加练5 特殊四边形(含尺规作图)-【一战成名新中考·乾坤卷】2025广西中考原创压轴卷（全学科）

加练5特殊四边形 特殊四边形的性质（含动态问题） 4. (题位预估：12,15,16) 1.如图，两个平行四边形的面积分别为18,12， 两阴影部分的面积分别为a,b(a>b),则 a-b= 5 第1题图 2.真实情境翻花绳是中国民间流传的儿童 游戏，在中国不同的地域，有不同的称呼，如 线翻花、翻花鼓、挑绷绷、解股等，如图①是 翻花绳的一种图案，可以抽象成图②，在矩 形ABCD中，IJ∥KL,EF∥GH,∠1=∠2= 30°，则∠3的度数为 0 6. G 学 3 H 图① 图② 第2题图 3.如图，在边长为18的正方形ABCD中，点E, N,P,G分别在边AB,BC,CD,DA上，点M, F,Q都在BD上，且四边形MNPQ和AEFG 均为正方形，记△CPW的面积为S,,正方形 MNPQ的面积为S2,正方形AEFG的面积为 S3,△FEB的面积为S4,则下列结论中错误 的是 A.S1=18 B.S2=72 C.S3=81 D.S4=36 8 E B 第3题图 第4题图 44 乾卷加练· (含尺规作图) 如图，在□ABCD中，∠BAD的平分线AE和 ∠ADC的平分线DF交于点O,且分别交直 线BC于点E,F.若AB=6,BC=4,则OE2+ OF2的值是 ） A.50 B.64 C.100 D.121 如图，矩形ABCD中，AB=6,BC=3,点E在 边AB上，点F在边CD上，点G,H在对角线 AC上.若四边形EGFH是菱形，则AE的长 是 3√5 9 15 A. B. C 0. 2 4 第5题图 第6题图 如图，在矩形纸片ABCD中，BC=3,AB=4, 折叠纸片使点C的对应点C'始终落在边AD 上，点B的对应点为B',折痕与AB,CD分别 交于点M,N,线段B'C'与线段AB交于点E 当B'C'⊥AC时，AC'的长为 () c 如图，在菱形ABCD中，∠B=60°，点E在AD 上，以DE为边作菱形DEFG,使点G在CD 的延长线上，连接AF,CE,延长CE交AF于 点.若M是AF的中点，则A DE D B 第7题图 第8题图 如图，在正方形ABCD中，AB=8√5，点E为边 AD上一点，连接BE,点G在BE上，以GE为边 作等边△EFG,点F落在CD上，M为GF的中 点，连接CM,则CM的最小值为 西 尺规作图（题位预估：18,19） 9.如图，AC是菱形ABCD的对角线 (1)尺规作图：作边AB的垂直平分线EF,分 别与AB,AC交于点E,F(要求：保留作 图痕迹，不写作法，标明字母)； (2)在(1)所作的图中，连接FB,若∠D 130°，求∠CBF的度数 B 第9题图 10.如图，在矩形ABCD中，O是对角线AC的 :1 中点 (1)尺规作图：过点O作AC的垂线，分别 交AB,CD于点E,F,连接AF,CE(要 求：保留作图痕迹，不写作法，标明字 母)； (2)在(1)所作的图中，若AB=6,AD=4,求 tan∠DAF的值 0 第10题图 乾卷加练 1.@优质原创如图，已知口ABCD,∠ABC= 60°，AB=4. (1)尺规作图：作∠ABC的平分线交AD于 点E(要求：保留作图痕迹，不写作法， 标明字母)； (2)在(1)所作的图中，若E为AD的中点， 求口ABCD的面积 第11题图 数 2.如图，在正方形ABCD中，点M,N分别是边 CD,BC上的点，且DM=CN,线段AM,DN 相交于点E. (1)尺规作图：过点B作AM的垂线，交AM 于点P,交AD于点Q(要求：保留作图 痕迹，不写作法，标明字母)； (2)在(1)所作的图中，求证：四边形BWDQ 为平行四边形 B 第12题图 ·广西 45 几何综合探究题（题位预估：22,23） 13.综合与实践 在数学课上，张老师提出了一个生活中常见的问题，如何将物品搬过直角过道？下课后，数 学兴趣小组的成员们就这个问题展开了一系列探究实践，具体如下： 【提出问题】如何将物品搬过直角过道？ 【具体情境】如图①是一直角过道示意图，0，P为直角顶点，过道宽度都是1.2m.矩形ABCD 是某物品经过该过道时的俯视图，宽AB为0.8m T 0 B B 图① 图② 图③ 第13题图 【操作步骤】 步骤动作 目标 1 靠边 将图①中的矩形ABCD的一边AD靠在SO上 数 2 推移 矩形ABCD沿SO方向推移一定距离，使点O在边AD上 学 如图②，将矩形ABCD绕，点O旋转（当线段OC,OB长度均不大于过道宽度时， 3 转弯 可以顺利转弯)，使AD靠在TO上 4 推移 将矩形ABCD沿OT方向继续推移 【结论探究】 (1)如图②，若0D=0.6m,求0C的长； (2)在(1)的条件下，若BC=1.6m,思思同学认为该物品可以顺利转过这条直角过道.你赞 同思思同学的结论吗？请通过计算说明理由： (3)如图③，物品转弯时被卡住(C,B分别在墙面PQ与PR上)，若∠CBP=30°，求OD的长； (4)请直接写出过道可以通过的物品最大长度，即BC的最大值 46 乾卷加练·广西 14.【问题情境】 在数学综合与实践活动课上，老师让同学们以“特殊平行四边形的旋转”为主题开展探究 活动， 如图①，已知正方形ABCD和正方形AEFG,边AE与边AD重合，且AE<AD,连接DG,BE. 【操作发现】 当正方形AEFG绕点A旋转，如图②，线段DG与BE之间的数量关系是 :直线DG 与BE的夹角度数为 ； 【深入探究】如图③，若四边形ABCD与四边形AEFG都为菱形，AE<AB,∠DAB=∠GAE=60°，猜想 DG与BE的数量关系及直线DG及BE的较小夹角度数，并说明理由； 【迁移探究】如图③，在【深入探究】的条件下，若AB=4,且AB=2AE,求线段CE的最小值 D E A ⊙ 图① 图② 图③ 第14题图 数学 乾卷加练·广西 47点D是EF的中点， .DF= 2 Er=1 2 .CD=VDF+CF2 (3)过点A作AG⊥BC于点G,过点D作DM⊥AG于点M,作 DN⊥BC于点N,连接AD,如解图， A,C两点关于折痕对称，∠ACD =45°， .DA=DC,∠ACD=∠DAC=45°， .∠ADC=90° E -1M ,AB=AC,AG⊥BC 点G为BC的中点， B 六BG=6G=2c=1. 第7题解图 .AG=√AB2-BG=√(5)2-12=2， .AG⊥BC,DM⊥AG,DN⊥BC, .四边形DWGM为矩形 .∠WDM=90°=∠ADC .∠ADM=∠CDW 在△ADM和△CDN中， I∠AMD=∠CWD, ∠ADM=∠CDN, AD=CD, .△ADM≌△CDW(AAS), ∴.DM=DW,AM=NC. .四边形DNGM为正方形， .DM=DN=NG=MG. 设DM=DN=NG=MG=x,则AM=WC=WG+GC=x+1, .AG=AM+MG=x+1+x=2x+1=2, 解得x=立 1 11 ∴.BW=BG-NG=1 2-2 √2 加练5特殊四边形（含尺规作图）》 1.6【解析】设重叠部分面积为c,a-b=(a+c)-(b+c)=18-12 =6. 2.60【解析】如解图，四边形ABCD是矩形，.∠C=∠D= 90°，∴.∠1+∠MJG=90°，∠2+∠MGJ=90°，.：∠1=∠2= 30°，∴.∠MJG=∠MGJ=60°，.∠GMW=180°-∠MJG-∠MGJ =60°，.∠5=60°，：J∥KL,EF∥GH,.四边形NPM0是平 行四边形.∠4=∠5=60°，∠3=∠4=60° G 34 2 H 第2题解图 乾卷加练答多 3.D【解析】：四边形ABCD是正方形，且边长为18，BD是对 角线，AB=BC=CD=AD=18,∠A=∠ADC=90°，∠ABD= ∠CBD=∠ADB=∠CDB=45°，.·四边形PQMN是正方形， .PQ=QM=MW=PN,∠PQM=∠PWM=90°，PW∥BD,. ∠PWC=∠CBD=45°，.△CPW是等腰直角三角形，.设CP =CN=a,.PW=√2a,BW=18-a,.PQ=QM=MW=PW=√2a, ∠NMB=90°，∠CBD=45°，.△MWB是等腰直角三角形， ∴.BM=MN=2a,∴.BN=2a,∴.18-a=2a,∴.a=6,∴.S1= 2cpcN=7=×6=18=pN=(a)-2x6= 72,故选项A,B均正确，不符合题意.四边形AEFG是正方 形，∴.设AE=EF=FG=AG=b,.·∠AEF=∠AGF=∠A=90°， .∠FEB=90°，∠ABD=45°，△EBF是等腰直角三角形， ..EB=EF=b,..AE+BE=2b=18,..b=9,..S3=AE2=b2=81, S宁B,原-了×9x9=405敬选项C正砖，不符合题 2 意：选项D不正确，符合题意 4.B【解析】小：四边形ABCD是平行四边形，.AD∥BC,.∠E =∠DAE,又：AE平分∠BAD,∠BAE=∠DAE,∠E= ∠BAE,.AB=BE=6,又BC=4,.CE=6-4=2,同理可得， BF=2,.EF=2+4+2=8,AB∥CD,.∠BAD+∠ADC= 180°，又.∠BAD和∠ADC的平分线交于点0，.∠OAD+ ∠0DA=90°，.∠A0D=90°=∠E0F,.在Rt△E0F中，0E2 +0F2=EF2=82=64. 数 5.C【解析】如解图，连接EF交AC于点O,.·四边形EGFH 是菱形，EF⊥AC,OE=OF,四边形ABCD是矩形，LB 学 =∠D=90°，AB∥CD,∴.∠ACD=∠CAB,在△CFO与△AEO 1∠FCO=∠OAE, 中，∠F0C=∠A0E,△CF0≌△AE0(AAS),.A0=C0, OF=0E. AC=AR+BC=6+3=3/5.A0=1AC=1x35= 21 2 2,∠CMB=∠0AE,∠A0E=∠B=90,△A0E∽ 3√ 3w5 △ABC,:A0-4E2AB 15 AB AC 6=35AE-,即AE的长为 D E B 第5题解图 6.D【解析】四边形ABCD是矩形，.∠BCD=∠D=90°，AD =BC=3,CD=AB=4,AC=√AD+CD=√32+4=5，设DW =x,则CN=DC-DN=4-x,由折叠可得∠NC'B'=∠BCD= 90°，C'W=CN=4-x,C'N⊥B'C',B'C'⊥AC,C'N∥AC, △CAD1C0-C营-号解得= ,CN=4-16=20 ·DWs16 99CD=CN-DN= 及解析·广西 17 √g-(-号ac=0-cn=3号号 2.5-」【解析】如解图，延长M,CM交于点H,设EF=a,AE 2 =b,:四边形ABCD和四边形EFGD都是菱形，.AD=CD= a+b,ED=EF=a,AB∥CD,EF∥DG,.BH∥EF∥CG,.∠H= ∠FEM,∠HAM=∠EFM,:M是AF的中点，.AM=FM, △AHIM≌△FEM(AAS),AH=EF=a,AH∥CD, △AEH∽△DEC,. 品即6名6r=0,解行 a+b a 5-1 2 5(舍去)，6，=5-46205-1 2 a ED a 2 G D 第7题解图 第8题解图 8.43【解析】如解图，在CD左侧作∠CDN=30°.四边形AB- CD是正方形，.CD=AB=83,.∠ADC=90°，：△EFG是等边 三角形，M为GF的中点，连接EM,则EM⊥GF,即∠EMF=90°， 1 数 ∠FEM=2∠GEF=30,点E,D,F,M四点共圆，连接DM,则 ∠MDF=∠MEF=30°，.点M在DW上运动，当CM⊥DN时，CM 学 小，此时av① 285=4月 9.解：(1)如解图，EF即为所求： (2)如解图，连接FB, D :四边形ABCD是菱形， ·.∠ABC=∠D=130°， .∠BAC= 2×(180°-130) =25°， 米 .EF垂直平分AB, 第9题解图 ∴.AF=BF, ∴.∠ABF=∠BAC=25°， ∴.∠CBF=∠ABC-∠ABF=130°-25°=105° 10.解：(1)如解图，EF即为所求： (2)由条件可知AB=CD=6,∠ADC =90°， 根据作图可得EF垂直平分AC, ∴.AF=CF, 设AF=CF=x,则DF=6-x, EB 第10题解图 在Rt△ADF中，42+(6-x)2=x2, 年得号 0-6号号 18 乾卷加练答案 DF 3 5 tan L DAF=AD=4-12 11.解：(1)如解图，BE即为所求： (2)·BE平分∠ABC, ∠ABC=60°， .∠ABE=∠EBF=30°， ,四边形ABCD是平行 四边形， 第11题解图 .∴.AD∥BC, ∴.∠AEB=∠EBF=30°， ∴.∠ABE=∠AEB=30°， .'AE=AB=4.BE=3AB=4V3 如解图，过点E作EF⊥BC于点F, 在R△F中，EP=之E=25, E为AD的中点，.DE=AE=4,AD=8, ∴.☐ABCD的面积为AD·EF=8×2√5=165 12.(1)解：如解图，BQ即为所求： (2)证明：四边形ABCD是正方形， .AD=CD=BC,∠ADC=∠C=90°，AD //BC. 在△ADM与△DCN中， IAD=CD. ∠ADM=∠C, DM=CN. 第12题解图 .△ADM≌△DCW(SAS). ∴.∠CDN=∠DAM. 又：∠CDN+∠ADW=90°， ∴.∠DAM+∠ADN=90°， ∴.∠AED=90°. 又BP⊥AE, ∴.∠APQ=∠AED=90°， .BQ∥DN. 又DQ∥BN, .四边形BWDQ是平行四边形. 13.解：（1)：四边形ABCD是矩形. ∴.CD=AB=0.8m,∠D=90°， 0D=0.6m .0C=√CD+0D=√0.82+0.6=1(m). (2)不赞同思思同学的结论，理由如下： 由(1)可求得0C=1m, AD=BC=1.6m,0D=0.6m, ∴.0A=AD-0D=1.6-0.6=1(m), .AB=0.8m, 0B=04+AB2=2+0.8=￥4>36=1.2 5 过道宽度都是1.2m, .该物品不能顺利通过直角过道， .不赞同思思的结论； 及解析·广西 (3)如解图，过点D作MN⊥OT于点M,交PQ于点W 在Rt△BCP中，∠CBP=30°， .∠BCP=60°， ·∠BCD=∠ADC=90°， .∠DCW=30°， ∠CWD=90°， B P .∴.∠CDN=60°，∴.∠0DM=30°， 第13题解图 1 .DN = 2CD=2×08=0.4(m), MW=1.2(m), .DM=1.2-0.4=0.8(m), 在Rt△ODM中， DM 0.885 cos∠0DM515(m): 0D= 2 (4)当该过道可以通过的物品的长度最大时，此时点0为 AD的中点，0C⊥PQ,OB⊥PR,且OB=0C=1.2m, 00=V0C-CD=V1.2-0.8_25 (m) 4v5 ∴.AD=20D= 5 (m). BC的最大值为45 m. 14.解：【操作发现】DG=BE,90°； 【解法提示】：四边形ABCD和四边形AEFG是正方形 ∴.AG=AE,AD=AB,∠GAE=∠DAB=90°，∴.∠GAE-∠DAE= ∠DAB-∠DAE,∴.∠GAD=∠EAB,在△GAD和△EMB中 AG=AE. ∠GAD=∠EAB,∴.△GAD≌△EAB(SAS),.DG=BE, AD=AB. ∠ADG=∠ABE,如解图①，延长BE交GD于点M,交AD于 点N,.∠DNM=∠ANB,∠ABN+∠AWB=90°，.∠DNM+ ∠ADG=90°，LDMW=90°，.直线DG与BE的夹角度数 为90°. D 图① 图② 第14题解图 【深入探究】DG=BE;直线DG与BE的较小夹角度数为 60°：理由如下： :四边形ABCD和四边形AEFG是菱形 .∴.AG=AE,AD=AB,∠GAE=∠DAB=60° ∴.∠GAE-∠DAE=∠DAB-∠DAE,∴.∠GAD=∠EAB, ∴.△GMD≌△EAB(SAS), .DG=BE,.∠ADG=∠ABE 如解图②，延长BE交DG的延长线于点H,交AD于点T, :∠DTH=∠ATB,∠H+∠DTH+∠ADG=180°，∠DAB+ 乾卷加练答 ∠ATB+∠ABT=180°， ∴.∠H=∠DAB=60°， .直线DG与BE的较小夹角度数为60°： 【迁移探究】如解图③，点E在以点A为圆心，AE长为半径 的圆上运动，连接BD,交AC于点O, 当点E在线段AC上时，CE取得最小值， 第14题解图③ AB=2AE,AB=4...AE=2, ·四边形ABCD是菱形， ∴.AC⊥BD,OA=OC,AC平分∠BAD, 1 六∠BAC=2∠BMD=30, ∴.0A=2√3. .AC=4/3 .CE=AC-AE=43-2. .线段CE的最小值为45-2. 加练6圆 1.B 2.C【解析】BE∥AD,∠ADC=∠BEC=50°，四边形AB- 数 CD内接于⊙0，∠ABC=180°-∠ADC=130 学 3.C【解析】如解图，设BC所在的圆心为O,所对的圆心角的 度数为n°，：C所在圆半径为r,且BC的长度为T, 31, 3 -0解得n=60,∠B0C=60,0B=0C,△08C是等 边三角形，由题易知点F是BC的中点∠Bm0F=了LB0C =30°，设BF=x,则0E=OB=2BF=2x,0F=√3x,.0E= 0F+EF=√3x+4√3-4=2x,解得x=4√3+4，.BC=0B=2x=8 √3+8≈21.8(cm. 0 G B CD B E 第3题解图 第4题解图 4.√3-1【解析】如解图，连接OA,0B,AP,作OM⊥AB于点M, 连接QM,由翻折可知0M=A0=1,∠0MB=∠0B1= 2 30°，∠A0B=120°，∴.∠APB=∠A0B=120°，∠APC=60°，连 接4C,“LC=号∠A0B=60°，△4CP为等边三角形，连接 2 及解析·广西 19