3. 动量守恒定律（同步讲义）物理人教版选择性必修第一册

本讲义聚焦动量守恒定律核心知识点，系统梳理定律内容、成立条件（不受外力、外力远小于内力、某方向合外力为零）、三种表达式及应用“五性”（系统性、矢量性等），通过知识梳理搭建基础框架，结合重难探究深化理解，形成完整学习支架。 资料以生活情境（双人滑冰推手、碰碰车碰撞）驱动探究，通过问题链引导科学推理与模型建构，典例与分层练习（基础练巩固概念、提升练对接高考）助力科学思维培养。课中辅助教师引导学生从现象到规律探究，课后帮助学生查漏补缺，强化知识应用与素养提升。

3. 【知识梳理】 1 一、 动量守恒定律 1 二、 动量守恒定律的应用 1 【重难探究】 3 探究1 　探究动量守恒定律 3 探究2 探究动量守恒定律普适性 4 【课堂自测·基础练】 9 【素养进阶·提升练】 18 【知识梳理】 知识点1 动量守恒定律 1、动量守恒定律的内容：如果一个系统不受外力，或者所受外力的矢量和为0，这系统的总动量保持不变。 2、动量守恒定律成立的条件 （1）系统不受外力或者所受外力的合力为零。 （2）系统外力远小于内力时，外力的作用可以忽略，系统的动量守恒。 （3）系统在某个方向上的合外力为零时，系统在该方向上动量守恒。 3、动量守恒定律的表达式 （1）m1v1＋m2v2＝m1v1′＋m2v2′(作用前后动量相等)。 （2）Δp＝0(系统动量的增量为零)。 （3）Δp1＝－Δp2(相互作用的两个物体组成的系统，两物体动量的增量大小相等、方向相反) 知识点2 动量守恒定律的徐文涛用 1、动量守恒定律不同表现形式的表达式的含义 （1）p=p'：系统相互作用前的总动量p等于相互作用后的总动量p'。 （2）m1v1+m2v2=m1v1'+m2v2'：相互作用的两个物体组成的系统，作用前的动量和等于作用后的动量和。 （3）Δp1=-Δp2：相互作用的两个物体组成的系统，一个物体的动量变化量与另一个物体的动量变化 量大小相等、方向相反。 （4）Δp=0：系统总动量的变化量为零。 2、动量守恒定律的“五性” （1）系统性：注意判断是哪几个物体构成的系统的动量守恒。 （2）系矢量性：是矢量式，解题时要规定正方向。 （3）系相对性：系统中各物体在相互作用前后的速度必须相对于同一惯性系，通常为相对于地面的速度。 （4）系同时性：初动量必须是各物体在作用前同一时刻的动量；末动量必须是各物体在作用后同一时刻的动量。 （5）系普适性：不仅适用两个物体或多个物体组成的系统，也适用于宏观低速物体以及微观高速粒子组成系统。 3、应用动量守恒定律解题的基本思路 （1）系明确研究对象合理选择系统。 （2）系判断系统动量是否守恒。 （3）系规定正方向及初、末状态。 （4）系运用动量守恒定律列方程求解。 【重难探究】 探究1 动量守恒定律 【探究导入】 在体育课上，同学们常玩的双人滑冰推手活动是一个典型的相互作用过程。当两位同学静止站立并互相推开时，原本静止的两人会向相反方向滑出。尽管他们之间的作用力大小相等、方向相反，但他们的运动状态却发生了明显变化。这一现象背后隐藏着一个重要的物理规律。 问题 1. 推开前两人静止，总运动效果为零；推开后两人都在运动，总运动效果是否仍然为零？ 提示： 推开前系统总动量为0。推开后，设两人质量分别为和，速度分别为和，若方向相反，则总动量为。实验表明，若取一方速度为正，另一方为负，计算结果仍为0，说明总动量未变。 2. 能否用已知的动量概念描述这个系统的整体运动特征？ 提示：动量是描述物体运动状态的物理量，系统总动量是各物体动量的矢量和。该过程中，尽管个体动量改变，但系统整体动量保持不变。 3. ： 系统内部相互作用力（推力）是否会影响整个系统的总动量？ 提示： 推力是系统内力，成对出现且矢量和为0，不会改变系统总动量。 4. 如果地面摩擦力很小，系统在水平方向不受其他外力，总动量会如何变化？ 提示： 外力矢量和为0时，系统总动量保持不变，这正是动量守恒的表现。 【探究归纳】1.系统动量守恒的判定方法 （l）分析动量守恒时研究对象是系统，分清外力与内力； （2）研究系统受到的外力矢量和； （3）外力矢量和为零，则系统动量守恒；若外力在某一方向上合力为零，则在该方向上系统动量守恒； （4）系统动量严格守恒的情况很少，在分析具体问题时要注意把实际过程理想化. 2.动量守恒定律指系统不受外力或所受合外力为零时，总动量保持不变。适用于宏观、微观及高速、低速场景，分一维、二维碰撞等情况，需注意系统选取及动量矢量性。 【典例赏析】 [例1]　下列说法正确的是（　　） A．系统中物体间的作用力会改变系统的总动量 B．两物体碰撞后的动量之和一定等于碰撞前的动量之和 C．系统以外的物体施加给系统内物体的力只会改变系统的动量，不会改变系统的能量 D．理论和实验都表明：如果一个系统不受外力，或者所受外力的矢量和为0，这个系统的总动量保持不变 [例2]（多选）如图所示，带有斜面的小车A静止于光滑水平面上，现B以某一初速度冲上斜面，在冲到斜面最高点的过程中 (　　) A.若斜面光滑，系统动量守恒，机械能守恒 B.若斜面光滑，系统动量不守恒，机械能守恒 C.若斜面不光滑，系统水平方向动量守恒，机械能不守恒 D.若斜面不光滑，系统水平方向动量不守恒，机械能不守恒 　【针对训练】 1.如图，质量为的小船在静止水面上以速率向右匀速行驶，一质量为的救生员站在船尾，相对小船静止。若救生员以相对水面速率水平向左跃入水中（不计水的阻力），则救生员跃出后小船的速率为（　　） A． B． C． D． 2 （多选）如图所示，有辆平板小车停放在光滑的水平地面上，平板小车上放置着两个质量不相等的物体甲和乙，起初甲、乙两物体间有一根被压缩的轻弹簧，轻弹簧与甲、乙两物体相连接，当两物体同时被释放后，则（　　） A．若甲、乙所受的摩擦力大小相等，则甲、乙组成系统的动量守恒 B．若甲、乙所受的摩擦力大小相等，则甲、乙、小车组成系统的动量守恒 C．若甲、乙与平板车上表面间的动摩擦因数相同，则甲、乙组成的系统动量守恒 D．若甲、乙与平板车上表面间的动摩擦因数相同，则甲、乙、小车组成系统的动量守恒 探究2 探究动量守恒定律的普适性 【探究导入】 情境探究 在游乐场中，两辆碰碰车发生碰撞后各自弹开。碰撞过程中，两车之间的相互作用力大小和方向不断变化，且难以准确测量。然而，我们发现无论碰撞多么复杂，只要系统不受外力影响，碰撞前后两车的总动量始终保持不变。 问题 1.碰撞过程中，为什么难以用牛顿第二定律准确计算每辆车的运动状态？ 提示： 碰撞时作用力随时间迅速变化，且涉及摩擦、形变等多种因素，导致受力情况极为复杂。若使用牛顿第二定律 ，需精确知道力的时间函数，实际操作困难。 2.减是否存在一个物理量，在碰撞前后保持不变，能帮助我们简化分析？ 提示：实验表明，系统总动量在碰撞前后保持不变。例如，两车质量分别为 、，初速度为 、，末速度为 、，总有 。这一规律不依赖于中间过程，仅与始末状态有关 。 3.如果只关注碰撞前后的运动状态，而不分析中间复杂的力，能否找到规律？ 提示：正是由于动量守恒只涉及初态和末态，无需考虑力的细节，因此即使过程复杂，也能直接建立方程求解未知速度或质量。 4. 在高速或微观粒子碰撞中，牛顿定律是否仍然适用？ 提示：在接近光速或原子尺度下，牛顿运动定律不再适用，但实验仍观测到动量守恒成立，说明该定律具有更广泛的适用性 【探究归纳】、 1.应用动量守恒定律解题的基本思路 （1）系明确研究对象合理选择系统。 （2）系判断系统动量是否守恒。 （3）系规定正方向及初、末状态。 （4）系运用动量守恒定律列方程求解。 2.动量守恒定律应用于碰撞、爆炸等场景。需选合适系统，判断守恒条件。列方程时注意动量矢量性，选正方向。流体、微粒问题用柱体模型结合动量定理，多物体系统分过程分析，是解决动力学问题的核心工具。 【例3】 （多选）如图，小车在地面上静止，车与地面间摩擦忽略不计，A、B两人站在车的两头。两人同时开始相向行走，发现小车向左运动，小车运动的原因可能是（    ）    A．A、B质量相等，但A的速率比B大 B．A、B质量相等，但A的速率比B小 C．A、B速率相等，但A的质量比B大 D．A、B速率相等，但A的质量比B小 【例4】 一辆平板车沿光滑平面运动，车的质量，运动速度为，求在下列情况下，车的速度变为多大？ （1）一个质量为的物块从5m高处自由下落掉入车内并立刻与车共速； （2）将质量为的物块，以的速度迎面水平扔入车内并立刻与车共速； （3）将质量为的物块，以的速度与车速同向水平扔入车内并立刻与车共速。 【 【针对训练】 3.如图，质量为的小船在静止水面上以速率向右匀速行驶，一质量为的救生员站在船尾，相对小船静止。若救生员以相对水面速率水平向左跃入水中（不计水的阻力），则救生员跃出后小船的速率为（　　） A． B． C． D． 4.如图所示，两块厚度相同的木块A、B，紧靠着放在光滑的桌面上，其质量分别为10kg、9kg，它们的下表面光滑，上表面粗糙，另有质量为1kg的铅块C（大小可以忽略）以10m/s的速度恰好水平地滑到A的上表面，由于摩擦，铅块C最后停在木块B上，此时B、C的共同速度v=0.5m/s。求：木块A的最终速度？ 【课堂自测·基础练】 1．关于动量守恒定律，以下说法错误的是（　　） A．系统不受外力时，动量一定守恒 B．动量守恒定律也适用于高速运动的物体和微观粒子的情况 C．一个系统的动量守恒，则机械能也守恒 D．两物体组成的系统，受合外力为零，则两物体动量的改变量大小一定相等 2．羽毛球运动作为人们日常活动最受欢迎的运动项目之一，若羽毛球以某一水平初速度击中静止在水平地面的纸箱，使其瞬间卡在纸箱侧壁上，发现羽毛球与纸箱一起滑行的距离为L。已知羽毛球质量5g，纸箱的质量2.495kg，纸箱与地面间动摩擦因数μ=0.1，滑行距离L=2cm。则羽毛球击中纸箱的初速度是（　　） A．0.1m/s B．1m/s C．10m/s D．100m/s 3．如图所示，光滑水平面上有一辆质量为4m的小车，车上左、右两端分别站着甲、乙两人，他们的质量都是m，开始时两个人和车一起以速度v0向右匀速运动．某一时刻，站在车右端的乙先以相对地面向右的速度v跳离小车，然后站在车左端的甲以相对于地面向左的速度v跳离小车．两人都离开小车后，小车的速度大小将是(　　) A．1.5v0 B．v0 C．大于v0，小于1.5v0 D．大于1.5v0 4．如图所示，木块静止于光滑水平地面上，一颗子弹A沿水平方向瞬间射入木块并留在木块内，现将子弹和木块视为系统，则该系统从子弹开始射入到二者相对静止的过程中（　　） A．动量守恒，机械能守恒 B．动量不守恒，机械能不守恒 C．动量守恒，机械能不守恒 D．动量不守恒，机械能守恒 5．如图所示，光滑的水平地面上有一辆平板上，车上有一个人，原来车和人都静止，当人从左向右行走的过程中（　　） A．人和车组成的系统动量不守恒 B．人停止行走时，人和车的速度一定均为零 C．人和车的速度方向相同 D．人和车组成的系统机械能守恒 6．如图所示，滑块P套在固定的光滑横杆上，小球Q通过轻质细绳与滑块相连，将小球从图示位置释放，空气阻力忽略不计，下列说法正确的是（　　） A．滑块和小球组成的系统动量守恒，机械能守恒 B．滑块和小球组成的系统动量守恒，机械能不守恒 C．滑块和小球组成的系统水平方向动量守恒，机械能守恒 D．滑块和小球组成的系统动量不守恒，机械能不守恒 7．(多选)如图所示，小车放在光滑地面上，A、B两人站在车的两端，这两人同时开始相向行走，发现车向左运动，分析小车运动的原因可能是(　　) A.A、B质量相等，但A比B的速率大 B.A、B质量相等，但A比B的速率小 C.A、B速率相等，但A比B的质量大 D.A、B速率相等，但A比B的质量小 8．(多选)我国女子短道速滑队在世锦赛上实现女子3 000 m接力三连冠．如图所示，观察发现，“接棒”的运动员甲提前站在“交棒”的运动员乙前面，并且开始向前滑行，待乙追上甲时，乙猛推甲一把，使甲获得更大的速度向前冲出．在乙推甲的过程中，忽略运动员与冰面间在水平方向上的相互作用，则(　　) A．甲对乙的冲量一定与乙对甲的冲量相同 B．相互作用的过程中甲与乙组成的系统满足机械能守恒定律 C．相互作用的过程中甲与乙组成的系统满足动量守恒定律 D．甲、乙的动量变化一定大小相等、方向相反 9．如图所示，曲面体P静止于光滑水平面上，物块Q自P的上端静止释放。Q与P的接触面光滑，Q在P上运动的过程中，下列说法正确的是(　　) A．P对Q做功为零 B．P和Q之间相互作用力做功之和为零 C．P和Q构成的系统机械能守恒、动量守恒 D．P和Q构成的系统机械能不守恒、动量守恒 10．质量为M的木块在光滑水平面上以速度v1水平向右运动，质量为m的子弹以速度v2水平向左射入木块，要使木块停下来，必须使发射子弹的数目为(子弹留在木块中不穿出)(　　) A. B. C. D. 11．下列四幅图所反映的物理过程中，系统动量守恒的是（　　） A．木块固定在水平面上，子弹水平射入木块的过程中 B．两球匀速下降，细线断裂后，它们在水中运动的过程中 C．剪断细线，弹簧恢复原长的过程中 D．木块沿光滑固定斜面由静止滑下的过程中 12．如图所示，足够长的水平面上，A、B两个小滑块用水平轻绳连接，在水平恒力F作用下做匀速直线运动。水平面各处粗糙程度相同。若轻绳突然断掉，则在B停下来之前，下列说法正确的是（　　） A．两滑块组成的系统动量守恒 B．两滑块组成的系统动量增大 C．两滑块组成的系统机械能守恒 D．两滑块组成的系统机械能减少 13．如图所示，物块A、B通过轻弹簧连接，A、B和弹簧组成的系统静止在光滑水平面上。现用手将A、B向两侧拉开一段距离，并由静止同时释放两物块，则放手后（　　） A．A的动能达到最大时，弹簧恢复到原长 B．A的动量达到最大时，弹簧压缩量最大 C．弹簧恢复到原长过程中，系统的动量增加 D．弹簧恢复到原长过程中，系统的机械能增加 14．质量为5g的子弹以300m/s的速度水平射向被悬挂着质量为500g的木块，设子弹穿过木块后的速度为100m/s，重力加速度取10m/s2，则： (1)求子弹穿过木块后的瞬间，木块获得的速度大小； (2)若子弹射穿木块的时间，求子弹对木块的平均冲击力大小； (3)求木块上升的最大高度（不高于悬点）。 15．如图所示，在足够长的光滑水平轨道上静止三个小木块A、B、C，质量分别为，，，其中B与C用一个轻弹簧固定连接，开始时整个装置处于静止状态；A和B之间有少许塑胶炸药，现在引爆塑胶炸药，若炸药爆炸产生的能量有转化为A和B的动能，A和B分开后，立刻取走A。求： （1）炸药爆炸对A的冲量大小； （2）弹簧弹性势能的最大值； （3）弹簧再次恢复原长时，B和C的速度大小和方向。 【素养进阶·提升练】 1．（2024·江苏·高考真题）如图所示，物块B分别通过轻弹簧、细线与水平面上的物体A左右端相连，整个系统保持静止。已知所有接触面均光滑，弹簧处于伸长状态。剪断细线后（　　） A．弹簧恢复原长时，A的动能达到最大 B．弹簧压缩最大时，A的动量达到最大 C．弹簧恢复原长过程中，系统的动量增加 D．弹簧恢复原长过程中，系统的机械能增加 2．（2024·甘肃·高考真题）（多选）电动小车在水平面内做匀速圆周运动，下列说法正确的是（　　） A．小车的动能不变 B．小车的动量守恒 C．小车的加速度不变 D．小车所受的合外力一定指向圆心 3．（2023·广东·高考真题）（多选）某同学受电动窗帘的启发，设计了如图所示的简化模型．多个质量均为的滑块可在水平滑轨上滑动，忽略阻力．开窗帘过程中，电机对滑块1施加一个水平向右的恒力，推动滑块1以的速度与静止的滑块2碰撞，碰撞时间为，碰撞结束后瞬间两滑块的共同速度为．关于两滑块的碰撞过程，下列说法正确的有（    ）    A．该过程动量守恒 B．滑块1受到合外力的冲量大小为 C．滑块2受到合外力的冲量大小为 D．滑块2受到滑块1的平均作用力大小为 4．（2025·黑龙江哈尔滨·一模）如图所示，在光滑水平面上有一质量为足够长的薄板A，其上静置两个质量均为的物块B、C，B、C与A间的动摩擦因数分别为，物块BC间连接一轻质弹簧，调节BC间距离，将弹簧压缩一定长度后，将它们同时由静止释放。已知弹性势能表达式为（为弹簧的形变量），取重力加速度大小，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，求： (1)当初始压缩量时，释放瞬间，B的加速度大小； (2)初始压缩量满足什么条件时，释放后，物块C相对A滑动； (3)当初始压缩量时，释放后，物块B能达到的最大动能。 5．（2025·海南·三模）某兴趣小组在研究物体在水面上运动时所受阻力的课题时，做了如图所示的实验。图中ABCD为一个充水的水池，水池左侧有四分之一光滑圆弧轨道。一质量的小物块从圆弧轨道的最上端静止释放，小物块运动至轨道底端时，恰好以水平速度冲上停靠在水池左侧木板的上表面。已知木板质量，长度，小物块与木板上表面间的动摩擦因数，圆弧轨道的半径，重力加速度g取，小物块可视为质点，木板一直漂浮在水面，忽略小物块冲上木板后木板在竖直方向上的运动。 (1)求小物块运动至轨道最底端时，轨道对其支持力的大小； (2)若木板在水面上运动时水的阻力忽略不计，则小物块与木板达到共速时（木板尚未到达水池右端），求小物块与木板左端的距离； (3)若木板在水面上运动时，水对木板的阻力f与木板的速度v成正比，即，其中。最终木板恰好运动至水池右端速度减为零，且小物块也处在木板的右端，求水池的长度和整个过程中木板的最大速度。 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 3. 【知识梳理】 1 一、 动量守恒定律 1 二、 动量守恒定律的应用 1 【重难探究】 3 探究1 　探究动量守恒定律 3 探究2 探究动量守恒定律普适性 4 【课堂自测·基础练】 9 【素养进阶·提升练】 18 【知识梳理】 知识点1 动量守恒定律 1、动量守恒定律的内容：如果一个系统不受外力，或者所受外力的矢量和为0，这系统的总动量保持不变。 2、动量守恒定律成立的条件 （1）系统不受外力或者所受外力的合力为零。 （2）系统外力远小于内力时，外力的作用可以忽略，系统的动量守恒。 （3）系统在某个方向上的合外力为零时，系统在该方向上动量守恒。 3、动量守恒定律的表达式 （1）m1v1＋m2v2＝m1v1′＋m2v2′(作用前后动量相等)。 （2）Δp＝0(系统动量的增量为零)。 （3）Δp1＝－Δp2(相互作用的两个物体组成的系统，两物体动量的增量大小相等、方向相反) 知识点2 动量守恒定律的徐文涛用 1、动量守恒定律不同表现形式的表达式的含义 （1）p=p'：系统相互作用前的总动量p等于相互作用后的总动量p'。 （2）m1v1+m2v2=m1v1'+m2v2'：相互作用的两个物体组成的系统，作用前的动量和等于作用后的动量和。 （3）Δp1=-Δp2：相互作用的两个物体组成的系统，一个物体的动量变化量与另一个物体的动量变化 量大小相等、方向相反。 （4）Δp=0：系统总动量的变化量为零。 2、动量守恒定律的“五性” （1）系统性：注意判断是哪几个物体构成的系统的动量守恒。 （2）系矢量性：是矢量式，解题时要规定正方向。 （3）系相对性：系统中各物体在相互作用前后的速度必须相对于同一惯性系，通常为相对于地面的速度。 （4）系同时性：初动量必须是各物体在作用前同一时刻的动量；末动量必须是各物体在作用后同一时刻的动量。 （5）系普适性：不仅适用两个物体或多个物体组成的系统，也适用于宏观低速物体以及微观高速粒子组成系统。 3、应用动量守恒定律解题的基本思路 （1）系明确研究对象合理选择系统。 （2）系判断系统动量是否守恒。 （3）系规定正方向及初、末状态。 （4）系运用动量守恒定律列方程求解。 【重难探究】 探究1 动量守恒定律 【探究导入】 在体育课上，同学们常玩的双人滑冰推手活动是一个典型的相互作用过程。当两位同学静止站立并互相推开时，原本静止的两人会向相反方向滑出。尽管他们之间的作用力大小相等、方向相反，但他们的运动状态却发生了明显变化。这一现象背后隐藏着一个重要的物理规律。 问题 1. 推开前两人静止，总运动效果为零；推开后两人都在运动，总运动效果是否仍然为零？ 提示： 推开前系统总动量为0。推开后，设两人质量分别为和，速度分别为和，若方向相反，则总动量为。实验表明，若取一方速度为正，另一方为负，计算结果仍为0，说明总动量未变。 2. 能否用已知的动量概念描述这个系统的整体运动特征？ 提示：动量是描述物体运动状态的物理量，系统总动量是各物体动量的矢量和。该过程中，尽管个体动量改变，但系统整体动量保持不变。 3. ： 系统内部相互作用力（推力）是否会影响整个系统的总动量？ 提示： 推力是系统内力，成对出现且矢量和为0，不会改变系统总动量。 4. 如果地面摩擦力很小，系统在水平方向不受其他外力，总动量会如何变化？ 提示： 外力矢量和为0时，系统总动量保持不变，这正是动量守恒的表现。 【探究归纳】1.系统动量守恒的判定方法 （l）分析动量守恒时研究对象是系统，分清外力与内力； （2）研究系统受到的外力矢量和； （3）外力矢量和为零，则系统动量守恒；若外力在某一方向上合力为零，则在该方向上系统动量守恒； （4）系统动量严格守恒的情况很少，在分析具体问题时要注意把实际过程理想化. 2.动量守恒定律指系统不受外力或所受合外力为零时，总动量保持不变。适用于宏观、微观及高速、低速场景，分一维、二维碰撞等情况，需注意系统选取及动量矢量性。 【典例赏析】 [例1]　下列说法正确的是（　　） A．系统中物体间的作用力会改变系统的总动量 B．两物体碰撞后的动量之和一定等于碰撞前的动量之和 C．系统以外的物体施加给系统内物体的力只会改变系统的动量，不会改变系统的能量 D．理论和实验都表明：如果一个系统不受外力，或者所受外力的矢量和为0，这个系统的总动量保持不变 【答案】D 【详解】A．系统中物体间的作用力不会改变系统的总动量，只有系统外的作用力才会改变系统的总动量，故A错误； B．两物体碰撞后的动量之和不一定等于碰撞前的动量之和，比如球碰到墙反弹，两物体碰撞后的动量之和不等于碰撞前的动量之和，故B错误； C．系统以外的物体施加给系统内物体的力会改变系统的动量，也可能会改变系统的能量，故C错误； D．理论和实验都表明：如果一个系统不受外力，或者所受外力的矢量和为0，这个系统的总动量保持不变，故D正确。 故选D。 [例2]（多选）如图所示，带有斜面的小车A静止于光滑水平面上，现B以某一初速度冲上斜面，在冲到斜面最高点的过程中 (　　) A.若斜面光滑，系统动量守恒，机械能守恒 B.若斜面光滑，系统动量不守恒，机械能守恒 C.若斜面不光滑，系统水平方向动量守恒，机械能不守恒 D.