专题06 概率7大考点（期末真题汇编，天津专用）高一数学下学期人教A版

**基本信息** 概率专题期末试题汇编，覆盖7个高频考点，精选2021-2025年天津多区期末真题，注重基础概念辨析与实际应用结合。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |选择/填空|48题|互斥对立事件、古典概型、独立事件概率等|结合端午节、古代数学家等文化情境，如第41题竞赛答题、第24题数学家著作抽取| |解答题|4题|样本空间书写、概率计算|要求列出样本空间（如第13题标签抽取），体现逻辑推理与数学表达|

专题06 概率 高频考点概览 考点 01 互斥和对立事件 考点 02 写出样本空间 考点 03 古典概型 考点 04概率的基本性质 考点 05 相互独立事件的判断 考点 06 相互独立事件的概率 考点 07 频率和概率 考点01 互斥和对立事件 1．（2022春•河东区期末）某人打靶时连续射击两次，下列事件中与事件“至少一次中靶”互为对立的是（　　） A．至多一次中靶 B．两次都中靶 C．只有一次中靶 D．两次都没中靶 2．（2025春•滨海新区校级期末）把红、黑、蓝、白4张纸牌随机地分发给甲、乙、丙、丁4人，每人分得1张，事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”的关系是（　　） A．既不互斥也不对立 B．既互斥又对立 C．互斥但不对立 D．对立 3．（2024春•东丽区校级期末）有一个人在打靶中，连续射击2次，事件“至少有1次中靶”的对立事件是（　　） A．至多有1次中靶 B．2次都中靶 C．2次都不中靶 D．只有1次中靶 4．（2022春•河东区期末）掷一颗质地均匀的骰子，观察所得的点数，设事件 “为3”， “为4”， “为奇数”，则下列结论正确的是（　　） A．与为互斥事件 B．与为对立事件 C．与为对立事件 D．与为互斥事件 5．（2025春•天津期末）从装有3个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，则与事件“取出的两个球同为红色”互斥而不对立的事件是（　　） A．取出的两个球一个为红色，另一个为黑色 B．取出的两个球颜色相同 C．取出的两个球至多有一个是红色 D．取出的两个球至少有个一是红色 6．（2024春•天津期末）从装有2个红球、1个黑球的袋中任取2个球，若事件为“所取的2个球中恰有1个黑球”，则与事件对立的事件是（　　） A．所取的2个球中至多有一个是黑球 B．所取的2个球中恰有1个黑球1个红球 C．所取的2个球都是红球 D．所取的2个球中至少有一个红球 7．（2025春•滨海新区校级期末）已知，，为随机事件，与互斥，与互为对立，且（A），（C），则（　　） A．0.2 B．0.5 C．0.6 D．0.9 8．（2024春•河东区期末）在一次随机试验中，事件，，彼此互斥，它们的和为必然事件，则下列说法正确的是（　　） A．与是互斥事件，也是对立事件 B．与是互斥事件，也是对立事件 C．与是互斥事件，但不是对立事件 D．与是互斥事件，也是对立事件 9．（2025春•河北区期末）某人打靶时连续射击两次，下列事件中与事件“至少一次中靶”互为对立的是（　　） A．两次都中靶 B．只有一次中靶 C．两次都没有中靶 D．至多一次中靶 10．（2021春•河西区期末）一个袋子中有大小和质地相同的4个球，其中有2个红色球（标号为1和，2个绿色球（标号为3和，从袋中不放回地依次随机摸出2个球，则该试验的样本空间所包含的基本事件的个数为（　　） 考点02 写出样本空间 A．6 B．9 C．12 D．16 11．（2021春•河西区校级期末）一次试验抛掷两枚颜色不同的骰子，则这个试验的样本空间的基本事件数是（　　） A．12 B．30 C．36 D．15 12．（2021春•河北区期末）袋子中有4个大小质地完全相同的球，其中2个红球（标号为1和、2个黄球（标号为3和，从中不放回地依次随机摸出2个球，则用集合形式写出试验的样本空间为 　　；“两次都摸到红球的概率”为 　　． 13．（2021春•蓟州区校级期末）一个盒子中装有标号为1，2，3，4，5的5张标签，随机地选取两张标签，根据下列条件求两张标签上的数字和为5的概率．（要求先列出样本空间和随机事件再求） （1）标签的选取是不放回的； （2）标签的选取是有放回的． 考点03 古典概型 14．（2025春•河北区期末）已知集合，0，，点的坐标为，其中，，则点落在第一象限的概率为（　　） A． B． C． D． 15．（2025春•南开区期末）已知，2，3，，，2，，则点在直线上的概率为（　　） A． B． C． D． 16．（2025春•河东区期末）一个袋子中有4个红球，6个绿球，采用不放回方式从中依次随机地取出2个球，则两次取到的球颜色相同的概率为 　　． 17．（2025春•河西区期末）从1，2，3，4，5中任取3个不同数字，这3个数字之和是偶数的概率为 　　． 18．（2021春•和平区校级期末）在普通高中新课程改革中，某地实施“”选课方案．该方案中“2”指的是从政治、地理、化学、生物4门中任选2门作为选考科目，假设每门科目被选中的可能性相等，那么化学和生物至多有一门被选中的概率是（　　） A． B． C． D． 19．（2024春•和平区校级期末）一枚质地均匀的骰子连续抛掷6次，得到的点数分别为2，1，3，，4，5，则这6个点数的中位数为3.5的概率为（　　） A． B． C． D． 20．（2023春•南开区期末）从数字1，2，3，4中任取三个不同的数字，则所抽取的三个数字之和能被6整除的概率为（　　） A． B． C． D． 21．（2025春•天津期末）分别采取有放回简单随机抽样和不放回简单随机抽样，从两名男生和三名女生中抽取两人，在以上两种抽样方式下，抽到的两人都是女生的概率分别为（　　） A． B． C． D． 22．（2025春•天津期末）高一年级某班要从甲、乙、丙、丁、戊5名候选同学中选出2名参加学校绘画比赛，其中甲被选中的概率为 　　 ． 23．（2025春•天津期末）一个盒子中装有6支圆珠笔，其中3支一等品（标号为，，，2支二等品（标号为，，1支三等品（标号为，若从中不放回地依次随机抽取2支．设事件 “两支都是一等品”， “含有三等品”． （1）用圆珠笔的标号列出所有可能的抽取结果； （2）求事件，的概率． 24．（2024春•天津期末）我国古代有很多数学家，其中刘徽、祖冲之、赵爽、贾宪、秦九韶为我国古代数学的发展做出了重要贡献，若从上述五位数学家中任意抽取2位了解其著作，则抽到祖冲之的概率为（　　） A． B． C． D． 25．（2024春•天津期末）同时抛掷两枚质地均匀的骰子，用表示结果，记事件为“所得点数之和小于4”，则事件的概率为（　　） A． B． C． D． 26．（2024春•天津期末）某校要从高一某班5名班干部（其中2名男生，3名女生）中抽调2人，主持国旗下讲话活动，则被抽调的班干部都是女生的概率为（　　） A． B． C． D． 考点04 概率的基本性质 27．（2024春•滨海新区校级期末）抛掷一枚均匀的骰子（骰子的六个面上分别标有1、2、3、4、5、6个点）一次，观察掷出向上的点数，设事件为掷出向上为偶数点，事件为掷出向上为3点，则（　　） A． B． C． D． 28．（2025春•天津期末）事件与事件为对立事件，已知，则（B） ． 29．（2025春•南开区期末）已知事件和事件互斥，若且，则（A）　　． 30．（2025春•河西区期末）已知事件、互斥，，且（A）（B），则　　． 31．（2024春•河西区期末）已知事件，，的概率均不为0，则（A）（B）的充要条件是（　　） A．（A）（B） B． C． D． 32．（2023春•滨海新区期末）如图是一个古典概型的样本空间和事件和，其中，（A），（B），，则　　；　　． 考点05 相互独立事件的判断 33．（2025春•西青区期末）分别抛掷质地均匀的两枚硬币．设事件 “第一枚硬币正面朝上”， “第二枚硬币反面朝上”．则事件与关系描述正确的为（　　） A．互斥 B．相互独立 C．互为对立 D．相等 34．（2024春•西青区校级期末）一个质地均匀的正四面体木块的四个面上分别标有数字1，2，3，4．连续抛掷这个正四面体本块两次，并记录每次正四面体木块朝下的面上的数字，记事件为“第一次向下的数字为2或3”，事件为“两次向下的数字之和为奇数”，则下列结论正确的是（　　） A． B．事件与事件互斥 C．事件与事件相互独立 D． 35．（2024春•和平区期末）连续抛掷一枚质地均匀的骰子两次，记录每次的点数，设事件 “第一次出现2点”， “第二次的点数小于5点”， “两次点数之和为9”， “两次点数之和为奇数”，则下列说法不正确的是（　　） A．与不互斥且相互独立 B．与互斥且不相互独立 C．与互斥且不相互独立 D．与不互斥且相互独立 考点06 相互独立事件的概率 36．（2024春•西青区期末）天气预报端午假期甲地的降雨概率为0.6，乙地的降雨概率为0.3．假定在这段时间内两地是否降雨相互之间没有影响，则在这段时间内两地都不降雨的概率为 　　 ． 37．（2025春•天津期末）已知甲、乙两名同学在限定时间内解答同一道数学难题，设甲同学解出该题的概率为，乙同学解出该题的概率为．若甲、乙两同学解出该题与否互不影响，则恰有一人解出该题的概率为（　　） A． B． C． D． 38．（2025春•河西区期末）甲、乙、丙三人参加“社会主义核心价值观”演讲比赛，若甲、乙、丙三人能荣获一等奖的概率分别为，，且三人是否获得一等奖相互独立，则这三人中至少有两人获得一等奖的概率为（　　） A．14 B． C． D． 39．（2025春•滨海新区校级期末）一名信息员维护甲、乙两公司的网络，一天内甲公司需要维护和乙公司需要维护相互独立，它们需要维护的概率分别为0.2和0.3，则至少有一个公司不需要维护的概率为 　　 ． 40．（2024春•滨海新区校级期末）甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一球，约定甲先投，先投中者获胜，一直到有人获胜或每人都已投球3次时投篮结束，设甲每次投篮投中的概率为，乙每次投篮投中的概率为，且各次投篮互不影响，则甲获胜的概率为（　　） A． B． C． D． 41．（2024春•和平区校级期末）2009年9月，经联合国教科文组织批准，中国传统节日端午节正式列入世界非物质文化遗产，同时，端午节成为中国首个入选世界非物质文化遗产的节日．为弘扬中国传统文化，某校在端午节期间组织有关端午节文化知识竞赛活动，某班甲、乙两人组成“粽队”参加竞赛活动，每轮活动由甲、乙各回答一个问题，已知每轮活动中甲、乙答对问题的概率分别为和，且每轮活动中甲、乙答对与否互不影响，各轮结果也互不影响．则甲在两轮活动中答对1个问题的概率为 　　 ，“粽队”在两轮活动中答对三个问题的概率为 　　 ． 42．（2025春•天津校级期末）天津是一个历史悠久的文化古都，盘山，石家大院，古文化街，鼓楼这四个景点又是天津十分有名的旅游胜地．已知某游客游览盘山的概率为，游览石家大院，古文化街，鼓楼的概率都是，且该游客是否游览这四个景点相互独立，则该游客只游览一个景点的概率为 　　；该游客至少游览三个景点的概率为 　　 43．（2025春•天津期末）联合国教科文组织批准，中国传统节日端午节正式列入世界非物质文化遗产，同时，端午节成为中国首个入选世界非物质文化遗产的节日．为弘扬中国传统文化，某校在端午节期间组织有关端午节文化知识竞赛活动，某班甲、乙两人组成“粽队”参加竞赛活动，每轮活动由甲、乙各回答一个问题，已知每轮活动中甲、乙答对问题的概率分别为和，且每轮活动中甲、乙答对与否互不影响，各轮结果也互不影响．则甲在两轮活动中答对两个问题的概率为 　　 ，“粽队”在两轮活动中至少答对三个问题的概率为 　　 ． 44．（2025春•天津期末）2025年是中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年，为激发民众的爱国热情和民族自豪感，某地举办相关知识竞答活动．在决赛中，每轮活动由甲、乙各答一个问题，已知甲每轮答对的概率为，乙每轮答对的概率为．在每轮活动中，甲和乙答对与否互不影响，各轮结果也互不影响，则乙在两轮活动中恰好答对一个问题的概率为 　　 ；两人在两轮活动中共答对3个问题的概率为 　　 ． 考点07 频率和概率 45．（2025春•河东区期末）盒子中有四张卡片，分别写有“笔墨纸砚”四个字，有放回地从中任取一张卡片，直到“纸”“砚“两个字都取到就停止，用随机模拟的方法估计恰好在第三次取到卡片后停止的概率．利用电脑随机产生1到4之间取整数值的随机数，分别用1，2，3，4代表“笔墨纸砚”这四个字，以每三个随机数为一组，表示三次的结果，经随机模拟产生了以下20组随机数： 46 432 314 134 234 132 243 331 112 324 47 241 244 342 124 431 233 214 344 434 由此可以估计，恰好第三次结束时就停止的概率为（　　） A． B． C． D． 50．（2025春•河西区期末）一个不透明的袋中装有除颜色外均相同的8个红球，4个白球，若干个黑球，每次摇匀后随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，经过大量重复实验后，发现摸到黑球的频率稳定在0.4，则袋中约有黑球（　　） A．6个 B．7个 C．8个 D．9个 51．（2023春•河东区期末）用木块制作的一个四面体，四个面上分别标记1，2，3，4，重复抛掷这个四面体200次，记录每个面落在地上的次数（如表）．下列说法正确的是（　　） 四面体的面 1 2 3 4 频数 44 36 42 78 A．该四面体一定不是均匀的 B．再抛掷一次，估计标记2的面落地概率0.72 C．再抛掷一次，标记4的面落地 D．再抛掷一次，估计标记3的面落地概率0.2 52．（2023春•天津期末）下列叙述正确的是（　　） A．随着试验次数的增加，概率一般会越来越接近一个数值 B．若随机事件发生的概率为（A），则（A） C．口袋里有两个白色乒乓球一个黄色乒乓球，除颜色外完全相同．任取两个球，则一黄一白与两白的概率相同 D．事件与事件相互独立，则 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 概率 高频考点概览 考点 01 互斥和对立事件 考点 02 写出样本空间 考点 03 古典概型 考点 04概率的基本性质 考点 05 相互独立事件的判断 考点 06 相互独立事件的概率 考点 07 频率和概率 ( 考点01 互斥和对立事件 ) 1．（2022春•河东区期末）某人打靶时连续射击两次，下列事件中与事件“至少一次中靶”互为对立的是（　　） A．至多一次中靶 B．两次都中靶 C．只有一次中靶 D．两次都没中靶 【解答】解：连续射击两次中靶的情况如下：①两次都中靶，②只有一次中靶，③两次都没中靶； 设事件：至少一次中靶，则①，②， 选项：事件：至多一次中靶，则②，③，②，不互斥，不对立， 选项：事件：两次都中靶，则①，①，不互斥，不对立， 选项：事件：只有一次中靶，则②，②，不互斥，不对立， 选项：事件：两次都没中靶；则③，，且①，②，③，互斥且对立， 故选：． 2．（2025春•滨海新区校级期末）把红、黑、蓝、白4张纸牌随机地分发给甲、乙、丙、丁4人，每人分得1张，事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”的关系是（　　） A．既不互斥也不对立 B．既互斥又对立 C．互斥但不对立 D．对立 【解答】解：把红、黑、蓝、白4张纸牌随机地分发给甲、乙、丙、丁4人，每人分得1张， 事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”不能同时发生，但能同时不发生， 事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”的关系是互斥但不对立． 故选：． 3．（2024春•东丽区校级期末）有一个人在打靶中，连续射击2次，事件“至少有1次中靶”的对立事件是（　　） A．至多有1次中靶 B．2次都中靶 C．2次都不中靶 D．只有1次中靶 【解答】解：由于两个事件互为对立事件时，这两件事不能同时发生，且这两件事的和事件是一个必然事件， 再由于一个人在打靶中，连续射击2次，事件“至少有1次中靶”的反面为“2次都不中靶”， 故事件“至少有1次中靶”的对立事件是“2次都不中靶”， 故选：． 4．（2022春•河东区期末）掷一颗质地均匀的骰子，观察所得的点数，设事件 “为3”， “为4”， “为奇数”，则下列结论正确的是（　　） A．与为互斥事件 B．与为对立事件 C．与为对立事件 D．与为互斥事件 【解答】解：设事件 “为3”， “为4”， “为奇数”， 与是互斥事件， 与是互斥事件， 这里没有对立事件， 事件包含在事件里， 故选：． 5．（2025春•天津期末）从装有3个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，则与事件“取出的两个球同为红色”互斥而不对立的事件是（　　） A．取出的两个球一个为红色，另一个为黑色 B．取出的两个球颜色相同 C．取出的两个球至多有一个是红色 D．取出的两个球至少有个一是红色 【解答】解：根据题意，事件“取出的两个球同为红色”的对立事件为“取出的两个球至少有一个为黑色”， 故所求事件为事件“取出的两个球至少有一个为黑色”的子事件，且不能等同于该事件， 依次分析选项： 对于，由以上分析可知正确； 对于，由于取出的两个球可能都为红色，故不互斥，故不正确； 对于，由以上分析可知，选项是事件“取出的两个球同为红色”的对立事件，故不正确． 故选：． 6．（2024春•天津期末）从装有2个红球、1个黑球的袋中任取2个球，若事件为“所取的2个球中恰有1个黑球”，则与事件对立的事件是（　　） A．所取的2个球中至多有一个是黑球 B．所取的2个球中恰有1个黑球1个红球 C．所取的2个球都是红球 D．所取的2个球中至少有一个红球 【解答】解：根据题意，从装有2个红球、1个黑球的袋中任取2个球，有“1个黑球和1个红球”和“2个红球”两种情况， 若事件为“所取的2个球中恰有1个黑球”， 则与事件对立的事件是“所取的2个球都是红球”． 故选：． 7．（2025春•滨海新区校级期末）已知，，为随机事件，与互斥，与互为对立，且（A），（C），则（　　） A．0.2 B．0.5 C．0.6 D．0.9 【解答】解：因为事件与事件互为对立，所以（B）（C）， 因为事件与事件互斥，则（A）（B）． 故选：． 8．（2024春•河东区期末）在一次随机试验中，事件，，彼此互斥，它们的和为必然事件，则下列说法正确的是（　　） A．与是互斥事件，也是对立事件 B．与是互斥事件，也是对立事件 C．与是互斥事件，但不是对立事件 D．与是互斥事件，也是对立事件 【解答】解：事件，，彼此互斥，它们的和为必然事件， 则与是互斥事件，但不是对立事件，故错误； 与能同时发生，不是互斥事件，故错误； 与是互斥事件，同时也是对立事件，故错； 与是互斥事件，也是对立事件，故正确． 故选：． 9．（2025春•河北区期末）某人打靶时连续射击两次，下列事件中与事件“至少一次中靶”互为对立的是（　　） A．两次都中靶 B．只有一次中靶 C．两次都没有中靶 D．至多一次中靶 【解答】解：连续射击两次中靶的情况为：两次都中靶，只有一次中靶，两次都没有中靶， 设事件：至少有一次中靶，则两次都中靶，只有一次中靶， 选项，事件：两次都中靶，则两次都中靶，所以两次都中靶， ，不对立，故错误； 选项，事件：只有一次中靶，则只有一次中靶，所以只有一次中靶， ，不对立，故错误； 选项：事件：两次都没有中靶，则两次都没有中靶，所以，且两次都中靶，只有一次中靶，两次都没有中靶， 所以，对立，故正确； 选项，事件：至多一次中靶，则只有一次中靶，两次都没有中靶，所以只有一次中靶， ，不对立，故错误． 故选：． ( 考点02 写出样本空间 ) 10．（2021春•河西区期末）一个袋子中有大小和质地相同的4个球，其中有2个红色球（标号为1和，2个绿色球（标号为3和，从袋中不放回地依次随机摸出2个球，则该试验的样本空间所包含的基本事件的个数为（　　） A．6 B．9 C．12 D．16 【解答】解：由题意，该试验的样本空间所包含的基本事件有： ，，，，，，，，，，，，共12个． 故选：． 11．（2021春•河西区校级期末）一次试验抛掷两枚颜色不同的骰子，则这个试验的样本空间的基本事件数是（　　） A．12 B．30 C．36 D．15 【解答】解：每枚骰子都有6种可能，所以全部的基本事件数为种．故选：． 12．（2021春•河北区期末）袋子中有4个大小质地完全相同的球，其中2个红球（标号为1和、2个黄球（标号为3和，从中不放回地依次随机摸出2个球，则用集合形式写出试验的样本空间为 　　；“两次都摸到红球的概率”为 　　． 【解答】解：由题意可得，该试验的样本空间所包含的基本事件有，，，，，，，，，，，，共12个， 故试验的样本空间为，，，，，，，，，，，， “两次摸到红球”的事件有，，共2个， 两次都摸到红球的概率， 故答案为：，，，，，，，，，，，，． 13．（2021春•蓟州区校级期末）一个盒子中装有标号为1，2，3，4，5的5张标签，随机地选取两张标签，根据下列条件求两张标签上的数字和为5的概率．（要求先列出样本空间和随机事件再求） （1）标签的选取是不放回的； （2）标签的选取是有放回的． 【解答】解：设抽取两张卡片数字和为5的事件为， （1）基本事件总数为， 事件包含的基本事件数4，即：，，，， （A）． （2）基本事件总数为， 事件包含的基本事件数4，即：，，，， （A）． ( 考点0 3 古典概型 ) 14．（2025春•河北区期末）已知集合，0，，点的坐标为，其中，，则点落在第一象限的概率为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：由题意，点的坐标为，，，，，，，，， 其中在第一象限的有，则点落在第一象限的概率为． 故选：． 15．（2025春•南开区期末）已知，2，3，，，2，，则点在直线上的概率为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：所有的基本事件为，，，，，，，，，，，共有12个， 设事件表示“点在直线上”，则包含，，三个基本事件， 所以（A）． 故选：． 16．（2025春•河东区期末）一个袋子中有4个红球，6个绿球，采用不放回方式从中依次随机地取出2个球，则两次取到的球颜色相同的概率为 　　． 【解答】解：一个袋子中有4个红球，6个绿球，采用不放回方式从中依次随机地取出2个球， 基本事件总数， 两次取到的球颜色相同包含的基本事件个数， 则两次取到的球颜色相同的概率为． 故答案为：． 17．（2025春•河西区期末）从1，2，3，4，5中任取3个不同数字，这3个数字之和是偶数的概率为 　　． 【解答】解：从5个数字中挑3个不同的数字，总共种挑法，其中3个数之和是偶数需满足有两个奇数一个偶数， 则共有种挑法，故从这5个数中挑3个不同的数且和为偶数的概率为． 故答案为：． 18．（2021春•和平区校级期末）在普通高中新课程改革中，某地实施“”选课方案．该方案中“2”指的是从政治、地理、化学、生物4门中任选2门作为选考科目，假设每门科目被选中的可能性相等，那么化学和生物至多有一门被选中的概率是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：从4门学科中任选2门共有：政治地理、政治化学、 政治生物、地理化学、地理生物、化学生物，共6种情况， 其中满足化学和生物至多有一门被选中的有5种情况，所以其概率为． 故选：． 19．（2024春•和平区校级期末）一枚质地均匀的骰子连续抛掷6次，得到的点数分别为2，1，3，，4，5，则这6个点数的中位数为3.5的概率为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：显然的可能取值有1，2，3，4，5，6，共有6种可能， 除去将数据按升序排列可得1，2，3，4，5， 可知这6个点数的中间两数必有3， 若这6个点数的中位数为3.5，则中间两数应为3，4， 可得，5，6，共有3种可能， 所以这6个点数的中位数为3.5的概率为． 故选：． 20．（2023春•南开区期末）从数字1，2，3，4中任取三个不同的数字，则所抽取的三个数字之和能被6整除的概率为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：从数字1，2，3，4中任取三个不同的数字，方法有：123，124，134，234共4种， 其中所抽取的三个数字之和能被6整除的有：共1种， 故所求概率为． 故选：． 21．（2025春•天津期末）分别采取有放回简单随机抽样和不放回简单随机抽样，从两名男生和三名女生中抽取两人，在以上两种抽样方式下，抽到的两人都是女生的概率分别为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：分别采取有放回简单随机抽样和不放回简单随机抽样，从两名男生和三名女生中抽取两人， 若采用有放回简单随机抽样，可得抽到的两人都是女生的概率； 若采用不放回简单随机抽样，可得抽到的两人都是女生的概率． 故选：． 22．（2025春•天津期末）高一年级某班要从甲、乙、丙、丁、戊5名候选同学中选出2名参加学校绘画比赛，其中甲被选中的概率为 　　 ． 【解答】解：高一年级某班要从甲、乙、丙、丁、戊5名候选同学中选出2名参加学校绘画比赛， 不同的选取方法有： 甲乙，甲丙，甲丁，甲戊，乙丙，乙丁，乙戊，丙丁，丙戊，丁戊共10种情况， 其中甲被选中的有甲乙，甲丙，甲丁，甲戊4种情况， 甲被选中的概率为． 故答案为：． 23．（2025春•天津期末）一个盒子中装有6支圆珠笔，其中3支一等品（标号为，，，2支二等品（标号为，，1支三等品（标号为，若从中不放回地依次随机抽取2支．设事件 “两支都是一等品”， “含有三等品”． （1）用圆珠笔的标号列出所有可能的抽取结果； （2）求事件，的概率． 【解答】解：（1）根据题意可得样本空间为： ，，，，，，，，，，，，，，，，，，，， ，，，，，，，，，，，，，，，，，，，， ，，，，，，，，，，，，，，，共30种不同抽取结果； （2）因为，，，，，，，，，，，共，6种不同抽取结果， 所以； 又，，，，，，，，，，，，，，，共10种不同抽取结果， 所以． 24．（2024春•天津期末）我国古代有很多数学家，其中刘徽、祖冲之、赵爽、贾宪、秦九韶为我国古代数学的发展做出了重要贡献，若从上述五位数学家中任意抽取2位了解其著作，则抽到祖冲之的概率为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：用，，，，分别表示刘徽、祖冲之、赵爽、贾宪、秦九韶五位数学家， 从五位数学家中任意抽取2位，样本空间为： ，，，，，，，，，，共10个样本点， 设事件表示“抽到祖冲之”， 则，，，，共4个样本点， 所以（A）． 故选：． 25．（2024春•天津期末）同时抛掷两枚质地均匀的骰子，用表示结果，记事件为“所得点数之和小于4”，则事件的概率为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：同时抛掷两枚质地均匀的骰子，用表示结果， 基本事件总数， 记事件为“所得点数之和小于4”， 则事件包含的基本事件个数，分别为：，，， 则事件的概率为． 故选：． 26．（2024春•天津期末）某校要从高一某班5名班干部（其中2名男生，3名女生）中抽调2人，主持国旗下讲话活动，则被抽调的班干部都是女生的概率为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：2名男生记为，，3名女生记为，，， 从5人中抽取2人，样本空间为，，，，，，，，，，共10个样本点， 设事件表示“抽调的班干部都是女生”， 则，，，共3个样本点， 所以（A）． 故选：． ( 考点0 4 概率的基本性质 ) 27．（2024春•滨海新区校级期末）抛掷一枚均匀的骰子（骰子的六个面上分别标有1、2、3、4、5、6个点）一次，观察掷出向上的点数，设事件为掷出向上为偶数点，事件为掷出向上为3点，则（　　） A． B． C． D． 【解答】解：事件为掷出向上为偶数点，（A）； 事件为掷出向上为3点，（B）， 又事件、是互斥事件，事件为事件、有一个发生的事件， ． 故选：． 28．（2025春•天津期末）事件与事件为对立事件，已知，则（B） ． 【解答】解：根据题意，事件与为对立事件，则． 故答案为：． 29．（2025春•南开区期末）已知事件和事件互斥，若且，则（A）　　． 【解答】解：事件和事件互斥，若且， （B）， （A）（B）． 故答案为：0.3． 30．（2025春•河西区期末）已知事件、互斥，，且（A）（B），则　　． 【解答】解：事件、互斥，，且（A）（B）， （A）（B）（B）， 解得（B）， （B）． 故答案为：． 31．（2024春•河西区期末）已知事件，，的概率均不为0，则（A）（B）的充要条件是（　　） A．（A）（B） B． C． D． 【解答】解：对于：因为（A）（B），由（A）（B）， 只能得到，并不能得到（A）（B），故错误； 对于：因为，， 又，所以（A）（B），故正确； 对于：因为（A）（C），（B）（C）， 由，只能得到（A）（B）， 由于不能确定，，是否相互独立，故无法确定（A）（B），故错误； 对于：由于不能确定，，是否相互独立， 若，，相互独立，则（A）（C），（B）（C）， 则由可得（A）（B）， 故由无法确定（A）（B），故错误； 故选：． 32．（2023春•滨海新区期末）如图是一个古典概型的样本空间和事件和，其中，（A），（B），，则　　；　　． 【解答】解：， ， 故答案为：； ( 考点0 5 相互独立事件的判断 ) 33．（2025春•西青区期末）分别抛掷质地均匀的两枚硬币．设事件 “第一枚硬币正面朝上”， “第二枚硬币反面朝上”．则事件与关系描述正确的为（　　） A．互斥 B．相互独立 C．互为对立 D．相等 【解答】解：根据题意，依次分析选项： 对于，、可以同时发生，不是互斥事件，错误； 对于，，，，则、相互独立，正确； 对于，、可以同时发生，不是对立事件，错误； 对于，、不相等，错误． 故选：． 34．（2024春•西青区校级期末）一个质地均匀的正四面体木块的四个面上分别标有数字1，2，3，4．连续抛掷这个正四面体本块两次，并记录每次正四面体木块朝下的面上的数字，记事件为“第一次向下的数字为2或3”，事件为“两次向下的数字之和为奇数”，则下列结论正确的是（　　） A． B．事件与事件互斥 C．事件与事件相互独立 D． 【解答】解：根据题意，第一次向下的数字为，第二次向下的数字为，用表示两次向下的数字， 依次分析选项： 对于，事件为“第一次向下的数字为2或3”， （A），错误； 对于，事件、可以同时发生，如事件，故事件、不是互斥事件，错误； 对于，事件有、、、、、、、，共8个基本事件， 则（B） 事件有四个基本事件，即、、、，则， 则有（A）（B），则事件、相互独立，正确； 对于，（A）（B），错误． 故选：． 35．（2024春•和平区期末）连续抛掷一枚质地均匀的骰子两次，记录每次的点数，设事件 “第一次出现2点”， “第二次的点数小于5点”， “两次点数之和为9”， “两次点数之和为奇数”，则下列说法不正确的是（　　） A．与不互斥且相互独立 B．与互斥且不相互独立 C．与互斥且不相互独立 D．与不互斥且相互独立 【解答】解：对于，连续抛掷一枚质地均匀的骰子两次，第一次与第二次的结果互不影响， 即与相互独立；第一次出现2点，第二次的点数小于5点可以同时发生， 与不互斥，故正确． 对于，，，，由（B）（C），知与不相互独立；若第一次的点数为5，第二次的点数为4，则两次点数之和为9，即与可以同时发生，故与不互斥，故不正确． 对于，，，，由（A）（C），知与不相互独立；第一次出现2点，两次点数之和为9不能同时发生，故与互斥，故正确． 对于，，，，由（A）（D），知与相互独立；若第一次的点数为2，第二次的点数为3，则两次点数之和为奇数，即与可以同时发生，故与不互斥，故正确． 故选：． ( 考点0 6 相互独立事件的概率 ) 36．（2024春•西青区期末）天气预报端午假期甲地的降雨概率为0.6，乙地的降雨概率为0.3．假定在这段时间内两地是否降雨相互之间没有影响，则在这段时间内两地都不降雨的概率为 　　 ． 【解答】解：根据题意，甲地的降雨概率为0.6，乙地的降雨概率为0.3． 则甲地的不降雨概率为，乙地的不降雨概率为， 故在这段时间内两地都不降雨的概率． 故答案为：0.28． 37．（2025春•天津期末）已知甲、乙两名同学在限定时间内解答同一道数学难题，设甲同学解出该题的概率为，乙同学解出该题的概率为．若甲、乙两同学解出该题与否互不影响，则恰有一人解出该题的概率为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：根据题意可知，设甲解出为事件，乙解出为事件，所以，， 所以甲解出且乙未解出为， 乙解出且甲未解出为， 所以恰有一人解出该题的概率为． 故选：． 38．（2025春•河西区期末）甲、乙、丙三人参加“社会主义核心价值观”演讲比赛，若甲、乙、丙三人能荣获一等奖的概率分别为，，且三人是否获得一等奖相互独立，则这三人中至少有两人获得一等奖的概率为（　　） A．14 B． C． D． 【解答】解：甲、乙、丙三人能荣获一等奖的概率分别为，，且三人是否获得一等奖相互独立， 则甲、乙、丙三人不获一等奖的概率分别是，，， 则这三人中恰有两人获得一等奖的概率为， 这三人都获得一等奖的概率为， 所以这三人中至少有两人获得一等奖的概率． 故选：． 39．（2025春•滨海新区校级期末）一名信息员维护甲、乙两公司的网络，一天内甲公司需要维护和乙公司需要维护相互独立，它们需要维护的概率分别为0.2和0.3，则至少有一个公司不需要维护的概率为 　　 ． 【解答】解：一名信息员维护甲乙两公司的网络， 一天内甲公司需要维护和乙公司需要维护相互独立， 它们需要维护的概率分别为0.2和0.3， 至少有一个公司不需要维护的概率为： ． 故答案为：0.94． 40．（2024春•滨海新区校级期末）甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一球，约定甲先投，先投中者获胜，一直到有人获胜或每人都已投球3次时投篮结束，设甲每次投篮投中的概率为，乙每次投篮投中的概率为，且各次投篮互不影响，则甲获胜的概率为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：甲获胜分为三种情况， 甲第一次即投中，此时概率为， 甲第一次没有投中，第二次投中，乙没有投中， 此时概率为， 甲前两次没有投中，第三次投中，乙两次均未投中， 此时概率为， 故甲获胜的概率为． 故选：． 41．（2024春•和平区校级期末）2009年9月，经联合国教科文组织批准，中国传统节日端午节正式列入世界非物质文化遗产，同时，端午节成为中国首个入选世界非物质文化遗产的节日．为弘扬中国传统文化，某校在端午节期间组织有关端午节文化知识竞赛活动，某班甲、乙两人组成“粽队”参加竞赛活动，每轮活动由甲、乙各回答一个问题，已知每轮活动中甲、乙答对问题的概率分别为和，且每轮活动中甲、乙答对与否互不影响，各轮结果也互不影响．则甲在两轮活动中答对1个问题的概率为 　　 ，“粽队”在两轮活动中答对三个问题的概率为 　　 ． 【解答】解：由题意，甲在两轮活动中答对1个问题的概率为； “粽队”两轮活动中答对三个问题，等价于其中一人答对两个，另外一人答对一个， 概率为． 故答案为：；． 42．（2025春•天津校级期末）天津是一个历史悠久的文化古都，盘山，石家大院，古文化街，鼓楼这四个景点又是天津十分有名的旅游胜地．已知某游客游览盘山的概率为，游览石家大院，古文化街，鼓楼的概率都是，且该游客是否游览这四个景点相互独立，则该游客只游览一个景点的概率为 　　；该游客至少游览三个景点的概率为 　　 【解答】解：某游客游览盘山的概率为，游览石家大院，古文化街，鼓楼的概率都是，且该游客是否游览这四个景点相互独立， 只浏览一个景点的概率为：． 游览三个景点的概率为：， 游览四个景点的概率为：， 故至少游览三个景点的概率为：． 故答案为：；． 43．（2025春•天津期末）联合国教科文组织批准，中国传统节日端午节正式列入世界非物质文化遗产，同时，端午节成为中国首个入选世界非物质文化遗产的节日．为弘扬中国传统文化，某校在端午节期间组织有关端午节文化知识竞赛活动，某班甲、乙两人组成“粽队”参加竞赛活动，每轮活动由甲、乙各回答一个问题，已知每轮活动中甲、乙答对问题的概率分别为和，且每轮活动中甲、乙答对与否互不影响，各轮结果也互不影响．则甲在两轮活动中答对两个问题的概率为 　　 ，“粽队”在两轮活动中至少答对三个问题的概率为 　　 ． 【解答】解：某班甲、乙两人组成“粽队”参加竞赛活动，每轮活动由甲、乙各回答一个问题， 已知每轮活动中甲、乙答对问题的概率分别为和，且每轮活动中甲、乙答对与否互不影响， 设事件 “甲答对问题”，事件 “乙答对问题”， 因为每轮活动中甲、乙答对与否互不影响，各轮结果也互不影响， 所以甲在两轮活动中答对两个问题的概率为； “粽队”在两轮活动中至少答对三个问题，则包含， 可得概率为 ． 故答案为：；． 44．（2025春•天津期末）2025年是中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年，为激发民众的爱国热情和民族自豪感，某地举办相关知识竞答活动．在决赛中，每轮活动由甲、乙各答一个问题，已知甲每轮答对的概率为，乙每轮答对的概率为．在每轮活动中，甲和乙答对与否互不影响，各轮结果也互不影响，则乙在两轮活动中恰好答对一个问题的概率为 　　 ；两人在两轮活动中共答对3个问题的概率为 　　 ． 【解答】解：设事件甲第轮答对为，事件乙第轮答对为，，2， 则，，，相互独立，且，， ，， 设事件乙在两轮活动中恰好答对个问题为，，2， 则，其中事件，互斥， ， 乙在两轮活动中恰好答对一个问题的概率为． 设事件甲在两轮活动中恰好答对一个问题为，，2， 则，其中事件，互斥， ， 则， ， 两人在两轮活动中共答对3个问题可表示为， 其中，，互斥，事件，相互独立，，相互独立， ， 两人在两轮活动中共答对3个问题的概率为． 故答案为：；． ( 考点0 7 频率和概率 ) 45．（2025春•河东区期末）盒子中有四张卡片，分别写有“笔墨纸砚”四个字，有放回地从中任取一张卡片，直到“纸”“砚“两个字都取到就停止，用随机模拟的方法估计恰好在第三次取到卡片后停止的概率．利用电脑随机产生1到4之间取整数值的随机数，分别用1，2，3，4代表“笔墨纸砚”这四个字，以每三个随机数为一组，表示三次的结果，经随机模拟产生了以下20组随机数： 46 432 314 134 234 132 243 331 112 324 47 241 244 342 124 431 233 214 344 434 由此可以估计，恰好第三次结束时就停止的概率为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：根据题意，在20组随机数中，恰好第三次结束时就停止有314、134、234、243、324，共有5组， 48 432 314 134 234 132 243 331 112 324 49 241 244 342 124 431 233 214 344 434 则恰好第三次结束时就停止的概率． 故选：． 50．（2025春•河西区期末）一个不透明的袋中装有除颜色外均相同的8个红球，4个白球，若干个黑球，每次摇匀后随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，经过大量重复实验后，发现摸到黑球的频率稳定在0.4，则袋中约有黑球（　　） A．6个 B．7个 C．8个 D．9个 【解答】解：根据题意，设袋子中有黑球个， 则有，解可得． 故选：． 51．（2023春•河东区期末）用木块制作的一个四面体，四个面上分别标记1，2，3，4，重复抛掷这个四面体200次，记录每个面落在地上的次数（如表）．下列说法正确的是（　　） 四面体的面 1 2 3 4 频数 44 36 42 78 A．该四面体一定不是均匀的 B．再抛掷一次，估计标记2的面落地概率0.72 C．再抛掷一次，标记4的面落地 D．再抛掷一次，估计标记3的面落地概率0.2 【解答】解：对于选项，就算四面体是均匀的，理论上每个面落地的次数仍旧可能不一样， 在均匀的条件下，随着试验次数的增多，每个面落地的次数将会变得越来越接近， 换句话说，即使是均匀的四面体，仅仅在200次试验下，得到落地的面的统计结果也可能不一样，故错误； 选项，由于这200次实验2，3，4落在底面的频率分别为，即0.18，0.21，0.39， 对于选项，估计的概率0.72和频率0.18差别过大，故错误； 对于选项，认为标记4的面必定落地，是必然事件，概率为1，但频率只有0.39， 因此不能认为必然发生，故错误； 对于选项，标记3的面落地概率估计是0.2，和实验频率0.21非常接近，选项正确． 故选：． 52．（2023春•天津期末）下列叙述正确的是（　　） A．随着试验次数的增加，概率一般会越来越接近一个数值 B．若随机事件发生的概率为（A），则（A） C．口袋里有两个白色乒乓球一个黄色乒乓球，除颜色外完全相同．任取两个球，则一黄一白与两白的概率相同 D．事件与事件相互独立，则 【解答】解：选项，随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近一个数值， 概率是固定值，所以选项错误； 选项，随机事件发生的概率（A）满足（A）， 所以选项错误； 选项，白乒乓球记为1，2，黄乒乓球记为3， 任取2个，基本事件为，，，，，， 一黄一白的概率为，两白的概率为，所以选项错误； 选项，事件与事件相互独立， 则（A）（A）（B）（A）（B）（A），所以选项正确． 故选：． 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $