2.7对数函数课件——2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦对数函数专题，覆盖定义、图象与性质、反函数等核心考点，对接高考评价体系，分析比较大小、解不等式等高频考点权重，归纳图象识别、性质应用、复合函数综合问题等常考题型，体现备考针对性与实用性。 课件亮点在于“真题溯源+方法归纳+素养提升”策略，如结合2023新高考Ⅱ卷偶函数问题，用分类讨论、数形结合突破性质综合应用，培养逻辑思维与抽象能力。设易错点分析（如定义域忽略）和跟踪训练，助学生掌握答题技巧，教师可据此精准教学，提升复习效率。

第七节　对数函数 1 知识清单 1.对数函数 (1)定义：函数y＝logax(a＞0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，定义域是________． (0，＋∞) 返回导航 2 (2)图象与性质 项目 a＞1 0＜a＜1 图象 返回导航 3 性质 定义域：________ 值域：R 图象过定点________，即恒有loga1＝0 当x＞1时，恒有y＞0； 当0＜x＜1时，恒有y＜0 当x＞1时，恒有y＜0； 当0＜x＜1时，恒有y＞0 ______函数 ______函数 注意 当对数函数的底数a的大小不确定时，需分a＞1和0＜a＜1两种情况讨论 (0，＋∞) (1，0) 增 减 返回导航 4 2.反函数：指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a＞0，且a≠1)互为反函数，它们的定义域与值域正好互换，y＝ax与y＝logax的函数图象关于直线________对称． y＝x 返回导航 5 【常用结论】 对数函数的图象与底数大小的比较 如图，作直线y＝1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数．故0<c<d<1<a<b. 由此我们可得到以下规律： 在第一象限内从左到右底数逐渐增大． 返回导航 6 自主诊断 1.思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数y＝log2(x＋1)是对数函数．(　　) (2)函数y＝ln 与y＝ln (1＋x)－ln (1－x)的定义域相同．(　　) (3)当x>1时，若logax>logbx，则a<b.(　　) (4)函数y＝log2x与y＝的图象重合．(　　) × √ × √ 返回导航 7 2．(人教A版必修一P135T1改编)函数y＝log3x与y＝x的图象(　　) A．关于x轴对称 B．关于y轴对称 C．关于原点对称 D．关于直线y＝x对称 答案：A 解析：由y＝得y＝－log3x，所以函数y＝log3x与y＝的图象关于x轴对称．故选A. 返回导航 8 3．已知a＝log32，b＝log23，c＝log34，则(　　) A．a>c>b B．c>b>a C．a>b>c D．b>c>a 答案：D 解析：设函数y＝log3x，函数在(0，＋∞)上单调递增，故log32<log34，即a<c；因为log23>log2，log34<，故b>c.故选D. 返回导航 9 4．(人教A版必修一P140T1(2)改编)函数y＝的定义域为________． 答案： 解析：由题意知<解得<x≤1. 返回导航 10 命题点一　对数函数的图象及应用 例1 (1)已知lg a＋lg b＝0(a>0，b>0，且a≠1，b≠1)，则函数f(x)＝a－x与g(x)＝logbx的图象可能是(　　) 答案：B　 解析：由lg a＋lg b＝0可知，＝b，故f(x)＝a－x＝bx，故函数f(x)＝a－x与函数g(x)＝logbx的单调性相同．故选B. 返回导航 11 (2)(多选)(2026·合肥模拟)已知m>0且m≠1，则函数f(x)＝(x＋)＋3的图象一定经过(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 答案：AB 返回导航 12 解析：由f(x)＝＋3＝2logm＋3，m>0且m≠1，则f(0)＝2logm＋3＝－2＋3＝1，即函数f(x)过点(0，1)，当m>1时，函数f(x)单调递增，过第一、二、三象限；当0<m<1时，函数f(x)单调递减，过第一、二、四象限．故选AB. 返回导航 13 学霸笔记：在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项．对一些可通过平移、对称变换作出其图象的对数型函数，在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时，常利用数形结合思想． 返回导航 14 跟踪训练　已知函数y＝loga(x－c)(a，c为常数，其中a>0，a≠1)的图象如图所示，则下列结论中成立的是(　　) A．a>1，c<－1 B．a>1，－1<c<0 C．0<a<1，c<－1 D．0<a<1，－1<c<0 答案：D 返回导航 15 解析：由函数的图象知该函数为减函数，∴0<a<1.图象通过第一、二、四象限且图象与x轴的交点横坐标在区间(0，1)内，∴0<c＋1<1，解得－1<c<0.故选D. 返回导航 16 命题点二　对数函数的性质及应用 考向1　比较对数值的大小 例2 (1)设a＝log43，b＝log86，c＝log62，则a，b，c的大小关系为(　　) A．a<b<c B．b<c<a C．c<b<a D．c<a<b 答案：D　 返回导航 17 (2)已知实数a，b满足loga2>logb2>1，则(　　) A．1<a<2<b B．1<a<b<2 C．1<b<a<2 D．a<1<b<2 答案：B 返回导航 18 解析：(1)∵log43＝ ＝log6427，log86＝ ＝<a<b；又log62<log6，∴c<a<b.故选D. (2)∵loga2>logb2>1＝log22，∴1<a<b<2.故选B. 返回导航 19 学霸笔记：(1)底数为同一常数，可由对数函数的单调性直接进行判断． (2)底数为同一字母，需对底数进行分类讨论． (3)底数不同，真数相同，可以先用换底公式化为同底后，再进行比较． (4)底数与真数都不同，常借助1，0等中间量进行比较． 返回导航 20 　跟踪训练　设a＝log0.20.3，b＝log23，c＝log34，则a，b，c的大小关系为(　　) A．a>b>c B．c>b>a C．b>a>c D．b>c>a 答案：D 解析：a＝log0.20.3<log0.20.2＝1，b＝log23>log22，1＝log33<c＝log34<log33，∴b>c>a.故选D. 返回导航 21 考向2　解简单的对数不等式 例3 (1)已知loga<，则实数a的取值范围为(　　) A．(0， B．(－∞，－，＋∞) C．(，＋∞) D．(0，，1) 答案：A　 返回导航 22 (2)不等式(x2－3x－(2x＋10)的解集为________． 答案：(－2，－1)∪(4，7) 解析：(1)loga<＝loga，①⇒a>1；⇒0<a<.所以实数a的取值范围为∪(1，＋∞)．故选A. （2）因为y＝在定义域(0，＋∞)上是减函数，所以原不等式等价于⇒解得－2<x<－1或4<x<7，所以原不等式的解集为(－2，－1)∪(4，7)． 返回导航 23 学霸笔记：(1)logax＞logab：借助y＝logax的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a＞1与0＜a＜1两种情况讨论； (2)logax＞b：需先将b化为以a为底的对数形式，再借助y＝logax的单调性求解． 返回导航 24 跟踪训练　函数g(x)＝的定义域为(　　) A．(－，＋∞) B．[，＋∞) C．[－，＋∞) D．(，＋∞) 答案：B 返回导航 25 解析：由题可得⇒因为y＝ln x在(0，＋∞)上单调递增，则ln ≥ln 1⇒x＋≥1⇒x≥.所以函数g(x)＝的定义域为.故选B. 返回导航 26 命题点三　对数型函数性质的综合问题 例4 (1)(链接· 2023年新高考Ⅱ卷)若f(x)＝(x＋a)ln 为偶函数，则a＝(　　) A．－1　　 B．0 C．　　 D．1 答案：B　 返回导航 27 解析：(1)因为f(x)为偶函数，则 f(1)＝f(－1)，所以＝(－1＋a)ln 3，解得a＝0，当a＝0时，f(x)＝，(2x－1)(2x＋1)>0，解得x>或x<－，则其定义域为，或，关于原点对称．f(－x)＝＝(－x)ln ＝(－x)ln -1＝＝f(x)，故此时f(x)为偶函数．故选B. 返回导航 28 (2)(多选)已知函数f(x)＝(2－x)－log2(x＋4)，则下列结论中错误的是(　　) A．函数f(x)的定义域是[－4，2] B．函数y＝f(x－1)是偶函数 C．函数f(x)在区间[－1，2)上单调递减 D．函数f(x)的图象关于直线x＝－1对称 答案：AC 返回导航 29 解析：函数f(x)＝－log2(x＋4)＝－log2[(2－x)(x＋4)]，由2－x>0，x＋4>0，可得－4<x<2，即函数定义域为(－4，2)，故A错误；由f(x－1)＝－log2[(3－x)(x＋3)]＝，定义域为(－3，3)，显然f(x－1)为偶函数，故B正确；由x∈[－1，2)，f(－1)＝－log29，f(0)＝－log28，f(－1)<f(0)，故C错误；由f(x－1)为偶函数，y＝f(x－1)图象向左平移1个单位得到y＝f(x)的图象，故函数f(x)的图象关于直线x＝－1对称，故D正确．故选AC. 返回导航 30 　真题探源　(源自人教B版必修二P53B组T9)已知函数f(x)＝ln (ex＋1)－ax是偶函数，求a的值． 答案：f(x)＝ln (ex＋1)－ax，f(－x)＝ln (e－x＋1)＋ax＝ln ＋ax＝ln (1＋ex)－x＋ax，又f(x)是偶函数，∴－ax＝－x＋ax，∴a＝. 返回导航 31 学霸笔记：(1)与对数函数有关的复合函数的单调性问题，必须弄清三方面的问题：一是定义域，所有问题都必须在定义域内讨论；二是底数与1的大小关系；三是复合函数的构成，即它是由哪些基本初等函数复合而成的，判断内层函数和外层函数的单调性，运用复合函数“同增异减”原则判断函数的单调性． (2)函数y＝logaf(x)的值域是R，这说明函数y＝f(x)可以取遍所有大于0的数，而函数y＝logaf(x)的定义域是R，则说明f(x)＞0在R上恒成立． 返回导航 32 　跟踪训练　(1)若函数y＝lg (2＋mx)在区间[1，＋∞)上单调递增，则实数m的取值范围为(　　) A．(－∞，－1) B．(0，＋∞) C．[－2，0) D．(0，1] 答案：B　 解析：因为函数y＝lg (2＋mx)在区间[1，＋∞)上单调递增，所以y＝2＋mx在区间[1，＋∞)上单调递增，且大于零恒成立，则解得m>0.故选B. 返回导航 33 (2)(2026·湛江模拟)已知函数f(x)＝log2(x2－8x＋a2)的值域为R，则a的取值范围为(　　) A．[－2，2] B．(－∞，－2] C．[－4，4] D．(－∞，－4] 答案：C 返回导航 34 解析：因为f(x)＝log2(x2－8x＋a2)的值域为R，所以y＝x2－8x＋a2的值域包含(0，＋∞)，所以Δ＝(－8)2－4a2≥0，解得－4≤a≤4.故选C. 返回导航 35 1．若函数y＝＋5(a>0且a≠1)的图象恒过点A(m，n)，则＝(　　) A．2 B．4 C．6 D．8 答案：C 解析：令x－2＝1，得x＝3，y＝＋5＝5，所以y＝＋5(a>0，且a≠1)的图象过定点(3，5)，即m＝3，n＝5.所以＝＝6.故选C. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 36 2．函数y＝，x∈(0，8]的值域是 (　　) A．[－3，＋∞) B．[3，＋∞) C．(－∞，－3) D．(－∞，3] 答案：A 解析：函数y＝在定义域(0，8]上单调递减，当x＝8时，y＝23＝log22＝－3，即ymin＝－3，且当x→0时y→＋∞，所以函数y＝，x∈(0，8]的值域是[－3，＋∞)． 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 37 3．设a＝log53，b＝log6，c＝log78，则(　　) A．a<b<c B．b<a<c C．c<a<b D．c<b<a 答案：B 解析：log78>1，log6，log53>log93＝，且log53<1，所以log6<log53<log78，即b<a<c.故选B. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 38 4．(2026·邯郸二模)已知函数f(x)＝logax在(0，＋∞)上单调递增，且f(8)＝，则a＝(　　) A．4 B．16 C．32 D．64 答案：D 解析：因为函数f(x)＝logax在(0，＋∞)上单调递增，所以a>1，由已知得loga8＝，整理得6(loga2)2＋5loga2－1＝0，解得loga2＝－1或loga2＝，得a＝(舍去)或a＝26＝64.故选D. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 39 5．不等式log2x<1－x的解集为(　　) A．(0，1) B．(1，＋∞) C．(0，＋∞) D．(－∞，1) 答案：A 解析：当0<x<1时，log2x<0，1－x>0，则不等式成立；当x＝1时，log2x＝1－x＝0，则不等式不成立；当x>1时，log2x>0，1－x<0，则不等式不成立，∴不等式的解集为{x|0<x<1}．故选A. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 40 6．已知函数f(x)＝x(2－2x)，当x＝m时，f(x)取得最大值n，则函数g(x)＝logm|x＋n|的大致图象为(　　) 答案：A 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 41 解析：当x＝时，f(x)取得最大值f＝，则m＝n＝，所以g(x)＝，由>0，得x≠－，CD错误；当x>－时，g(x)＝单调递减，B错误．故选A. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 42 7．(2026·太原模拟)函数y＝lg (10x－x2)的单调递增区间是(　　) A．(0，5) B．(－∞，5) C．(5，10) D．(5，＋∞) 答案：A 解析：由10x－x2>0，解得0<x<10，由二次函数性质得y＝10x－x2在(0，5)上单调递增，在(5，10)上单调递减，由对数函数性质得y＝lg x在(0，＋∞)上单调递增，则y＝lg (10x－x2)的单调递增区间是(0，5)，故A正确．故选A. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 43 8．(2026·厦门模拟)若函数f(x)＝ln (12－ax)在区间(3，6)上单调递减，则a的取值范围是(　　) A．(－∞，0) B．(－2，0) C．(0，2) D．(0，2] 答案：D 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 44 解析：因为函数f(x)＝ln (12－ax)在(3，6)上单调递减，且函数y＝ln x在(0，＋∞)上单调递增，所以y＝12－ax在(3，6)上单调递减，且12－ax>0在x∈(3，6)上恒成立，则解得0<a≤2，所以a的取值范围是(0，2].故选D. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 45 9．已知a>0且a≠1，则函数f(x)＝loga(x＋a)的图象必经过(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 答案：AB 解析：当0<a<1时，函数f(x)＝loga(x＋a)的图象经过第一、二、四象限；当a>1时，函数f(x)＝loga(x＋a)的图象经过第一、二、三象限．综上可知，函数f(x)＝loga(x＋a)的图象必经过第一、二象限．故选AB. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 46 10．已知f(x)＝ln (x＋1)，g(x)＝ln (1－x)，令F(x)＝f(x)－g(x)，则下列结论正确的是(　　) A．F(x)的定义域是(－1，1) B．f(x)>g(x)的解集为(0，1) C．F(x)是奇函数 D．F(x)在区间(－1，0)上单调递增，在区间(0，1)上单调递减 答案：ABC 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 47 解析：对于A，由已知，F(x)＝ln (x＋1)－ln (1－x)，故解得－1<x<1，∴F(x)的定义域为(－1，1)，故A正确；对于B，由ln (x＋1)>ln (1－x)，得解得0<x<1，故B正确；对于C，∵F(x)的定义域为(－1，1)，又F(x)＋F(－x)＝ln (x＋1)－ln (1－x)＋ln (－x＋1)－ln (1＋x)＝0，∴F(x)为奇函数，故C正确；对于D，∵f(x)在(－1，1)上单调递增，g(x)在(－1，1)上单调递减，∴F(x)在(－1，1)上单调递增，D错误．故选ABC. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 48 11．已知对数函数f(x)过点，则f(x)的解析式为________． 答案：f(x)＝log2x 解析：可设对数函数f(x)＝logax，由对数函数f(x)过点，可得f＝loga＝－2⇒loga2-2＝－2⇒－2loga2＝－2⇒loga2＝1⇒a＝2，所以对数函数f(x)＝log2x. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 49 12．已知常数a>0，且a≠1，若函数y＝1＋logax的定义域和值域都是[1，2]，则a＝________． 答案：2 解析：若a>1，则y＝1＋logax在[1，2]上单调递增，则解得a＝2；若0<a<1，则y＝1＋logax在[1，2]上单调递减，又当x＝1时y＝1＋loga1＝1，所以函数y＝1＋logax在[1，2]上的值域不可能为[1，2]，故舍去．综上可得a＝2. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 50 13．(13分)已知函数f(x)＝|log4x|. (1)求f(x)的单调区间； 答案：函数f(x)的定义域为(0，＋∞)． 当x>1时，f(x)＝log4x；当0<x<1时，f(x)＝－log4x. 又y＝log4x在(0，＋∞)上单调递增， 故f(x)的单调递增区间为(1，＋∞)，单调递减区间为(0，1)． 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 51 (2)若a<b，且f(a)＝f(b)，求a＋3b的取值范围． 答案：f(x)＝|log4x|的图象如图所示， 因为0<a<b且f(a)＝f(b)，所以|log4a|＝|log4b|，由图可得0<a<1，b>1， 所以－log4a＝log4b⇒log4a＋log4b＝0⇒log4(ab)＝0⇒ab＝1. 故a＋3b＝a＋，由对勾函数y＝x＋在(0，1)上单调递减，得a＋3b＝a＋1＋3＝4，所以a＋3b的取值范围为(4，＋∞)． 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 52 14．(15分)已知函数f(x＋1)＝lg (x＋3)． (1)求不等式0<f(x)<1的解集； 答案：由f(x＋1)＝lg (x＋1＋2)，得f(x)＝lg (x＋2)， 由0<f(x)＝lg (x＋2)<1，得1<x＋2<10，即－1<x<8， 所以不等式0<f(x)<1的解集为(－1，8)． 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 53 (2)若函数g(x)＝f(x)＋f(－x＋a－2)的图象经过点(1，lg 3)，求g(x)的最大值． 答案：由题意得g(x)＝lg (x＋2)＋lg (－x＋a)， 由g(1)＝lg 3＋lg (a－1)＝lg 3，得a＝2，即g(x)＝lg (－x2＋4)， 因为－x2＋4≤4，函数y＝lg x是增函数， 所以g(x)≤lg 4，即g(x)的最大值为lg 4(或2lg 2)． 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 54 15．(5分)已知函数 f(x)＝(log2x)2＋3log2x－m在区间[1，2]的最大值与最小值的和为2m，则m的取值为 (　　) A．0 B．1 C．2 D．3 答案：B 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 55 解析：当x∈[1，2]时，令t＝log2x，(t∈[0，1])，则y＝t2＋3t－m＝ －－m，为开口向上、对称轴为t＝－的抛物线，y＝2－－m在t∈[0，1]上单调递增，所以当t＝0时y＝2－－m有最小值，为－m，当t＝1时y＝2－－m有最大值，为4－m，可得4－2m＝2m，解得m＝1.故选B. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 56 16.(5分)(2026·秦皇岛模拟)已知函数f(x)＝log2＋log4(4－ax)的值域为(－∞，1]，则实数a的值为________． 答案：1 解析：因为f(x)＝log2＋log4(4－ax)＝log4x＋log4(4－ax)＝log4(4x－ax2)的值域为(－∞，1]，即log4(4x－ax2)≤1.又y＝log4x在定义域内为增函数，故y＝4x－ax2的最大值为4，则a>0.由y＝4x－ax2＝－a ＋，可得x＝时，＝4，解得a＝1.此时f(x)＝log2＋log4(4－x)的定义域为(0，4)，f(x)＝log4(－x2＋4x)＝log4[－(x－2)2＋4]在(0，2)上单调递增，在(2，4)上单调递减，则得f(x)≤f(2)＝1，符合题意． 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 57 $