若斜面不光滑，系统水平方向动量不守恒，机械能不守恒 【答案】BC 【解析】无论斜面是否光滑，系统水平方向不受外力，水平方向动量守恒，但竖直方向物体B受力不平衡，竖直方向动量不守恒；斜面光滑的情况下机械能守恒，斜面粗糙的情况下机械能不守恒，选项B、C正确，A、D错误。 　【针对训练】 1.如图，质量为的小船在静止水面上以速率向右匀速行驶，一质量为的救生员站在船尾，相对小船静止。若救生员以相对水面速率水平向左跃入水中（不计水的阻力），则救生员跃出后小船的速率为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】规定向右为正方向，由动量守恒有 解得 故选C。 2 （多选）如图所示，有辆平板小车停放在光滑的水平地面上，平板小车上放置着两个质量不相等的物体甲和乙，起初甲、乙两物体间有一根被压缩的轻弹簧，轻弹簧与甲、乙两物体相连接，当两物体同时被释放后，则（　　） A．若甲、乙所受的摩擦力大小相等，则甲、乙组成系统的动量守恒 B．若甲、乙所受的摩擦力大小相等，则甲、乙、小车组成系统的动量守恒 C．若甲、乙与平板车上表面间的动摩擦因数相同，则甲、乙组成的系统动量守恒 D．若甲、乙与平板车上表面间的动摩擦因数相同，则甲、乙、小车组成系统的动量守恒 【答案】ABD 【详解】A．把甲、乙组成一个系统可知，两物体同时被释放后，甲受到向右的摩擦，乙受到向左的摩擦，若甲、乙所受的摩擦力大小相等，则该系统合外力为零，满足动量守恒条件，则甲、乙组成系统的动量守恒，故A正确； B．把甲、乙、小车组成系统，甲、乙所受的摩擦力为系统内力，由于地面光滑，故系统合外力为零，满足动量守恒条件，故甲、乙、小车组成系统的动量守恒，故B正确； C．若甲、乙与平板车上表面间的动摩擦因数相同，根据滑动摩擦力 可知压力大的摩擦力大，由于甲和乙两个质量不相等，故压力不相等，所以甲、乙组成的系统水平方向合外力不为零，不满足动量守恒条件，故甲、乙组成的系统动量不守恒，故C错误； D．以上分析可知，虽然甲、乙与平板车上表面间的动摩擦因数相同，造成二者摩擦力不相等，但摩擦力属于系统内力，不影响系统动量守恒，由于地面光滑，故系统合外力依然为零，满足动量守恒条件，则甲、乙、小车组成系统的动量守恒，故D正确。 故选ABD 。 探究2 探究动量守恒定律的普适性 【探究导入】 情境探究 在游乐场中，两辆碰碰车发生碰撞后各自弹开。碰撞过程中，两车之间的相互作用力大小和方向不断变化，且难以准确测量。然而，我们发现无论碰撞多么复杂，只要系统不受外力影响，碰撞前后两车的总动量始终保持不变。 问题 1.碰撞过程中，为什么难以用牛顿第二定律准确计算每辆车的运动状态？ 提示： 碰撞时作用力随时间迅速变化，且涉及摩擦、形变等多种因素，导致受力情况极为复杂。若使用牛顿第二定律 ，需精确知道力的时间函数，实际操作困难。 2.减是否存在一个物理量，在碰撞前后保持不变，能帮助我们简化分析？ 提示：实验表明，系统总动量在碰撞前后保持不变。例如，两车质量分别为 、，初速度为 、，末速度为 、，总有 。这一规律不依赖于中间过程，仅与始末状态有关 。 3.如果只关注碰撞前后的运动状态，而不分析中间复杂的力，能否找到规律？ 提示：正是由于动量守恒只涉及初态和末态，无需考虑力的细节，因此即使过程复杂，也能直接建立方程求解未知速度或质量。 4. 在高速或微观粒子碰撞中，牛顿定律是否仍然适用？ 提示：在接近光速或原子尺度下，牛顿运动定律不再适用，但实验仍观测到动量守恒成立，说明该定律具有更广泛的适用性 【探究归纳】、 1.应用动量守恒定律解题的基本思路 （1）系明确研究对象合理选择系统。 （2）系判断系统动量是否守恒。 （3）系规定正方向及初、末状态。 （4）系运用动量守恒定律列方程求解。 2.动量守恒定律应用于碰撞、爆炸等场景。需选合适系统，判断守恒条件。列方程时注意动量矢量性，选正方向。流体、微粒问题用柱体模型结合动量定理，多物体系统分过程分析，是解决动力学问题的核心工具。 【例3】 （多选）如图，小车在地面上静止，车与地面间摩擦忽略不计，A、B两人站在车的两头。两人同时开始相向行走，发现小车向左运动，小车运动的原因可能是（    ）    A．A、B质量相等，但A的速率比B大 B．A、B质量相等，但A的速率比B小 C．A、B速率相等，但A的质量比B大 D．A、B速率相等，但A的质量比B小 【答案】AC 【详解】A、B两人与车组成的系统动量守恒，开始时系统动量为零；两人相向运动时，车向左运动，车的动量向左，由于系统总动量为零，由动量守恒定律可知，A、B两人的动量之和向右，A的动量大于B的动量； AB．如果A、B两人的质量相等，则A的速率大于B的速率，故A正确，B错误； CD．如果A、B速率相等，则A的质量大于B的质量，故C正确，D错误。 故选AC。 【例4】 一辆平板车沿光滑平面运动，车的质量，运动速度为，求在下列情况下，车的速度变为多大？ （1）一个质量为的物块从5m高处自由下落掉入车内并立刻与车共速； （2）将质量为的物块，以的速度迎面水平扔入车内并立刻与车共速； （3）将质量为的物块，以的速度与车速同向水平扔入车内并立刻与车共速。 【答案】（1）；（2）；（3） 【详解】（1）对平板车和物块组成的系统，以车的速度方向为正方向，物块和车水平动量守恒，由动量守恒定律得 解得 （2）物块和车水平动量守恒，由动量守恒定律得 解得 （3）物块和车水平动量守恒，由动量守恒定律得 解得 【针对训练】 3.如图，质量为的小船在静止水面上以速率向右匀速行驶，一质量为的救生员站在船尾，相对小船静止。若救生员以相对水面速率水平向左跃入水中（不计水的阻力），则救生员跃出后小船的速率为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】规定向右为正方向，由动量守恒有 解得 故选C。 4.如图所示，两块厚度相同的木块A、B，紧靠着放在光滑的桌面上，其质量分别为10kg、9kg，它们的下表面光滑，上表面粗糙，另有质量为1kg的铅块C（大小可以忽略）以10m/s的速度恰好水平地滑到A的上表面，由于摩擦，铅块C最后停在木块B上，此时B、C的共同速度v=0.5m/s。求：木块A的最终速度？ 【答案】0.5m/s 【详解】设木块A的最终速度为v1，根据动量守恒定律有 解得 【课堂自测·基础练】 1．关于动量守恒定律，以下说法错误的是（　　） A．系统不受外力时，动量一定守恒 B．动量守恒定律也适用于高速运动的物体和微观粒子的情况 C．一个系统的动量守恒，则机械能也守恒 D．两物体组成的系统，受合外力为零，则两物体动量的改变量大小一定相等 【答案】C 【详解】A．系统不受外力时，系统动量保持不变，系统动量守恒，故A正确； B．动量守恒定律既适用于低速宏观物体，也适用于高速微观物体，故B正确； C．系统所受合外力为零系统动量守恒，只有重力或只有弹力做功系统机械能守恒，系统动量守恒机械能不一定守恒，故C错误； D．两物体组成的系统，受合外力为零，系统动量守恒，两物体动量的改变量大小相等，方向相反，故D正确。 本题选错误的，故选C。 2．羽毛球运动作为人们日常活动最受欢迎的运动项目之一，若羽毛球以某一水平初速度击中静止在水平地面的纸箱，使其瞬间卡在纸箱侧壁上，发现羽毛球与纸箱一起滑行的距离为L。已知羽毛球质量5g，纸箱的质量2.495kg，纸箱与地面间动摩擦因数μ=0.1，滑行距离L=2cm。则羽毛球击中纸箱的初速度是（　　） A．0.1m/s B．1m/s C．10m/s D．100m/s 【答案】D 【详解】设羽毛球击中纸箱的初速度为v，羽毛球刚击中纸箱时与纸箱一起滑行的速度为v′，由动量守恒定律可得；羽毛球与纸箱一起滑行时，由机械能守恒定律可得；解得v=100m/s； 故选D。 3．如图所示，光滑水平面上有一辆质量为4m的小车，车上左、右两端分别站着甲、乙两人，他们的质量都是m，开始时两个人和车一起以速度v0向右匀速运动．某一时刻，站在车右端的乙先以相对地面向右的速度v跳离小车，然后站在车左端的甲以相对于地面向左的速度v跳离小车．两人都离开小车后，小车的速度大小将是(　　) A．1.5v0 B．v0 C．大于v0，小于1.5v0 D．大于1.5v0 【答案】A 【解析】两人和车组成的系统开始时动量为6mv0，方向向右．当乙、甲两人先后以相对地面大小相等的速度向两个方向跳离时，甲、乙两人动量的矢量和为零，则有6mv0＝4mv车，解得v车＝1.5v0，A正确。 4．如图所示，木块静止于光滑水平地面上，一颗子弹A沿水平方向瞬间射入木块并留在木块内，现将子弹和木块视为系统，则该系统从子弹开始射入到二者相对静止的过程中（　　） A．动量守恒，机械能守恒 B．动量不守恒，机械能不守恒 C．动量守恒，机械能不守恒 D．动量不守恒，机械能守恒 【答案】C 【详解】子弹射入木块过程中，系统受外力的合力为零，故系统动量守恒。由于子弹和木块间的一对滑动摩擦力做功不为零即摩擦生热，根据能量守恒定律，系统机械能不守恒。 故ABD错误；C正确。 故选C。 5．如图所示，光滑的水平地面上有一辆平板上，车上有一个人，原来车和人都静止，当人从左向右行走的过程中（　　） A．人和车组成的系统动量不守恒 B．人停止行走时，人和车的速度一定均为零 C．人和车的速度方向相同 D．人和车组成的系统机械能守恒 【答案】B 【详解】A．人和车组成的系统所受外力的矢量和为0，动量守恒，故A错误； B．人和车组成的系统水平方向动量守恒，由题意系统初动量为零，所以人停止行走时，系统末动量为零，即人和车的速度一定均为零，故B正确； C．当人从左向右行走的过程中，人对车的摩擦力向左，车向后退，即车向左运动，速度方向向左，人和车的速度方向相反，故C错误； D．对于人来说，人在蹬车过程中，人受到的其实是静摩擦力，方向向右，人对车的摩擦力向左，人和车都运动起来，故摩擦力做功，所以人和车组成的系统机械能不守恒，故D错误。 故选B。 6．如图所示，滑块P套在固定的光滑横杆上，小球Q通过轻质细绳与滑块相连，将小球从图示位置释放，空气阻力忽略不计，下列说法正确的是（　　） A．滑块和小球组成的系统动量守恒，机械能守恒 B．滑块和小球组成的系统动量守恒，机械能不守恒 C．滑块和小球组成的系统水平方向动量守恒，机械能守恒 D．滑块和小球组成的系统动量不守恒，机械能不守恒 【答案】C 【详解】滑块和小球组成的系统水平方向受合外力为零，则水平方向动量守恒；由于只有重力做功，则系统的机械能守恒。 故选C。 7．(多选)如图所示，小车放在光滑地面上，A、B两人站在车的两端，这两人同时开始相向行走，发现车向左运动，分析小车运动的原因可能是(　　) A.A、B质量相等，但A比B的速率大 B.A、B质量相等，但A比B的速率小 C.A、B速率相等，但A比B的质量大 D.A、B速率相等，但A比B的质量小 【答案】AC 【解析】A、B两人与车组成的系统动量守恒，开始时系统动量为零；两人相向运动时，车向左运动，车的动量向左，由于系统总动量为零，由动量守恒定律可知，A、B两人的动量之和向右，A的动量大于B的动量；如果A、B的质量相等，则A的速度大于B的速度，故A正确，B错误；如果A、B速率相等，则A的质量大于B的质量，故C正确，D错误。 8．(多选)我国女子短道速滑队在世锦赛上实现女子3 000 m接力三连冠．如图所示，观察发现，“接棒”的运动员甲提前站在“交棒”的运动员乙前面，并且开始向前滑行，待乙追上甲时，乙猛推甲一把，使甲获得更大的速度向前冲出．在乙推甲的过程中，忽略运动员与冰面间在水平方向上的相互作用，则(　　) A．甲对乙的冲量一定与乙对甲的冲量相同 B．相互作用的过程中甲与乙组成的系统满足机械能守恒定律 C．相互作用的过程中甲与乙组成的系统满足动量守恒定律 D．甲、乙的动量变化一定大小相等、方向相反 【答案】CD 【解析】甲对乙的作用力与乙对甲的作用力等大反向，她们的冲量也等大反向，故A错误．由于乙推甲的过程，其他形式的能转化为机械能，故机械能不守恒，B错误．甲、乙相互作用的过程，系统水平方向不受外力的作用，竖直方向所受合外力为零，故系统的动量守恒，此过程甲的动量增大，乙的动量减小，二者动量的变化大小相等、方向相反，故C、D正确。 9．如图所示，曲面体P静止于光滑水平面上，物块Q自P的上端静止释放。Q与P的接触面光滑，Q在P上运动的过程中，下列说法正确的是(　　) A．P对Q做功为零 B．P和Q之间相互作用力做功之和为零 C．P和Q构成的系统机械能守恒、动量守恒 D．P和Q构成的系统机械能不守恒、动量守恒 【答案】B 【解析】P对Q有弹力的作用，并且在力的方向上有位移，在运动中，P会向左移动，P对Q的弹力方向垂直于接触面向上，与Q前后移动连线的位移夹角不等于90°，所以P对Q做功不为0，故A错误； 因为P、Q之间的力属于系统内力，并且等大反向，两者在力的方向上发生的位移相等，所以做功之和为0，故B正确； 因为系统只有系统内力和重力的作用，所以该P、Q组成的系统机械能守恒，系统水平方向上不受外力的作用，水平方向上动量守恒，但是在竖直方向上Q有加速度，即竖直方向上动量不守恒，故C、D错误。 10．质量为M的木块在光滑水平面上以速度v1水平向右运动，质量为m的子弹以速度v2水平向左射入木块，要使木块停下来，必须使发射子弹的数目为(子弹留在木块中不穿出)(　　) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】设发射子弹的数目为n，n颗子弹和木块组成的系统在水平方向上所受的合外力为零，满足动量守恒的条件．选子弹运动的方向为正方向，由动量守恒定律有：nmv2－Mv1＝0，得n＝，故C正确。 11．下列四幅图所反映的物理过程中，系统动量守恒的是（　　） A．木块固定在水平面上，子弹水平射入木块的过程中 B．两球匀速下降，细线断裂后，它们在水中运动的过程中 C．剪断细线，弹簧恢复原长的过程中 D．木块沿光滑固定斜面由静止滑下的过程中 【答案】B 【详解】A．木块固定在水平面上，子弹水平射入木块的过程中，系统动量减小，故A错误； B．两球匀速下降，细线断裂后，它们在水中运动的过程中，系统所受合力为零，系统动量守恒，故B正确； C．在弹簧恢复原长过程中，系统在水平方向上始终受墙的作用力，系统动量不守恒，故C错误； D．木块沿光滑固定斜面由静止滑下的过程中，系统动量增加，故D错误。 故选B。 12．如图所示，足够长的水平面上，A、B两个小滑块用水平轻绳连接，在水平恒力F作用下做匀速直线运动。水平面各处粗糙程度相同。若轻绳突然断掉，则在B停下来之前，下列说法正确的是（　　） A．两滑块组成的系统动量守恒 B．两滑块组成的系统动量增大 C．两滑块组成的系统机械能守恒 D．两滑块组成的系统机械能减少 【答案】A 【详解】AB．设滑块A、B所受滑动摩擦力大小分别为、，取滑块运动方向为正方向 轻绳断掉之前，系统在水平恒力F作用下做匀速直线运动 则系统所受合外力 若轻绳突然断掉，则在B停下来之前，A加速，B减速 A所受的合外力 B所受的合外力 系统所受合外力 因此，两滑块组成的系统动量守恒，故A正确，B错误； CD．设轻绳断掉后物块A、B运动过程中的速度分别为、，合力做功功率分别为、 由得， 系统总功率 又 联立得 设从轻绳突然断掉到B停下来之前所用时间为t 由功能原理得 又 故 轻绳突然断掉，A加速，B减速，必有 故有 即两滑块组成的系统机械能不守恒，是增加的，故CD错误； 故选A。 13．如图所示，物块A、B通过轻弹簧连接，A、B和弹簧组成的系统静止在光滑水平面上。现用手将A、B向两侧拉开一段距离，并由静止同时释放两物块，则放手后（　　） A．A的动能达到最大时，弹簧恢复到原长 B．A的动量达到最大时，弹簧压缩量最大 C．弹簧恢复到原长过程中，系统的动量增加 D．弹簧恢复到原长过程中，系统的机械能增加 【答案】A 【详解】A．弹簧从拉伸到压缩到最短过程中，弹簧恢复到原长前，弹力一直对A做正功，A的动能一直增加，弹簧压缩后到最短，弹力对A做负功，A的动能减小，则弹簧恢复到原长时，A的动能达到最大，A正确； B．根据动量守恒，弹簧压缩量最大时，AB共速，速度都为零，A的动量最小，B错误； C．系统所受合外力始终为零，所以系统动量守恒，C错误； D．弹簧恢复到原长过程中，没有外力做功，系统的动能和弹性势能相互转化，系统的机械能守恒，D错误。 故选A。 14．质量为5g的子弹以300m/s的速度水平射向被悬挂着质量为500g的木块，设子弹穿过木块后的速度为100m/s，重力加速度取10m/s2，则： (1)求子弹穿过木块后的瞬间，木块获得的速度大小； (2)若子弹射穿木块的时间，求子弹对木块的平均冲击力大小； (3)求木块上升的最大高度（不高于悬点）。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）设子弹穿过木块后的瞬间子弹的速度大小为，木块的速度大小为，子弹穿过木块过程中，对于子弹与木块组成的系统由动量守恒定律得 求得 （2）子弹穿过木块过程中，对木块由动量定理得 求得 （3）子弹射穿木块后，子弹上升到最高点过程中，由机械能守恒定律得 求得 15．如图所示，在足够长的光滑水平轨道上静止三个小木块A、B、C，质量分别为，，，其中B与C用一个轻弹簧固定连接，开始时整个装置处于静止状态；A和B之间有少许塑胶炸药，现在引爆塑胶炸药，若炸药爆炸产生的能量有转化为A和B的动能，A和B分开后，立刻取走A。求： （1）炸药爆炸对A的冲量大小； （2）弹簧弹性势能的最大值； （3）弹簧再次恢复原长时，B和C的速度大小和方向。 【答案】（1）；（2）；（3），方向水平向左；，方向水平向右 【详解】（1）炸药爆炸过程，由动量守恒可得 根据能量守恒可得 解得 据动量定理可得，炸药爆炸对A的冲量大小为 （2）弹簧最短时，弹性势能最大，B、C共速，由动量守恒可得 根据机械能守恒可得 解得弹簧弹性势能的最大值为 （3）弹簧再次恢复原长时，弹性势能为零，根据动量守恒和机械能守恒分别可得 联立解得 即B的速度方向水平向左，C的速度方向水平向右。 【素养进阶·提升练】 1．（2024·江苏·高考真题）如图所示，物块B分别通过轻弹簧、细线与水平面上的物体A左右端相连，整个系统保持静止。已知所有接触面均光滑，弹簧处于伸长状态。剪断细线后（　　） A．弹簧恢复原长时，A的动能达到最大 B．弹簧压缩最大时，A的动量达到最大 C．弹簧恢复原长过程中，系统的动量增加 D．弹簧恢复原长过程中，系统的机械能增加 【答案】A 【详解】对整个系统分析可知合外力为0，A和B组成的系统动量守恒，得 设弹簧的初始弹性势能为，整个系统只有弹簧弹力做功，机械能守恒，当弹簧恢复原长时得 联立得 故可知弹簧恢复原长时物体A速度最大，此时物体A的动量最大，动能最大。对于系统来说动量一直为零，系统机械能不变。 故选A。 2．（2024·甘肃·高考真题）（多选）电动小车在水平面内做匀速圆周运动，下列说法正确的是（　　） A．小车的动能不变 B．小车的动量守恒 C．小车的加速度不变 D．小车所受的合外力一定指向圆心 【答案】AD 【详解】A．做匀速圆周运动的物体速度大小不变，故动能不变，故A正确； B．做匀速圆周运动的物体速度方向时刻在改变，故动量不守恒，故B错误； C．做匀速圆周运动的物体加速度大小不变，方向时刻在改变，故C错误； D．做匀速圆周运动的物体所受的合外力一定指向圆心，故D正确。 故选AD。 3．（2023·广东·高考真题）（多选）某同学受电动窗帘的启发，设计了如图所示的简化模型．多个质量均为的滑块可在水平滑轨上滑动，忽略阻力．开窗帘过程中，电机对滑块1施加一个水平向右的恒力，推动滑块1以的速度与静止的滑块2碰撞，碰撞时间为，碰撞结束后瞬间两滑块的共同速度为．关于两滑块的碰撞过程，下列说法正确的有（    ）    A．该过程动量守恒 B．滑块1受到合外力的冲量大小为 C．滑块2受到合外力的冲量大小为 D．滑块2受到滑块1的平均作用力大小为 【答案】BD 【详解】A．取向右为正方向，滑块1和滑块2组成的系统的初动量为 碰撞后的动量为 则滑块的碰撞过程动量不守恒，故A错误； B．对滑块1，取向右为正方向，则有 负号表示方向水平向左，故B正确； C．对滑块2，取向右为正方向，则有 故C错误； D．对滑块2根据动量定理有 解得 则滑块2受到滑块1的平均作用力大小为，故D正确。 故选BD。 4．（2025·黑龙江哈尔滨·一模）如图所示，在光滑水平面上有一质量为足够长的薄板A，其上静置两个质量均为的物块B、C，B、C与A间的动摩擦因数分别为，物块BC间连接一轻质弹簧，调节BC间距离，将弹簧压缩一定长度后，将它们同时由静止释放。已知弹性势能表达式为（为弹簧的形变量），取重力加速度大小，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，求： (1)当初始压缩量时，释放瞬间，B的加速度大小； (2)初始压缩量满足什么条件时，释放后，物块C相对A滑动； (3)当初始压缩量时，释放后，物块B能达到的最大动能。 【答案】(1) (2)时，释放后，物块C相对A滑动 (3) 【详解】（1）当x1=6cm时，弹簧弹力 B与A间最大静摩擦力   C与A间最大静摩擦力   ， 所以C与A相对静止，B在A上滑动 ，对B有： 解得 （2）当C相对于A滑动时，A的加速度达到最大值a2，对A有： 解得 对C有： 解得   则初始压缩量时，释放后，物块C相对A滑动。 （3）释放后C与A一起运动，B相对A滑动，当时，物块B动能最大   解得x4 =4cm ABC系统动量守恒有   系统能量守恒有   可解的B的最大动能为 5．（2025·海南·三模）某兴趣小组在研究物体在水面上运动时所受阻力的课题时，做了如图所示的实验。图中ABCD为一个充水的水池，水池左侧有四分之一光滑圆弧轨道。一质量的小物块从圆弧轨道的最上端静止释放，小物块运动至轨道底端时，恰好以水平速度冲上停靠在水池左侧木板的上表面。已知木板质量，长度，小物块与木板上表面间的动摩擦因数，圆弧轨道的半径，重力加速度g取，小物块可视为质点，木板一直漂浮在水面，忽略小物块冲上木板后木板在竖直方向上的运动。 (1)求小物块运动至轨道最底端时，轨道对其支持力的大小； (2)若木板在水面上运动时水的阻力忽略不计，则小物块与木板达到共速时（木板尚未到达水池右端），求小物块与木板左端的距离； (3)若木板在水面上运动时，水对木板的阻力f与木板的速度v成正比，即，其中。最终木板恰好运动至水池右端速度减为零，且小物块也处在木板的右端，求水池的长度和整个过程中木板的最大速度。 【答案】(1) (2) (3)， 【详解】（1）由动能定理可得 小物块运动至轨道最底端时，由圆周运动公式可得 联立解得 （2）由动量守恒定律可得 由能量守恒可得 小物块与木板左端的距离 （3）对小物块和木板组成的整体，由动量定理可得 整理得 水池的长度 对木板受力分析可得 当时，木板的速度最大，最大速度 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $