二、一次函数&三、反比例函数-【一战成名新中考·乾坤卷】2025河北中考原创压轴卷（全学科）

数学加练 一、易错点精练 1.-32.253.4:±24.①②③5.2x(x+2)(x-2)6.-316.B17.(1)305:(2)1:(3)√1018.①②③19.65° 7.-78.k>-1且k≠09.原分式方程无解10.x≥2 2m√3 20. 11.-212.(1)(0,-2):(2)313.C14.7:-115.20 32 214221和228D24分 二、一次函数 1.B【解析】当m>0时，-m<0,函数y=-mx(m≠0)的图象过 原点且经过二、四象限，y=2x+m的图象经过一、二、三象限， 围是2 sns6 :(2)如解图，点C关于直线B的对称点为 B选项符合；当m<0时，-m>0,函数y=-mx(m≠0)的图象过 C'(9,0),入射光线CA,CB的反射光线分别为AM,BN.设反 原点且经过一、三象限，y=2x+m的图象经过一、三、四象限， 射光线AM的函数解析式为y=k1x+b1(k1,b1为常数，且k≠ 没有选项符合. 2.B【解析】点A,B的坐标分别为(2,0)，(8,0)，.AB=6, 0.将点C(9.0)和4(4,2)代入y=+6,得以6，=0解 （4k+b1=2, :∠CAB=90°，BC=10,C4=V√102-6=8，.C点坐标为 2 k,= 5 (2,8),·将△ABC沿x轴向右平移，当点C落在直线y=x-5 18 ·反射光线4M的函数解析式为y=一5x+心 5(x 上，即y=8时，8=x-5,解得x=13,即C点向右平移13-2=11 5 个单位，.线段BC扫过的面积为11×8=88. ≤4)，设反射光线BW的函数解析式为y=kx+b2(k2,b2为常 3.A【解析】当点P由点D向点C运动时，y随着x的增大而 数，且，≠0).将点C(9,0)和B(4,6)代入y=k2x+b2,得 增大，最大值为8，此时x=4,故排除选项B和D:当点P在 6 B上运动时，y=之40·DC=×4x4=8,即当4≤≤8时. k2= (9k2+b2=0, 5 解得 .反射光线BW的函数解析式为 (4h2+b2=6, 54 y=8,值不变，故排除选项C,当P点在BA上运动时，即8≤ 6 x≤12时，y随x的增大而减小，故选项A符合 4.D【解析小A(-1,1),B(3,1),.AB∥x轴，点M是线段 9+亏(x≤4.设点E的坐标为(0，)，则6≤ 6.54 5 AB上一点，.设M(m,1),把P(2,3),M(m,1)代入y=x+ b为整数，b可以取4,5,6,7,8,9,10这7个值，.点E是 6,得2+6-3：= 2m)随x增大而减小，<0 整点的个数是7 (mk+b=1. 数 2m02m<0,m>2m=3符合要求 学 5B【解析】由题知△A0B向左平移的距离为- 19 2(-2)= 8,:点A的坐标为(0,6)，点A'的坐标为(-8,6)，：点A C' 落在直线，=：上，心-8k=6,解得=-3 第7题解图 4 8.解：(1)A地位置如解图①所示，使点A满足AB:AC=2:3: 6(2,-)【解析】设直线y=号-2上的“姐妹点“的坐标是 乙车的速度为150：2=75（千米/时）， M(m,n),则m+n=1,.n=1-m,M(m,1-m),:点M是直 90÷75=1.2(小时)， 线y=7-2上的组妹点”1-m=分-2m=2n=-1, .M(1.2,0): .点M表示乙车行驶了1.2小时到达A地； 直线y=子2上的“姐妹点”的坐标是(2,1。 BA C 第8题解图① ≤a≤？：(2)7【解析】1)要使人射光线照在平面 7(1)2 (2):甲车匀速行驶，从0时到1小时行驶的距离是60 镜AB上，即需y=nx+n与线段AB(包括A,B点)有交点，当 千米， 入射光线y=nx+n经过点A时，将点A(4,2)代入y=nx+n,得 ∴从1时到2时行驶的距离也是60千米，即甲的图象过点 4nn=2,解得n=子：当人射光线y=n经过点B时，将点 (2,60), 又：甲=60÷1=60（千米/时）， 8(4,6)代入y=mn,得4nn=6,解得n=马n的取值范 甲再行费90干米需要的时问为01.5（时， 22 乾卷加练答案及解析·河北 .甲车的函数图象补全如解图②所示， ∴.点D坐标为(2,2)： 当0≤x≤1时，y1=-60x+60: (2)18;【解法提示】小点D坐标为(2,2)，点P的坐标为(2， 当1<x≤2.5时，y1=60x-60. y(千米) -4),PD=2-(-4)=6,Sam=Sam+SamB=7×6x2+ 90 60 2x6x4=18 (3)存在点Q使AQ+DQ的值最小， 甲N 如解图①，作点A关于x轴的对称点A',连接DA'交x轴于点 0 1M22.5x(时) Q,根据对称的性质，此时AQ+DQ的值最小，最小值为DA' 第8题解图② 的长， 综上所述，甲车到A地的距离y1与行驶时间x的函数关系式 A(0,3),A'(0,-3),D(2,2), J-60x+60(0≤x≤1)， 为1-{60x-60(1<≤25)： AQ+DQ的最小值=DA'=√2+5=√29： (4)所作等腰直角三角形如解图②所示，点C的坐标为(9， (3)两车可以同时与指挥中心用对讲机通话的时长为子小 6)或(3,9).【解法提示】如解图②，①当三角形顶点为B,即 时.【解法提示】设甲车a时与指挥中心相距15千米，乙车b △ABC1是等腰直角三角形时，过点C:作C,MLx轴于点M, 时与指挥中心相距15千米，设甲、乙两车c时同时与指挥中 则∠C,MB=∠ABC1=90°，∴.∠AB0=∠BC1M=90°- -60a+60≤15，解得 ∠C,BM,∠A0B=∠BMC1=90°，AB=BC1,.△AB0≌ 心相距15千米，则对于甲车由题意得 (60a-60≤15. △BC1M(AAS),BM=0A=3,C,M=0B=6,C1(9,6);② 当三角形顶点为A,即△BMC,是等腰直角三角形时，同理可 3 年，对于乙车由题意得 -75b+90≤15，解得1≤b≤ 75b-90≤15， 得C,(3,9),综上所述，满足条件的点C的坐标为(9,6)或 7 (3,9) 5 心1≤c≤4“两车可以同时与指挥中心用对讲机通话 的时长为；一1=小时 9.解：(1)把点A(0,3),B(6,0)代入y=x+b, 1 得=3， 解得 k=-2' D 00E B 6k+b=0. b=3. A' 0 EB￥M “直线AB的解析式为y=-2x+3, 第9题解图① 第9题解图② 数 .·点D在直线AB上，横坐标为2， 1 学 y=2×2+3=2, 三、反比例函数 1.D【解析】设直线AB的解析式为y=mx+n(m≠0)，把A(1, 1 1 1 =21k1l,S=26,l,S明影都分=Sa40a+S6omN=2(Ik11+ 4),B(7,1)代入得m+n=4,解 m=2' 19 1 .y=- (7m+n=1, 9 2+2, I,),而，>0，，<0S影分=2(-k),故②错误：当 ∠A0C=90°时，四边形OABC是矩形，.不能确定OA与OC :点P是线段AB上的整点，点P的坐标为(1,4)，(3,3)， 相等，而OM=ON,不能判断△A0M≌△C0W,∴.不能判断 (5,2),(7,1),当点P的坐标为(1,4)，则k=y=1×4=4:当 AM=CN,.不能确定I,I=Ik,I,故③错误：若四边形OABC 点P的坐标为(3,3)，则k=y=3×3=9:当点P的坐标为(5， 是菱形，则OA=0C,OM=0N,.Rt△A0M≌Rt△C0N 2),则k=y=5×2=10:当点P的坐标为(7,1)，则k=xy=7×1 (HL),.AM=CN,1k,I=k2,k1=-k2,∴.k1+h2=0,故④ =7:∴.k的值不可能是12. 正确 2.B【解析】如解图，过点A作AE⊥y轴于点E,过点C作CF ⊥y轴于点F,四边形OABC是平行四边形，.S△B= SacmAE=CF,OM=ON,SON=20MAM=- 61, Saow=.CN- 1 .AM-1,故①正确：Saww 第2题解图 乾卷加练答案及解析·河北 23 (2)5 3(1y=2 ○16：(3)3<k≤4【解析】(1)如解图①，过A 9 -1)2=(m-4)2+(m-1-1)2,解得m= 4,m-1= 4 点作AF⊥BC于点F,点A坐标为(3,2)，0F=3,AF=2, 01=4×-16:(3)4(3,2),8(4,1, 95 9545 .·△ABC是等腰直角三角形，AF⊥BC,.BF=CF=AF=2, .0B=3-2=1,0C=3+2=5,∴.B(1,0),点D为AB的中 .若双曲线与AD,AE所围成的区域内（含边界）有2个横、 点，xn= 3=2ym2 纵坐标都是整数的点，则这两个点一定是点A和点B',把A 2 -02-=1,D(2,1),k=2x1=2,反 点下方的整点(3，)代入y=得k=3,把(4,1)代入y= 比例函数的表达式为y=2 得k=4,.3<k≤4 4.解：(1)由表格可知，t=30, 云(km)与(h)之间的函数关系式为u=30 (>0): (2)50分钟=5小时， C x O B 6 图① 图② 当t5 时，= 30 =36 6 5 第3题解图 6 (2)如解图②，点B落在AC边中点B'处，连接DB'.由(1)可 .它的平均速度是36km/h: 知，0C=5,.C(5,0),点A坐标为(3,2)，点B'是AC的中 (3)根据题意，得0≤0，解得1≥ 3 点，∴.B'(4,1),设直线AB的解析式为y=ax+b(a≠0)，把点 A和点B的坐标代入得 3a+b=2 .直线AB的 3 (a+b=0, 解得 \b=-1,1 小时s3 ×60分钟=22.5分钟， 解析式为y=x-1,设D(m,m-1),BD=B'D,.(m-1)2+(m .行驶时间应不少于22.5分钟 四、二次函数 1.B【解析】由平移可知：抛物线的平移方式为向左平移2个 单位长度，向下平移1个单位长度，抛物线y=x2向左平移 将点(0,0)代入，得36a+12=0,解得a=-3 2个单位长度，向下平移1个单位长度后的解析式为y=(x+ ·石块运动轨迹所在抛物线的解析式为)=了(x-6)+12= 2)2-1. 2.B【解析】.y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4,.B(0,3),顶点坐 标为(1,4)，直线1过点C(0,5),.点B到直线1距离2个 数 单位长度，曲线L的顶点到直线l距离1个单位长度，.1<m 1 (2)当x=9时，y=3×9+36=9, 学 ≤2. .BE=6+5=11>9, 3.B【解析】设玻璃水杯左、右轮廓线所在抛物线的解析式为 .石块不能飞越防御墙AB: y=ax2+k(a≠0)，由题意得，点B的坐标为(4,0)，点D的坐 (3)由题意可知，点A的坐标为(9,6)，设直线OA的解析式 （16a+k=0, 标为(2，-12)，. (4a+k=-12 解得a=山，。：玻璃水杯左、 （k=-16. 为y=x(k≠0)， 右轮廓线所在抛物线的解析式为y=x2-16,结论I对：如 三6=9%，k=2 2 心y=3 解图，过点P作PE⊥x轴于点E,.∠PEB=90°，∠ABP= 如解图，作直线MN⊥x轴，交抛物线于点M,交直线OA于 45°，∠EPB=∠ABP=45°，.BE=PE,设PE长为m,点P 点N, 的坐标为(4-m,-m),.-m=(4-m)2-16,解得m1=0(不合 1 2 题意，舍去)，m2=7,∴点P到杯口AB的距离为7，结论Ⅱ 设点M的坐标为(m,3m+4m),则点N的坐标为(m,了m), 不对 3m+4m子m=号(m-5)2+5, 2 1 y/米 .MN=- 3 C6.12) 12 B 3<0,当m=5时，MN有最大值，最大值为2 1B M :在竖直方向上，石块飞行时与坡面04的最大距离是”5米 OFEx/米 5.解：(1)当x=20(棵)时，W1=6340(元)， 第3题解图 第4题解图 .6340=-8×20+20m-60. 4.解：(1)设石块运动轨迹所在抛物线的解析式为y=a(x-6)2+ ,m=480 12(a≠0)， ∴.W1=-8x2+480x-60=-8(x-30)2+7140, 24 乾卷加练答案及解析·河北二、一次函数 1.在同一平面直角坐标系中，函数y=-mx(m≠ A.(-1,1)B.(0,1)C.(2,1)D.(3,1) 0)与y=2x+m的图象大致是 平 ( 01 第4题图 第5题图 2.如图，把Rt△ABC放在直角坐标系内，其中 ∠CAB=90°，BC=10,点A,B的坐标分别为 5.如图，在平面直角坐标系中，点A(0,6),点 (2,0),(8,0),将△ABC沿x轴向右平移，当 B(-2,5),将△A0B沿x轴向左平移得到 点C落在直线y=x-5上时，线段BC扫过的 1 面积为 △A'O'B',若点B'的坐标为(- ( 25),点4'落 A.80 B.88 C.96 D.100 在直线y=x上，则k的值为 ( D c 9 6.已知y是x的函数，若函数图象上存在一点 B M(m,n),满足m+n=1,则称点M为函数图 B C 象上的“姐妹点”.例如：直线y=x-5上存在 第2题图 第3题图 的“姐妹点”为(3，-2)，则直线y=2-2上 3.如图，已知正方形ABCD的边长为4，P从顶 的“姐妹点”的坐标是 点D出发沿正方形的边运动，路线是D→ 数 7. C→BA,设P点经过的路程为x,△APD的 学科融合如图，在平面直角坐标系中，放置 学 一平面镜AB,其中点A,B的坐标分别为(4， 面积为y,则下列图象能大致反映y与x的函 2),（4,6),从点C(-1,0)发射光线，其图象对 数关系的是 应的函数解析式为y=nx+n(n≠0，x≥-1) 平面镜反射 示意图 04812x 0481216x A B 0 第7题图 12X 04 (1)若入射光线y=nx+n(n≠0，x≥-1)可以 照在平面镜AB上，则n的取值范围是 4.如图，在平面直角坐标系中，A(-1,1),B(3, (2)规定横坐标与纵坐标均为整数的点是整 1),P(2,3),点M是线段AB上一点，直线 点，光线y=nx+n(n≠0，x≥-1)经过镜面反 PM解析式为y=x+b,当y随x增大而减小 射后，反射光线与y轴相交于点E,点E是整 时，点M坐标可以是 ( 点的个数是 68 乾卷加练·河北 8.如图①，一条笔直的公路上有A,B,C三地，9.如图，平面直角坐标系中，直线AB:y=x+b 其中B,C两地相距150千米，甲、乙两辆汽车 交y轴于点A(0,3),交x轴于点B(6,0).直 分别从B,C两地同时出发，沿公路匀速相向 线x=2交AB于点D,交x轴于点E. 而行，分别驶往C,B两地.甲、乙两车到A地 (1)求直线AB的解析式和点D坐标： 的距离y1,y2(千米)与行驶时间x(时)的关 (2)若点P坐标为(2，-4)，则△ABP的面积 系如图②所示. 是 y(千米) (3)设点Q是x轴上一动点，是否存在点Q 90 60 使AQ+DQ的值最小？若存在，请求出AQ+ 30千米 DQ的最小值；若不存在，请说明理由： B C 0 1M2 3x(时) (4)尺规作图：以AB为腰在第一象限作等腰 图① 图② 直角三角形ABC,并直接写出点C的坐标！ 第8题图 根据图象进行以下探究： (1)请在图①中标出A地的位置，并求图② 中M点的坐标，同时解释该点的实际意义； OE B我 (2)在图②中补全甲车的函数图象，并求甲 第9题图 车到A地的距离y1与行驶时间x的函数关 系式； (3)A地设有指挥中心，指挥中心及两车都配 有对讲机，两部对讲机在15千米之内（含15 千米)时能够互相通话，直接写出两车可以 同时与指挥中心用对讲机通话的时长. 数学 乾卷加练·河北 69 三、反比例函数 1.如图，已知点A(1,4),B(7,1),点P是线段AB (3)若双曲线与AD,AE所围成的区域内（含 边界)有2个横、纵坐标都是整数的点，则k 上的整点（横、纵坐标都是整数），双曲线y= 的取值范围是 (x>0)过点P,则k的值不可能是 4.真实情境问题情境： A.4 区间测速是指检测机动车通过两个相邻测速 B.7 监控点之间的路段（测速区间）上平均速度 C.10 B 的方法.嘉淇搜集了某路段测速区间内若干 D.12 第1题图 小型汽车行驶的平均速度v(km/h)与行驶时 2.如图，四边形OABC是平 间t(h)的数据如下表， 行四边形，对角线OB在y轴正半轴上，位于 行驶时间 平均速度 第一象限的点A和第二象限的点C分别在 小型车辆 t(h) (km/h) k2 双曲线y=和y=的一个分支上，分别过 A 0.5 60 B 0.3 100 点A,C作x轴的垂线段，垂足分别为点M C 0.6 50 N,则以下结论： D 0.4 75 ①州-会：②阴影高分而报是，)： CN k2 建立模型： (1)根据调查数据可知，该路段测速区间内 ③当∠AOC=90°时，1k,1=|k,1:④若四边形 小型汽车平均速度v(km/h)是行驶时间t(h) OABC是菱形，则k,+k2=0. 的函数.求v(km/h)与t(h)之间的函数关 其中正确结论的个数是 A.1个 B.2个 系式； C.3个 D.4个 数 问题解决： 学 (2)若某辆小汽车通过该测速区间的行驶时 间为50分钟，求它的平均速度； (3)已知该测速区间限速要求不超过80km/h, N O M C 小汽车通过该测速区间时，行驶时间应控制 第2题图 第3题图 在怎样的范围内？ 3.如图，在平面直角坐标系中，放置一个等腰 Rt△ABC纸片，∠A=90°，BC边与x轴重合， 公抓拍b点 抓拍a,点 点A坐标为(3,2)，若反比例函数y=(k≠ 测速区间 起点 终，点 0)与AB边交于点D,与AC边交于点E. 第4题图 (1)当点D为AB中点时，反比例函数的表达 式为 (2)将如图放置的△ABC纸片的∠ABC沿过 点D的直线翻折，当点B落到AC中点时， k= 70 乾卷加练·河北