山东省烟台招远市（五四制）2025-2026学年八年级下学期中数学试题

**基本信息** 2025-2026学年初三数学期中卷，120分钟120分，允许剪拼折叠实验，通过秦九韶公式、折叠桌布等情境，融合几何直观与推理能力，设置多解法题（如23题）及规律探究题（如24题），适配期中综合考查需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|一元二次方程、四边形判定|结合数学活动课情境（第3题矩形判定方案）| |填空题|6/18|菱形性质、数学史（秦九韶公式）|融入传统文化（第14题三斜求积公式应用）| |解答题|9/72|几何证明、多解法、规律探究|设置分层任务（25题含方法回顾、问题解决、思维拓展），考查推理能力与创新意识|

绝密★启用前 2025-2026学年度第二学期期中考试初三数学试题 说明：1. 考试时间120分钟，满分120分。 2. 考试过程允许学生进行剪、拼、折叠等实验。 一．选择题（本大题共10个小题，每小题3分，满分30分） 1．已知是关于x一元二次方程，则a的值为（ ） A．2 B．2 C．2 D． 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 在数学活动课上，老师和同学们判断一个四边形门框是否为矩形，下面是一个学习小组拟定的方案，其中正确的是（ ） A．测量对角线是否相互平分 B．测量两组对边是否分别相等 C．测量对角线是否相等 D．测量其中三个角是否都为直角 4. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）. A. B. C. D. 5. 若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则k的值是（    ） A． B． C． D． 6.如图：点E、F、G、H分别是四边形边、、、的中点，如果，四边形的面积为，且，则线段的值为（ ） A．3 B．6 C．8 D．12 7.已知实数a在数轴上的位置如图所示， 则化简的结果为（ ） A． B． C． D． 8．如图，将矩形沿对角线折叠，点落在处，交于点．将△沿折叠，点落在△内的点处，下列结论一定正确的是（    ） A． B． C． D． 9.计算的值为（ ） A． B． C． D． 10．如图，在菱形中，∠A=60°，，点E，F分别是，AD的中点，DE，BF相交于点G，连接BD，CG，有下列结论：①；②FG=GC； ③△ADE≌△CDG；④，其中正确的结论有（ ） A. ①② B. ①②③ C. ①②④ D. ①②③④ 二．填空题（本大题共6个小题，每小题3分，满分18分） 11. 已知最简二次根式与二次根式是同类二次根式，则的值为___ ____． 12.若菱形两条对角线的长分别为6和8，则这个菱形的边长为 ． 13.小明在计算正数a的平方时，误算成a与2的积，求得的答案比正确答案小1， 则a的值为 . 14.我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》一书中，给出了著名的秦九韶公式，也叫三斜求积公式，即如果一个三角形的三边长分别为、、，则该三角形的面积为 ，现已知△的三边长分别为1，，3，则△的面积为 . 15.如图，将一张正方形的桌布折叠两次，就得到了一个 漂亮的图案，其中∠DFE的度数为 . 16. 如图，在矩形ABCD中，AD=16，CD=10，点E，F分别在BC，CD 上，BE=4，CF=6，若点G是AE的中点，H是BF的中点，连接GH， 则GH的长为 . 三．解答题（本大题共9个小题，共72分.请在答题卡指定区域内作答.） 17. 计算：（1） （2） 18. 解方程：（1） （2） 19．如图，将△沿射线平移，使点B与点C重合，得到△，连接．F，G分别是的中点，连接． （1）求证：△≌△ ； （2）若，求证：四边形是矩形． 20.在学习一元二次方程的解法中我们发现，用配方法解一元二次方程 ，可以得到一元二次方程的求根公式. （1）一般地，对于一元二次方程，当它的求根公式是 ，我们也把用求根公式解一元二次方程的方法称为公式法； （2）小明在用公式法解方程时出现了错误，解答过程如图：请问，小明的解答过程是从第 步开始出错的，其错误原因是 ； （3）请你用自己学过的方法写出此题正确的解答过程. 21.我们已经学过以下5种基本作图： 当我们遇到新的尺规作图时，需要把问题转化为以上5种基本作图来逐步完成作图. （1）下面三幅图都是作边长为的正方形，作图顺序符合基本作图⑤①①⑤⑤的是（ ） （2）已知∠α和线段，求作菱形ABCD，使∠ABC=∠α，BD=b.小明的作图痕迹如图，按作图顺序写出基本作图的序号为 ； （3）如图，已知∠AOB和线段m，在边上作一点P，使点P到OB的距离等于线段m.（要求:用直尺和圆规作图，保留作图痕迹，不写作法，按作图顺序写出基本作图的序号） 22. 关于x的一元二次方程． （1）判断方程根的情况，并说明理由； （2）若方程有一个根不小于5，求k的取值范围． 23.一道数学题往往解法众多，不同的解法承载了多角度的数学思维，请你用两种方法解决下面的题目.如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=∠BCD=90°，连接AC．若AC=8，请用两种方法求出四边形ABCD的面积． 24.观察下列等式，解答问题： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：；... （1）请直接写出第6个等式 （不用化简）； （2）根据上述规律猜想：若为正整数，请用含的式子表示第个等式，并 给予证明； （3）请利用（2）的结论计算：； 25. 【方法回顾】 （1）如图1，过正方形ABCD的顶点A作一条直线l交边BC于点P，BE⊥AP于点E，DF⊥AP于点F，若DF＝3，BE＝1，则EF的值为　 　． 【问题解决】 （2） 如图2，菱形ABCD的边长为2，过点A作一条直线l交边BC于点P， 且∠DAP＝90°，点F是AP上一点，且∠BAD+∠AFD＝180°，过点B作BE⊥AB，与 直线l交于点E，若EF＝1，求BE的长． 【思维拓展】 （3）如图3，在正方形ABCD中，点P在AD所在直线的上方，AP＝2，连接PB，PD，若△PAD的面积比△PAB的面积多1，请直接写出PB2PD2的值． 初三数学试题参考答案及评分意见 （仅供参考） 一．选择题（本大题共10个小题，每小题3分，满分30分） 1.B 2.A 3.D 4.C 5.B 6.D 7.A 8.D 9.C 10.A 二．填空题（本大题共6个小题，每小题3分，满分18分） 11.8 12.5 13. 14. 15. 30° 16. 三．解答题（本大题共9个小题，共72分.请在答题卡指定区域内作答.） 17.（6分）解：（1）.....................3分 （2） .............................................6分 18.（6分）解：（1），∴， ∴或， ∴，. ...........................................3分 （2）整理得：，∴，∴................................6分 19.（7分）解：（1）由平移可得：AC//DE，，AD=CE， ∴四边形是平行四边形，∴∠∠，............................................2分 ∵，∴，∴， ∴△≌△ (SAS)；............................................3分 （2）由（1）知△≌△ ，∴，............................................4分 ∵，，∴FC，∴∠∠，∠∠， ∵∠∠∠∠∴2(∠∠) ∴∠∠即∠90°，....................................5分 由平移可得：AB//CD，，∴四边形是平行四边形，..................6分 又∵∠90°，∴四边形是矩形.............................................7分 20.（7分）解：（1）； ............................................1分 （2）一，方程没有化成一般式，常数项的符号出现错误；............................................4分 （3）整理得： ∵，∴ ∴，∴............................................7分 21.（8分）解：（1）C；............................................2分 （2）②③①④；............................................4分 （3）点即为所要求作的点，...............................7分 基本作图的序号为：⑤①⑤.（答案不唯一）............8分 22.（8分）解：（1）∵， ∴方程总有两个实数根；............................................3分 （2）解之得：，∴，，.....................6分 ∵方程有一个根不小于5，∴，∴， ∴k的取值范围为............................................8分 23.（9分）解：方法一 过点A作AE⊥CD，AF⊥CB，垂足为点E、F， ∴∠AEC=∠AFC=∠AFB=90°， ............................................1分 ∵∠BCD=90°，∴四边形AECF是矩形，∴∠EAF=∠BAD=90°， ∴∠EAF∠DAF=∠BAD∠DAF，即∠EAD=∠FAB， ∵AD=AB，∴△EAD≌△FAB(AAS)，∴AE=AF， ..................3分 ∵四边形AECF是矩形，∴四边形AECF是正方形，∴AE=CE， ∴在中，由勾股定理得：，∴，∴， ∴ ∴四边形ABCD的面积为32．............................................5分 方法二 延长CB至点M，使BM=CD， ∴ ∠ABC+∠ABM=180°，............................................6分 ∵∠BAD=∠BCD=90°，∴∠ABC+∠ADC=180°，∴∠ABM=∠ADC 又∵AB=AD，∴△ABM≌△ADC(SAS)， ∴AM=AC=8，，∠BAM=∠DAC，............................................7分 ∵∠DAB=90°，∴∠DAC+∠BAC=90°，∴∠BAM+∠BAC=∠CAM=90°， ∴ ∴四边形ABCD的面积为32．............................................9分 24.（10分）解：（1）； ...........................................3分 （2）第个等式：，理由：...........................................4分 ；.....................6分 （3） 由（2）的结论得： . ...........10分 25.（11分）解：（1）2，............................................2分 （2）∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD， ∵BE⊥AB，∴∠ABE＝∠DAF＝90°， ∵∠BAD+∠AFD＝180°，即∠BAP+∠FAD+∠AFD＝180°， ∵∠ADF+∠FAD+∠AFD＝180°，∴∠BAP＝∠ADF， ∴△ABE≌△DAF（ASA），∴DF＝AE＝AF+EF＝AF+1，AF＝BE，......................6分 在中，由勾股定理得：，∴，∴，∴BE＝AF＝．............................................8分 （3）PB2PD2的值为4............................................11分 学科网（北京）股份有限公司 $