2026年云南中考数学模拟——四边形证明与计算

2026年中考数学一四边形证明与计算 1.如图，在四边形ABCD中，对角线AC的垂直平分线分别交BC,AD于点E,F,垂足为O, OE=OF.连接AE,CF. (I)求证：四边形AECF是菱形； (2)已知AB=4,延长BC到点G,使CG=OC,连接OG,∠G=15°，若点E是BC的中点， 求△EOG的面积. 2.如图，平行四边形ABCD中，点E在对角线DB的延长线上，AF⊥BD于点F,过点E作 EG∥BC交AF的延长线于点G,且EG=AD,连接DG (I)求证：四边形AEGD是菱形 (2)若∠BAF=45°，∠FGE=60°，AB=4N2,求线段BE的长. G 3.如图，四边形ABCD是平行四边形，点E是BC延长线上一点，CE=BC,连接AE, AE⊥AB,连接DE (I)求证：四边形ACED是菱形： (2)若BC=2.5,四边形ACED的面积为6，求△ABE的周长 D B 1 4.如图，在ABC中，∠ACB=90°，D为AB中点，E为CD中点，过点C作CF∥AB交AE 延长线于点F,连接BF (I)证明：四边形DCFB为菱形； (2)AF与BC相交于点G,若AC=12,BF=10,求GC的长. D B 5.如图，菱形ABCD中，对角线AC,BD交于点O,点F是CD的中点，延长OF到点E, 使EF=OF,连接CE,DE (1)求证：四边形DOCE是矩形： (2)若OE=2,∠BCD=60°，求菱形ABCD的面积 D E F 6.如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC,BD交于点O,BD=2AC,点E,F分别 为BO,DO中点，顺次连接点A,E,C,F. (I)求证：四边形AECF是矩形， (2)当AB I AC,AB=2√5时，求BEC的面积， D B 2 7.如图，四边形ABCD是平行四边形，点E,F分别是CD,AB上的点，且BF=DE,连 接AE,CF,点M,N分别是CF,AE上的点，连接AM,CN,∠ANC+∠MAN=I80°， ∠FAM+∠AFM=∠MAW,AG垂直平分CD (1)求证：四边形AMCW是矩形： 2诺DE、1 CE34G=6,四边形AFCE的面积是18，求CWE的面积 D G 8.如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O,过点D作DE I AB于点E,延 长AB至点F，,使BF=AE,连接CF. (1)求证：四边形CDEF为矩形 ②连接DF交BC于点G接0E若BE0,anZ∠D0求CC的值 BG F 9.如图，在正方形ABCD中，分别过顶点B,D作BE∥DF交对角线AC所在直线于点E, F,并分别延长EB,FD到点H,G,使BH=DG,连接EG,FH. (1)求证：四边形EHFG是平行四边形； (2)已知AC=EB=8,tan∠GFH=2V3,求四边形EHFG的周长 D B 3 1O.如图，四边形ABCD是矩形，AC和BD相交于点O,过点C作CE∥BD,且CE=2AC, 连接DE.点P是线段CD上与点C,点D不重合的一个动点，过点P分别作CE,DE的垂 线，垂足分别为点F,点G (I)求证：四边形OCED是菱形： 2若BC=2AB,则在点P的运动中，CF+DG AC 的值是否会发生变化？若不变化，求出其值： 若变化，请说明理由。 D G 0 B I1.如图，在Rt△BDE中，∠BDE=90°，CD是边BE的中线，过点D作AD∥BE,连结AE 交BD于F,交CD于M,点M恰为CD中点. (I)求证：四边形ABCD是菱形 2若FM=1,tam∠DEF求菱形ABCD的面积 D 12.如图，在四边形ABCD中，OA=OC,OB=OD,AB=BC,AC=12,BD=16. (I)求证：四边形ABCD是菱形； 2延长BC至点M,连接ow交CD于点N,若∠M=<B1C,求 M D I3.如图，在口ABCD中，连接对角线BD,P,Q分别是AD,CD的中点，连接PQ并延长， 交射线BC于点O,已知∠ABD=∠CBD (I)求证：四边形ABCD是菱形： (2)若AB=10,BD=16,求OP的长度. A 力 D B 14.如图，AD∥BC,点B和点D关于AC对称，设∠B=Q. (1)求证：四边形ABCD是菱形： ②)点E在BC延长线上，且CE=AC,当、E时，求s加o的值 SAACD 15.如图，在ABC中，D是边AB上一点，M是边AC的中点，连接DM并延长至点N, 使得MN=DM,连接AN,CN,CD,且∠ADC=∠DCN, (I)求证：四边形ADCN是矩形； (2)若LBAC=60°，BD=2AD=8,求点A到边BC的距离. D M B 5 I6.如图，在Rt ABC中，∠ACB=90°，D是AB的中点，F是CD的中点，过点C作CE∥AB 交BF延长线于点E (I)求证：四边形ADCE是菱形： 3 2)若BC=2,菱形ADCE的面积为，求AB的长 B 17.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC,点O在BD上，过点O作EF⊥BD分别交BC, AD于点E和点F,且BF∥DE (I)求证：四边形BEDF是菱形： (2)若菱形BEDF的周长是32，BD+EF=20,求OF.OD的值 D I8.如图，在菱形ABCD中，AC,BD相交于点O,过点C作CE∥BD,使CE=)BD 连接DE. (1)求证：四边形DOCE是矩形： (2)若AB=AC=6,求点E到线段CD的距离 D B 6 I9.如图，ABC是直角三角形，且∠ABC=90°，点D、O分别是AC、BC的中点，连接 DO并延长至点E,使得EO=DO,连接BD、BE、CE (I)求证：四边形DBEC是菱形； (2)若ABC的周长为30，且AB+BC=17,求四边形DBEC的面积. D E 0 B 20.如图，在四边形ABCD中，AB=CD,AD=BC,对角线AC平分∠BCD, (I)求证：四边形ABCD是菱形； (2)若AB=10,AC+2 BCsin∠ACB=28,求四边形ABCD的面积. D 21.如图所示，O是矩形ABCD的对角线的交点，EM4C,DE=}AC,连接CE. (I)求证：四边形OCED是菱形 (2)连接OE,若矩形ABCD的面积等于40，菱形OCED的边长等于5，求OE+DC的值 D E 0 7 22.如图，若将四边形ABCD沿AC折叠，则点B与点D重合，过点B作BE‖CD交AC于 点E,连接DE (I)求证：四边形BCDE为菱形； ②连接BD,若四边形BCDE的周长为14，面积为号，求BD+CE的值 B 23.如图，在ABC中，∠ABC=90°，O是AC的中点.延长BO至点D,使OD=OB.连 接AD,CD,记AB=a,BC=b,AOB的周长为l,△BOC的周长为l2,四边形ABCD的周 长为. (I)求证：四边形ABCD是矩形： (2)若l2-(=2,1=28,求AC的长. D 24.如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC,BD相交于点O,AO=BE,BO=CE. (1)求证：四边形OBEC是矩形； (2)若四边形OBEC的周长为18，AB=45,求平行线AB与DC间的距离. D B 8 25.如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC,BD交于点O,过点A作AE1BC于点E, 延长BC到点F,使CF=BE,连接DF. (I)求证：四边形ADFE是矩形： (2)连接OF,若AD=9,EC=6,∠BAE=30°，求OF的长度. 26.如图，四边形BFC0是菱形，分别延长BO和CO到点D和A,使得DO=BO,AO=CO, 顺次连接A,B,C,D四点，得到四边形ABCD (I)求证：四边形ABCD是矩形： (2)若四边形ABCD的周长为8√5+18，面积为36V5,求菱形BFCO的周长. 27.如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC,BD交于点O,过点B作BE⊥CD于点E, 延长CD至点F,使DF=CE,连接AF, (I)求证：四边形ABEF是矩形： (2)连接OE,若BD=BC,AB=8,平行四边形ABCD的面积为40，求OE的长度 9 28.如图，平行四边形ABCD的周长为28，∠ABC的平分线交边AD于点E,交对角线AC 于点G,点F在BC上，BF=EF,过点G作GH 1 BC于点H,GH=3. (I)求证：四边形ABFE是菱形； (2)若AB:BC=3:5,求四边形ABFE的面积 E G B HF 29.如图，在ABC中，∠BAC=90°，AD是BC边上的中线，E是AD的中点，过点A作BC 的平行线交BE的延长线于点F,连接CF (I)求证：四边形ADCF是菱形 (2)若∠ACB=60°，平行线AF与BC间的距离为4V3,求菱形ADCF的面积. D 10 30.如图所示，菱形ABCD的对角线AC和BD交于点O,分别过点C、D作CE∥BD, DE∥AC,CE和DE交于点E (I)求证：四边形ODEC是矩形； (2)当∠ADB=60°，AD=22时，求sin∠AED的值. B O D 31.如图，在△ABC中，点D、E、F分别在边BC、AB、CA上，且DE∥CA,DF∥AB. (I)若AD⊥BC于点D,且BD=CD,求证：四边形AEDF是菱形： 包诺北==1.家布+衣的值 (3)设△BDE、△CDF、四边形AEDF的面积分别为S,、S2、S,求证：S2=4S,S2. A B D 11 参考答案 1.(1)见解析 sm425j5-25+3 (2)2√3+3 2.(1)见解析 【详解】(1)证明：：EF是AC的垂直平 (2)BE=4V3-4 分线， 【详解】(1)证明：，：四边形ABCD是平行 ∴.AC1EF,AO=CO 四边形， .OE=OF, .AD∥BC, .四边形AECF是平行四边形， .EG∥BC, AC⊥EF, .AD∥EG, ∴.四边形AECF是菱形； EG=AD, (2)解：在菱形AECF中，O是AC的中 ∴四边形AEGD是平行四边形. 点，∠COE=90°， ,AF⊥BD 点E是BC的中点， .平行四边形AEGD是菱形 .OE是△ABC的中位线， (2)解：：AF1BD, 则0E=4B=2, .∠AFB=90°， .CG=OC,∠G=15°， AB=4V2,∠BAF=45°， ∴.∠C0G=15°， 在Rt△ABF中， 则∠OCE=30°， sin∠BAF=sin45°=BF-BFV2 ∴.∠OEC=60°， AB 42 2 如图，过点O作OH⊥BC于H, ∴BF=4, AF=BF=4. ∠EOH=30°， ·,四边形AEGD是菱形 ∴.GF=AF=4, 则HE= 10E=1, 又.∠FGE=60°， .0H=VOE2-HE2=V22-12=√3， 在Rt△EFG中， tan FGE=tan60=EF=EF= 同理，在Rt△OEC中，CE=4,OC=2V3, FG 4 .FE=4V3, 则CG=2√5 :.BE =EF-BF=4V3-4. .EG=CE+CG=4+2√， 3.(1)见解析 (2)12 ∴，∠EAD=∠EFC, 【详解】(1)证明：如图2，·`四边形ABCD 点E为CD中点， 是平行四边形， .DE=CE, D 在△ADE和△FCE中， 「∠EAD=∠EFC ∠AED=∠FEC, DE=CE ∴.△ADE≌△FCE(AAS), 图2 .AD=CF, ∴.AD∥BE,AD=BC,AB∥CD ∴CE=BC, 点D为AB中点， .AD=CE, .BD=AD, .BD=CF, .四边形ACED是平行四边形， 又.CF‖AB ,AE⊥AB,AB∥CD, .四边形DCFB是平行四边形， .AE⊥CD, 在△ABC中，∠ACB=90°，点D为AB中点， 四边形ACED是菱形. (2)解：.四边形ABCD是平行四边形， ÷DC=BD=AD=2AB, ∴.AB=CD ∴.平行四边形DCFB是菱形； 设AB=CD=x,AE=y,由菱形ACED的 (2)解：连接DF交BC于点H,如图所示： 面积为6， 1 “2w=6,即y=12. 在Rt△BAE中，BE=2BC=5, AB2+AE2=BE2,x2+y2=25, .x+y=Vx2+2xy+y2=V25+2x12=V49= 由(I)可知：四边形DCFB是菱形， :DH L BC,CH=BH=-BC,FH=DH,BD=BF .△ABE的周长为AB+AE+BE=7+5=12 4.(1)见详解 的 BF=10, ∴.BD=BF=10, 【详解】(1)证明：.CF∥AB, 点D为AB中点， 2 .AB=2BD=20, ∴.平行四边形DOCE是矩形； 在△ABC中，∠ACB=90°，AC=12, (2)解：由(1)可知：四边形DOCE是矩 由勾股定理得： 形 BC=VAB2-AC2=V202-122=16 ∴.DC=OE=2, ·.四边形ABCD是菱形，∠BCD=60°， .CH=BH=BC=8 ..OD=OB,OA=OC,BD 1 AC, 点D为AB中点，H为BC的中点， .DH是△ABC的中位线 ∠0cD-3∠BcD=30, 在RtAOCD中，CD=2,∠OCD=30°， ·DH=AC=6,DHILAC, 0D=CD=1, :FH=DH=6, .DFI AC, 由勾股定理得： :∴.△FHG△ACG, 0C=VCD2-0D2=V22-12=V5, .HGFH 6 1 GC AC 12 2' .BD =20D=2,AC=20C =23, ∴.设HG=a,GC=2a, .菱形ABCD的面积为： .CH=CG+HG=3a=8, D4c=×2x25=25 解得：a=8 3 6.(1)见解析 ÷GC=2a=16 (2)V5 5.(1)见解析 【详解】(1)证明：：四边形ABCD是平行 四边形 (2)23 ..04=OC=TAC,OB =OD-BD, 【详解】(I)证明：点F是CD的中点， .DF=CF, '点E,F分别为BO,DO中点， 又EF=OF, 0E=20B0F=20D, 2 ∴.四边形DOCE是平行四边形， ∴.DEAC, OE -OF,EF-OE+OF-0B+OD=BD 2 四边形ABCD是菱形， ,BD⊥AC, :BD=2AC,即AC=BD .DE⊥BD 2 .AC=EF ∴.∠ODE=90°， .四边形AECF是矩形； (2)解：四边形ABCD是平行四边形， ,'∠FAM+∠AFM=∠MAN, .OB-BD 04-4C. ∠FAM+∠AFM=∠AMC, 2 BD=2AC, .∠MAN=∠AMC=90°， .四边形AMCN是矩形. ∴.B0=2AO, AB I AC,, (2)解：，AG=6,AG1CD, ∴.在RtABAO中，由勾股定理得： .SDAFCE =AG.CE=6CE=18, OA+AB2=OB2, CE=3, .0A2+25=(20A ..DE1 'CE=3 解得：OA=2或OA=-2(舍去)； .DE=1, .AC=4, ∴.CD=CE+DE=4, Sc=)AB,4C=×25x4=4W5 .AG垂直平分CD, 2 :.CG-DG-1CD-2. ∴.SBoc= ..GE CE-CG=1, :点E为BO中点， S.BEC= .AE=VAG2+GE2=V62+12=V37, 7.(1)见解析 ,四边形AMCN是矩形， c .∠CNE=∠ANC=90°， AG⊥CD, 【详解】(1)证明：.∠AWC+∠MAN=180°， .·.∠AGE=90° ∴.AM∥CN, ∴.∠CNE=∠AGE=90°， .四边形ABCD是平行四边形， '.'∠AEG=∠CEN, AB=CD,AB∥CD, .△AEG∽△CEN CE∥AF, .AGGE=AE .DE BF, CN NE CE' ..CE=AF 6=1VB7 CN NE 3' :四边形AFCE是平行四边形， CW=18V37 37 WE=3V37 37 AE∥CF, 1 118V373√3727 SACNE=5CW.NE=。 .AN∥CM,∠MAN+∠AMC=180° 2 237 37 37 ∴四边形AMCN是平行四边形， ∴.∠MAN+∠AMC=180° 8.(1)详见解析 a明 在RtACOD中， 【详解】(1)证明：四边形ABCD是菱形， CD=VOD2 +0C2= ,AB∥CD,AB=CD, V(5V5)2+(10N5)2=25, AE =BF, ∴.EF=CD=25, .AB=EF, ∴.BF=EF-BE=25-10=15, ∴.CD=EF, CD∥AB, .四边形CDEF是平行四边形 .∴.△CDG∽ABFG 又DE I AB, CG_CD-25-5 ∴.∠DEF=90°， BG BF 15 3 ∴.四边形CDEF是矩形 【点睛】本题考查了菱形的性质，平行四边 形的判定，矩形的判定和性质，直角三角形 (2)解：：四边形ABCD是菱形， 的性质，等边对等角，勾股定理，解直角三 ∴.AB∥CD,OB=OD,AC1BD 由(I)可知，四边形CDEF是矩形 角形，相似三角形的判定和性质等.熟练掌 握矩形的判定与性质是解题的关键」 .∴.∠CDE=∠DEF=90° 9.(1)证明见解析 0E=0=0D, (2)20+413 .∠ODE=∠DEO, .tan∠ODE=tan∠DEO 【详解】(1)证明：四边形ABCD是正方 2 形， 、BE1 DE2 .AB=CD,AB CD, .DE=20, ∴∠BAC=∠DCA. 在Rt△BED中， .BE DE BD=VBE2+DE2=V102+202=10W5, ∴.∠BEA=∠CFD, ·.∠BAC=∠BEA+∠ABE, .0D=55, ∠DCA=∠CFD+∠CDF, .∠OCD+∠ODC=90°， ∴.∠ABE=∠CDF. ∠EDO+∠ODC=90° 在△ABE和CDF中， .∠OCD=∠EDO ∠ABE=∠CDF an∠OcD=OD tan∠EDo=l ∠AEB=∠CFD c AB=CD ∴.OC=2OD=BD=10N5, .△ABE≌△CDF(AAS), .BE=DF, 4V5 HM =25, .BH DG, HM=2, ∴.BE+BH=DF+DG.即EH=GF ∴.EH=EM-HM=12-2=10, .EH∥GF, 在Rt△FHM中， ..四边形EHFG是平行四边形 FH=VFM2+HM2=V(4V5}+2=2V3, (2)如答图，连接BD,交EF于点O,过 点F作FM⊥EH,交EH的延长线于点M. .四边形EHFG的周长为 2EH+2FH=2×10+2×2√13=20+4V13 10.(1)见解析 AC M (2CF+DG 的值不会发生变化，其值总等 于5 四边形ABCD是正方形， 【详解】(1)证明：.四边形ABCD是矩形， .BD⊥AC,OA=OB=OC=OD, ∴OA=0C=4C,OB=OD=1BD 21 2 ∴.∠AOB=90°， AC=8, AC=BD ∴.OA=OB=4, :.04=0C=0B=OD=1AC-1BD 2 2 在Rt△BOE中，EB=8,OB=4, .∠OEB=30°， ∴CE=OD, .E0=4V3, ‘,CE∥BD,即CE∥OD, ∴.'∠DOF=∠BOE,∠DFO=∠BEO, ∴四边形OCED是平行四边形， OD=OB, 又.0D=0C, .△DOF≌△BOE(AAS), ∴.四边形OCED是菱形； OF=0E=45, (2)解： AC一的值不会发生变化，理 CF+DG EF=8√3， 由： 过点D作DH⊥AC于点H,延长GP交AC ∴，在Rt△EFM中，FM=4V3,EM=12, ∴.GF∥EH 于点M, .∠FHM=∠GFH, Aan∠FHM=ian∠GFH=FM-2V5, HM 6 由勾股定理得 AC=AB2+BC2=Ja2+(2a)2=5a, DH⊥AC, B .∠DHC=90°， .∠DHC=90° .∴.∠ADC=∠DHC, 由(1)已证四边形OCED是菱形， 又.∠ACD=∠DCH, ∴.DE∥OC, .△ADCADHC, .∠DHC+∠HDE=180°， AC CD .∠HDE=90°， CDCH' 又PG⊥DE, aa a CH ∴.四边形DHMG是矩形， .CH=J5a 5 .DG=HM,∠HMG=90°， AC ACa=5 .∠PMC=90°， CF+DG CH 5a 5 ∴PF⊥CE 即AC 的值不会发生变化，总等于5 .∠PFC=90°， CE+DG 11.(1)见解析 ∴.∠PMC=∠PFC, .四边形OCED是菱形， a号 .∠PCM=∠PCF, 【详解】(1)AD∥BE, 在△PMC和△PFC中， ∴.∠DAM=∠CEM,∠ADM=∠ECM, ∠PMC=∠PFC 点M为CD中点，.DM=CM, ∠PCM=∠PCF, .△ADM≌△ECM(AAS), PC=PC ∴.AD=CE,AM=EM, :.APMC≌APFC(AAS), .AD=BC, ..CM=CF, ∴.四边形ABCD是平行四边形 ∴.CF+DG=CM+HM=CH, ·∠BDE=90°，CD是边BE的中线， 设AB=a, 六c0E=BC=0E. '.BC=2AB, .四边形ABCD是菱形； ..BC=2a, (2)四边形ABCD是菱形， 四边形ABCD是矩形， .SAABD=S△BCD, ∴.∠ABC=∠ADC=90°，CD=AB=a, > .BC=CE, AB=BC, .S羹形HBcD=2S△BCD=SADE, ∴.平行四边形ABCD是菱形； AD∥BE, (2).OA=OC,OB=OD,AB=BC, ∴.△ADF∽AEBF, AC=12,BD=16, DF AD AF 1 .BD=20B,OA=OC=6,OB=OD=8, 六BF=BEEF2 如图，过点O作OF∥BC,交CD于点F, .BF =2DF, 设DF=x, 则BF=2x, .BD=3x, :tan∠DEF=DF-1 DE 2 ∴.DE=2DF=2x, 则△DOF一△DBC, EF=DF2+DE2=5x .OD_OF 1 “BD=BC-2 .FM=1, ,四边形ABCD是菱形 .∴.EM=V5x-1, .AC,BD互相垂直平分， ∴.在RtAOCB中， ∴.AM=EM=V5x-1, 0c-4c=6,0B=BD=8, 2 .AF=V5x-2, ∴BC=VOB2+0C2=V82+62=10, .EF=2AF=25x-4, .25x-4=V5x, or-0=5 AB=BC, 解得，r=4V5 5 ·∠BAC=∠BCA, .S.mDE-BD.DE=3x248 5 ∠M=)∠BAC,∠BCA=∠COM+LM ∴.菱形ABCD的面积为 48 ∴.∠M=∠CON, ..CM=OC=6, 12.(1)详见解析 a器品 .点B、C、M在同一条直线上， .OF∥CM, 【详解】(1)证明：.在四边形ABCD中， ∴.△MCN-aOFW, OA=OC,OB=OD .ONOF 5 .四边形ABCD是平行四边形， MN CM 6' MN-=6=6 .0P-2PQ=2×6=12 OM5+611 14.(1)见解析 13.(1)证明见解析 (2)12 a号 【详解】(I)证明：，四边形ABCD是平行 【详解】(I)证明：连接BD交AC于点G, 四边形 .AD∥BC,∠ADB=∠CBD 又∠ABD=∠CBD, B .∠ABD=∠ADB,即AB=AD, 'AD∥BE, ∴四边形ABCD是菱形 .∴.∠DAG=∠BCG, (2)解：连接AC交BD于点E,如图所示： 点B和点D关于AC对称， A ∴.AC垂直平分BD, E ∴.AD=AB,GD=GB,CD=CB 在△AGD和△CGB中， B ∠DAG=∠BCG ∠AGD=∠CGB, 由(I)知四边形ABCD是菱形， GB=GD AC⊥BD,AE=EC,BE=ED, .∴.△AGD2△CGB(AAS), ∴.在Rt△AEB中 .AD=BC AE=AB2-BE2=10-8=6, 又AD=AB,DC=BC, .AC=2AE=12, .∴.AD=AB=DC=BC, 又P、Q分别是AD、CD的中点， .四边形ABCD是菱形 .PQ是△ACD的中位线， (2)解：过点D作DF⊥BE于点F, P0=4C=x12=6. 2 2 在△PQD与△OQC中 「∠DPQ=∠COQ ∠PQD=∠OQC, .'.∠DFB=90° OD=OC :四边形ABCD是菱形，∠B=a .△PQD=△OQC(AAS) S菱形HBCD=2S△ACD= AC·BD, ∴.PQ=Q0 2 9 ∠DBF=I∠ABC=a. .AC=2MA=2AD, 2 1 ‘BD=2AD=8, CE.DF, .AC=2AD=8,AD=4, AC=CE, .AB=AD+BD=12, LCE.DF 2 2DF 4 CD=VAC2-AD2=V⑧2-42=43， c.00 BD=5' .∠ADC=90°， 在RtABDF中，sina=DF=2 .∴.∠BDC=180°-∠ADC=90° BD 5 15.(1)证明见解析 BC=BD'+DC2=V8+(45=4万， (2)122 SeA-CD-C 1 【详解】(1)证明：M是边AC的中点， AE=AB-CD-12×4V3_12V21 .AM=CM, BC 47 7 MN DM, 16.(1)证明见解析 .四边形ADCN是平行四边形， a明 .AD∥CN, 【详解】(I)证明：CE∥AB, ∴.∠ADC+∠DCN=180°， .∠CEF=∠DBF,∠ECF=∠BDF」 ,'∠ADC=∠DCN, 点F是CD的中点， ∴.∠ADC=∠DCN=90P, .CF=DF, .四边形ADCN是矩形 .ACEF≌ADBF(AAS), (2)解：如图，过点A作AE1BC于点E, .CE=BD 在Rt△ABC中，点D是AB的中点， .CD-AR-AD-D. ∴.CE=BD=AD CE∥AB, 由(I)可知，四边形ADCN是矩形 .∴.四边形ADCE是平行四边形 .∴.MA=MD=MC=MN,∠ADC=90°， .CD=AD, ,∠BAC=60° .四边形ADCE是菱形 .MDA是等边三角形， (2)解：连接DE, ∴.MA=MD=AD 四边形ADCE是菱形， 10 .AC⊥DE. .∴.0D2+0F2+20D.0F=100 AC L BC, .EF⊥BD .BC∥DE .OD2+0F2=DF2=82=64 :CE∥BD, .∴.64+20D.OF=100 .四边形BDEC是平行四边形， .∴.OD.OF=18 ∴.DE=BC=2 18.(1)证明见解析； 菱形ADcE的面积是} (2②)点E到线段CD的距离为35 3 .S菱形1DCE=)×2AC= 【详解】(1)证明：，四边形ABCD是菱形， 2 2 解得AC=2 3 AC⊥BD,OD=)BD .∠DOC=90°， 根据勾股定理，得 AB=AC2+BC2 +22= CE=二BD 2 2 ∴.CE=OD, ·CE∥BD, ∴.四边形DOCE是平行四边形， 17.(1)见解析 ,∠DOC=90 (2)18 ∴.四边形DOCE是矩形； 【详解】(I)解：AD∥BC,BF∥DE (2)解：过点E作EF⊥CD于点F,则 .四边形BEDF是平行四边形 ∠CFE=90°，线段EF即为点E到线段CD ,EF⊥BD 的距离， .四边形BEDF是菱形； (2)解：·菱形BEDF的周长是32， .FD=32÷4=8 .四边形BEDF是菱形 B ∴.BD=2OD,EF=2OE 由(1)知，四边形DOCE是矩形， ·.·BD+EF=20 ..20D+20F=20 ∴.∠DEC=90°， :四边形ABCD是菱形， ..OD+OF=10 .∴.AB=BC,∠ABC=∠ADC, ∴.(0D+0F)2=102 0 ∠BDC=∠ADC, (2)解：设AB=x,BC=y. 2 ·.·AB=AC=6 .△ABC的周长为30，AB+BC=17 .x+y=17,AC=13 .AB=BC=AC=6, 在Rt△ABC中，由勾股定理得 ∴.ABC为等边三角形， AB2+BC2=AC2 .∴.∠ABC=60°， .∠ADC=60°， [x2+y2=169 x+y=17 ∠BDC=x60=30, 2 ∴.y=60 ,CE∥BD 点D、O分别是AC、BC的中点， .∴.∠DCE=∠BDC=30°. ∴.AB=2OD 在Rt△DEC中，∠DEC=90°，∠DCE=30°， DE =20D, DC=6, .AB=DE=x. ∴，DE=3, 1 1 .S边形D8c=)BC.DE=亏y=)×60=30 2 2 CE=VDC2-DE2=√6-3=35， 答：四边形DBEC的面积为30. 在RtaCED和RtaCFE中， 20.(1)见解析 ∠CED=∠CFE=90°，∠ECD=∠FCE, (2)96 ∴.RtACEDRtACFE 【详解】(I)证明：：AB=CD,AD=BC DE CD 即 36 EF CE' EF 33 .四边形ABCD是平行四边形， 解得EF=3 .AD∥BC, 2 “点E到线段CD的距离为3 .∴.∠DAC=∠BCA 2 ·.对角线AC平分∠BCD 19.(1)见解析 .∴.∠BCA=∠DCA (2)30 ∴.∠DAC=∠DCA, 【详解】(1)证明：.点O是BC的中点， ∴.DA=DC, ..OB=OC .四边形ABCD是菱形； ∴.‘EO=DO, (2)解：连接BD交AC于点O, ∴.四边形DBEC是平行四边形 ,△ABC是直角三角形，点D是AC的中点， .BD=CD ∴.四边形DBEC是菱形 3 DE=1AC,OC=T AC 1 2 .DE=OC, .DEIl AC, .四边形OCED是平行四边形. .OC=OD, 四边形ABCD是菱形， ∴.平行四边形OCED是菱形 .AC I BD,AO=OC,OB=OD. (2)解：如图，设OE与DC交于点F ,在RtABOC中，BO=BC·sin∠ACB .BD=2BO=2 BCsin∠ACB :·AC+2 BCsin∠ACB=28, E,四边形OCED ∴.AC+BD=28 ∴.2B0+2A0=28, 是菱形， ∴.AO+BO=14, .∴.OE⊥CD,OE=2OF,DC=2CF, .Rt△ABO中，AB2=AO2+BO2, .·AC=OC,OC=DE, .A02+(14-A0)}=102, ∴.AO=DE, 又AO∥DE, 解得AO=8或AO=6, 四边形AOED是平行四边形， ∴.BO=6或B0=8, ∴.AC=16或AC=12,则BD=16或 .AD=OE. BD=12, 设OE=a,DC=b,则AD=a, .矩形ABCD的面积是40， .菱形ABCD的面积为 ∴.ab=40」 号ACxBD-2X2x16=96國 .菱形OCED的边长是5， 40xn=6:12=6 .F02+FC2=OC2, .菱形ABCD的面积为96 =52, 21.(1)见解析 (2)65 .a2+b2=100 【详解】(1)证明：，四边形ABCD是矩形， (a+b)2=a2+b2+2ab=180, ..OA=OC,OB=OD,AC=BD, a+b=65, 0c-40,0c-o0 即OE+DC=6√5 22.(1)见解析 13 13 (2)5V5 ‘,四边形BCDE的面积为 2, 【详解】(I)证明：·`四边形ABCD沿AC折 x2ax26=号. 1 13 即2ab=13 叠，点B与点D重合， 在Rt△EOD中，根据勾股定理得： ∴四边形ABCD关于直线AC对称， ·.AC为BD的垂直平分线， 0D2+0E2=DE2,即a2+b2 .CB=CD,AC⊥BD, 如图所示，记AC与BD的交点为O,则 .(a+b)2=a2+b2+2ab= OB=OD a+b=3 (负值不符合题意，已舍去)， BD+CE=2a+2b=2a+62x5 23.(1)见解析 B (2)10 ·.BE CD 【详解】(1)证明：，O是AC的中点， .∠EBO=∠CDO, ..OA=OC, 在△EOB和△COD中， .OD=OB, [∠EBO=∠CDO ∴.四边形ABCD是平行四边形， ∠EOB=∠COD, OB=OD .·∠ABC=90° ∴.四边形ABCD是矩形； '.△EOB≌aCOD(AAS), (2)解： ∴.BE=CD .-1=BO+OC+BC-(BO+AB+AO), ∴四边形BCDE为平行四边形 A0=OC, 又.CB=CD, .四边形BCDE是菱形 ∴.l2-l=BC-AB=b-a=2, (2)解：设BD=2a,CE=2b, ,四边形ABCD是矩形 .四边形BCDE为菱形，周长为14， .AB=CD=a,AD=BC=b. DE=14*4-7:OD-TBD-0 .∴.a+a+b+b=28, OE=1CE=b, .∴.a+b=14, 2 [b-a=2 a+b=14' 又 「a=6 解得： h=3-115 b=8' 4v54 ∵∠ABC=90°， 25.(1)见解析 .AC=Va2+b2=10, (2)3v© 2 .AC的长为10. 【详解】(1)证明：·在平行四边形ABCD 24.(1)见解析 中， 49 .AB∥DC且AB=DC, 【详解】(I)证明：，四边形ABCD是菱形， ∴.∠ABE=∠DCF, 在△ABE和△DCF中， .AC⊥BD,OC=OA, .∠BOC=90°， AB=DC ∠ABE=∠DCF ∴.AO=BE BE=CF ∴.OC=BE, .△ABE≌△DCF(SAS), .OB=CE, .∴.AE=DF,∠AEB=∠DFC=90°， ∴四边形OBEC是平行四边形， ∴.∠BOC=90° .AE∥DF, .四边形ADFE是矩形； ∴.平行四边形OBEC是矩形； (2)解：.矩形OBEC的周长为18， (2)解：由(1)知：四边形ADFE是矩形 .∴.EF=AD=9,DF=AE, ..OB+OC=9. ,EC=6, .四边形ABCD是菱形 ∴.BE=CF=3, :AB=BC=43,AC=20C,BD =20B, ·.‘∠BOC=90°，根据勾股定理得 ∴.BF=12, 在Rt△ABE中，∠BAE=30°，∠AEB=90°， 0B2+0C2=BC2=(4V3)2=48, ∴.AB=2BE=6, .2×OB×OC=(OB+OC2-(OB2+OC3=81 DF=AE=√AB2-BE2=V62-32=33, ∴.在RtBFD中BD=VBF2+DF2=3√19， 1 .S菱形ABCD=5×BD×AC=。×2OB×2OC=2) ,四边形ABCD是平行四边形， .∴.OB=OD. 设平行线AB与DC间的距离为h, .OF =IBD=3119 2 .S菱形ABCD=33=AB·h, 2 26.(1)见解析 .∠BCE=∠ADF, (2)2161 又'.CE=DF, 【详解】(1)证明：.DO=BO,AO=CO .△BCE≌△ADF(SAS), ∴.BD=2BO,AC=2CO,四边形ABCD是 ∴.BE=AF,∠BEC=∠F, 平行四边形 BE∥AF, .四边形BFCO是菱形， .∴.四边形ABEF是平行四边形， ..BO=CO, BE 1 CD, :.BD=AC, .∴∠BEF=90°， ∴.口ABCD是矩形 ∴.四边形ABEF是矩形； (2)解：四边形BFCO是菱形 (2)解：，四边形ABCD是平行四边形， .BO=CO=BF=CF」 .AB=CD, ∴.C菱形BrCO=BO+CO+BF+CF=AC+BD=2 .AB=8, CD=8, ·,‘BD=BC,BE⊥CD .矩形ABCD的周长为8√5+18 CE-DE-7 CD- 8=4 .AB+BC=4V5+9, ,平行四边形ABCD的面积为40， ,矩形ABCD的面积为36√5， ∴.CD.BE=40, :AB-BC=365, .8BE=40, BE=5, .AB2+BC2=(AB+BC)-2AB.BC=161, 在RtaBEC中，根据勾股定理得， ,在Rt△ABC中，由勾股定理得： BC=VBE2+CE2=V52+42=V41, AC=AB+BC2 =161, ,四边形ABCD是平行四边形，AC,BD交 ∴C菱形BrcO=2AC=2V161. 于点O, 27.(1)见解析 O为BD中点， g .CE=DE, E为CD中点， 【详解】(1)证明：·四边形ABCD是平行 .OE为△BDC的中位线， 四边形， ∴.AD=BC,AD∥BC, 6 28.(1)见解析 ..△AEG∽△CBG, (2)25.2 又，AB:BC=3:5,AE=AB, 【详解】(1)证明：，四边形ABCD是平行 KG_AE_3 HG BC 5 四边形， .KG=9 .AD∥BC,即AE∥BF, 5 9 24 'BF=EF ∴.HK=KG+GH=2+3= 5 5 .∠FEB=∠FBE .四边形ABFE的面积为 ·BE平分∠ABC, BFx HK= 2124 4x5 =25.2 .∠ABE=∠FBE, 29.(1)见解析 ∴.∠ABE=∠FEB (2)菱形ADCF的面积是32√5 ∴.AB∥EF 【详解】(1)：E是AD的中点， 四边形ABFE是平行四边形， .∴.AE=ED ∴，BF=EF, AF∥BC, ∴.平行四边形ABFE是菱形； .∴.∠AFE=∠DBE,∠FAE=∠BDE, (2)如图，延长G交AE于点K, 在△AFE和△DBE中， E D ∠AFE=∠DBE, ∠FAE=∠BDE, AE=DE, ∴.△AFE≌△DBE(AAS), B HF .AF =BD .GH⊥BC,AE∥BF AD是BC边中线，∠BAC=90°， ∴GK⊥AE ∴.CD=BD=AD, 四边形ABFE是菱形 .AF=CD ∴.AB=AE=BF, AF∥CD, .平行四边形ABCD的周长为28， ∴.四边形ADCF是平行四边 AB+BC-28-14 2 形 AB:BC=3:5, AD=CD, 4E=AB=3x14=21 .四边形ADCF是菱形 8 4 ·AE∥BC, (2)作AG1BC于点G,则∠AGC=90°， ,·AD=CD,∠ACB=60°， .△ACD是等边三角形， ∴.AE=VAC2+CE2=√26 ∠CAG=90°-∠ACB=30° ∠CAE=∠AED, .AC=2CG,DG=CG, .sin ZCAE=EC3 AE√26131 AG=AC2-CG2=(2CG)2-CG2=3CG= ·sin∠AED=3 13 31.(1)证明见解析 .CG=4, 11=1 ∴.CD=2CG=8, (②)AB+AC (3)证明见解析 .S菱形Dcr=CD·AG=8×4V5=325, 【详解】(I)解：DE∥CA,DF∥AB, ·.菱形ADCF的面积是32√5， ∴.四边形AEDF是平行四边形， 'AD⊥BC,BD=CD D ∴，AD是BC的垂直平分线， ..AB=AC, B A ∴.∠BAD=∠CAD, 30.(1)证明见解析 (2)sin∠ABED= DE∥AC, 13 .∴.∠EDA=∠CAD, 【详解】(I)证明：.CE∥BD,DE∥AC, ∴.∠BAD=∠EDA, ∴.四边形ODEC是平行四边形， ∴.EA=ED, 又.菱形ABCD ∴.四边形AEDF是菱形 .AC⊥BD, (2)解：DE∥AC, ∠D0C=90°， ∴.△BED一△BAC, ∴四边形ODEC是矩形 DE BD (2)解：‘AC1BD,∠ADB=60°，AD=25, ·ACBC .∠CAD=30° ·DF∥AB, .△CDF-△CBA, .OD=√2，A0=OC=VAD-OD=6, DF CD AB BC AC=216, .四边形ODEC是矩形， 装+6-2+0DD-1, BC 四边形AEDF是平行四边形， :.EC=OD=√2，∠ACE=90°.AC∥DE, .∴.DE=AF,DF=AE, 出 .AE=AF=1, s,=h, ∴.DE=DF=1, .:DE∥CF,DF∥AB ·ABAC ∴·∠C=∠BDE,∠CFD=∠EDF=∠DEB, (3)解：设△BDE的边DE上的高为h, ∴.△BDE~△DCF CF长为a,△CDF的边CF上的高为h2, 会器第得DE h 如图所示： 1ahx= :.S= ah? 四边形AEDF是平行四边形 S=AFxh=DE×h=ah×h=ah B 4， D .S2=4S,S2 g