2.5 指数式与对数式的运算 课件-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦指数式与对数式运算，覆盖根式、分数指数幂、指数幂运算性质、对数概念及运算、换底公式等高考核心考点。依据高考评价体系，分析指数对数综合应用占比45%、运算化简占30%的高频考点，归纳出化简求值、实际应用等常考题型，体现备考针对性。 课件亮点在于“真题溯源+技巧提炼+素养培养”，如以2025年北京卷训练时间问题为例，运用数学思维中的推理能力和运算能力，指导学生通过设参法转化指数对数关系。结合学霸笔记总结“先统一形式再运算”等应试技巧，培养数学语言表达能力，帮助学生高效突破考点，教师可据此实施精准复习教学。

第五节　指数式与对数式的运算 1 x 根式 a a 返回导航 2 0 没有意义 返回导航 3 3．指数幂的运算性质 (1)aras＝________(a>0，r，s∈Q)； (2)(ar)s＝________(a＞0，r，s∈Q)； (3)(ab)r＝________(a＞0，b>0，r∈Q). ar＋s ars arbr 返回导航 4 4．对数的概念：一般地，如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作________，其中a叫做对数的底数，N叫做真数． x＝logaN 返回导航 5 b logaM＋logaN logaM－logaN N 返回导航 6 返回导航 7 × × × × 返回导航 8 答案：AB 解析：＝100，故A正确；＝－0.1，故B正确；＝4－π，故C不正确；＝x－y或y－x，故D不正确． 返回导航 9 答案：D 解析：∵a>0，∴，故A错误；，故B错误；＝a0＝1，故C错误；4＝a，故D正确． 返回导航 10 4．(人教A版必修一P126练习T1(2)改编)(lg 5)2＋lg 2×lg 5＋lg 2＝________． 答案：1 解析：(lg 5)2＋lg 2×lg 5＋lg 2＝lg 5(lg 5＋lg 2)＋lg 2＝lg 5＋lg 2＝1. 返回导航 11 命题点一　指数式的化简与求值 答案：-4＝－4－1＋0.8×4＝－1.8. 返回导航 12 答案：原式＝＝ab-1. 返回导航 13 答案：因为2＝a＋a-1＋2＝2＋4＝5＋4＝9.又因为>0，所以＝3. 返回导航 14 学霸笔记： (1)首先将根式、分数指数幂统一化为分数指数幂，以便利用法则计算，但应注意：①必须同底数幂相乘，指数才能相加；②运算的先后顺序． (2)当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数． (3)运算结果不能同时含有根号和分数指数幂，也不能既有分母又含有负指数． 返回导航 15 答案：C　 解析：原式 .故选C. 返回导航 16 答案：31 解析：原式＝＝4－27＋54＝31. 返回导航 17 答案：lg 40·lg 250＋2＝(lg 4＋1)(3－lg 4)＋(lg 2－lg 5)2 ＝(2lg 2＋1)(3－2lg 2)＋(2lg 2－1)2 ＝－4(lg 2)2＋4lg 2＋3＋4(lg 2)2－4lg 2＋1＝4. 返回导航 18 答案：log23·log34＋(lg 5)2＋lg 5·lg 20＋ ＝＋(lg 5)2＋lg 5·lg (2×10)＋lg 24－3 ＝＋(lg 5)2＋lg 5·(lg 2＋lg 10)＋×4×lg 2－3 ＝2＋(lg 5)2＋lg 5lg 2＋lg 5＋2lg 2－3 ＝－1＋lg 5(lg 5＋lg 2)＋lg 5＋2lg 2 ＝－1＋2lg 5＋2lg 2＝－1＋2＝1. 返回导航 19 学霸笔记： (1)首先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后利用对数运算性质化简合并． (2)将对数式化为同底数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算性质、换底公式，转化为同底数对数的真数的积、商、幂的运算． 返回导航 20 1 64 解析：(1)(log98＋log92)×log43＝log916×log43＝ ×log43＝log34×log43＝＝1. (2)由log2a＝－，整理得(log2a)2－5log2a－6＝0⇒log2a＝－1或log2a＝6，又a>1，所以log2a＝6＝log226，故a＝26＝64. 返回导航 21 答案：D　 解析：因为3a＝4b＝36，则a＝log336，b＝log436，所以＝2log363＋log364＝log36(32×4)＝1.故选D. 返回导航 22 答案：D 返回导航 23 解析：显然a>0且a≠1，b>0且b≠1，设t＝logba，代入logab＋logba＝，可得t＋，即3t2－10t＋3＝0，解得t＝3或t＝.若t＝3，则logba＝3，即a＝b3，又因为ab＝ba，所以b3b＝ba，则a＝3b＝b3，解得b＝，所以ab＝9；若t＝，则logba＝，即a＝.又因为ab＝ba.所以，解得b＝3，故a＝，故ab＝9.故选D. 返回导航 24 学霸笔记：对于将指数恒等式ax＝by＝cz作为已知条件，求函数f(x，y，z)的值的问题，通常设ax＝by＝cz＝k(k>0)，则x＝logak，y＝logbk，z＝logck，将x，y，z的值代入函数f(x，y，z)求解． 返回导航 25 答案：A 解析：由题知a＝log6k，b＝log2k，所以＝logk6，＝logk2，故＝logk6－logk2＝logk3＝2，解得k＝.故选A. 返回导航 26 命题点四　指数式与对数式的实际应用 例4 (链接·2025年北京卷)在一定条件下，某人工智能大语言模型训练N个单位的数据量所需要的时间T＝klog2N(单位：小时)，其中k为常数．在此条件下，已知训练数据量N从106个单位增加到1.024×109个单位时，训练时间增加20小时；当训练数据量N从1.024×109个单位增加到4.096×109个单位时，训练时间增加(单位：小时)(　　) A．2 B．4 C．20 D．40 答案：B 返回导航 27 解析：设当N取106个单位、1.024×109个单位、4.096×109个单位时所需时间分别为T1，T2，T3，由题意，T1＝klog2106＝6klog210，T2＝klog2(1.024×109)＝klog2(210×106)＝k(10＋6log210)，T3＝klog2(4.096×109)＝＝k(12＋6log210)，因为T2－T1＝k(10＋6log210)－6klog210＝10k＝20，所以k＝2，所以T3－T2＝k(12＋6log210)－k(10＋6log210)＝2k＝4，所以当训练数据量N从1.024×109个单位增加到4.096×109个单位时，训练时间增加4小时．故选B. 返回导航 28 　真题探源　(源自人教A版必修一P126例5)尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所了解，例如，地震时释放出的能量E(单位：焦耳)与地震里氏震级M之间的关系为lg E＝4.8＋1.5M. 2021年3月11日，日本东北部海域发生里氏9.0级地震，它所释放出来的能量是2008年5月12日我国汶川发生里氏8.0级地震的多少倍(精确到1)? 答案：设里氏9.0级地震释放的能量为E1，里氏8.0级地震释放的能量为E2，则由已知可得lg E1＝4.8＋1.5×9＝18.3，lg E2＝4.8＋1.5×8＝16.8， ∴E1＝1018.3，E2＝1016.8，则≈10×3.162≈32， ∴里氏9.0级地震释放的能量约为里氏8.0级地震释放的能量的32倍． 返回导航 29 学霸笔记：先弄清题目条件与所求之间的关系，再运用指数或对数的运算公式、性质等进行运算，把题目条件转化为所求． 返回导航 30 1．已知2a＝3，log25＝b，则2a－b的值为(　　) A．15 B． C． D．－2 答案：C 解析：因为log25＝b，所以2b＝5，又2a＝3，所以2a－b＝.故选C. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 31 2．(2026·临汾模拟)已知2log2a＝3，log55b＝2，则a－b＝(　　) A．3 B．1 C．－1 D．－3 答案：B 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 32 3．已知2a＝5，log89＝b，则43b－3·4a＝(　　) A．6 B．4 C．2 D．1 答案：A 解析：因为3b＝3log89＝log29，所以23b＝9，所以43b＝(23b)2＝81，又4a＝(2a)2＝25，所以43b－3·4a＝81－75＝6.故选A. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 33 4．(2026·新乡二模)＝(　　) A．16 B．8 C．32 D．16 答案：A 解析：由＝＝24＝16.故选A. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 34 5．已知a>0，b>0且ab＝4，则(　　) A．log2a·log2b＝2 B．log2a＋log2b＝1 C．2a·2b＝16 D．(2a)b＝16 答案：D 解析：由题意得A项中的log2a·log2b和C项中的2a·2b＝2a＋b的值无法确定；对于B，log2a＋log2b＝log2ab＝2；对于D，(2a)b＝2ab＝16.故选D. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 35 6．(2026·广安模拟)已知ab≠1，logam＝，logbm＝，则logabm＝(　　) A．5 B． C．6 D． 答案：B 解析：由logam＝可得logma＝2，由logbm＝可得logmb＝3，所以logabm＝.故选B. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 36 7．在光纤通信中，发射器发出光信号的功率传输后会逐渐变弱，衰减后的光功率(单位：W)可表示为P(z)＝P0e－αz，其中P0为初始光功率，α为常数，z为接收信号处与发射器之间的距离(单位：km)，已知距离发射器3 km处的光功率衰减为初始光功率的一半，若某处光功率衰减为初始光功率的，则此处到发射器的距离为(　　) A． km B．6 km C． km D．9 km 答案：B 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 37 解析：因为距离发射器3 km处的光功率衰减为初始光功率的一半，则P(3)＝P0＝P0e-3α⇒e-3α＝⇒e－α＝，设P(z)＝P0＝P0e－αz⇒e－αz＝，则e－αz＝⇒z＝6.故选B. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 38 8．“绿色出行，低碳环保”已成为新的时尚．近几年相关部门相继出台了一系列的环保政策，在汽车行业提出了重点扶持新能源汽车的计划，为新能源汽车行业的发展开辟了广阔的前景．新能源汽车主要指电动力汽车，其能量来源于蓄电池．已知蓄电池的容量C(单位：A·h)、放电时间t(单位：h)、放电电流I(单位：A)三者之间满足关系C＝Ilog1.52·t.假设某款电动汽车的蓄电池容量为3 074 A·h，正常行驶时放电电流为15 A，那么该汽车能持续行驶的时间大约为(参考数据：6×10log1.53≈3 074)(　　) A．60 h B．45 h C．30 h D．15 h 答案：C 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 39 解析：当C＝3 074，I＝15时，3 074＝·t，∴t＝≈3 074，∴t＝ ＝3×＝3×10＝30. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 40 9．下列各式中一定成立的有(　　) A． ＝ B． C． D． 答案：BD 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 41 解析：对于A，7＝n7m-7，故A错误；对于B，，故B正确；对于C，当x＝1，y＝2时，故C错误；对于D，，故D正确．故选BD. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 42 10．(2026·南通模拟)已知＝3，则(　　) A．a＋＝7 B．a2＋＝47 C. D.＝18 答案：ABD 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 43 解析：对于A，由＝3，得a＋2＋＝9，则a＋＝7，A正确；对于B，由a＋＝7，得a2＋2＋＝49，则a2＋＝47，B正确；对于C，由2＝a＋－2＝5，得＝±，于是＝±，C错误；对于(a－1＋a-1)＝＝18，D正确．故选ABD. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 44 11．已知 2x＝24y＝3，则 ＝________． 答案：1 解析：由2x＝24y＝3，可得x＝log23，y＝log243，所以＝log324－3log32＝log324－log38＝log3＝log33＝1. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 45 12．某科研团队研究某种放射性物质的衰减规律，发现剩余质量M(t)(单位：克)随时间t(单位：天)的变化规律满足M(t)＝，其中M0为初始质量．若初始质量M0满足log2M0＝6，则t＝12时的值为________． 答案：6 解析：由题意可得当t＝12时，M(12)＝M0·2-3，所以＝3＝6＝6. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 46 13．(13分)(2026·南阳模拟)已知P＝－(－2 024)0，Q＝2log32－log3＋log38. (1)分别求P和Q； 答案：易知P＝－(－2 024)0＝，Q＝2log32－log3＋log38＝log3＝log39＝2. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 47 (2)若2a＝5b＝m，且＝Q，求m. 答案：因为2a＝5b＝m>0，所以a＝log2m，b＝log5m， 由换底公式得＝logm2，＝logm5，则m≠1， 则＝logm2＋logm5＝logm10＝2， 解得m＝. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 48 14．(15分)对数运算与指数幂运算是两类重要的运算.18世纪，瑞士数学家欧拉发现了指数与对数的互逆关系，并进一步指出：对数源于指数．然而对数的发明先于指数，这成为数学史上的珍闻． (1)试利用对数运算性质计算的值； 答案：原式＝＝. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 49 (2)已知x，y，z为正数，若3x＝4y＝6z，求的值； 答案：令3x＝4y＝6z＝a，则a>0，所以x＝log3a，y＝log4a，z＝log6a， 所以. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 50 (3)定义：一个自然数的数位的个数称为位数，例如23的位数是2，2 026的位数是4，试判断22 026的位数．(注：lg 2≈0.301) 答案：设22 026＝t，则lg t＝2 026·lg 2，又lg 2≈0.301， 所以lg t≈2 026×0.301＝609.826， 所以t≈10609.826，则t∈(10609，10610)， 所以22 026的位数为610. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 51 15．(5分)(2026·泰安模拟)已知3x＝4y＝6z，则3x，4y，6z的大小关系不可能为(　　) A．3x＝4y＝6z B．3x<4y<6z C．3x>4y>6z D．3x<6z<4y 答案：D 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 52 解析：设3x＝4y＝6z＝t，则当t＝1时，x＝y＝z＝0，A正确；当t>1时，x＝log3t，y＝log4t，z＝log6t，所以3x－4y＝ <0，4y－6z＝ <0，由此可得3x<4y<6z，B正确；当0<t<1时，同理可得3x>4y>6z，C正确．故选D. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 53 16.(5分)已知a，b，c>0，且a，b，c≠1，则alogbc＋blogca＋clogab－alogcb－blogac－clogba＝________． 答案：0 解析：设x＝，y＝，则有lg x＝logbc·lg a＝，lg y＝，故原式＝0. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 54 知识清单 1.根式 (1)一般地，如果xn＝a，那么________叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*. (2)式子叫做________，这里n叫做根指数，a叫做被开方数． (3)()n＝________， 当n为奇数时， ＝________， 当n为偶数时， ＝|a|＝ 2．分数指数幂 (1)正数的正分数指数幂： a＝________(a＞0，m，n∈N*，n＞1). (2)正数的负分数指数幂： a－＝________＝(a>0，m，n∈N*，n>1). (3)0的正分数指数幂等于________，0的负分数指数幂____________． 5．对数的性质、运算性质与换底公式 (1)对数的性质 ①alogaN＝________(a>0，且a≠1，N>0). ②logaab＝_________________(a>0，且a≠1，b∈R). (2)对数的运算性质 如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么： ①loga(MN)＝__________________；②loga＝__________________； ③logaMn＝__________________(n∈R). (3)换底公式 logab＝________(a>0，且a≠1；b>0；c>0且c≠1) 【常用结论】 换底公式的两个重要结论 (1)logab＝(a>0，且a≠1；b>0，且b≠1). (2)logambn＝logab(a>0，且a≠1；b>0；m，n∈R，且m≠0). 自主诊断 1.思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1) ＝－4.(　　) (2)(－1)＝(－1)＝.(　　) (3)log2x2＝2log2x.(　　) (4)若MN>0，则loga(MN)＝logaM＋logaN.(　　) 2．(多选)(人教A版必修一P109习题T1改编)下列各式运算正确的是(　　) A．＝100 B．＝－0.1 C．＝π－4 D．＝x－y 3．(人教A版必修一P109习题T2(1))设a>0，则下列运算中正确的是(　　) A．aa＝a B．a÷a＝a C．aa－＝0 D．(a)4＝a 例1 计算与化简： (1)计算： －()0＋0.64×(－)－4. (2)化简：(a>0，b>0). (3)已知a－a－＝，求a＋a－. 　跟踪训练　(1)化简4a·b－÷(－a－b)的结果为(　　) A．－ B．－ C．－ D．－6ab (2)计算：()－－[(－3)2]＋(×)6＝________． 命题点二　对数式的运算 例2 计算下列各式： (1)lg 40·lg 250＋(lg )2. (2)log23·log34＋(lg 5)2＋lg 5·lg 20＋lg 16－2log23. 　跟踪训练　(1)(2026·蚌埠模拟)计算：(log98＋log92)×log43＝________． (2)已知a>1，且－＝－，则a＝________. 命题点三　指数式与对数式的综合应用 例3 (1)若实数a，b满足3a＝4b＝36，则＋＝(　　) A．－2 B．2 C．－1 D．1 (2)(2026·孝感模拟)若logab＋logba＝，ab＝ba，则ab＝(　　) A．6 B．7 C．8 D．9 跟踪训练　已知6a—2b—k，若－＝2，则k＝(　　) A． B．3 C．6 D．9 $