加练3 二次函数-【一战成名新中考·乾坤卷】2025广西中考原创压轴卷（全学科）

加练3 平移（题位预估：9） 1.将抛物线y=2x2+1向右平移3个单位后所 得抛物线的解析式为 A.y=2x2+4 B.y=2x2-2 C.y=2(x+3)2+1 D.y=2(x-3)2+1 2.在平面直角坐标系中，将抛物线y=-x2-2 向左平移一个单位长度，再向上平移一个单 位长度，得到的抛物线顶点坐标为( A.(0,0) B.(0,2) C.(-2,0) D.（-2,2) 图象的分析与判断（题位预估：12,16） 3.在平面直角坐标系中，二次函数y1,y2的图 象如图所示，则函数y=y-y,的图象可能是 数学 v=ax+bx+c 第3题图 第4题图 4.如图，抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c为常数，a≠0) 3 与x轴交于点A(-2,0),对称轴是直线x= 2下列说法不正确的是 ①abc<0; ②若地物线经过三点(-2.），(0，).(3 y3),则y1>y2>y3; ③um<-bm之(m为任意实载)： ④3a+4c=0. 38 乾卷加 二次函数 实际应用（题位预估：12,16,20~22） 5.真实情境在学校的秋季运动会中，小明参 加了跳远比赛，可以用二次函数描述他在某 次跳跃时重心高度的变化（如图），若重心高 度h(m)与起跳后时间t(s)的函数表达式为 h=-5t2+3t,当t=0.2,0.3,0.5时，所对应的 重心高度分别记为h1,h2,h3,则 第5题图 A.h1>h2>h3 B.hi>ha>h2 C.h2>h >h3 D.h2>h3>h1 6.真实情境某拱桥的主桥拱近似地看作抛 物线，桥拱在水面的跨度OA为20米，若按 如图所示方式建立平面直角坐标系，则主桥 拱所在抛物线可以表示为y=。+饭，根 据以上信息可知主桥拱最高点P与其在水 中的倒影点P'之间的距离为 米 201 D 第6题图 7.真实情境大课间活动中，小兰、小亮和小 红玩砸沙包游戏，小兰和小亮扔沙包，小红 接沙包.如图，以地面为x轴，以小兰站立的 位置为y轴建立平面直角坐标系，小兰一开 始准备进行防守，她跳起在A(0,2)处高抛， 将沙包传给小亮，小亮在横坐标为7的B处 接沙包.其运行路线可以看作是抛物线y= a(x-3)2+3的一部分.小红在小兰和小亮之 ·广西 间运动，选择合适的方式躲避沙包或接住 沙包 (1)求抛物线的解析式和点B的坐标； (2)已知小红跳起后的最大高度为2m.请 求出小红接住沙包的运动范围； (3)小兰跳起后发现，小红在距离自己4m 处未动，她决定选择进攻，若设沙包的运 行路线的解析式为y=mx+2,小红的身 高为1.5m,求能砸中小红时，m的取值 范围 第7题图 8.优质原创【问题情景】如图①，车棚是用 来保护车辆不受损伤的一种建筑，主要起到 挡风遮雨的功能，其中膜结构车棚造型丰 富，曲线柔美，给人美的视觉享受.如图②是 其横截面的示意图，其中车棚的顶部用抛物 线形铝合金骨架作支撑，以垂直于地面的立 柱OD为y轴，水平地面为x轴建立平面直 角坐标系，点B,D,E,C在顶棚抛物线形骨 架上，且点B到y轴的水平距离为4米，点D 离地面的距离OD为3米，已知车棚的顶部 乾卷加练 骨架抛物线的最高点到OD的水平距离为 2米，到地面的高度为3.5米 请尝试解决以下问题 【数学建模】 (1)如图②，设车棚顶部骨架上某处离地面 的高度为y(米)，该处离车棚支架OD 的水平距离为x(米)，求y与x之间的 函数关系式； 【实践探究】 (2)若车棚深度为5米（即点P到OD的水 平距离)，求点P到地面的距离； 【拓展应用】 (3)为了车棚顶部的稳固性，需要在棚顶安 装铝合金支架，支架可以看成是由线段 AB、AC、EF组成，点F在线段AB上，EF∥ OD.为不影响停车，将点A到地面的距 离定为2米.求支架EF的最大长度 学 图① 图② 第8题图 ·广西 39 性质综合题（题位预估：22,23） 10. 9.通过二次函数的学习，小杰知道形如y=ax2 (a≠0)的函数，其图象始终经过点(0,0) 即抛物线y=ax2(a≠0)经过定点(0,0).于 是他进一步探究了形如y=ax2-ax+2(a≠0)》 的函数图象，发现抛物线y=ax2-ax+2(a≠ 0)经过定点(0,2)与(1,2). 他探究的思路是：设法找到x的某些取值， 使表达式中含a的各项之和为0. 具体的解法如下： 含a的各项之和：a2-ax=a(x2-x),令x2 x=0,解得x1=0,x2=1. 当x=0时，y=2,得到定点(0,2)；当x=1 时，y=2,得到定点(1,2) 小杰还探究了抛物线y=ax2+(1-a)x-2a+1 (a≠0)，发现它也经过两个定点，其中一个 在x轴上，记作点A,另一个位于第一象限 数 内，记作点B. 学 (1)求点A、B的坐标； (2)若当-1≤x≤2时，y的最大值为3，求a 的取值范围； (3)若当-1≤x≤2时，y的最小值为-1，求a 的值 40 乾卷加练·广 (2024南宁九上期末)已知：抛物线y=ax2+ 4ax+3a(a≠0). (1)当a=1时， ①求这个抛物线的解析式及其对称轴； ②已知点(m,y1)与(m+3,y2)分别在 该抛物线对称轴两侧的图象上，且 y1≤y2,求m的取值范围； (2)将这个抛物线向右平移k(0<k<2)个单 位长度，若平移后的抛物线在-2≤x≤0 的范围内有最大值为4，求k的值 4 分解法二：过A,B两点作y轴的垂线，由AC=BC得两个三角形 全等，再求面积 . 第5题解图 第6题解图 6.B【解析】如解图，连接OB,OC,过点B作BE⊥y轴于点E 过点C作CF⊥y轴于点F.OA∥BC,.S△OBc=SAARC=6, 5 PB:PC=1:2,.Som=2,SAOPC=4,SomE=2SAPE= 1 SAE-SAoB=号-2)，BE∥CE,△BEP△CFP,P SAe二B肥2=，即Sap=4X2=2,…Saer-S400-Sacm S△cP =2,∴.k=-4. 7C【解标】解法-：点P的坐标为(a,之，且Pv10B, PM10A,点N的坐标为(0,2a),点M的坐标为(a,0), .BN=1 2a0B=01=1,∠B0A=90,.△0MB是等腰直 角三角形，.在Rt△BWF中，∠NBF=45°，WF=BN=1- 2a点F的坐标为(1-1， ),同理可得点E的坐标为 2a'2a 1、 1 1a)心F=2)2+()) 2a,BE=(a)2+(-a2= 2a2AF2·BE 2·20=1,即AF·BE=1(负值已舍). 1 解法二：如解图，过点E作EG⊥OB于点G,过点F作FH⊥ OA于点H.由题意，GE=OM=a,△AOB,△BEG,△AFH都是 等腰直角三角形，BG=GE=a,BE=5a,FH=AH=PM=2a M加.BE=ax- 4r=② 2a y↑ L/- NB(0,1) B F P(a. 1 XA(1,0) 0 第7题解图 第8题解图 8.C【解析】如解图，设AP与x轴交于点C,BP与y轴交于点 D,过点A作x轴的平行线，过点B作y轴的平行线，两线交 于点M,由题意得1，PD1PC。1PD1 FAC2'BD2小PM3·PB3矩 1 形PDOC∽矩形PBMA,·. 9点P在上， 乾卷加练答 Semc=l,SE=9,S6wE三9 2 -2 9-8【解析】设A(a,名)，在菱形0MBC中，点A在反比例 函数y=(x<0)图象上，点B在y轴正半轴上，C与A关 于y箱对称，即C(-a,名).D为0c的中点D(-受 会，将点0坐标代入y2中，得号·会2，解得=-8 10.12【解析】设A(a,a+1),B(b,b+1),一次函数y=x+1 的图象与x轴相交于点P,.P(-1,0):又点A在反比例 函数y子的图象上，aa+1)=2,解得a=1(负值已寺 去，即41,2)PH=25,又路P8=45,即 2(b+1)=42,解得b=3,.B(3,4),k=12. 11.解：(1)1.2：【解法提示】(1)5-3.8=1.2（米），.则试线应 画在距离墙ABEF1.2米处. (2)①视力值V与字母E的宽度a的乘积是定值7， ∴.视力值V与宇母E的宽度α成反比例关系. 设及 a 把a=70,V=0.1,代入得k=7, “视力值V与字母E的宽度a之间的函数关系是V=乙 数 ②把a=17.5,代入V=7,得y=0.4, .该行对应的视力值是0.4. 加练3二次函数 1.D【解析】二次函数y=2x2+1的图象右平移3个单位后所 得函数的解析式是y=2(x-3)2+1. 2.D【解析】y=-x2-2x=-(x+1)2+1,即抛物线的顶点坐标为 (-1,1),把点(-1,1)向左平移一个单位长度，再向上平移一 个单位长度得到(-2,2). 3.A【解析】设y1=a1x2+b1x,y2=a2x2+c2,由图象知，a1<0,b1> 0,a2>0,c2<0,.a1-a2<0,y=y1-y2=(a1-a2)x+b1x-c2, “函数y=y1y的图象开口向下，对称轴在y轴的右侧，与y 轴的交点在y轴的正半轴上，.只有选项A符合题意 4.①②③【解析】抛物线开口向下，则a<0,对称轴在y轴的 左侧，则ab>0,抛物线交y轴的正半轴，则c>0,.abc>0,故 ①错误；：抛物线开口向下，对称轴是直线x=分点 5 (-2,),(0,),(3)中，(0，)距离对称轴最近，（3， )距离对称轴最远散>y>,故②错误：=号时，函 数有最大值，敢om+m+e}a-子+c,即am- 4as b,故③错误：心对称轴是直线x= 1 61 22a2 及解析·广西 13 .b=a,抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c为常数，a≠0)与x轴交 于点40.0=-0+=0，放④正病 5.C【解析】解法一：当t=0.2时，h1=-5×0.2+3×0.2=0.4: 当t=0.3时，h2=-5×0.32+3×0.3=0.45:当t=0.5时，h3= -5x0.52+3×0.5=0.25:0.45>0.4>0.25,h2>h1>h3 解法二：用增减性判断y1,y2,y3的大小关系. 6.20【解析】：0A=20米，.A(20,0),把A(20,0)代入y= 1 02+bx中得.00×400+206，解得6=2.心y号0 2，=10,当x=10时，y 2,a=-0,b=2.心2a2x(-11 1 =10×100+20=10,最高点P(10,10)心倒影点P'(10, -10),主桥拱最高点P与其在水中的倒影点P之间的距 离为10-(-10)=10+10=20（米）. 7.解：(1).抛物线y=a(x-3)2+3过点A(0,2), .2=a(0-3)2+3, 1 解得a=-9, 抛物线的解析式为y=g(x-3)+3, 数 当=7时号 学 六点B的坐标为(1，)： 11 （2当=2时，-3)3=2 解得x1=6,x2=0, 小红在小兰和小亮之间运动，当0<x<6时，y>2,小红接不 住沙包， 小红接住沙包的运动范围为6≤x<7: (3)①若沙包运行路线经过点(4,0)， 则0=4m+2, 每得a子 ②若沙包运行路线经过点(4,1.5)，则1.5=4m+2, 解得m=8, 1 “能驱中小红时，m的取值范粗为≤m≤日 8.解：(1)根据题意可知，抛物线顶点坐标为(2,3.5)， .设y与x之间的函数关系式为y=a(x-2)2+3.5, 将D(0,3)代入y=a(x-2)2+3.5,得4a+3.5=3, 解得a=-8 六y与x之间的函数关系式为)y=8(x-2)+3.5: (2)当点P到00的水平距离为5米时，即x=5, 14 乾卷加练答案 代入y=- -2+85，得 =5-285 19 =2.375, 8 点P到地面的距离为2.375米： (3):点A到地面的距离为2米， 点A的坐标为(0,2)， 点B到y轴的水平距离为4米， 当x=4时，y=令(4-22+3.5=3 .点B(4,3), 设AB所在直线的函数关系式为y=x+b, 将A(0,2),B(4,3)代入y=kx+b,得 1 b=2,解得 4k+b=3, =2, :AB所在直线的函数关系式为y=4+2: .·EF∥OD. 1 设点F的坐标为(m,4m+2), 1 则E(m,g(m-2)+3.5), 1 1 ∴.EF=- 8气m=2）2+3.5-(4m+2)=- 1 9 =8(m-1)'+8, 1 -8<0, 当m=1时，BP最大，最大值为， 支架EF的最大长度为？米 8 9.解：(1)y=ax2+(1-a)x-2a+1=a(x2-x-2)+x+1, 令x2-x-2=0,解得x1=-1,x2=2, 当x=-1时，y=0,当x=2时，y=3, 即点A、B的坐标分别为(-1,0)、(2,3)： (2)由抛物线解析式可知，抛物线的对称轴为直线x=”1 2a 当a>0时，抛物线开口向上， 如解图①，者公1，即<兮则当1≤2时y随：的g 大而增大，当x=2时，y取得最大值，最大值为3.0<a< 号待台题在： 如部图②.若1，即a=兮则当1≤≤2时，y速：的 增大而增大，当x=2时，y取得最大值，最大值为3..a 号符合题意： 如解图3，若-1<2，即0>行，当x=2时，y廉得最大值， 2a 解析·广西 最大值为3.“>3符合题意： 当a<0时，抛物线开口向下， 若02.则当：时系得大位，且版大位大于3 不符合题意： 如每因0.吉分 1 ≥2,3≤a<0,则当-1≤x≤2时，y随x的 增大而增大，当x=2时，y取得最大值，最大值为3， ≤a<0符合题意. 综上所述，a的取值范围为≤a<0成a>0 AO 图① 图② 图③ 图④ 第9题解图 (3)当a<0时，抛物线开口向下，当x=-1时，y取得最小值， 最小值为0.故a<0不符合题意 当a>0时，茄物线开口向上，由题意得，二之2 1 ≤-1，即a≤，当x=-1时，y取得最小值，最小值为 2a Q故0ca≤兮不符台题意 若-1<<2，x=时，y取得最小值，最小值为(3a-1 2a 2a 4a -(3a-1)2 4a -1,解得a=1或)， a的位为1或) 10.解：(1)①当a=1时，抛物线解析式为y=x2+4x+3, y=x2+4x+3=(x+2)2-1, .对称轴为直线x=-2: ②点(m,y1)与(m+3,y2)分别在该抛物线对称轴两侧的 图象上，且y≤y2, 0*m*3 -2 2 又：m<-2且m+3>-2, m的取值范围为-，≤m2: (2)y=ax2+4ax+3a=a(x+2)2-a(a≠0)， 抛物线的顶点为(-2，-a), 乾卷加练答男 将该抛物线向右平移k(0<k<2)个单位得到y=a(x+2-k)2- a, ①若a>0 当0≤1，则当=0时取得最大值。， .a(2-k)2-a= 4, 。7 0<k≤1， 1 .k2 当1<k<2,则当x=-2时，函数y=a(x+2-k)2-a有最大值 5 4a, 5 :ak2-a= 40, 3 解得k=±2！ 1<k<2, 3 k=2 ②若a<0, 则平移后的抛物线在-2≤x≤0的范围内最大值始终为-a, 不合题意舍去， 数 综上，的直为了或号 学 加练4三角形（含尺规作图） 1.C【解析】.·AC⊥DE,∴.∠ABD=90°，在Rt△ABD中，AD= m,∠DAB=&,.AB=AD·cosa=mcos,AD=DC,AC⊥DE, .AC=2AB=2 mncosa,.AC的长度为2mcos. 2.√29【解析】…水平距离为5m,坡比为i=1:2.5,.铅直高 度为5：2.5=2(m).根据勾股定理可得相邻两棵树间的坡面 距离为√52+2=√29(m). 3.(63-6)【解析】如解图，过点C作CE⊥PB,垂足为E,过 点D作DF⊥PB,垂足为F,由题意得CE=DF=3m,△ACP 和△BDP都是等腰三角形，BPMN,∴.∠APC=∠PCM=45°， ∠BPD=∠PDM=30°，在Rt△PCE中，PE=CE=3(m),.AP =2PE=6(m,在△P0F中，PF=D=2=35(m, tan30°3 3 .BP=2PF=6√3(m),.AB=BP-AP=(63-6)m,光斑移 动的距离AB为(63-6)m 天花板 E FA B a△B↓ C 地板 第3题解图 及解析·广西 15