五、三角形-【一战成名新中考·乾坤卷】2025河北中考原创压轴卷（全学科）

五、目 1.在综合实践课上，同学们进行折纸活动，根据 下列折纸的示意图（其中C'是点C的对应 ,点)，其中线段AD一定是△ABC的中线的是 B(C') D B A D B C D 2.真实情境如图是某种落地灯的简易示意 图，已知悬杆CD=支杆BC,且∠BCE=120°. 若CD的长为50cm,则B,D两点之间的距离 为 ( A.40 cm B.45 cm C.50 cm D.55 cm 、E B 5cm D 7 cm 3 cm 8cm 第2题图 第3题图 3.如图，将四根长度分别为3cm,5cm,7cm, 8cm的木条钉成一个四边形木架ABCD,为 使其稳定，新增的木条BD的长度可能是 A.3 cm B.4 cm C.9 cm D.12 cm 4.如图，以点0为圆心，以任意长为半径画弧 ①，分别交OA,OB于点E,F,要使∠AOC ∠AOB,关于弧②的画法及作图依据，下列说 法正确的是 ( A.以点F为圆心，OE长为半径画弧② B.以点F为圆心，EF长为半径画弧② 乾卷加 角形 C.使∠AOC=∠AOB的依据是SSS D.使∠AOC=∠AOB的依据是SAS ① ② E O FB O M B 第4题图 第5题图 5.如图，∠A0B=30°，OA=6cm,点M是射线 OB上一个动点，当△AOM为直角三角形时， OM的长为 () A.3.3 cm B.4√3cm C.53 cm D.3√3cm或4√3cm 6.如图①，②，③，∠A=60°，∠1=∠2，∠3= ∠4，则∠M+∠N+∠P的度数为 () B C 图① 图② 图③ 第6题图 数 A.150° B.180° C.210° D.220° 学 7.如图，在正方形网格中，A,B,C,D是网格线 交点，AC与BD相交于点O,小正方形的边长 为1，则A0的长为 B -----t X D A {--------1-- 第7题图 第8题图 8.如图，嘉淇在横格纸上（横格纸互相平行且间 距相等)画出了△ABC,恰好三个顶点都在横 格线上，其中D,E,F,G都是三角形的边与横 格线的交点，若四边形DEFG的面积为2，则 △ABC的面积为 练·河北 73 9.真实情境嘉淇的爸爸是钓鱼爱好者，已知 钓鱼竿AB长5m,钓鱼竿尾端A距离岸边 0.4m(即AD=0.4m),水面EF与地面AD 平行且竖直距离为2m(即DE=2m). (1)如图①，在等待鱼上钩的过程中，水面上 方鱼线BC(看成线段)与水面EF的夹角 ∠BCE=37°，鱼线末端C刚好位于水面EE 上，钓鱼竿AB与地面AD的夹角∠BAD= 30°，求点C到岸边DE的距离； (2)如图②，当刚好有鱼上钩并且提竿的过 程中，钓鱼竿AB与地面AD的夹角∠BAD= 53°，此时鱼线BC被回收，鱼线末端C刚好 位于水面EF上.已知此时鱼线BC长6.5m, 求点C到岸边DE的距离. (结果保留小数，点后一位，参考数据：sin37°= c0s53° 5,cos370=sin530 5,tan37o≈ tan53° 33取1.7) B B D 边 数 水面 水面 图① 图② 第9题图 74 乾卷加结 10.综合与实践如图①，在△ABC中，AC=4, BC=3,点P从点A出发，沿A→C→B→A的 路径，以每秒1个单位长度的速度运动.设 点P的运动时间为t秒(t>0) 【问题探究】 (1)当AB=5时， ①判断△ABC的形状，并说出理由； ②点P在AC边上运动，当BP=4时，求t 的值； 【深入探索】 (2)在(1)的条件下， ①当点P运动到∠CAB的角平分线上时，t 的值为 ②如图②，当点P运动到AB边上时，过点P 作PD⊥CP,交边AC于点D,且△BCP是以 CP为腰的等腰三角形，那么PD的长 等于 【引发思考】 (3)如图③，以AB为边，在△ABC下方作等 腰△ABE,∠AEB=120°，CE的最大值 为 图① 图② 图③ 第10题图 ·河北-8<0, 当x=30时，W,有最大值，最大值为7140元： (2)由题意得W2=800z-y=800z-az2-bz-80, 由表格可得，当z=10时，W2=4920,当z=40时，W2=7920, (4920=800×10-100a-10b-80, (7920=800x40-1600a-40b-80. (a=10, 6=200, .W2=-102+600z-80: (3)设每年的总利润为W元，则W=W+W2, 由题意得z=2x, .W=W,+W2 =-8x2+480x-60+(-40x2+1200x-80) =-48x2+1680x-140 =-48(x-52+14560. -48<0, 当：空时，甲有最大值，但x为正鉴数。 .当x=17或18时，W有最大值，W的最大值为14548元， .当种植17棵或18棵甲咖啡树时，两种咖啡树所获得的年 总利润最大，最大利润是14548元. 6.解：(1)由题知OC=3,C为抛物线G,与y轴正半轴的交点， 即当x=0时，y=3,.y=a·1·(-3)=3, .a=-1; (2).a=-1, .抛物线G:y=a(x+1)(x-3)=-x2+2+3,C(0,3), 将抛物线G,平移得到抛物线G, .设G2:y=-x2+mx+n, 把C(0,3)和(-1,6)代入G2:y=-x2+mx+n, 五、三 1.A【解析】A.由折叠的性质得到BD=CD,因此AD一定是 △ABC的中线，故A符合题意：B.由折叠的性质得到DC'= CD,因此AD不是△ABC的中线，故B不符合题意：C.由折叠 的性质得到∠CAD=∠C'AD,因此AD是△ABC的角平分线， 不一定是△ABC的中线，故C不符合题意：D.如解图，由折叠 的性质得到CE=AE,但BD和CD不一定相等，因此AD不一 定是△ABC的中线，故D不符合题意. A(C' E 第1题解图 第2题解图 2.C【解析】如解图，连接BD,由题意可知，·∠BCE=120°， .∠BCD=180°-∠BCE=180°-120°=60°，CD=BC, △BCD是等边三角形，∴.BD=CD=50cm,即B,D两点之间 乾卷加练答案 得3n, 解得/m4, (6=-(-1)2-m+n,(n=3, .抛物线G2的解析式为y=-x2-4x+3: (3)①抛物线G1:y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4, .抛物线G,的顶点为H(1,4),直线m为y=4, 令抛物线G2:y=-x2-4x+3中，y=4,则4=-x2-4x+3, 解得x,=-2+√3，x2=-2-√3， 点M在点N左侧， .M(-2-3,4),N(-2+w3,4), ∴.MN=(-2+W3)-(-2-√3)=23， NH=1-(-2+√3)=3-√3， .MN-NH=2W3-(3-√3)=3W3-3: ②-2-22<n<-2或-2<n<1+5.【解法提示】：C(0,3), .直线1为：y=3,如解图，作直线11：y=3+4=7,直线l2:y= 3-4=-1,令直线12：y=-1交图形G于点P,Q,:抛物线 G2:y=-x2-4x+3=-(x+2)2+7,.直线l1:y=7过抛物线G2 的顶点(-2,7)，在抛物线G,中，令y=-1,解得x=-2-22或 x=-2+22(舍去)，∴.P(-2-22,-1),在抛物线G,中令y= -1,解得x=1+5或x=1-5(舍去)，.Q(1+√5，-1)，结合 图形可得，当点P与直线l的距离小于4时，点P横坐标n的 取值范围为-2-22<n<-2或-2<n<1+√5. D A B 第6题解图 数 角形 学 的距离为50cm. 3.C【解析】如解图，连接BD,在△ABD中，7-5<BD<7+5,即 2<BD<12,在△BDC中，8-3<BD<8+3,即5<BD<11,.5<BD <11,观察四个选项，只有C选项符合题意 5cm 7cm D ① --- 3cm 8 cm C 0 F 第3题解图 第4题解图 4.C【解析】尺规作图作∠AOC=∠AOB的第一步是以点O为 圆心，以任意长为半径画弧①，分别交OA,OB于点E,F,第二 步弧②的作法是以点E为圆心，EF长为半径画弧，如解图， 连接DE,EF由题目中的作法可得OD=OF=OE,DE=FE,在 OD=OF, △ODE和△OFE中， OE=OE,∴.△ODE≌△OFE(SSS), DE=FE. ,.∠AOC=∠AOB. 及解析·河北 25 5.D【解析】分两种情况：当∠AM0=90°时，如解图①，： ∠10W=3000W=01·a30=6x号-3gm:当204W 0A6 90时，如解图②，∠A0M=30°，·0M= c0s30°3 2 4w3cm.综上所述，0M的长为33cm或43cm. M B 图① 图② 第5题解图 6.C【解析】在题图①中，：在△ABC中，∠A=60°，：∠ABC+ ∠ACB=180°-∠A=180°-60°=120°，，∠1=∠2，∠3=∠4， ∴.∠2= 2∠ABC,∠4= 2∠ACB.∠2+∠4= 2(∠ABC+ ∠ACB)=2×120°=60°，.∠M=180°-（∠2+∠4）=180°- 60°=120°： 在题图②中，·∠ACD是△ABC的外角，∠A=60°，.∠ACD =∠A+∠ABC,.∠1=∠2，∠3=∠4，∴.2∠4=2∠2+∠A, :∠NCD是△NBC的外角，∴.∠4=∠NCD=∠N+∠2，.∠N =4-∠2=222+L0-2-A=×60-30 在题图③中，，·∠DBC是△ABC的外角，∠ECB是△ABC的 外角，∠A=60°，.∠DBC=∠A+∠ACB,∠ECB=∠A+ ∠ABC,∴.∠DBC+∠ECB=∠A+∠ACB+∠A+∠ABC=∠A+ (∠ACB+∠A+∠ABC)=60°+180°=240°，又.：∠1=∠2，∠3 =∠4.∠2=3∠nBC,∠3=5∠BcB,∠2+∠3 2 数 学 Z（∠DBC+∠ECB)=1 2×240°=120°，∠P=180°-（∠2+ ∠3)=180°-120°=60°，.∠M+∠N+∠P=120°+30°+60° =210. 【解析】由网格可知BC=1,AD=2,AC=√32+4=5， BC CO 1 5-A0 BCAD,.△OBC∽△ODA,AD=A02= AO' 40=10 8【解析】：被格纸互相平行且间距相等由题图可得 点D,E,F,G分别为AB,BC,AC,AF的中点，易得△BDE一 △BAC,△CFE△CAB,△ADG∽△ABF,设△ABC的面积为 s,则5m=子5小0m=45,5w=255m=8s, 1 的面积为 9.解：(I)如解图①，过点B作BH L EC于点H,延长AD交BH 于点T,则四边形DEHT是矩形 26 乾卷加练答案 1 在R△ABT中，B7=AB·si血∠BA7=5×2=2.5(m), A7=AB·0∠BMT=5X 2 ≈4.25(m), ,EH=DT=A7T-AD=4.25-0.4=3.85(m), .TH=DE=2 m, .BH=BT+TH=4.5(m), ∴.CH= BH=4.5=6(m), tan∠BCH3 4 .CE=CH+EH=6+3.85≈9.9(m), .点C到岸边DE的距离约为9.9m; B B A A 岸D T CE 岸D 边「E1 H 水面 图① 图② 第9题解图 (2)如解图②，过点B作BH⊥EC于点H,延长AD交BH于 点T,则四边形DEHT是矩形. 4 在R△ABT中，BT=AB·sin∠BA7≈5X5=4(m), A7=AB·c0s∠BAT=5x 5=3(m), .∴.EH=DT=3-0.4=2.6(m), TH=DE=2 m, .BH=BT+TH=6(m), CH=√BC2-Bf=√6.52-6=2.5(m), .CE=CH+EH=2.5+2.6=5.1(m), 点C到岸边DE的距离约为5.1m. 10.解：(1)①△ABC为直角三角形：理由如下： 在△ABC中，AC=4,BC=3,AB=5,32+42=25=52, .AC+BC2=AB,.△ABC为直角三角形； ②：△ABC为直角三角形，∠ACB=90°，BP=4, 由勾股定理得CP=√BP2-BC=√4-32=√7， .∴.AP=AC-CP=4-V7,.1=4-√7： (2)0,【解法提示】如解图O,过点P作P01AB于点Q, ∠ACB=90°，PQ⊥AB,AP平分∠BAC,.CP=PQ,在 AC箱△A观中，C.△C≌△ (HL),..AQ=AC=4,..BO=AB-AQ=5-4=1,CP=PO= x,则BP=3-x,根据勾股定理得BP2=BQ+PQ2,即(3-x)2= 4 16 12+x2,解得x= 3AC+CP=4+4-l6. 3=3=3 C B 第10题解图① 及解析·河北 ②友：（解法提示】当C0=m时，知部图②，过点P作 PM⊥BC于点M,PN⊥AC于点N,∴.∠ACB=∠PMB=90°， .PM∥AC,∴.∠CAB=∠BPM,∠ACP=∠CPM,.CP=BP PM⊥BC,.∠BPM=∠CPM,.∠ACP=∠CAP,.∴.AP=CP, .AP-BP-CP-AB-2.5.PVLACAN-GN-2AC- 2,∠ANP=∠CNP=90°，在Rt△CPN中，由勾股定理得PV= √CP-CW=2.5-2=1.5,设DN=x,则CD=2+x,DP ⊥CP,.∠CPD=90°，在Rt△CDP中，由勾股定理得PD2= CD2-CP2=(2+x)2-2.52,在Rt△DPV中，由勾股定理得 PD2=DN2+PN2=x2+1.52,.(2+x)2-2.52=x2+1.52,解得x 8)?15 8 PD-PN+DN=√.5+（名 Γ81 D 图② 图③ 第10题解图 当CP=CB=3时，如解图③，∠CPB=∠CBP,DP⊥CP, .∴.∠CPD=90°，∴.∠APD+∠CPB=90°，.·∠CAB+∠ABC= 90°，.∠CAB=∠APD,.AD=PD,设AD=PD=x,则CD=AC -AD=4-x,CD=PD2+CP2,.(4-x)2=x2+32,解得x= 了即m了综上所述，Pm的长为安 六、多 1.A【解析】如解图，连接AD,DF,.·多边形ABCDEF为正六 边形，.EF∥AD∥BC,AD=2EF,.SAADY=S△ADF,S△Ar= 2SAEm=2(SAAFN+SAED),同理SAwD=2(SABM+SACND）,.空 白部分面积和阴影部分面积的比值为2：1. FN B M C 第1题解图 2.C【解析】该多边形的内角都相等，该多边形的外角也 都相等，.∠PBC=∠PCB.:∠P=108°，.∠PBC=∠PCB= 2(180°-108)=36°，该多边形的边数n=360°÷36°=10. 1 3.B【解析】：五边形的内角和等于540°，∠A+∠B+∠E=a, .∴∠BCD+∠EDC=540°-x,:'∠BCD,∠EDC的平分线在五 1 边形内相交于点P,∠PCD+∠PDC=2(∠BCD+LEDC)F 2707∠P=180-(270-2）=2a-90 4.C【解析】设这个多边形是n边形，由题意得(n-2)×180= 150n,解得n=12,.这个多边形为十二边形，此多边形从 乾卷加练答案 (3) 3【解法提示】将CE绕点E逆时针旋转120°到EF, 连接AF,CF,过点E作EG⊥CF于点G,如解图④，根据旋转 可知EF=CE,∠CEF=120°，.·∠AEB=120°，.：.∠CEB+ ∠CEA=∠CEA+∠AEF=120°，∴.∠CEB=∠AEF,在△CEB BE=AE. 和△FEA中，{∠CEB=∠FEA,.△CEB≌△FEA(SAS), CE=FE. .AF=BC=3,AC=4,CF≤AF+AC=3+4=7,:EG⊥ CF,GE=BF,G=FG,∠ChG=∠PEG=∠cE=60, ∠CGE=90°，∠ECG=90°-60°=30°，EG=2CE,.CG 2 CE,CF=2CG- 3CEV5CE≤7，CE≤7 3心CE的最大值为 3 B 第10题解图④ 边形 一个顶点出发的对角线共有12-3=9（条）. 5.A【解析】如解图，连接AD,交BE于点O,多边形ABC 数 DEF为正六边形，O为BE,AD的中点，.OA=OD=OB= 学 OE,.·BM=EN,·.OM=ON,.四边形AMDN是平行四边形 故①符合题意：·∠FAN=∠CDM,∠CDA=∠DAF,∴.∠OAW =∠ODM,AN∥DM,又∠AON=∠D0M,OA=OD, △AON≌△DOM(ASA),.AN=DM,.四边形AMDN是平行 四边形，故②符合题意；AM=DN,AB=DE,∠ABM=∠DEN, .△ABM与△DEN不一定全等，不能得出四边形AMDN是 平行四边形，故③不符合题意；：∠AMB=∠DNE,∠ABM= ∠DEN,AB=DE,∴.△ABM≌△DEN(AAS),.∴.AM=DN,. ∠AMB+∠AMN=180°，∠DNM+∠DNE=180°，∴.∠AMN= ∠DNM,.AM∥DN,.四边形AMDN是平行四边形，故④符 合题意.综上所述，符合题意的是①②④. 第5题解图 6.22【解析】如解图所示，正方形，正五边形，正六边形每个内 及解析·河北 27