2.6　指数函数课件——2027届高三数学复习一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦指数函数专题，依据高考评价体系梳理了概念辨析、图象性质、综合应用三大核心考点，通过真题分析明确性质应用占60%、大小比较占25%的高频考点分布，归纳出选择、填空、解答三类常考题型，体现备考针对性。 课件亮点在于“真题溯源+技巧建模+素养提升”策略，如以2023新高考Ⅰ卷复合函数单调性题为例，用“同增异减”法突破，培养数学思维。设易错点警示（如底数分类讨论）和答题模板，助力学生掌握得分技巧，教师可据此高效指导复习。

第六节　指数函数 1 知识清单 1.指数函数的概念 函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R. 返回导航 2 2．指数函数的图象与性质 项目  a>1 0<a<1 图象 定义域 ________________ 值域 ________________ R (0，＋∞) 返回导航 3 性质 过定点________，即x＝0时，y＝1 当x>0时，________； 当x<0时，________ 当x<0时，________； 当x>0时，________ ________函数 ________函数 (0，1) y>1 0<y<1 y>1 0<y<1 增 减 返回导航 4 【常用结论】 画指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0，1)，(－1，)．底数a的大小决定了指数函数图象相对位置的高低，不论是a>1，还是0<a<1，在第一象限内底数越大，函数图象越高，即“底大图高”． 返回导航 5 自主诊断 1.思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数y＝2x－1是指数函数．(　　) (2)函数y＝ax2＋1(a>1)的值域是(0，＋∞)．(　　) (3)2－3>2－4.(　　) (4)若am<an(a>0且a≠1)，则m<n.(　　) × × √ × 返回导航 6 2．(人教A版必修一P118练习T1改编)函数y＝与y＝3x的图象(　　) A．关于x轴对称 B．关于y轴对称 C．关于原点对称 D．关于直线y＝x对称 答案：C 解析：因为y＝－3－x，即－y＝3－x，所以函数y＝－3－x与y＝3x的图象关于原点对称． 返回导航 7 3．设a＝，b＝1.10.9，c＝1.11.1，则(　　) A．c>b>a B．c>a>b C．a>c>b D．b>a>c 答案：A 解析：因为1.11.1>1.10.9>1>0.91.1，所以c>b>a. 返回导航 8 4．(人教A版必修一P115T2改编)已知函数y＝f(x)，x∈R，且f(0)＝3，＝2，＝2，…，＝2，n∈N*，则f(x)＝________． 答案：3·4x 解析：∵＝2，n∈N*，∴＝2n，∴f(0.5n)＝3·2n，令0.5n＝x，∴n＝2x，∴f(x)＝3·22x＝3·4x. 返回导航 9 命题点一　指数函数的图象及应用 例1 (链接· 2025年全国Ⅰ卷)已知2＋log2x＝3＋log3y＝5＋log5z，则x，y，z的大小关系不可能为(　　) A．x>y>z B．x>z>y C．y>x>z D．y>z>x 答案：B 返回导航 10 解析：方法一　设2＋log2x＝3＋log3y＝5＋log5z＝m，所以令m＝2，则x＝1，y＝3-1＝，此时x>y>z，A有可能；令m＝5，则x＝8，y＝9，z＝1，此时y>x>z，C有可能；令m＝8，则x＝26＝64，y＝35＝243，z＝53＝125，此时y>z>x，D有可能．故选B. 返回导航 11 方法二　设2＋log2x＝3＋log3y＝5＋log5z＝m，所以x＝2m-2，y＝3m-3，z＝5m-5，根据指数函数的单调性，易知各方程只有唯一的根， 作出函数y＝2x-2，y＝3x-3，y＝5x-5的图象，以上方程的根分别是函数y＝2x-2，y＝3x-3，y＝5x-5的图象与直线x＝m的交点纵坐标，如图所示．易知，随着m的变化可能出现x>y>z，y>x>z，y>z>x，z>y>x.故选B. 返回导航 12 　真题探源　(源自北师大版必修一P92B组T5改编)在同一平面直角坐标系中画出下列各组函数的图象，并讨论它们之间的关系： y＝3x，y＝3x＋3，y＝3x－1. 答案：在同一坐标系内作出函数y＝3x，y＝3x+3， y＝3x-1的图象，如图， 函数y＝3x+3的图象可看作由函数y＝3x的图象向左平移3个单位而得； 函数y＝3x-1的图象可看作由函数y＝3x的图象向右平移1个单位而得． 返回导航 13 学霸笔记：对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换得到．特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论． 返回导航 14 命题点二　指数函数的性质及应用 考向1　比较指数式的大小 例2 已知0<a<1<b，则(　　) A．ba<ab<aa<bb B．ab<aa<ba<bb C．bb<ab<aa<ba D．ab<ba<aa<bb 答案：B 返回导航 15 解析：因为函数y＝ax(0<a<1)是减函数，所以0<ab<aa<1，同理，函数y＝bx(b>1)是增函数，所以1<ba<bb.综上，可得ab<aa<ba<bb.故选B. 返回导航 16 学霸笔记： (1)同底数幂比较大小时构造指数函数，根据其单调性比较． (2)指数相同底数不同时分别画出以两幂底数为底数的指数函数图象，当x取相同幂指数时可观察出函数值的大小． (3)底数、指数都不相同时，取与其中一底数相同与另一指数相同的幂与两数比较，或借助“1”与两数比较． 返回导航 17 跟踪训练　(衔接·人教A版必修一P117例3改编)下列大小关系正确的是(　　) A．1.72.5>1.73 B．1.70.3<0.93.1 C．1.52.5<1.53.2 D．0.6－1.2>0.6－1.5 答案：C 返回导航 18 解析：对于A，函数y＝1.7x在R上单调递增，则<1.73，故A错误；对于B，函数y＝1.7x在R上单调递增，则1.70.3>1.70＝1，函数y＝0.9x在R上单调递减，则<0.90＝1，因此1.70.3>0.93.1，故B错误；对于C，函数y＝1.5x在R上单调递增，则1.52.5<1.53.2，故C正确；对于D，函数y＝0.6x在R上单调递减，则0.6-1.2<0.6-1.5，故D错误． 返回导航 19 考向2　解简单的指数不等式 例3 求不等式2x2－2x－3<()x－1的解集． 答案：原不等式可化为2x2－2x－3<2-3(x-1)． ∵y＝2x是增函数，∴x2－2x－3<－3(x－1)． 整理得x2＋x－6<0，∴－3<x<2，故原不等式的解集为{x|－3<x<2}． 返回导航 20 学霸笔记： (1)性质法：解形如ax＞ab的不等式，可借助函数y＝ax的单调性求解．如果a的取值不确定，需分a＞1与0＜a＜1两种情况进行讨论． (2)隐含性质法：解形如ax＞b的不等式，可先将b转化为以a为底数的指数幂的形式，再借助函数y＝ax的单调性求解． 返回导航 21 　跟踪训练　函数f(x)＝的定义域是________． 答案：(－∞，1] 解析：要使函数f(x)＝有意义，则9－3x+1≥0，变形可得3x+1≤9＝32，因为指数函数y＝3u在R上单调递增，则x＋1≤2，解得x≤1，故函数f(x)的定义域是(－∞，1]. 返回导航 22 命题点三　指数型函数性质的综合问题 例4 (1)(链接·2023年新高考Ⅰ卷)设函数f(x)＝2x(x－a)在区间(0，1)上单调递减，则a的取值范围是(　　) A．(－∞，－2] B．[－2，0) C．(0，2] D．[2，＋∞) 答案：D　 返回导航 23 (2)已知函数f(x)＝()ax2－2x＋2a的最大值为2 025，则a的值为(　　) A． B．－1 C．1 D．或－1 答案：A 返回导航 24 解析：(1)函数y＝2x在R上单调递增，而函数f(x)＝2x(x－a)在区间(0，1)上单调递减，则有函数y＝x(x－a)＝2－在区间(0，1)上单调递减，因此≥1，解得a≥2，所以a的取值范围是[2，＋∞)．故选D. (2)令y＝t，t＝ax2－2x＋2a，因为y＝t单调递减，又因为函数f(x)＝的最大值为2 025，则t＝ax2－2x＋2a的最小值为－1，所以a>0，且当x＝－时，tmin＝＝－1，即得2a2＋a－1＝0，解得a＝或a＝－1，所以a＝.故选A. 返回导航 25 学霸笔记： (1)函数y＝af(x)(a＞0，且a≠1)的单调性可根据复合函数“同增异减”的规律进行判断，其最值要结合单调性转化为f(x)的最值进行分析求解． (2)对于函数y＝f(ax)(a＞0，且a≠1)，一般要通过换元令ax＝t，化为函数y＝g(t)再研究． 返回导航 26 　跟踪训练　(1)(2026·河南名校联考)已知函数f(x)＝3sin x＋m的值域为，则m＝(　　) A．4 B．3 C．2 D．1 答案：D　 解析：由sin x∈[－1，1]和y＝3x是增函数可知3sin x∈ ，所以可得m＝1.故选D. 返回导航 27 (2)函数f(x)＝4x－2x＋1的单调递增区间是________． 答案：(0，＋∞) 解析：函数f(x)＝4x－2x+1＝(2x－1)2－1，令t＝2x(t>0), 则y＝(t－1)2－1在(1，＋∞)上单调递增，在(0，1)上单调递减，由t＝2x>1得x>0，而t＝2x在(0，＋∞)上单调递增，所以f(x)的单调递增区间是(0，＋∞)或． 返回导航 28 1．已知函数f(x)＝ax+1－(a>0，且a≠1)的图象过定点(m，n)，则mn＝(　　) A． B． C． D． 答案：A 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 29 解析：因为f(－1)＝a0－，所以函数过定点，即m＝－1，n＝，则＝＝.故选A. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 30 2．如图所示，若0<a<1，函数y＝ax与y＝x＋a的图象可能是(　　) 答案：C 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 31 解析：因为0<a<1，所以指数函数y＝ax在R上单调递减，故排除A和D；对于y＝x＋a，当x＝0时，y＝a，所以y＝x＋a的图象过点(0，a)，因为0<a<1，故B错误，C正确．故选C. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 32 3．已知a＝1.50.6，b＝1.50.7，c＝0.70.6，则a，b，c的大小关系是(　　) A．a>b>c B．c>a>b C．b>a>c D．b>c>a 答案：C 解析：因为y＝1.5x是增函数，又0<0.6<0.7，所以b>a>1，又y＝0.7x是减函数，所以c＝0.70.6<0.70＝1，则b>a>c.故选C. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 33 4．函数f(x)＝x＋2，x∈[－1，2]的最大值为 (　　) A．4 B．3 C． D． 答案：A 解析：∵函数f(x)＝x＋2在[－1，2]上单调递减，∴当x＝－1时，函数f(x)＝x＋2，x∈[－1，2]取得最大值，最大值为2＋2＝4. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 34 5．函数f(x)＝0.3x2－2x的单调递增区间是(　　) A．(－∞，1) B．(1，＋∞) C．(0，1) D．(1，2) 答案：A 解析：函数f(x)＝0.3x2－2x中，令t＝x2－2x，则函数t＝x2－2x在(－∞，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，而函数y＝0.3t为减函数，因此函数f(x)在(－∞，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，所以函数f(x)＝0.3x2－2x的单调递增区间是(－∞，1)．故选A. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 35 6．已知函数f(x)＝，则下列函数中为奇函数的是(　　) A．y＝f(x)－ B．y＝f C．y＝f(x)＋ D．y＝f 答案：A 解析：根据f(x)＝得f(－x)＝，可得f(x)－＋f(－x)－＝0，故y＝f(x)－为奇函数．故选A. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 36 7．(2026·石家庄模拟)若函数y＝ax＋b－1(a>0，a≠1)的图象经过第二、三、四象限，则一定有(　　) A．0<a<1 ，且b>0 B．a>1，且b>0 C．0<a<1，且b<0 D．a<1，且b>0 答案：C 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 37 解析：已知函数y＝ax＋b－1的图象经过第二、三、四象限，说明函数单调递减，所以可得0<a<1，指数函数y＝ax过定点(0，1)，则函数y＝ax＋b－1过定点(0，a0＋b－1)，即(0，b)， 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 38 因为函数y＝ax＋b－1的图象经过第二、三、四象限，如图所示，所以该函数与y轴的交点在y轴负半轴上，即b<0.综上，可得故选C. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 39 8．(2026·南昌二模)若函数 f(x)＝2 025|x－a|在区间[2 026，＋∞)上单调递增，则a的取值范围为(　　) A．[2 026，＋∞) B．(0，2 026] C．(－∞，2 026) D．(－∞，2 026] 答案：D 解析：根据函数 f(x)＝2 025|x－a|在区间[2 026，＋∞)上单调递增，且y＝2 025x单调递增，可得y＝|x－a|在区间[2 026，＋∞)上单调递增，所以a≤2 026.故选D. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 40 9．(2026·忻州模拟)已知函数f(x)＝x－1，则正确的是(　　) A．f(x)的值域为(－1，＋∞) B．f(x＋1)>1的解集为(－2，＋∞) C．f(x)的图象与g(x)＝2x－1的图象关于y轴对称 D．函数y＝f(x)－f(－x)是偶函数 答案：AC 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 41 解析：对于A，∵x>0，则f(x)＝x－1>－1，即值域为(－1，＋∞)，A正确；对于B，∵f(x＋1)＝x+1－1，由f(x＋1)>1得x+1>2，即x+1>-1，∵函数y＝x为减函数，∴x＋1<－1，解得x<－2，故f(x＋1)>1的解集为(－∞，－2)，B错误；对于C，由f(x)＝x－1，可得f(－x)＝－x－1＝2x－1＝g(x)，由图知，f(x)的图象与g(x)＝2x－1的图象关于y轴对称，C正确； 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 42 对于D，设h(x)＝f(x)－f(－x)＝2－x－2x，函数的定义域为R，关于原点对称，且h(－x)＝2x－2－x＝－h(x)，故h(x)＝f(x)－f(－x)为奇函数，故D错误．故选AC. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 43 10．已知函数f(x)＝ax－x(a>0，且a≠1)，则下列结论中正确的是(　　) A．函数f(x)的图象过定点(0，1) B．函数f(x)在其定义域上有零点 C．函数f(x)是奇函数 D．当a＝2时，函数f(x)在其定义域上单调递增 答案：BCD 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 44 解析：对于A，因为f(0)＝a0－0＝0，故函数f(x)的图象过定点(0，0)，故A错误；对于B，因为f(x)＝ax－x的定义域为R，且f(0)＝0，故函数f(x)在其定义域上有零点，故B正确；对于C，因为f(x)＝ax－a－x，该函数的定义域为R，且f(－x)＝a－x－ax＝－f(x)，即函数f(x)是奇函数，故C正确；对于D，当a＝2时，则f(x)＝2x－x，因为函数y＝2x，y＝－x均为R上的增函数，所以函数f(x)＝x在R上为增函数，故D正确．故选BCD. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 45 11．函数y＝ax(a>0，且a≠1)，在[2，3]上的最大值比最小值大，则a＝________． 答案：或 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 46 解析：若0<a<1，则函数f(x)＝ax在区间[2，3]上单调递减，所以f(x)max＝a2，f(x)min＝a3，由题意得a2－a3＝，又0<a<1，故a＝；若a>1，则函数f(x)＝ax在区间[2，3]上单调递增，所以f(x)max＝a3，f(x)min＝a2，由题意得a3－a2＝，又a>1，故a＝.所以a的值为或. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 47 12．已知函数f(x)＝为奇函数，则a＝________. 答案：－1 解析：由题设，函数的定义域为R，则f(0)＝＝0，可得a＝－1，所以f(x)＝，则f(－x)＝＝－f(x)，满足题设． 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 48 13．(13分)已知指数函数f(x)＝ax(a>0，且a≠1)的图象过点(－2，9)． (1)求a的值； 答案：∵指数函数f(x)＝ax的图象过点(－2，9)， ∴f(－2)＝a-2＝9，∴a＝±.∵a>0，∴a＝. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 49 (2)若f(m)＝2，f(n)＝，求m＋n的值； (3)求不等式f(x2－5x－6)>1的解集． 答案：由(1)知，f(x)＝x，∵f(m)＝2，f(n)＝，∴m＝2，n＝. ∴m·n＝m＋n＝2×＝9＝-2，∴m＋n＝－2. 答案：不等式f(x2－5x－6)>1，即0， ∵f(x)＝x在R上单调递减，∴x2－5x－6<0，即(x－6)(x＋1)<0，解得－1<x<6， ∴不等式的解集为{x|－1<x<6}． 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 50 14．(15分)已知函数f(x)＝a·2x＋b的图象过点(0，2)，且无限接近直线y＝1，但又不与该直线相交． (1)求f(x)的解析式； 答案：当x无限减小时，2x无限接近0，但不会等于0， 由题设，因为f(x)＝a·2x＋b的图象无限接近直线y＝1，但又不与该直线相交，所以b＝1.由f(0)＝2，得a＋1＝2，解得a＝1，故f(x)＝2x＋1. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 51 (2)设函数g(x)＝在平面直角坐标系中画出y＝g(x)的图象，并根据图象写出该函数的单调递增区间． 答案：由(1)知g(x)＝ 如图所示， 由图知，该函数的单调递增区间为(－∞，0]. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 52 15．(5分)已知函数f(x)＝的定义域是A，则函数g(x)＝4x－2x+2(x∈A)的最大值是(　　) A．－4 B．0 C．32 D．60 答案：B 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 53 解析：令－x2＋2x≥0，解得0≤x≤2，故函数f(x)＝的定义域是A＝［0，2］，，由于x∈［0，2］，故t∈［1，4］，则g(x)(x∈A)即为函数m(t)-4t，t∈［1，4］，而m(t)-4，故当t＝4时，m(t)取最大值m(4)＝0，即函数g(x)2x+2(x∈A)的最大值是0.故选B. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 54 16.(5分)已知函数f(x)＝－4x－x＋5，若f(m－12)＋f(m2)>10，则m的取值范围为________. 答案：(－4，3) 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 55 解析：令g(x)＝－4x－x，则g(x)＝－4x－x的定义域为R，且g(－x)＝－4－x＋x＝－＝－g(x)，所以g(x)＝－4x－x为奇函数，又y＝，y＝－4x，y＝－x均在R上单调递减，所以g(x)在R上单调递减，又f(x)＝g(x)＋5，所以不等式f(m－12)＋f(m2)>10，即g(m－12)＋5＋g(m2)＋5>10，即g(m－12)＋g(m2)>0，即g(m2)>g(12－m)，所以m2<12－m，即(m－3)(m＋4)<0，解得－4<m<3，所以m的取值范围为(－4，3)． 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 56 $