专题02 一元二次方程及其应用（期末复习讲义）八年级数学下学期新教材沪科版

专题02 一元二次方程及其应用（期末复习讲义） 内 容 导 航 明·期末考情 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01一元二次方程的概念判定 题型02 一元二次方程一般形式转化 题型03 利用方程根的概念求值 题型04 直接开平方法解方程 题型05 配方法解方程 题型06 公式法解方程 题型07 因式分解法解方程 题型08 判别式判断方程根的情况 题型9 根与系数关系（韦达定理）应用 题型10 一元二次方程增长率、下降率应用题 题型11面积类几何应用题 题型12 销售利润最值类重难点题型 题型13 动点类一元二次方程难题 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 一元二次方程概念与一般形式 能准确判别方程类型，熟练将方程化为标准形式，分清各项系数与常数项 基础必考小题，常结合取值范围、概念辨析出题，易错点集中在二次项系数不为 0 方程的根的相关应用 掌握根的代入用法，可借助根求解参数、代数式数值 选择填空高频考点，常结合整体代换思想考查计算 四种解方程方法 熟练运用直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法解方程，按需选取简便解法 计算类核心考点，计算题必考，不同解法交叉考查，侧重运算准确率 根的判别式 会计算判别式，依据数值判断根的情况，求解参数取值范围 重难点考点，选择填空、解答题均频繁出现，常结合参数分类设问 根与系数关系（韦达定理） 熟记两根和、两根积公式，能变形化简代数式求值 高频重难点，多以求值题型呈现，综合性较强，易搭配参数考查 含参数方程综合探究 可分类讨论方程类型，结合判别式、根系关系综合解题 期末压轴小题、解答常客，考查分类思维与知识整合能力 增长率、下降率应用题 找准数量变化规律，依据变化公式列方程求解 经典应用必考题型，题型固定，侧重实际问题列式与验根 几何面积类应用题 结合图形边长、面积关系建立方程，合理取舍结果 常考解答题，联动几何知识，检验建模与运算能力 销售利润实际应用 理清利润、单价、销量之间等量关系，规范列方程作答 热门重难点应用题型，贴近生活，多结合最值、方案问题考查 动点类综合应用题 用时间表示线段长度，依托几何关系列方程，分类讨论求解 章节压轴难题，综合性强，融合方程、几何、分类讨论多重考点 知识点01 二次根式的定义 一般地，形如a​(a≥0)的式子叫做二次根式，“  ​” 称为二次根号，a叫做被开方数。二次根式成立的前提是被开方数为非负数。 ·示例：、是二次根式，无意义，不是二次根式。 ·易错点：判定二次根式只看形式，忽略被开方数必须大于等于 0。 知识点01 一元二次方程的定义 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。 判定一个方程是一元二次方程，需要同时满足三个条件：①是整式方程；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数为2。 ·示例：方程是一元二次方程，不是一元二次方程（分式方程）， 不是一元二次方程（含有两个未知数），不是一元二次方程（最高次数是3）。 ·易错点：忽略“整式方程”的前提，把分式方程判定为一元二次方程；整理成一般形式后，忘记考虑二次项系数不能为0，错误判定含参数的方程为一元二次方程。 知识点02 一元二次方程的一般形式 一元二次方程的一般形式是，其中是二次项， a 是二次项系数， bx 是一次项，b 是一次项系数， c 是常数项。 ·示例：将方程整理为一般形式：展开得，移项合并同类 项得，其中二次项系数为3，一次项系数为-4，常数项为5。 ·易错点：确定系数时漏掉符号，把一般形式中负的系数当成正数；忽略这个必要条件，当 a = 0 时， 方程退化为一元一次方程。 知识点03 一元二次方程的解（根）的定义 使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根。 已知方程的根，可以将根代入原方程，得到关于参数的等式求解参数值。 ·示例：已知 x = 2 是方程的一个根，代入得，解得 k = 2 。 ·易错点：代入根计算时符号出错；已知一个根求另一个根时，混淆根与系数的关系公式，计算错误。 知识点04 直接开平方法解一元二次方程 如果一元二次方程可以变形为或的形式，那么可以通过直接开平方得到或，进而求出方程的解，这种方法叫做直接开平方法。 当( p < 0 )时，方程没有实数根。 ·示例：解方程，开平方得，解得，。 ·易错点：开平方后只取正根，漏掉负根；完全平方展开错误，导致变形后方程出错。 知识点05 配方法解一元二次方程 通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法叫做配方法，配方法的核心是将一元二次方程降次，转化为两个一元一次方程求解。 配方法的一般步骤：①化二次项系数为1：方程两边同时除以二次项系数；②移项：把常数项移到方程右边；③配方：方程两边同时加上一次项系数一半的平方，把左边配成完全平方式；④开方求解。 ·示例：解方程，①化二次项系数为1得；②移项得；③配方 得，即；④开方得，解得，。 ·易错点：配方时只在左边加一次项系数一半的平方，忘记右边也要加；化二次项系数为1时，常数项漏 除以二次项系数。 知识点06 公式法解一元二次方程 对于一元二次方程，当时，方程的实数根可以表示为，这个式子叫做一元二次方程的求根公式，利用求根公式解方程的方法叫做公式法。 根的判别式的性质：①时，方程有两个不相等的实数根；②时，方程有两个相等的实数根；③时，方程没有实数根。 ·示例：解方程，( a = 1 )，( b = -3 )，( c = 2 )，， 代入公式得，解得，。 ·易错点：代入系数时符号错误，把( b )的负号漏掉；计算判别式时运算错误，符号出错；当时， 仍然错误计算出实数根。 知识点07 因式分解法解一元二次方程 先把一元二次方程变形为一边是两个一次因式的乘积，另一边是0的形式，再让两个一次因式分别等于0，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程得到的解就是原一元二次方程的根，这种方法叫做因式分解法。 常用的因式分解方法：提公因式法、公式法（平方差公式、完全平方公式）、十字相乘法。 ·示例：解方程，因式分解得( (x - 2)(x - 3) = 0 )，则( x - 2 = 0 )或( x - 3 = 0 )， 解得，。 ·易错点：解方程时，方程两边同时除以含有未知数的公因式，漏掉一个根；因式分解分解错误，导致结 果出错。 知识点08 根与系数的关系（韦达定理） 若一元二次方程有两个实数根、，那么两根与系数满足关系：，。 ·示例：方程的两根为、，则，。 ·易错点：记错两根之和的符号，把错记成；应用根与系数关系时，忽略前提条件， 错误得出参数的取值范围。 知识点09 一元二次方程的实际应用——增长率问题 增长率问题的基本公式：若初始量为 a ，平均增长率为 x ，经过 n 次增长后的终值为b ，则；若是平均下降率，则公式为，增长率问题中 n 通常取2。 ·示例：某工厂今年产值为100万元，计划两年后产值达到121万元，求平均年增长率，设平均年增长率 为 x ，列方程得，解得 x = 10% （负根舍去）。 ·易错点：混淆增长次数，把两年增长率的方程列成( a(1 + 2x) = b )；解得负增长率后没有舍去，不符 合实际意义。 知识点10 一元二次方程的实际应用——利润问题 利润问题的基本关系：总利润=单件利润×销售量；单件利润=售价-成本。 销售问题中通常存在“售价每提高1元，销售量减少若干件”的关系，设未知数后根据利润关系列一元二次方程求解。 ·示例：某商品成本为每件40元，原售价为每件50元，原来每天可以卖出500件，经调查发现，售价每 提高1元，每天销售量减少10件，若要每天利润达到8000元，求售价。设售价提高 x 元，列方 程得( (50 + x - 40)(500 - 10x) = 8000 )，整理得，解得( x = 10 )或( x = 30 )，对应售价为60元或80元。 ·易错点：计算单件利润时成本计算错误；销售量变化计算错误，多算或少算减少的销售量；解得结果后 没有结合实际情况进行取舍。 知识点11 一元二次方程的实际应用——面积问题 面积问题通常需要根据几何图形的面积公式，结合题目给出的边长变化关系列方程。常见的类型包括：矩形空地修道路求道路宽度、围矩形场地求边长、利用墙围矩形求面积等。 ·示例：一块长30米、宽20米的矩形空地，要在中间修建两块相同的矩形绿地，两块绿地面积之和为500 平方米，绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道，求人行通道的宽度。设人行通道宽度为 x 米，整理得矩形绿地合并后的长为(30 - 3x)米，宽为(20 - 2x)米，列方程得(30 - 3x)(20 - 2x) = 500 ，整理得，解得（超过原矩形宽度， 舍去）。 ·易错点：分析图形边长时出错，多减或少减道路的宽度；解方程后没有检验结果是否符合实际图形的边 长要求，保留了不合理的根。 题型一 一元二次方程的概念判定 解｜题｜技｜巧 紧扣三个判定条件，整式方程、只含一个未知数、未知数最高次数为 2；注意二次项系数不能为 0，化简整理后再判断，排除分式、多元、次数不符的方程。 【典例1】下列方程中，一定是关于的一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】下列方程中，是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】下列属于一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 题型二 一元二次方程一般形式转化 解｜题｜技｜巧 移项合并同类项，统一整理成a+bx+c=0(a≠0)；准确区分二次项、一次项、常数项，留意各项前面正负符号。 【典例1】一元二次方程的一般形式是（ ） A． B． C． D． 【变式1】将一元二次方程化成一般形式后，若二次项系数为2，则常数项是（    ） A．7 B． C． D．5 【变式2】一元二次方程化简成一般式后，二次项系数为1，其一次项系数为（   ） A．3 B． C． D．7 题型三 利用方程根的概念求值 解｜题｜技｜巧 把根直接代入原方程，得到关于字母的等式；通过变形、整体代换求解代数式值，多根问题分别代入计算验证。 【典例1】关于的一元二次方程的一个根是，则的值是（  ） A．2024 B．2026 C．2025 D．2023 【变式1】若关于的一元二次方程的一个实数根为0，则等于（    ） A．1 B． C． D．0 【变式2】已知关于的方程的一个根是，则的值为_______． 题型四 直接开平方法解方程 解｜题｜技｜巧 方程化成-n的形式；n>0有两个不等实数根，n=0有两个相等实数根，n<0方程无实数根。 【典例1】一元二次方程的根是（　　） A． B． C． D． 【变式1】方程的根是__________． 【变式2】用直接开平方法解下列方程． (1)； (2)． 题型五 配方法解方程 解｜题｜技｜巧 先把二次项系数化为 1；常数项移到等号右侧；两边同时加一次项系数一半的平方；配方后用开平方法求解。 【典例1】用配方法解一元二次方程，得，则的值是（    ） A．11 B．3 C． D． 【变式1】用配方法解方程，将方程变为的形式，则的值___________． 【变式2】解方程：． 题型六 公式法解方程 解｜题｜技｜巧 找准 先确定啊a、b、c数值并带符号；计算判别式△=判断根的情况，套入求根公式 X=计算结果 【典例1】（25-26八年级下·安徽淮南·阶段检测）下列一元二次方程的根可以根据计算得出的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】一元二次方程的根为______． 【变式2】千法万法不如通法，公式法就是解一元二次方程的通法．请你用公式法解方程：． 题型七 因式分解法解方程 解｜题｜技｜巧 方程右侧化为 0，左侧提取公因式、套用乘法公式分解因式；因式相乘为 0，则每个因式分别等于 0，快速得出方程根。 【典例1】（24-25八年级下·安徽马鞍山·期末）已知实数x、y满足，则的值是（    ） A．3 B． C．1 D．3或 【变式1】方程的根是_____． 【变式2】一元二次方程的解是_____． 题型八 判别式判断方程根的情况 解｜题｜技｜巧 算出△=；△>0两不等实根，△=0两相等实根，△<0无实根；含参数方程根据根的情况列不等式求参数范围。 【典例1】下列关于x的一元二次方程中，一定有两个不相等的实数根的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25八年级下·安徽合肥·期末）已知关于x的方程，当方程总有实数根时．则m的范围为_______． 【变式2】已知整式．化简P，若，利用判别式判断此方程实数根的情况． 题型九 根与系数关系（韦达定理）应用 解｜题｜技｜巧 熟记，；不解方程直接计算两根和、两根积，简单代数式直接套用公式变形求解。 【典例1】已知，是方程的两个实数根，则代数式的值为（   ） A． B． C．1 D．2025 【变式1】已知m，n是关于x的一元二次方程的两个根，则的值为______． 【变式2】设是方程的两个根，且，求常数的值． 题型十 一元二次方程增长率、下降率应用题 解｜题｜技｜巧 套用变化率公式列方程；找准初始量、变化次数、最终量；解方程后舍去负数、不符合实际的根。 【典例1】（24-25八年级下·安徽安庆·期末）某企业今年1月份产值为万元，2月份产值比1月份减少了，3月份产值开始回升．已知3、4月份产值月平均增长率为，则4月份的产值是（   ） A．万元 B．万元 C．万元 D．万元 【变式1】（24-25八年级下·安徽马鞍山·期末）2025年春节后我国猪肉价格持续下跌，两个月降低了，平均每个月降价的百分率是____． 【变式2】某商场将进货价为30元的玩具以40元售出，1月份销售400个，2月份和3月份这种玩具销售量持续增加，在售价不变的基础上，3月份的销售量达到576个，设2月份和3月份两个月的销售量月平均增长率不变． (1)求2月份和3月份两个月的销售量月平均增长率； (2)从4月份起，在3月份销售量的基础上，商场决定降价促销．经调查发现，售价在35元至40元范围内，这种玩具的售价每降价0.5元，其销售量增加6个．若商场要想使4月份销售这种玩具获利4800元，则这种玩具应降价多少元？ 题型十一 面积类几何应用题 解｜题｜技｜巧 根据图形边长、切割、拼接关系列等式；用未知数表示各边长度，结合面积公式建立方程，结果符合几何实际取值。 【典例1】（24-25八年级下·安徽六安·期末）如图，在长，宽的矩形花园中，欲修宽度相等的小路（阴影部分），要使小路面积占总面积的．则路宽应满足的方程是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25八年级下·安徽合肥·期中）如图，某中学建立了一个长方形菜园，作为劳动实践基地，旨在培养学生的劳动意识、劳动技能和实践能力．已知菜园的一面靠墙，墙长为，另外三边用长为的栅栏围成．若要使菜园的面积达到，则的长为______． 【变式2】（24-25八年级下·安徽亳州·期中）如图，用长为的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为）围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃．为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在边上用其他材料做了宽为的两扇小门．若花圃的面积恰好为． (1)求此时花圃边的长； (2)花圃的面积能达到吗？若能，求出边的长；若不能，请说明理由． 题型十二 销售利润最值类重难点题型 解｜题｜技｜巧 单件利润乘销量等于总利润；设涨价或降价未知数，表示出新单价与销售量；列方程求解，结合题意选取合理答案。 【典例1】某商店销售一批进价为每件元的商品，售价为每件元，每天可卖出件，若每天的利润为元，则可列方程为（     ） A． B． C． D． 【变式1】商场销售某种冰箱，每台进货价为2500元，调查发现，当销售价为3000元时，平均每天能售出10台，当销售价每降低50元时，平均每天就能多售出4台，商场要想扩大销量，并使这种冰箱的销售利润平均每天达到5000元，每台冰箱应降价________元． 【变式2】2025年湘超联赛各赛场内旗帜随处可见．某商店经营此类旗帜，已知每面旗帜进价40元，当售价定为每面60元时，每天可卖出100面．经调查发现，售价每降低1元，每天可多卖出10面． (1)如果每面旗降价2元，该商店销售此类旗帜一天可盈利多少元？ (2)若该商店销售此类旗帜每天要获得2240元的利润，且尽可能让利于顾客，求每面旗应降价多少元？ 题型十三 动点类一元二次方程难题 解｜题｜技｜巧 用时间参数表示动点线段长度；依托几何边角、面积、勾股定理建立方程；分类讨论动点不同位置，逐一求解验证取值。 【典例1】如图所示，中，，，，点P从A点开始沿向B点以的速度移动，点Q从B点开始沿边向C点以的速度移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，那么多少秒后，线段将分成面积1：2的两部分（     ） A．2 B．4 C．2或4 D．2或6 【变式1】如图，在矩形中，，，点从点出发沿以的速度向点移动，同时，点从点出发沿以的速度向点移动，则_________后的面积为？ 【变式2】已知在中，，，点从点开始沿边向点以的速度移动，点从开始沿边向点以的速度移动，若一动点运动到终点，则另一个也随之停止． (1)如果、分别从、两点同时出发，那么几秒后，的面积等于？ (2)在（1）中，的面积能否等于？说明理由． 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）用配方法解方程时，配方结果正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·安徽六安·期末）已知是一元二次方程的一个根，则的值为（　　） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·安徽六安·期末）一元二次方程的根是（　　） A． B． C． D． 4．（24-25八年级下·安徽滁州·期末）下列一元二次方程中没有实数根的是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级下·安徽马鞍山·期末）已知关于x的方程 ，若方程的两个根一根大于1，另一根小于，m的取值范围是______． 6．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）2022版《义务教育数学课程标准》将劳动从综合实践活动课中独立出来，劳动教育已纳入义务教育全过程．某校积极实施，建设校园劳动基地．如图，是该校一块矩形劳动场地，长，宽，要求在场地内修同样宽的道路(图中阴影部分)，余下部分作为种植区．如果种植区的总面积为，则所修道路的宽为__________． 7．已知关于x的一元二次方程． (1)求证：对于任意实数k，方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程的一个根是1，求k的值及方程的另一个根． 8．解方程 (1)； (2)． 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．（24-25八年级下·安徽淮北·期末）一元二次方程两根分别为，且（） (1)若此方程一个根为1，则______； (2)当，时，求a，b的值； (3)若，，且时，求证： 2．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）铝型线材每根长10米，现用2根铝型线材做成窗框．如图，窗框上方是两个全等的正方形，下方是矩形．若正方形边长为． (1)矩形边长____________；窗框面积____________（用含x的代数式表示） (2)当窗框面积为时，求x的值． 3．（24-25八年级下·安徽淮南·期末）阅读材料，解决问题 材料1：新时代的中国伴随着人工智能、新能源、新材料等不断革新，制造业发展也迎来了大变革，新桥产业园某工厂借助智能化，对某型号零件进行一体化加工，生产效率提升显著，该零件3月份生产100个，5月份生产169个． 材料2：该厂生产的零件成本为40元/个，销售一段时间后发现，当零件售价为50元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每涨1元，则销售量将减少10个． 【解决问题】 (1)求该厂3月份到5月份生产数量的平均增长率； (2)若该厂既想使月销售利润达到12000元，又想尽快减少库存，以便产品迭代，则该零件的实际售价应定为多少元？ 4．已知，是关于x的一元二次方程的两实数根． (1)求m的取值范围； (2)已知等腰的底边，若，恰好是另外两边的边长，求这个三角形的周长． 5．（24-25八年级下·安徽六安·期末）某商场销售一种环保节能材料，平均每天可售出100盒，每盒利润120元．由于市场调控，为了扩大销售量，商场准备适当降价．据调查，若每盒材料每降价1元，每天可多售出2盒．根据以上情况，请解答以下问题： (1)当每盒材料降价20元时，这种材料每天可获利___________元． (2)为了更多的让利于消费者，且保证每天销售这种节能材料获利达14400元，则每盒应降价多少元？ (3)在本次销售活动中该商场每天利润能否达到15000元？请说说你的理由． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 一元二次方程及其应用（期末复习讲义） 内 容 导 航 明·期末考情 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01一元二次方程的概念判定 题型02 一元二次方程一般形式转化 题型03 利用方程根的概念求值 题型04 直接开平方法解方程 题型05 配方法解方程 题型06 公式法解方程 题型07 因式分解法解方程 题型08 判别式判断方程根的情况 题型9 根与系数关系（韦达定理）应用 题型10 一元二次方程增长率、下降率应用题 题型11面积类几何应用题 题型12 销售利润最值类重难点题型 题型13 动点类一元二次方程难题 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 一元二次方程概念与一般形式 能准确判别方程类型，熟练将方程化为标准形式，分清各项系数与常数项 基础必考小题，常结合取值范围、概念辨析出题，易错点集中在二次项系数不为 0 方程的根的相关应用 掌握根的代入用法，可借助根求解参数、代数式数值 选择填空高频考点，常结合整体代换思想考查计算 四种解方程方法 熟练运用直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法解方程，按需选取简便解法 计算类核心考点，计算题必考，不同解法交叉考查，侧重运算准确率 根的判别式 会计算判别式，依据数值判断根的情况，求解参数取值范围 重难点考点，选择填空、解答题均频繁出现，常结合参数分类设问 根与系数关系（韦达定理） 熟记两根和、两根积公式，能变形化简代数式求值 高频重难点，多以求值题型呈现，综合性较强，易搭配参数考查 含参数方程综合探究 可分类讨论方程类型，结合判别式、根系关系综合解题 期末压轴小题、解答常客，考查分类思维与知识整合能力 增长率、下降率应用题 找准数量变化规律，依据变化公式列方程求解 经典应用必考题型，题型固定，侧重实际问题列式与验根 几何面积类应用题 结合图形边长、面积关系建立方程，合理取舍结果 常考解答题，联动几何知识，检验建模与运算能力 销售利润实际应用 理清利润、单价、销量之间等量关系，规范列方程作答 热门重难点应用题型，贴近生活，多结合最值、方案问题考查 动点类综合应用题 用时间表示线段长度，依托几何关系列方程，分类讨论求解 章节压轴难题，综合性强，融合方程、几何、分类讨论多重考点 知识点01 二次根式的定义 一般地，形如a​(a≥0)的式子叫做二次根式，“  ​” 称为二次根号，a叫做被开方数。二次根式成立的前提是被开方数为非负数。 ·示例：、是二次根式，无意义，不是二次根式。 ·易错点：判定二次根式只看形式，忽略被开方数必须大于等于 0。 知识点01 一元二次方程的定义 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。 判定一个方程是一元二次方程，需要同时满足三个条件：①是整式方程；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数为2。 ·示例：方程是一元二次方程，不是一元二次方程（分式方程）， 不是一元二次方程（含有两个未知数），不是一元二次方程（最高次数是3）。 ·易错点：忽略“整式方程”的前提，把分式方程判定为一元二次方程；整理成一般形式后，忘记考虑二次项系数不能为0，错误判定含参数的方程为一元二次方程。 知识点02 一元二次方程的一般形式 一元二次方程的一般形式是，其中是二次项， a 是二次项系数， bx 是一次项，b 是一次项系数， c 是常数项。 ·示例：将方程整理为一般形式：展开得，移项合并同类 项得，其中二次项系数为3，一次项系数为-4，常数项为5。 ·易错点：确定系数时漏掉符号，把一般形式中负的系数当成正数；忽略这个必要条件，当 a = 0 时， 方程退化为一元一次方程。 知识点03 一元二次方程的解（根）的定义 使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根。 已知方程的根，可以将根代入原方程，得到关于参数的等式求解参数值。 ·示例：已知 x = 2 是方程的一个根，代入得，解得 k = 2 。 ·易错点：代入根计算时符号出错；已知一个根求另一个根时，混淆根与系数的关系公式，计算错误。 知识点04 直接开平方法解一元二次方程 如果一元二次方程可以变形为或的形式，那么可以通过直接开平方得到或，进而求出方程的解，这种方法叫做直接开平方法。 当( p < 0 )时，方程没有实数根。 ·示例：解方程，开平方得，解得，。 ·易错点：开平方后只取正根，漏掉负根；完全平方展开错误，导致变形后方程出错。 知识点05 配方法解一元二次方程 通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法叫做配方法，配方法的核心是将一元二次方程降次，转化为两个一元一次方程求解。 配方法的一般步骤：①化二次项系数为1：方程两边同时除以二次项系数；②移项：把常数项移到方程右边；③配方：方程两边同时加上一次项系数一半的平方，把左边配成完全平方式；④开方求解。 ·示例：解方程，①化二次项系数为1得；②移项得；③配方 得，即；④开方得，解得，。 ·易错点：配方时只在左边加一次项系数一半的平方，忘记右边也要加；化二次项系数为1时，常数项漏 除以二次项系数。 知识点06 公式法解一元二次方程 对于一元二次方程，当时，方程的实数根可以表示为，这个式子叫做一元二次方程的求根公式，利用求根公式解方程的方法叫做公式法。 根的判别式的性质：①时，方程有两个不相等的实数根；②时，方程有两个相等的实数根；③时，方程没有实数根。 ·示例：解方程，( a = 1 )，( b = -3 )，( c = 2 )，， 代入公式得，解得，。 ·易错点：代入系数时符号错误，把( b )的负号漏掉；计算判别式时运算错误，符号出错；当时， 仍然错误计算出实数根。 知识点07 因式分解法解一元二次方程 先把一元二次方程变形为一边是两个一次因式的乘积，另一边是0的形式，再让两个一次因式分别等于0，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程得到的解就是原一元二次方程的根，这种方法叫做因式分解法。 常用的因式分解方法：提公因式法、公式法（平方差公式、完全平方公式）、十字相乘法。 ·示例：解方程，因式分解得( (x - 2)(x - 3) = 0 )，则( x - 2 = 0 )或( x - 3 = 0 )， 解得，。 ·易错点：解方程时，方程两边同时除以含有未知数的公因式，漏掉一个根；因式分解分解错误，导致结 果出错。 知识点08 根与系数的关系（韦达定理） 若一元二次方程有两个实数根、，那么两根与系数满足关系：，。 ·示例：方程的两根为、，则，。 ·易错点：记错两根之和的符号，把错记成；应用根与系数关系时，忽略前提条件， 错误得出参数的取值范围。 知识点09 一元二次方程的实际应用——增长率问题 增长率问题的基本公式：若初始量为 a ，平均增长率为 x ，经过 n 次增长后的终值为b ，则；若是平均下降率，则公式为，增长率问题中 n 通常取2。 ·示例：某工厂今年产值为100万元，计划两年后产值达到121万元，求平均年增长率，设平均年增长率 为 x ，列方程得，解得 x = 10% （负根舍去）。 ·易错点：混淆增长次数，把两年增长率的方程列成( a(1 + 2x) = b )；解得负增长率后没有舍去，不符 合实际意义。 知识点10 一元二次方程的实际应用——利润问题 利润问题的基本关系：总利润=单件利润×销售量；单件利润=售价-成本。 销售问题中通常存在“售价每提高1元，销售量减少若干件”的关系，设未知数后根据利润关系列一元二次方程求解。 ·示例：某商品成本为每件40元，原售价为每件50元，原来每天可以卖出500件，经调查发现，售价每 提高1元，每天销售量减少10件，若要每天利润达到8000元，求售价。设售价提高 x 元，列方 程得( (50 + x - 40)(500 - 10x) = 8000 )，整理得，解得( x = 10 )或( x = 30 )，对应售价为60元或80元。 ·易错点：计算单件利润时成本计算错误；销售量变化计算错误，多算或少算减少的销售量；解得结果后 没有结合实际情况进行取舍。 知识点11 一元二次方程的实际应用——面积问题 面积问题通常需要根据几何图形的面积公式，结合题目给出的边长变化关系列方程。常见的类型包括：矩形空地修道路求道路宽度、围矩形场地求边长、利用墙围矩形求面积等。 ·示例：一块长30米、宽20米的矩形空地，要在中间修建两块相同的矩形绿地，两块绿地面积之和为500 平方米，绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道，求人行通道的宽度。设人行通道宽度为 x 米，整理得矩形绿地合并后的长为(30 - 3x)米，宽为(20 - 2x)米，列方程得(30 - 3x)(20 - 2x) = 500 ，整理得，解得（超过原矩形宽度， 舍去）。 ·易错点：分析图形边长时出错，多减或少减道路的宽度；解方程后没有检验结果是否符合实际图形的边 长要求，保留了不合理的根。 题型一 一元二次方程的概念判定 解｜题｜技｜巧 紧扣三个判定条件，整式方程、只含一个未知数、未知数最高次数为 2；注意二次项系数不能为 0，化简整理后再判断，排除分式、多元、次数不符的方程。 【典例1】下列方程中，一定是关于的一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义（只含一个未知数，未知数最高次数为2，且为整式方程）逐一判断各选项即可． 【详解】解：A．方程中含有两个未知数x和y，是二元二次方程，不符合一元二次方程的定义，故A不符合题意； B．方程中，若，则方程变为一次方程，因此不一定是关于x的一元二次方程，故B不符合题意； C．方程仅含一个未知数x，且x的最高次数为2，同时为整式方程，符合定义，故C符合题意； D．方程中含有分式，属于分式方程，不符合整式方程的要求，故D不符合题意． 故选：C． 【变式1】下列方程中，是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键． 根据形如的方程为一元二次方程，进而可进行求解． 【详解】解：由一元二次方程的定义可知：是一元二次方程，故D符合题意； A、B、C都不是一元二次方程，故不符合题意； 故选D． 【变式2】下列属于一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义：含有一个未知数，未知数最高次数为次，这样的整式方程为一元二次方程，即可做出判断． 【详解】解：A. 是二元二次方程，不符合题意； B. 是分式方程，不符合题意； C. 是一元二次方程，符合题意； D. 当时，是一元二次方程，不符合题意； 故选：C． 题型二 一元二次方程一般形式转化 解｜题｜技｜巧 移项合并同类项，统一整理成a+bx+c=0(a≠0)；准确区分二次项、一次项、常数项，留意各项前面正负符号。 【典例1】一元二次方程的一般形式是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是，据此即可求解． 【详解】解：， ， ， ， 故选：C． 【变式1】将一元二次方程化成一般形式后，若二次项系数为2，则常数项是（    ） A．7 B． C． D．5 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式． 将方程化为一般形式，其中，再确定常数项． 【详解】解：∵原方程为， ∴移项得， ∴常数项为5． 故选：D． 【变式2】一元二次方程化简成一般式后，二次项系数为1，其一次项系数为（   ） A．3 B． C． D．7 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程的一般式化简，关键是通过展开和移项得到标准形式． 将方程化简为一般形式后，直接读取一次项系数． 【详解】解：∵ ， 展开左边：， 移项得：， 合并同类项：， ∴ 一次项系数为． 故选：C． 题型三 利用方程根的概念求值 解｜题｜技｜巧 把根直接代入原方程，得到关于字母的等式；通过变形、整体代换求解代数式值，多根问题分别代入计算验证。 【典例1】关于的一元二次方程的一个根是，则的值是（  ） A．2024 B．2026 C．2025 D．2023 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．把代入方程得，然后利用整体代入的方法计算的值． 【详解】解：把代入方程中得：， ， ． 故选：C． 【变式1】若关于的一元二次方程的一个实数根为0，则等于（    ） A．1 B． C． D．0 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解． 把代入方程得到关于的方程，再解关于的方程即可． 【详解】解：把代入，得， 解得， 故选：B． 【变式2】已知关于的方程的一个根是，则的值为_______． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，根据题意将代入原方程，得出关于的一元一次方程，解方程，即可求解． 【详解】解：∵关于的方程的一个根是， ∴ 解得：， 故答案为：． 题型四 直接开平方法解方程 解｜题｜技｜巧 方程化成-n的形式；n>0有两个不等实数根，n=0有两个相等实数根，n<0方程无实数根。 【典例1】一元二次方程的根是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了解一元二次方程，掌握直接开平方法解一元二次方程是解题的关键． 利用直接开平方法对所给一元二次方程进行求解，即可． 【详解】解：， 化简得， 两边直接开平方，得， 解得． 故选：D． 【变式1】方程的根是__________． 【答案】， 【详解】解：∵， ∴或， 解得，． 【变式2】用直接开平方法解下列方程． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直接开平方解一元二次方程； （2）直接开平方解一元二次方程． 【详解】（1）解： ∴； （2）解： ∴． 题型五 配方法解方程 解｜题｜技｜巧 先把二次项系数化为 1；常数项移到等号右侧；两边同时加一次项系数一半的平方；配方后用开平方法求解。 【典例1】用配方法解一元二次方程，得，则的值是（    ） A．11 B．3 C． D． 【答案】B 【分析】按照配方法的步骤将原方程化为题目要求的形式，得到m和n的值，再计算即可． 【详解】解：， 方程两边同除以2，得， 移项得 配方，方程两边同时加上一次项系数一半的平方16，得 ， 整理得，即 对比，得 ∴． 【变式1】用配方法解方程，将方程变为的形式，则的值___________． 【答案】 【详解】解：， 方程两边同除以3，得， 移项，得， 配方，得，， ∴． 【变式2】解方程：． 【答案】，． 【分析】本题主要考查解一元二次方程的能力，利用配方法求解即可，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 则， ∴，． 题型六 公式法解方程 解｜题｜技｜巧 找准 先确定啊a、b、c数值并带符号；计算判别式△=判断根的情况，套入求根公式 X=计算结果 【典例1】（25-26八年级下·安徽淮南·阶段检测）下列一元二次方程的根可以根据计算得出的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据求根公式确定二次项系数，一次项系数和常数项即可． 【详解】解：根据求根公式可得， 可得， 所以对应的一元二次方程为． 【变式1】一元二次方程的根为______． 【答案】， 【分析】先将一元二次方程整理为一般形式，计算根的判别式，再利用求根公式 求解即可． 【详解】解： 移项，得 根的判别式 ∴ 即，． 【变式2】千法万法不如通法，公式法就是解一元二次方程的通法．请你用公式法解方程：． 【答案】， 【分析】本题主要考查公式法解一元二次方程，利用公式法求解即可． 【详解】解：， ∵，，， ∴， ∴， ∴，． 题型七 因式分解法解方程 解｜题｜技｜巧 方程右侧化为 0，左侧提取公因式、套用乘法公式分解因式；因式相乘为 0，则每个因式分别等于 0，快速得出方程根。 【典例1】（24-25八年级下·安徽马鞍山·期末）已知实数x、y满足，则的值是（    ） A．3 B． C．1 D．3或 【答案】A 【分析】本题考查的是一元二次方程的解法，由条件可得，再进一步求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴或， 解得：或， ∵， ∴． 故选：A 【变式1】方程的根是_____． 【答案】， 【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 先将方程整理成一般形式，然后利用因式分解法解方程即可． 【详解】解： 解得， 故答案为：，． 【变式2】一元二次方程的解是_____． 【答案】， 【详解】解： 整理得， ∴或 解得，． 题型八 判别式判断方程根的情况 解｜题｜技｜巧 算出△=；△>0两不等实根，△=0两相等实根，△<0无实根；含参数方程根据根的情况列不等式求参数范围。 【典例1】下列关于x的一元二次方程中，一定有两个不相等的实数根的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式，解答关键是熟练掌握一元二次方程根的情况与根的判别式的关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．据此逐项判断即可． 【详解】解：A、，方程有两个实数根，但不一定有两个不相等的实数根，该选项不符合题意； B、，方程有两个实数根，但不一定有两个不相等的实数根，该选项不符合题意； C、，不能判断一定大于零，即不一定有两个不相等的实数根，该选项不符合题意； D、，方程一定有两个不相等的实数根，该选项符合题意； 故选：D． 【变式1】（24-25八年级下·安徽合肥·期末）已知关于x的方程，当方程总有实数根时．则m的范围为_______． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的解，以及一元二次方程根的判别式． 当时，方程为一元一次方程，有一个实数解；当时，方程为一元二次方程，则，解得且，然后综合两种情况得到m的取值范围． 【详解】解：当时，即，方程变形为，解得； 当时， 解得且， 综上所述，m的取值范围为． 故答案为：． 【变式2】已知整式．化简P，若，利用判别式判断此方程实数根的情况． 【答案】，方程有两个不相等的实数根 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式．熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键． 先对整式化简，再将转化为一元二次方程，最后利用判别式判断方程实数根的情况即可． 【详解】解：； 当时，， ∵； ∴方程有两个不相等的实数根． 题型九 根与系数关系（韦达定理）应用 解｜题｜技｜巧 熟记，；不解方程直接计算两根和、两根积，简单代数式直接套用公式变形求解。 【典例1】已知，是方程的两个实数根，则代数式的值为（   ） A． B． C．1 D．2025 【答案】B 【分析】利用一元二次方程根的定义化简所求代数式，再结合根与系数的关系代入求值，掌握一元二次方程根的性质是解题的关键． 【详解】解：∵ ， 是方程 的两个实数根 ∴ 由根的定义得 ， 由根与系数的关系得 ， 对所求式子变形 同理可得 ∴ 原式 代入得原式． 【变式1】已知m，n是关于x的一元二次方程的两个根，则的值为______． 【答案】/ 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得到，，进而计算的值即可． 【详解】解：∵m，n是关于x的一元二次方程的两个根， ∴，， ∴ ． 【变式2】设是方程的两个根，且，求常数的值． 【答案】 【分析】先利用一元二次方程根与系数关系得到，进而求得，代入方程中求解即可． 【详解】解：∵是方程的两个根， ∴， ∵， ∴，解得， 将代入中，则， 解得． 题型十 一元二次方程增长率、下降率应用题 解｜题｜技｜巧 套用变化率公式列方程；找准初始量、变化次数、最终量；解方程后舍去负数、不符合实际的根。 【典例1】（24-25八年级下·安徽安庆·期末）某企业今年1月份产值为万元，2月份产值比1月份减少了，3月份产值开始回升．已知3、4月份产值月平均增长率为，则4月份的产值是（   ） A．万元 B．万元 C．万元 D．万元 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的增长率，根据各月产值的变化情况逐步计算：1月份产值为a万元，2月份减少，3、4月份平均每月增长，依次计算各月产值即可得出4月份的表达式，即可作答． 【详解】解：∵今年1月份产值为万元， 2月份产值比1月份减少了， ∴2月份产值万元， ∵3、4月份产值月平均增长率为， ∴4月份的产值是万元， 故选：B． 【变式1】（24-25八年级下·安徽马鞍山·期末）2025年春节后我国猪肉价格持续下跌，两个月降低了，平均每个月降价的百分率是____． 【答案】 【分析】本题考查了增长率问题在实际问题中的运用，一元二次方程的解法，根据猪肉价格两个月降低了建立方程即可． 【详解】解：设平均每月的降价率为x，设猪肉原来价格为1，则 ， 解得：（不符合题意，舍去），． 故答案为：． 【变式2】某商场将进货价为30元的玩具以40元售出，1月份销售400个，2月份和3月份这种玩具销售量持续增加，在售价不变的基础上，3月份的销售量达到576个，设2月份和3月份两个月的销售量月平均增长率不变． (1)求2月份和3月份两个月的销售量月平均增长率； (2)从4月份起，在3月份销售量的基础上，商场决定降价促销．经调查发现，售价在35元至40元范围内，这种玩具的售价每降价0.5元，其销售量增加6个．若商场要想使4月份销售这种玩具获利4800元，则这种玩具应降价多少元？ 【答案】(1)2，3两个月的销售量月平均增长率为 (2)这种玩具应降价2元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意，设2，3两个月的销售量月平均增长率为x，根据设2，3两个月的销售量月平均增长率为x，进行列方程，再解方程，即可作答． （2）设这种玩具每个降价y元时，商场四月份销售这种玩具获利4800元，结合在35元至40元范围内，这种玩具的售价每降价0.5元，其销售量增加6个，进行列方程，再解方程，即可作答． 【详解】（1）解：设2，3两个月的销售量月平均增长率为x， 依题意，得：， 解得：，(不符合题意，舍去)， 答：2，3两个月的销售量月平均增长率为． （2）解：∵这种玩具的售价每降价0.5元，其销售量增加6个 ∴每降价1元，其销售量增加12个 设这种玩具每个降价y元时，商场四月份销售这种玩具获利4800元， 依题意，得：， 整理，得：， 解得，(不符合题意，舍去)， 答：这种玩具应降价2元． 题型十一 面积类几何应用题 解｜题｜技｜巧 根据图形边长、切割、拼接关系列等式；用未知数表示各边长度，结合面积公式建立方程，结果符合几何实际取值。 【典例1】（24-25八年级下·安徽六安·期末）如图，在长，宽的矩形花园中，欲修宽度相等的小路（阴影部分），要使小路面积占总面积的．则路宽应满足的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程的应用．正确的识图，列出一元二次方程，是解题的关键． 根据题意，空白部分的面积占到总面积的，列出方程即可． 【详解】解：由题意，得：， 即：． 故选D． 【变式1】（24-25八年级下·安徽合肥·期中）如图，某中学建立了一个长方形菜园，作为劳动实践基地，旨在培养学生的劳动意识、劳动技能和实践能力．已知菜园的一面靠墙，墙长为，另外三边用长为的栅栏围成．若要使菜园的面积达到，则的长为______． 【答案】/10米 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设的长应是，则的长为，根据饲养室的面积达到．列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可．找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【详解】解：设的长应是，则的长为， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，， 当时，，不符合题意，舍去； 当时，，符合题意； 故答案为： 【变式2】（24-25八年级下·安徽亳州·期中）如图，用长为的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为）围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃．为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在边上用其他材料做了宽为的两扇小门．若花圃的面积恰好为． (1)求此时花圃边的长； (2)花圃的面积能达到吗？若能，求出边的长；若不能，请说明理由． 【答案】(1)花圃边的长为4米． (2)花圃的面积不能达到，理由见解析 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用、一元二次方程根的判别式等知识点，灵活运用所学知识解决实际问题成为解题的关键． （1）设花圃边的长为x，则花圃的边的长为米，由墙的最大可用长度为，可知，再根据题意列一元二次方程求解即可； （2）令，再运用一元二次方程根的判别式判断方程根的情况即可解答． 【详解】（1）解：设花圃边的长为x，则花圃的边的长为米， ∵墙的最大可用长度为， ∴，解得： 由题意可得：， 整理得：，解得：或（舍弃）． 答：花圃边的长为4米． （2）解：花圃的面积不能达到，理由如下： 令， 整理得：， 因为， 所以方程无解，即花圃的面积不能达到． 题型十二 销售利润最值类重难点题型 解｜题｜技｜巧 单件利润乘销量等于总利润；设涨价或降价未知数，表示出新单价与销售量；列方程求解，结合题意选取合理答案。 【典例1】某商店销售一批进价为每件元的商品，售价为每件元，每天可卖出件，若每天的利润为元，则可列方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用总利润每件利润销售量的关系，分别确定每件利润和销售量，即可列出方程． 【详解】解：每件元的商品，售价为每件元， 每件商品的利润为元， 又每天销售量为件，每天的利润为元， 可列方程为． 【变式1】商场销售某种冰箱，每台进货价为2500元，调查发现，当销售价为3000元时，平均每天能售出10台，当销售价每降低50元时，平均每天就能多售出4台，商场要想扩大销量，并使这种冰箱的销售利润平均每天达到5000元，每台冰箱应降价________元． 【答案】375 【分析】设每台冰箱应降价元，则降价后每台冰箱的售价为元，可得每台冰箱的利润为元，降价后销量为台，最后根据“总利润=每台利润×销售数量”列出方程求解． 【详解】解：设每台冰箱应降价元，则降价后每台冰箱的售价为元，可得每台冰箱的利润为元，降价后销量为台，根据题意得： ， 整理得：， 解得：或（舍去）， 所以，每台冰箱应降价375元． 【变式2】2025年湘超联赛各赛场内旗帜随处可见．某商店经营此类旗帜，已知每面旗帜进价40元，当售价定为每面60元时，每天可卖出100面．经调查发现，售价每降低1元，每天可多卖出10面． (1)如果每面旗降价2元，该商店销售此类旗帜一天可盈利多少元？ (2)若该商店销售此类旗帜每天要获得2240元的利润，且尽可能让利于顾客，求每面旗应降价多少元？ 【答案】(1)每面旗降价2元，该商店销售此类旗帜一天可盈利2160元 (2)每面旗应降价6元 【分析】（1）根据题意得到，即可得到答案； （2）设每面旗应降价元，由题意，得，尽可能让利于顾客，需降价更多，即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意，得（元）， 答：如果每面旗降价2元，该商店销售此类旗帜一天可盈利2160元； （2）解：设每面旗应降价元，由题意，得， 整理得， 解得． 尽可能让利于顾客， ． 答：每面旗应降价6元． 题型十三 动点类一元二次方程难题 解｜题｜技｜巧 用时间参数表示动点线段长度；依托几何边角、面积、勾股定理建立方程；分类讨论动点不同位置，逐一求解验证取值。 【典例1】如图所示，中，，，，点P从A点开始沿向B点以的速度移动，点Q从B点开始沿边向C点以的速度移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，那么多少秒后，线段将分成面积1：2的两部分（     ） A．2 B．4 C．2或4 D．2或6 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，理解题意，找出等量关系正确列方程是解题的关键． 设运动时间为秒，根据题意可得，，再根据三角形面积公式分两种情况求解即可． 【详解】解：设运动时间为秒，则，， ∵，， ∴， ∵线段将分成面积1：2的两部分， ∴或， ∴或， 解得，， ∴线段将分成面积1：2的两部分，运动时间为2或4秒． 故选：C． 【变式1】如图，在矩形中，，，点从点出发沿以的速度向点移动，同时，点从点出发沿以的速度向点移动，则_________后的面积为？ 【答案】2秒或4秒 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设运动秒钟后的面积为，则，，，，利用分割图形求面积法结合的面积为，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：设运动秒钟后的面积为，则，，，， ， ， ， ， ∴， 解得：，． 答：运动2秒或4秒后的面积为． 故答案为：2秒或4秒 【变式2】已知在中，，，点从点开始沿边向点以的速度移动，点从开始沿边向点以的速度移动，若一动点运动到终点，则另一个也随之停止． (1)如果、分别从、两点同时出发，那么几秒后，的面积等于？ (2)在（1）中，的面积能否等于？说明理由． 【答案】(1)1秒后的面积等于 (2)不能等于 【分析】（1）设经过x秒钟，的面积等于，根据题意表示出和的长，然后列方程求解； （2）根据（1）的方法列出方程，通过根的判别式即可判定能否达到． 【详解】（1）解：设经过x秒以后面积为， 依题意，，， 则， 整理得：， 解得：，（舍去）， 答：1秒后的面积等于； （2）解：的面积不能等于，理由如下∶ 设经过t秒以后面积为， 则， 整理得：， ， ∴此方程无解， ∴的面积不能等于． 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）用配方法解方程时，配方结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了解一元二次方程-配方法，把方程两边加上4，然后把方程左边写成完全平方的形式即可． 【详解】解：， ， ． 故选：A． 2．（24-25八年级下·安徽六安·期末）已知是一元二次方程的一个根，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了一元二次方程的解，把代入方程即可求解，熟练掌握一元二次方程的解是解题的关键． 【详解】解：将代入方程得：， 解得：， 故选：． 3．（24-25八年级下·安徽六安·期末）一元二次方程的根是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接开平方法、配方法、因式分解法、公式法，熟练掌握各种方法是解答本题的关键．用因式分解法求解即可． 【详解】解：， 或， ， 故选：B． 4．（24-25八年级下·安徽滁州·期末）下列一元二次方程中没有实数根的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据方程的根的判别式，计算判断解答即可． 本题考查了根的判别式应用，熟练掌握判别式是解题的关键． 【详解】解：A. ，此时， 有两个不相等的实数根，不符合题意；     B. ，此时， 有两个相等的实数根，不符合题意；     C. ，此时， 有两个不相等的实数根，不符合题意；     D. ，此时， 无实数根，符合题意；     故选：D． 5．（24-25八年级下·安徽马鞍山·期末）已知关于x的方程 ，若方程的两个根一根大于1，另一根小于，m的取值范围是______． 【答案】/ 【分析】本题考查的是一元二次方程的解法，先解方程可得，，再进一步可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴或， ∴，， ∵方程的两个根一根大于1，另一根小于， ∴． 6．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）2022版《义务教育数学课程标准》将劳动从综合实践活动课中独立出来，劳动教育已纳入义务教育全过程．某校积极实施，建设校园劳动基地．如图，是该校一块矩形劳动场地，长，宽，要求在场地内修同样宽的道路(图中阴影部分)，余下部分作为种植区．如果种植区的总面积为，则所修道路的宽为__________． 【答案】1 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，熟练掌握等量关系是解题的关键．根据矩形的性质，先将道路进行平移，然后根据矩形的面积公式列方程即可． 【详解】解：设所修道路的宽为，根据题意得： ， 整理得：， 解得：（舍去）， 答：所修道路的宽为． 故答案为：1 7．已知关于x的一元二次方程． (1)求证：对于任意实数k，方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程的一个根是1，求k的值及方程的另一个根． 【答案】(1)见解析 (2)； 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，解一元二次方程，熟知根的判别式和根与系数的关系是解题的关键． （1）只需要证明即可； （2）设方程的另一个根为m，由根与系数的关系可得，据此求解即可． 【详解】（1）证明：由题意得，， ∵， ∴， ∴， ∴对于任意实数k，方程总有两个不相等的实数根； （2）解：设方程的另一个根为m， 由根与系数的关系可得， ∴， ∴， 解得． 8．解方程 (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的常用方法（直接开平方法、配方法、公式法、换元法、因式分解法等）是解题关键． （1）方程左边可以因式分解为，利用因式分解法解方程即可得； （2）方程可以配方为，再解方程即可得． 【详解】（1）解：， ， 或， 或， 所以方程的解为，． （2）解：， ， ， ， ， ， 所以方程的解为，． 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．（24-25八年级下·安徽淮北·期末）一元二次方程两根分别为，且（） (1)若此方程一个根为1，则______； (2)当，时，求a，b的值； (3)若，，且时，求证： 【答案】(1)6 (2)； (3)见解析 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程的解，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． （1）将代入即可求解； （2）利用一元二次方程根与系数的关系即可求解； （3）将，代入方程，作差，进行因式分解得到，继而得到，然后用m表示n，再根据已知条件即可求证． 【详解】（1）解：将代入方程，则， ； （2）解：，， ，， 解得：，； （3）证明：当，，且， ①， ②， 得：， 即， 因， ， ， 由题知：， 即， 故 2．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）铝型线材每根长10米，现用2根铝型线材做成窗框．如图，窗框上方是两个全等的正方形，下方是矩形．若正方形边长为． (1)矩形边长____________；窗框面积____________（用含x的代数式表示） (2)当窗框面积为时，求x的值． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查了列代数式，一元二次方程的运用，解一元二次方程，分别写出和窗框面积的代数式是解题的关键． （1）根据窗框的总长度计算即可； （2）根据题意，列关于x的一元二次方程并求解即可． 【详解】（1）解：， 窗框面积， 故答案为：；； （2）根据题意得：， 整理得：， 解得：． 3．（24-25八年级下·安徽淮南·期末）阅读材料，解决问题 材料1：新时代的中国伴随着人工智能、新能源、新材料等不断革新，制造业发展也迎来了大变革，新桥产业园某工厂借助智能化，对某型号零件进行一体化加工，生产效率提升显著，该零件3月份生产100个，5月份生产169个． 材料2：该厂生产的零件成本为40元/个，销售一段时间后发现，当零件售价为50元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每涨1元，则销售量将减少10个． 【解决问题】 (1)求该厂3月份到5月份生产数量的平均增长率； (2)若该厂既想使月销售利润达到12000元，又想尽快减少库存，以便产品迭代，则该零件的实际售价应定为多少元？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）基本关系：初量（1+增长率）2=末量，据此列出方程，求解即可； （2）基本关系：总利润=每个的销售利润×月销售量，该零件的实际售价应定为元，用含的代数式表示月销售量，再利用月销售利润达到12000元建立方程求解． 【详解】（1）设该厂3月份到5月份生产数量的平均增长率为，根据题意，得 ， 解得：，（舍去） 答：设该厂3月份到5月份生产数量的平均增长率为 （2）设该零件的实际售价应定为元，根据题意，得 ， 解得：，， ∵想尽快减少库存，则售价应该更低， ∴该零件的实际售价应定为元， 答：该零件的实际售价应定为元． 4．已知，是关于x的一元二次方程的两实数根． (1)求m的取值范围； (2)已知等腰的底边，若，恰好是另外两边的边长，求这个三角形的周长． 【答案】(1)且 (2)10 【分析】本题考查了根的判别式、一元二次方程的定义、三角形的三边关系以及等腰三角形的性质； （1）利用二次项系数非零及根的判别式，可列出关于m的一元一次不等式组，解之可得出m的取值范围； （2）利用等腰三角形的性质，可得出，进而可得出，解之可得出m的值，将其代入原方程，可求出，的值，再利用三角形的周长公式，即可求出结论． 【详解】（1）解：∵，是关于x的一元二次方程的两实数根， ∴， 解得：且， ∴m的取值范围为且； （2）解：∵等腰的底边，且，恰好是另外两边的边长， ∴， ∴， 解得：， ∴原方程为， ∴， ∵3，3，4可以组成三角形， ∴这个三角形的周长为． 5．（24-25八年级下·安徽六安·期末）某商场销售一种环保节能材料，平均每天可售出100盒，每盒利润120元．由于市场调控，为了扩大销售量，商场准备适当降价．据调查，若每盒材料每降价1元，每天可多售出2盒．根据以上情况，请解答以下问题： (1)当每盒材料降价20元时，这种材料每天可获利___________元． (2)为了更多的让利于消费者，且保证每天销售这种节能材料获利达14400元，则每盒应降价多少元？ (3)在本次销售活动中该商场每天利润能否达到15000元？请说说你的理由． 【答案】(1)14000 (2)每盒应降价40元 (3)本次销售活动中每天利润不能达到15000元，理由见解析 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，一元二次方程的根的判别式的应用，正确理解题意是解题的关键． （1）根据每盒的利润数量总利润求解即可； （2）根据每天销售这种节能材料获利达14400元，列一元二次方程，求解即可； （3）若销售活动中每天利润能达到15000元，得到方程，再根据根的判别式求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，（元）， 故答案为：14000； （2）解：设每盒应降价元，根据题意，得： 化简方程，得： 解得：或， 因为更多的让利消费者，所以每盒应降价40元． 答：每盒应降价40元． （3）解：本次销售活动中每天利润不能达到15000元，理由如下： 设每盒应降价元，根据题意，得： 化简方程，得：， ， ∴方程无实数解， 所以，本次销售活动中每天利润不能达到15000元． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $