专题04 因式分解（期末真题汇编，辽宁专用）八年级数学下学期北师大版

**基本信息** 汇集辽宁多地期末真题，聚焦因式分解三大核心考点，分层考查基础判断、方法综合与实际应用，适配八年级期末复习需求。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |选择题|13道|因式分解定义判断、公式法适用条件|结合各地期末真题，重复考查核心概念辨析| |填空题|5道|提公因式与公式法综合分解|直接检测基本技能，注重分解步骤规范性| |解答题|14道|分组分解、整体思想应用、实际问题（如密码翻译、几何拼图）|融入“整体思想”“模型意识”，如将多项式分解与图形面积结合，体现数学应用价值|

专题04 因式分解 高频考点概览 考点01因式分解的判断 考点02综合提公因式和公式法分解因式 考点03因式分解综合应用题 考点01 因式分解的判断 1．（24-25八年级下·辽宁辽阳·期末）下列各式从左边到右边的变形中，属于因式分解的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·辽宁大连·期末）下列各式从左到右的变形是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·辽宁大连·期末）下列等式从左到右的变形，是因式分解的是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级下·辽宁阜新·期末）下列从左到右的变形中，是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级下·辽宁沈阳·期末）下列各式从左到右因式分解正确的是（    ） A． B． C． D． 6．（24-25八年级上·辽宁鞍山·期末）下列因式分解正确的是（   ）． A． B． C． D． 7．（24-25八年级下·辽宁沈阳·期末）下列从左到右的变形是因式分解的是（    ） A． B． C． D． 8．（24-25八年级下·辽宁辽阳·期末）下列从左到右的变形中，属于多项式因式分解的是（    ） A． B． C． D． 考点02 综合提公因式和公式法分解因式 1．（24-25八年级下·辽宁锦州·期末）下列多项式中，能用完全平方公式分解因式的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·辽宁沈阳·期末）下列各式中能用完全平方公式分解因式的是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·辽宁大连·期末）将分解因式的结果是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级下·辽宁沈阳·期末）分解因式：__________ 5．（24-25八年级下·辽宁丹东·期末）因式分解：_____． 6．（24-25八年级下·辽宁阜新·期末）（1）分解因式：； （2）分解因式：． 7．（24-25八年级下·辽宁丹东·期末）因式分解： (1)； (2)． 8．（24-25八年级上·辽宁抚顺·期末）（1）分解因式： （2）计算： 9．（24-25八年级上·辽宁抚顺·期末）因式分解： (1)； (2)． 10．（24-25八年级上·辽宁葫芦岛·期末）（1）分解因式： （2）计算： 11．（24-25八年级下·辽宁阜新·期末）因式分解： (1) (2) 12．（24-25八年级上·辽宁大连·期末）（1）计算：； （2）分解因式：． 13．（24-25八年级上·辽宁铁岭·期末）完成下列各题： (1)计算： ① ② (2)因式分解： ① ② 14．（24-25八年级下·辽宁沈阳·期末）材料1：将一个形如的二次三项式因式分解时，如果能满足且．则可以把因式分解成，例如： ①； ②． 材料2：因式分解：． 解：将“”看成一个整体，令，则原式，再将“”还原，得：原式． 上述解题用到“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常见的一种思想方法，请你解答下列问题： (1)根据材料1，把分解因式； (2)结合材料1和材料2，完成下面小题： ①分解因式：； ②分解因式：． 考点03 综合提公因式和公式法分解因式 1．（24-25八年级上·辽宁大连·期末）若，，则代数式的值是（    ） A．2026 B．2028 C．2030 D．2032 2．（24-25八年级上·辽宁大连·期末）若可以被到之间的某两个整数整除，则这两个整数是（   ） A．， B．， C．， D．， 3．（24-25八年级上·辽宁大连·期末）小明是一名密码翻译爱好者，在他的密码手册中有这样一条信息：分别对应下列六个字：连，丽，美，大，滨，城，现将因式分解，结果呈现的密码信息可能是（   ） A．滨城 B．美丽滨城 C．滨城大连 D．美丽大连 4．（24-25八年级下·辽宁辽阳·期末）若，则的值为______． 5．（24-25八年级上·辽宁大连·期末）已知，则_______． 6．（24-25八年级下·辽宁朝阳·期末）定义：如果一个多项式能写成两个一次多项式相乘的形式，我们就称这个多项式为“双一次可分解式”．例如，多项式，它是“双一次可分解式”；而不能写成两个一次多项式相乘的形式，所以它不是“双一次可分解式”． 问题： (1)判断多项式是否为“双一次可分解式”，并说明理由． (2)判断多项式是否为“双一次可分解式”并说明理由． (3)已知多项式是“双一次可分解式”，且其中一个一次因式为，求的值． 7．（24-25八年级下·辽宁沈阳·期末）因式分解是整式的一种重要恒等变形，它和整式乘法运算有着密切的联系，是后续学习分式化简与运算、解一元二次方程的重要基础．下图是小华对“整式乘法与因式分解”这部分知识的梳理： (1)图中有一处空白，根据本章所学知识，你认为空白处应填的内容是 ． (2)下列习题为新知识学习能力测试题，提供一个例题讲解和三个闯关问题，请同学们认真解答每一个闯关问题： 新知学习 【例题讲解】当k取何值时，是一个完全平方式？ 解决此类问题的关键是熟练掌握完全平方公式：的结构特征．因为，是一个完全平方式，故将写成，根据多项式对应项的系数相等，得到． 问题1 ①若是完全平方式，则m的值为 ； ②若（n为常数）是完全平方式，则n的值为 ； 问题2 ③已知：，则b的值为 ； 问题3 ④如图，现有甲、乙、丙三种不同的矩形纸片（） Ⅰ．若利用甲，乙，丙矩形纸片拼出来的正方形面积为，则正方形边长为 ；（有含a、b的代数式表示） Ⅱ．小新要用这三种纸片紧密拼接成一个大正方形，先取甲纸片1张，再取乙纸片9张，还需取丙纸片 张． 8．（24-25八年级下·辽宁沈阳·期末）定义：若将多项式A和B分别进行因式分解，至少有一个因式相同，则称多项式A和B为共因多项式，其中该相同因式为同因子． 例如：对于多项式，，将两个多项式因式分解，， ，从因式分解的结果可知都含有因式，所以多项式A和B为共因多项式，其中因式为同因子． (1)共因多项式和的同因子是 ； (2)多项式可以分解为，请写出多项式的一个共因多项式（除外），并说明理由； (3)现有足够多的正方形和长方形卡片，如图1所示，分别记为甲，乙，丙． ①选取甲卡片1张，乙卡片3张，丙卡片1张，拼图如图2所示，写出一个多项式的因式分解； ②任意选取甲、乙，丙三种卡片，张数不限，通过拼图得到①中多项式的一个共因多项式（①中多项式除外），请画出拼图，并写出此共因多项式的因式分解． 9．（24-25八年级上·辽宁葫芦岛·期末）阅读下列材料：某校数学社团小组的同学在分解因式时，发现可以将这个多项式进行重新分组，先利用完全平方公式，然后再利用平方差公式对这个多项式进行了分解．过程如下： 像这样．将一个多项式适当分组后，利用提公因式法或运用公式法继续分解的方法叫做分组分解法． 请你在这种方法的启发下．解决以下问题： (1)分解因式：； (2)已知，，分别是三边的长，且，求的周长． 10．（24-25八年级下·辽宁锦州·期末）阅读下列材料： 提公因式法、公式法是我们熟悉的因式分解的基本方法，而对于四项及四项以上较复杂的多项式，往往不能直接利用提公因式法、公式法将其进行因式分解．于是我们常常将这样较复杂的多项式用括号分成两个或两个以上的多项式组，从而将其转化为能利用提公因式法或公式法进行因式分解的形式． 例如，因式分解：． 解：原式． 请利用上面因式分解的思路，解答下列问题： (1)因式分解：； (2)若，且，求的值． 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 因式分解 高频考点概览 考点01因式分解的判断 考点02综合提公因式和公式法分解因式 考点03因式分解综合应用题 考点01 因式分解的判断 1．（24-25八年级下·辽宁辽阳·期末）下列各式从左边到右边的变形中，属于因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】本题考查因式分解的知识，解题的关键的掌握因式分解的定义，即把一个多项式写出几个多项式的积，即可． 【分析】解：A、，是整式乘法，不是因式分解，不符合题意； B、未完全转化为积的形式，不符合因式分解的定义，不符合题意； C、分解后出现分式，不符合整式要求，不符合题意； D、，符合题意； 故选：D． 2．（24-25八年级上·辽宁大连·期末）下列各式从左到右的变形是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了整式的因式分解，判断一个式子从左到右的变形是否为因式分解，关键在于看是否把一个多项式转化为几个整式乘积的形式。理解整式的乘法和因式分解是互逆的恒等变形过程是解题的关键．根据因式分解的定义对选项逐一判断即可． 【详解】解：A． 是单项式，不是多项式，不符合因式分解的定义，此选项错误； B．符合因式分解定义，此选项正确； C．是整式的乘法运算，不符合因式分解定义，此选项错误； D．等号右边不是整式的积的形式，不满足因式分解定义，此选项错误． 故选：B． 3．（24-25八年级上·辽宁大连·期末）下列等式从左到右的变形，是因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了因式分解，解题的关键是掌握因式分解的概念：把一个多项式化为几个整式的积的形式．根据概念进行判断即可． 【详解】解：A．是整式除法，不是因式分解，故不合题意； B．是整式乘法，不是因式分解，故不合题意； C．没把一个多项式化为几个整式的积的形式，不是因式分解，故不合题意； D．是因式分解，故符合题意； 故选：D． 4．（24-25八年级下·辽宁阜新·期末）下列从左到右的变形中，是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了因式分解．熟练掌握因式分解定义是解题的关键．因式分解是把一个多项式化成几个因式乘积的形式． 根据因式分解的定义，判断各选项是否将多项式转化为几个整式的乘积形式． 【详解】解：A选项：，左边是乘积形式，右边是展开后的多项式，属于整式乘法，不是因式分解． B选项：，右边虽提取公因式，但结果仍为多项式（含“”），未完全转化为乘积形式，不符合因式分解． C选项：，等式不成立（展开右边为），错误变形，故排除． D选项：，左边二次三项式转化为完全平方形式，即两个相同整式的乘积，符合因式分解的定义． 故选：D． 5．（24-25八年级下·辽宁沈阳·期末）下列各式从左到右因式分解正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查因式分解的定义，把一个多项式整理成几个整式乘积的形式的过程为因式分解．据此进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、属于整式的乘法，不是因式分解，故该选项不符合题意； B、右边不是几个整式乘积的形式，不是因式分解，故该选项不符合题意； C、符合题意因式分解的定义，故该选项符合题意； D、，故该选项不符合题意； 故选：C． 6．（24-25八年级上·辽宁鞍山·期末）下列因式分解正确的是（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查因式分解，因式分解就是把多项式变形成几个整式的积的形式，根据提公因式法和公式法进行判断求解． 【详解】解：A. ，分解不正确，故该选项不符合题意； B.，分解不正确，故该选项不符合题意； C.     ，分解不正确，故该选项不符合题意； D. ，分解正确，故该选项符合题意； 故选：D． 7．（24-25八年级下·辽宁沈阳·期末）下列从左到右的变形是因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了因式分解“把一个多项式化成几个整式积的形式，像这样的式子变形叫做这个多项式的因式分解，也叫做把这个多项式分解因式”，熟记因式分解的定义是解题关键．根据因式分解的定义逐项判断即可得． 【详解】解：A、 ，则此项是因式分解，符合题意； B、，不是把多项式化成几个整式积的形式，则此项不是因式分解，不符合题意； C、是多项式乘法，则此项不是因式分解，不符合题意； D、不是整式积的形式，正确的是，则此项不是因式分解，不符合题意； 故选：A． 8．（24-25八年级下·辽宁辽阳·期末）下列从左到右的变形中，属于多项式因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了因式分解，根据因式分解的定义：把一个多项式转化为几个整式乘积的形式叫做因式分解，据此即可判断求解，理解因式分解的定义是解题的关键． 【详解】解：、，从左到右是因式分解，该选项符合题意； 、，从左到右是整式的乘法运算，不是因式分解，该选项不合题意； 、，从左到右是多项式的恒等变形，不是因式分解，该选项不合题意； 、，从左到右是单项式的恒等变形，不是因式分解，该选项不合题意； 故选：． 考点02 综合提公因式和公式法分解因式 1．（24-25八年级下·辽宁锦州·期末）下列多项式中，能用完全平方公式分解因式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了完全平方公式分解因式 根据完全平方公式，形如的多项式可分解为．需逐一验证各选项是否符合该形式． 【详解】解：A：，符合完全平方公式分解因式； B：仅有两项，无法构成完全平方公式所需的三项式； C：仅有两项，无法构成完全平方公式所需的三项式； D：仅有两项，无法构成完全平方公式所需的三项式； 故选：A． 2．（24-25八年级下·辽宁沈阳·期末）下列各式中能用完全平方公式分解因式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查完全平方公式分解因式，需满足的形式，据此依次判断即可； 【详解】解：A.： 首项和末项符号相反，且不是平方数，无法构成完全平方公式； B.： 首项为，中间项对应，但末项非正数且非平方数，不符合公式； C.： 首项和末项符号相反，且非平方数，无法构成完全平方公式； D.： 首项，中间项可写为，末项是，符合完全平方公式，即； 综上，只有满足完全平方公式的条件； 故选：D 3．（24-25八年级上·辽宁大连·期末）将分解因式的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了因式分解，熟练掌握公式法因式分解是解答此题的关键．利用平方差公式进行因式分解即可得解． 【详解】解：， 故选：D． 4．（24-25八年级下·辽宁沈阳·期末）分解因式：__________ 【答案】 【分析】本题考查了因式分解的概念以及平方差公式的运算，熟练掌握平方差公式是解决本题的关键． 将转化为使用平方差公式进行化简即可 ． 【详解】解： 故答案为： ． 5．（24-25八年级下·辽宁丹东·期末）因式分解：_____． 【答案】 【分析】本题考查分解因式，先提公因式，再利用平方差公式即可． 【详解】解：． 故答案为：． 6．（24-25八年级下·辽宁阜新·期末）（1）分解因式：； （2）分解因式：． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握这两种因式分解的方法是解题的关键． （1）先提公因式，再利用完全平方公式分解因式即可； （2）先利用平方差公式分解因式，再提公因式即可． 【详解】解：（1） ； （2） ． 7．（24-25八年级下·辽宁丹东·期末）因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键； （1）利用提公因式法分解即可； （2）利用平方差公式分解因式即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 8．（24-25八年级上·辽宁抚顺·期末）（1）分解因式： （2）计算： 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查因式分解，整式的混合运算，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． （1）提公因式后利用完全平方因式分解即可； （2）运用平方差公式计算小括号里的后，再计算除法即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 9．（24-25八年级上·辽宁抚顺·期末）因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了因式分解，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先提公因式，再运用平方差公式进行因式分解，即可作答． （2）先提公因式，再运用完全平方公式进行因式分解，即可作答． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 10．（24-25八年级上·辽宁葫芦岛·期末）（1）分解因式： （2）计算： 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了因式分解，整式的混合运算，掌握公式法因式分解是解题的关键． （1）根据平方差公式因式分解即可； （2）先根据整式的乘法计算，再合并同类项即可． 【详解】解：（1） ； （2） ． 11．（24-25八年级下·辽宁阜新·期末）因式分解： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是因式分解； （1）提取公因式分解因式即可； （2）先利用完全平方公式分解因式，再提取公因式即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； 12．（24-25八年级上·辽宁大连·期末）（1）计算：； （2）分解因式：． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查整式的混合运算，分解因式： （1）先计算单项式乘多项式，完全平方公式，再合并同类项； （2）先提取公因式，再利用完全平方公式分解因式． 【详解】解：（1）原式， ； （2）原式 ． 13．（24-25八年级上·辽宁铁岭·期末）完成下列各题： (1)计算： ① ② (2)因式分解： ① ② 【答案】(1)①；② (2)①；② 【分析】本题主要考查了实数的计算；整式的混合运算，多项式的因式分解； （1）①先计算乘方与负整数指数幂，再计算乘除，即可求解； ②先根据完全平方公式计算，单项式乘以多项式，再合并，即可求解； （2）①先提出公因式，再利用平方差公式进行因式分解，即可求解； ②先提出公因式，再利用完全平方公式进行因式分解，即可求解． 【详解】（1）解：① ； ② ； （2）解：① ② . 14．（24-25八年级下·辽宁沈阳·期末）材料1：将一个形如的二次三项式因式分解时，如果能满足且．则可以把因式分解成，例如： ①； ②． 材料2：因式分解：． 解：将“”看成一个整体，令，则原式，再将“”还原，得：原式． 上述解题用到“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常见的一种思想方法，请你解答下列问题： (1)根据材料1，把分解因式； (2)结合材料1和材料2，完成下面小题： ①分解因式：； ②分解因式：． 【答案】(1)； (2)①；② 【分析】此题考查因式分解，将某多项式重新设定未知数，分解因式， （1）直接根据材料1，仿照例题即可求解； （2）①令，仿照例题即可求解； ②令，先计算乘法，再因式分解即可． 【详解】（1）解：； （2）解：①令， 则原式， 所以； ②令， 则原式 ， 所以原式． 考点03 综合提公因式和公式法分解因式 1．（24-25八年级上·辽宁大连·期末）若，，则代数式的值是（    ） A．2026 B．2028 C．2030 D．2032 【答案】D 【分析】此题考查了因式分解的应用，代数式求值问题，把所给代数式的值整体代入变形后的式子计算即可． 【详解】解： ， 故选：D． 2．（24-25八年级上·辽宁大连·期末）若可以被到之间的某两个整数整除，则这两个整数是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】本题考查了因式分解的应用，平方差公式的应用，根据平方差公式因式分解，即可求解． 【详解】解： 故选：A． 3．（24-25八年级上·辽宁大连·期末）小明是一名密码翻译爱好者，在他的密码手册中有这样一条信息：分别对应下列六个字：连，丽，美，大，滨，城，现将因式分解，结果呈现的密码信息可能是（   ） A．滨城 B．美丽滨城 C．滨城大连 D．美丽大连 【答案】D 【分析】本题主要考查了因式分解的应用．将所给的多项式因式分解，然后与已知的密码相对应得出文字信息． 【详解】解：∵ ， 又∵，，，，分别对应下列四个字：美，丽，大，连， ∴结果呈现的密码信息可能是：美丽大连． 故选：D． 4．（24-25八年级下·辽宁辽阳·期末）若，则的值为______． 【答案】 【分析】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．先提取公因式，再套用完全平方公式分解，注意符号的变化． 【详解】解：∵， ∴ 故答案为：． 5．（24-25八年级上·辽宁大连·期末）已知，则_______． 【答案】 【分析】本题考查提公因式计算，已知式子的值求代数式的值．根据题意将式子提公因式得，继而代入题干已知即可得到本题答案． 【详解】解：∵， ∵， ∴， 故答案为：． 6．（24-25八年级下·辽宁朝阳·期末）定义：如果一个多项式能写成两个一次多项式相乘的形式，我们就称这个多项式为“双一次可分解式”．例如，多项式，它是“双一次可分解式”；而不能写成两个一次多项式相乘的形式，所以它不是“双一次可分解式”． 问题： (1)判断多项式是否为“双一次可分解式”，并说明理由． (2)判断多项式是否为“双一次可分解式”并说明理由． (3)已知多项式是“双一次可分解式”，且其中一个一次因式为，求的值． 【答案】(1)是“双一次可分解式”，理由见解析 (2)是“双一次可分解式”，理由见解析 (3) 【分析】本题考查多项式的因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． （1）把用完全平方公式进行因式分解即可； （2）把多项式变形为，提公因式即可； （3）根据常数项，设另一个因式为，则，解得． 【详解】（1）， 是“双一次可分解式”； （2）， 是“双一次可分解式”； （3）根据常数项，设另一个因式为，则， ，， 解得：， 则． 7．（24-25八年级下·辽宁沈阳·期末）因式分解是整式的一种重要恒等变形，它和整式乘法运算有着密切的联系，是后续学习分式化简与运算、解一元二次方程的重要基础．下图是小华对“整式乘法与因式分解”这部分知识的梳理： (1)图中有一处空白，根据本章所学知识，你认为空白处应填的内容是 ． (2)下列习题为新知识学习能力测试题，提供一个例题讲解和三个闯关问题，请同学们认真解答每一个闯关问题： 新知学习 【例题讲解】当k取何值时，是一个完全平方式？ 解决此类问题的关键是熟练掌握完全平方公式：的结构特征．因为，是一个完全平方式，故将写成，根据多项式对应项的系数相等，得到． 问题1 ①若是完全平方式，则m的值为 ； ②若（n为常数）是完全平方式，则n的值为 ； 问题2 ③已知：，则b的值为 ； 问题3 ④如图，现有甲、乙、丙三种不同的矩形纸片（） Ⅰ．若利用甲，乙，丙矩形纸片拼出来的正方形面积为，则正方形边长为 ；（有含a、b的代数式表示） Ⅱ．小新要用这三种纸片紧密拼接成一个大正方形，先取甲纸片1张，再取乙纸片9张，还需取丙纸片 张． 【答案】(1)公式法 (2)①8或；②9；③；④，6 【分析】本题考查了完全平方公式的变形计算，熟练掌握公式变形是解题的关键． （1）根据所学知识和图中信息提示可得空白处为公式法； （2）①根据完全平方公式的结构特征，多项式对应项的系数相等，可得求解即可； ②根据完全平方公式的结构特征，多项式对应项的系数相等，可得； ③先将展开，再根据完全平方公式的结构特征，多项式对应项的系数相等，可得，求解即可； ④Ⅰ、直接利用完全平方公式将因式分解为即可求解； Ⅱ、设还需要x张丙纸片，由题意得，求解即可． 【详解】（1）解：根据所学知识和图中信息提示可得空白处为：公式法， 故答案为：公式法； （2）①∵是完全平方式， ， 根据多项式对应项的系数相等得：， 或， 故答案为：或； ②是完全平方式， ， 根据多项式对应项的系数相等得：， 故答案为：9； ③， 则根据多项式对应项的系数相等得：，， 解得：，， 故答案为：； ④Ⅰ、， 正方形的边长为， 故答案为：； Ⅱ、设还需要x张丙纸片， 由题意得：， ， 又x不能为负数， ， 故答案为：6． 8．（24-25八年级下·辽宁沈阳·期末）定义：若将多项式A和B分别进行因式分解，至少有一个因式相同，则称多项式A和B为共因多项式，其中该相同因式为同因子． 例如：对于多项式，，将两个多项式因式分解，， ，从因式分解的结果可知都含有因式，所以多项式A和B为共因多项式，其中因式为同因子． (1)共因多项式和的同因子是 ； (2)多项式可以分解为，请写出多项式的一个共因多项式（除外），并说明理由； (3)现有足够多的正方形和长方形卡片，如图1所示，分别记为甲，乙，丙． ①选取甲卡片1张，乙卡片3张，丙卡片1张，拼图如图2所示，写出一个多项式的因式分解； ②任意选取甲、乙，丙三种卡片，张数不限，通过拼图得到①中多项式的一个共因多项式（①中多项式除外），请画出拼图，并写出此共因多项式的因式分解． 【答案】(1) (2)为多项式的一个共因多项式，理由见解析 (3)①；②图见解析， 【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法为解题关键． （1）利用完全平方公式将式子因式分解即可求出结果； （2）写出一个含有因子的多项式即可； （3）①根据图形得出；②画出图形再进行因式分解即可． 【详解】（1）解：， ， 共因多项式和的同因子是， 故答案为：； （2），， 共因多项式和的同因子是， 为多项式的一个共因多项式； （3）①如图可得：； ②如图， ， 与同因子是， 是的共因多项式． 9．（24-25八年级上·辽宁葫芦岛·期末）阅读下列材料：某校数学社团小组的同学在分解因式时，发现可以将这个多项式进行重新分组，先利用完全平方公式，然后再利用平方差公式对这个多项式进行了分解．过程如下： 像这样．将一个多项式适当分组后，利用提公因式法或运用公式法继续分解的方法叫做分组分解法． 请你在这种方法的启发下．解决以下问题： (1)分解因式：； (2)已知，，分别是三边的长，且，求的周长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了分解因式及其应用，解题关键是熟练掌握完全平方公式与平方差公式、利用分组法和提取公因式法分解因式． （1）利用分组分解法与完全平方公式和平方差公式分解因式即可； （2）利用分组分解法与完全平方公式分解因式，得出，，，求出，，，进而可得出答案． 【详解】（1）解： ． （2） ∵， ∴． ∴，，， ∴，，， ∴的周长． 10．（24-25八年级下·辽宁锦州·期末）阅读下列材料： 提公因式法、公式法是我们熟悉的因式分解的基本方法，而对于四项及四项以上较复杂的多项式，往往不能直接利用提公因式法、公式法将其进行因式分解．于是我们常常将这样较复杂的多项式用括号分成两个或两个以上的多项式组，从而将其转化为能利用提公因式法或公式法进行因式分解的形式． 例如，因式分解：． 解：原式． 请利用上面因式分解的思路，解答下列问题： (1)因式分解：； (2)若，且，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查分组分解法分解因式； （1）分成两组先分解因式，再提取公因式即可； （2）分成两组先分解因式，再提取公因式，再代入即可求值． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． ． ， ． ． 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $