物册 依题意得： 解得： 答：该社区最多购进文学类书籍60册． 13．（24-25八年级下·辽宁本溪·期末）“绿水青山就是金山银山”，人们对生态环境的保护意识不断提高．某园区开展植树护林活动，据了解A种树木的单价比B种树木的单价多8元，且用400元购买A种树木的数量与用240元购买B种树木的数量相同． (1)求A、B两种树木的单价； (2)若该园区计划购买A，B两种树木共100棵，总费用不超过1600元，最多需要购买A种树木多少棵？ 【答案】(1)每棵A种树木的售价是20元，每棵B种树木的售价是12元 (2)最多需要购买A种树木50棵 【分析】（1）根据A、B两种树木单价的关系设未知数，利用“用400元购买A种树木的数量与用240元购买B种树木的数量相同”这一条件列分式方程求解． （2）设购买A种树木的数量，进而表示出B种树木数量，依据“总费用不超过1600元”列一元一次不等式求解 ． 【详解】（1）解：设每棵B种树木的单价是元，每棵A种树木的单价元 ∵ 用元购买A种树木的数量与用元购买B种树木的数量相同，数量总价单价 ∴ 解得 经检验：是原方程的解， ∴ 答：每棵A种树木的售价是20元，每棵B种树木的售价是12元． （2）解：设需要购买A种树木棵，则购买B种树木棵 ∵ 总费用不超过元，总费用A种树木费用B种树木费用，A种树木单价元，B种树木单价元 ∴ 解得 答：最多需要购买A种树木50棵． 14．（24-25八年级下·辽宁沈阳·期末）为了加强学生的体育锻炼，某班计划购买部分绳子和实心球，已知每条绳子的价格比每个实心球的价格少23元，且84元购买绳子的数量与360元购买实心球的数量相同． (1)绳子和实心球的单价各是多少元？ (2)如果本次购买的总费用不超过510元，且购买绳子的数量是实心球数量的3倍，那么绳子最多能购买多少条？ 【答案】(1)绳子的单价为7元，实心球的单价为30元 (2)绳子最多能购买30条 【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，理解题意并正确列方程和不等式是解题关键． （1）设绳子的单价是元，则实心球的单价是元，根据“84元购买绳子的数量与360元购买实心球的数量相同”列分式方程求解即可； （2）设绳子能购买条，则实心球能购买条，根据“购买的总费用不超过510元”列一元一次不等式求解即可． 【详解】（1）解：设绳子的单价是元，则实心球的单价是元， 则， 解得：， 经检验，是原分式方程的解， （元）， 答：绳子的单价为7元，实心球的单价为30元 （2）解：设绳子能购买条，则实心球能购买条， 则， 解得：， 是正整数， 绳子最多能购买30条． 15．（24-25八年级上·辽宁大连·期末）2024年中央一号文件强调“强化农业科技支撑”．为充分发挥科技生产力对农业发展的作用，某地与农业大学合作开发小麦试验田，并利用机械化播种、收割小麦． (1)现有A，B两种小麦播种机，A型播种机比B型播种机每小时多播种，A型播种机播种所用时间与B型播种机播种所用时间相等，两种播种机每小时分别播种多少小麦？ (2)如图，“丰收1号”小麦的试验田是边长为的正方形去掉一个边长为1m的正方形蓄水池后余下的部分．“丰收2号”小麦的试验田是边长为的正方形．两块试验田的小麦都收获了． ①哪种小麦的单位面积产量高？ ②请直接写出高的单位面积产量是低的单位面积产量的_____倍（用含的代数式表示）； (3)一台小麦收割机的工作效率相当于一个农民工作效率的150倍，用这台收割机收割小麦比100个农民人工收割这些小麦要少用，这台收割机每小时收割多少小麦？ 【答案】(1)A型播种机每小时播种小麦，B型播种机每小时播种小麦 (2)①“丰收2号”小麦的单位面积产量高；② (3)这台收割机每小时收割小麦 【分析】本题考查分式方程的应用，列代数式． （1）设B型播种机每小时播种小麦，型播种机每小时播种小麦，根据题意列分式方程，解方程并检验可得答案； （2）①分别求出“丰收1号”和“丰收2号”单位面积产量，再用作差法来比较大小，即可得出结论； ②用高的单位面积产量除低的单位面积产量，化简即可得出答案； （3）设这台收割机每小时收割小麦，根据“用这台收割机收割小麦比100个农民人工收割这些小麦要少用”列分式方程，解方程并检验可得答案． 【详解】（1）解：设B型播种机每小时播种小麦，型播种机每小时播种小麦， 根据题意得， 解得． 检验：当时，， 原分式方程的解为， A型播种机每小时种植， 答：A型播种机每小时播种小麦，B型播种机每小时播种小麦； （2）解：①“丰收1号”小麦的试验田面积是，单位面积产量是， “丰收2号”小麦的试验田面积是，单位面积产量是， ， ，． ． ． ． “丰收2号”小麦的单位面积产量高； ②∵， ∴高的单位面积产量是低的单位面积产量的倍； 故答案为：； （3）解：设这台收割机每小时收割小麦， ， 解得， 检验：当时，． 原分式方程的解为． 答：这台收割机每小时收割小麦． 考点07 分式及分式方程的其他应用 1．（24-25八年级下·辽宁阜新·期末）已知，则__________． 【答案】 【分析】本题考查的是分式求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键． 先根据题意得出，再代入原式进行计算即可． 【详解】解：， ∴，即， ∴． 故答案为：． 2．（24-25八年级下·辽宁沈阳·期末）若，且，则分式的值为______． 【答案】 【分析】此题主要考查了分式的求值，利用已知得到，然后代入分式化简得出答案． 【详解】解：∵，且， ∴， ∴， 故答案为：． 3．（24-25八年级上·辽宁大连·期末）若，，则______． 【答案】7 【分析】本题主要考查了完全平方公式变形求值，分式的加减运算，根据代入求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， 故答案为：7． 4．（24-25八年级上·辽宁大连·期末）定义新运算：，若，则的值是______． 【答案】/ 【分析】本题考查代数式求值，读懂题意，得到是解决问题的关键． 根据新定义的运算，由得到，代入代数式求解即可得到答案． 【详解】解： ， ，即， ， 故答案为：． 5．（24-25八年级上·辽宁鞍山·期末）已知a，b，c，d为四个不为零的数，且满足． (1)请举出满足条件的a，b，c，d的数； (2)利用（1）中的数判断分式与的数量关系，并证明结论． 【答案】(1)答案不唯一，见解析 (2)，证明见解析 【分析】本题考查分式的运算性质，熟练分式的运算性质是解题的关键． （1）根据条件，找出满足的四个不同的数a，b，c，d即可； （2）利用（1）中的数判断出，并利用作差法，结合证明即可； 【详解】（1）例如：，，， 满足： （2）当，，，时 ，， ∴． 证明： ∵， ∴， 即， ∴ 即． 6．（24-25八年级上·辽宁大连·期末）【阅读材料】 要想比较a和b的大小关系，可以进行作差法，若，则；若，则；若，则． 【学以致用】 （1）若，比较与的大小，并说明理由； （2）若x为全体实数，比较与的大小． 【拓展延伸】 （3）如图，甲、乙两块长方形小麦试验田，甲小麦试验田的相邻两边长分别为米，米，乙小麦试验田的相邻两边长分别为m米，米，其中．两块试验田的小麦都收获了500千克． ①哪块试验田的小麦单位产量高？请说明理由； ②高的单位面积产量是低的单位面积产量的多少倍？（用含m的代数式表示） 【答案】（1）若．理由见解析；（2）；（3）①乙试验田的小麦的单位面积产量高，理由见解析；②乙试验田的小麦的单位面积产量是甲试验田的小麦的单位面积产量的倍 【分析】本题考查了完全平方公式，分式减法运算及实际应用； （1）由判断即可； （2）作差比较大小即可； （3）①分别表示出两块试验田的产量，再作差比较大小即可 ②根据“高的单位面积产量除以低的单位面积产量”得到，计算化简即可． 【详解】解：（1）若， 理由：， ， ， ； （2），， ， ，， ， ， ， ， ， ； （3）①甲试验田的面积为：， 乙试验田的面积为：， ， ， ， ， ， 乙试验田的小麦的单位面积产量高； ② ， 乙试验田的小麦的单位面积产量是甲试验田的小麦的单位面积产量的倍． 7．（24-25八年级上·辽宁大连·期末）分式中，在分子、分母都是整式的情况下，如果分子的次数低于分母的次数，称这样的分式为真分式，例如：分式，是真分式．如果分子的次数不低于分母的次数，称这样的分式为假分式．例如：． (1)将假分式化为一个整数与一个真分式的和； (2)若x是整数，且假分式的值为正整数，求x的值； (3)若假分式化为一个整式与一个真分式的和的形式为，A，B均为关于x的多项式，若，，求的最小值． 【答案】(1) (2)或4或6 (3)75 【分析】本题主要考查了分式的性质、分式的化简、分式的加减等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）仿照例题操作即可得解； （2）先将化成一个整式和真分式的和，再看真分式是整数即可得解； （3）先将式化成A的形式，再得到a和b的式子，进而利用完全平方式求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：∵为正整数，， ∴， ∴， ∵， 又，且为整数，为正整数， ∴或2或4， ∴或4或6； （3）解： ， ，， ，， ，， ，， ， ， 当，即时，有最小值75， 的最小值为75． 8．（24-25八年级上·辽宁大连·期末）【类比学习】 在数学的奇妙世界里，分式与分数有着紧密的联系，就像我们从分数的基本性质类比出分式的基本性质一样，分数的大小比较的方法也能给分式的大小比较带来启发．我们知道在分数中，当分子和分母都大于0时，有： 1．当分子相同时，分母越小，分数的值越大．如； 2．当分母相同时，分子越大，分数的值越大．如； 3．当分子、分母都不相同时，一般来说，分子越大且分母越小，分数的值越大． 例如：从3、5、7中选两个数组成分数，是最大的，它的分子是所选数字中的最大数，分母是所选数字中的最小数． 【问题呈现】 小明和小强一起做分式的游戏，他们各自有三张牌，如下图所示．小明的牌分别是、、，小强的牌分别是、、．他们各自选两张牌组成分式，并且约定是大于5的正整数，然后比较他们组成的分式值的大小，值大者胜． (1)小明组成的分式中值最大的分式是______， 小强组成的分式中值最大的分式是______． (2)小强思考了一下说：“虽然我是三张带减号的牌，但最终我一定是胜者”，小强说的有道理吗？请你通过计算加以证明． 【答案】(1)， (2)小强说的有道理，理由见详解 【分析】本题主要考查分式的大小比较，分式的加减运算； （1）分式的最大，则分母要大于分子，由此即可求解； （2）比较分式，大小即可求解． 【详解】（1）解：解：根据分式的大小关系可知， 小明组成的分式中值最大的分式是 小强组成的分式中值最大的分式是 故答案为：，． （2）解：小强说的有道理， 理由如下： 当x是大于的正整数时， ∴ ∴ ∴，故小强说的有道理 9．（24-25八年级上·辽宁大连·期末）综合与探究 我们把形如 （a，b不为零），且两个解分别为 的方程称为“十字分式方程”． 例：为“十字分式方程”，可化为 ． 为“十字分式方程” 可化为 ． 应用上面的结论，解答下列问题： (1)若 为“十字分式方程”，则______；______． (2)若十字分式方程，的两个解分别为 求 的值； (3)若关于x的“十字分式方程”的两个解分别为，（，且），求的值． 【答案】(1)， (2) (3)2024 【分析】本题为新定义问题，考查了分式方程的解，分式的加减运算，完全平方公式的变形求解，因式分解的应用等知识． （1）类比题目中“十字分式方程”的答题方法即可求解； （2）结合运用“十字分式方程”得到，，将变形为，整体代入即可求解； （3）将原方程变形为，结合运用“十字分式方程”得到，，代入即可求解． 【详解】（1）解：可化为， ∴，． 故答案为：，； （2）解：由已知得，， ∴； （3）解：原方程变为， ∴， ∵，且， ∴，， ∴，， ∴． 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $