精品解析：福建南平市顺昌县第一中学2025-2026学年高一下学期5月期中数学试题

2025—2026学年第二学期顺昌一中高一年级期中 数学试题 （时间：120分钟满分：150分） 范围：人教A版必修第二册，第六章，第七章，第八章 一、单选题：（本大题共8个小题，每个小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 已知复数，为的共轭复数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】结合复数的除法求出,即可得到，再用复数的模长公式求解. 【详解】因为, 所以, 则. 故答案为：C. 2. 用斜二测画法画水平放置的边长为2的正三角形的直观图，所得图形的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据直观图画法得底不变，为2，再研究高，最后根据三角形面积公式求结果. 【详解】根据斜二测画法的特征，可得底不变，为2，高为 ， 所以直观图的面积是. 故选：B. 【点睛】本题考查根据斜二测画法求直观图面积，考查基本求解能力，属于基础题型. 3. 已知，，与的夹角为60°，则（ ） A. B. C. 36 D. 72 【答案】A 【解析】 【详解】因为，，与的夹角为， 所以， 则. 4. 如图，已知中，为的中点，，若，则 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 利用向量的线性运算将用表示，由此即可得到的值，从而可求的值. 【详解】因为， 所以，.故. 故选：C. 【点睛】本题考查向量的线性运算以及数乘运算在几何中的应用，难度一般.向量在几何中的应用可通过基底的表示形式进行分析. 5. 已知圆锥的侧面展开图为半圆，则该圆锥的侧面积与其表面积之比为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，求出圆锥底面圆半径与母线的关系即可求解. 【详解】设圆锥底面圆半径为，母线长为，依题意，，则， 所以该圆锥侧面积与其表面积的比为. 故选：B 6. 设为两个平面，为两条直线，则下列结论中正确的是（　　） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则或 【答案】C 【解析】 【分析】ABD都可以举出反例；C可以利用线面平行、线面垂直、面面垂直的判定定理和性质定理综合证明. 【详解】对于A：当直线在平面内时，即，此时也可能满足，但根据定义，直线在平面内，线面不平行，故A错误； 对于B：当时，若，则，此时，不成立，故B错误； 对于C：由，经过直线的平面如果与平面有交线，由线面平行的性质定理知且，又，所以，而，所以，故C正确； 对于D：在正方体中，设平面为平面，平面为平面，则两平面的交线为.设直线为，则，但不与垂直，也不与垂直，故D错误. 故选：C. 7. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且面积为．若，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用余弦定理、三角形面积公式及正弦定理边化角求解． 【详解】在△ABC中，，而， 由，得，又，，则， 由正弦定理得，解得，由，得， 所以． 8. 已知平面内有单位圆，点是不与点重合的一点，若圆上存在不重合的两点使得，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先根据向量的线性运算把用表示，然后两边平方，根据模长公式和数量积公式即可求解. 【详解】 设为原点，，，， 代入已知等式， ，  整理得：，即， 因为在单位圆上，所以，设与夹角为， 对平方得： ，​ 是不重合的两点，故，即， 代入得： ，开方得， 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 若复数满足，则（ ） A. B. C. 0 D. 1 【答案】AC 【解析】 【分析】设，结合模长公式、复数乘法运算与复数基本概念计算即可得. 【详解】设，则由，可得， 即有，解得或，即或. 10. 中，，，则（ ） A. B. 的角平分线交AB于D，则 C. D. 在上的投影向量是 【答案】ACD 【解析】 【详解】由余弦定理，得，故，A正确； 因为，所以是等腰三角形，平分， 所以是的垂直平分线，所以，所以，所以B不正确； 由，，所以， 因为是等腰三角形，所以， ，所以C正确； 向量在上的投影向量为 ， ，故投影向量为，所以D正确. 11. 正方体中，下列结论正确的是（ ） A. 直线与直线所成角为 B. 二面角的大小为 C. 直线与平面所成角为 D. 平面平面 【答案】AB 【解析】 【分析】根据异面直线所成角的定义可判断A；由二面角的定义，找到二面角的平面角，判断B；由线面角的定义作出并求得直线与平面所成角，判断C；设正方体的棱长为a，棱的中点，连接，求得平面与平面所成的角，判断D. 【详解】对于A，连接，因为， 所以四边形为平行四边形， 所以为直线与直线所成的角， 连接，则，所以是正三角形， 所以，所以A正确； 对于B，由正方体的性质知，平面， 因为平面，所以； 因为，平面， 所以是二面角的平面角， 易知， 所以二面角的大小为，所以B正确； 对于C，由正方体的性质知，平面， 所以是直线与平面所成的角， 易知， 所以直线与平面所成角为，所以C错误； 对于D，设正方体的棱长为a， 易知与均为边长为的正三角形， 如图，取棱的中点，连接， 则， 则为平面与平面所成角的平面角， 且， 又，所以， 所以，所以D错误. 故选：AB. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12. 已知平面向量，，若，则________． 【答案】 【解析】 【详解】. 13. 已知棱台的上､下底面面积分别是2，8，高为3，则棱台的体积等于___________. 【答案】 【解析】 【详解】由棱台的体积公式得. 14. 正三棱台高为1，上下底边长分别为3和6，所有顶点在同一球面上，则球的表面积为________． 【答案】 【解析】 【分析】求上下底面正三角形的外接圆半径，设球心位置并列方程，求球的半径，求球的表面积. 【详解】上底面边长，其外接圆半径，则，， ， 下底面边长，其外接圆半径，则，， ， 设球心到上底面的距离为，球的半径为， 因为棱台高为，所以球心到下底面的距离为， 根据球心到上下底面顶点距离相等， 则有： ，代入，， 得到， 解得， 将代入，得到 ， 则球的表面积为 . 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图，在五面体中，四边形是正方形，平面平面， （1）求证：； （2）求证：平面； 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用线面平行的判定性质推理得证. （2）利用面面垂直的性质及线面垂直的性质推理得证. 【小问1详解】 由正方形，得，又平面，平面， 则平面，而平面，平面平面， 所以. 【小问2详解】 由正方形，得，而平面平面， 平面平面，平面，则平面， 由（1）知，所以平面. 16. 已知与的夹角. （1）求的值； （2）若向量与的夹角为锐角，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由向量的模长公式及数量积的运算律求解即可； （2）由题意可得，且与不共线，代入计算即可得出答案. 【小问1详解】 由题意， 所以. 【小问2详解】 因为向量与的夹角为锐角， 所以，且与不共线， 对于， 得， 即，解得， 若与共线， 则存在，得，解得， 所以若向量与的夹角为锐角， 实数的取值范围为. 17. 已知锐角的内角所对的边为，向量，，且； （1）求角； （2）若，求周长的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用向量共线的坐标表示列式，再利用正弦定理边化角求解. （2）由（1）的结论及正弦定理表示出，再利用和差角的正弦及余弦函数性质求解. 【小问1详解】 由，，且，得， 由正弦定理得，而，则， ，又，所以. 【小问2详解】 在中，，，由正弦定理得， 由，设，又为锐角三角形，则， 而， 因此 所以周长的取值范围是. 18. 如图，长方体中，，点P为的中点. （1）求三棱锥的体积. （2）求证：直线平面； （3）求异面直线与所成角的余弦值； 【答案】（1） （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据棱锥的体积公式即可求解； （2）由中位线性质可证，然后再根据线面平行的判断定理即可证明； （3）首先证明直线与所成角是或其补角，然后通过勾股定理计算， 最后根据余弦定理即可求解. 【小问1详解】 . 【小问2详解】 设，连接， 因，且为长方体， 则四边形为正方形，故为线段中点， 因点P为的中点，则为的中位线，则， 又平面，平面，则平面. 【小问3详解】 连接，由（1）可知，则直线与所成角是或其补角， 因，点P为的中点， 则，， 在中，， 在中，， 在中，， 在中由余弦定理得，， 故直线与所成角的余弦值为. 19. 已知的外接圆半径为，角所对的边分别，． （1）用表示； （2）求证：； （3）若，分别为线段上的点，且构成等边，求面积的最小值． 【答案】（1） （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理，结合，可用表示. （2）利用（1）的结论，结合基本不等式，可确定的形状，利用勾股定理可得结论. （3）设等边的边长为，，利用正弦定理，用表示，求出的最小值，进而可得面积的最小值. 【小问1详解】 由正弦定理得：， 代入已知等式，得． 因为，所以， 两边同时除以得． 即，故． 【小问2详解】 由（1）得 根据基本不等式，，当且仅当即时取等号． 又因为，所以，此时． 在中，，故由勾股定理，得． 【小问3详解】 如图： 由得，设等边的边长为，， 则，， ∵，且在中，， ∴，∴， 在中，由正弦定理可得，， 即， 化简得，（其中为锐角，且）， ∴． 由（2）得，，所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年第二学期顺昌一中高一年级期中 数学试题 （时间：120分钟满分：150分） 范围：人教A版必修第二册，第六章，第七章，第八章 一、单选题：（本大题共8个小题，每个小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 已知复数，为的共轭复数，则（ ） A. B. C. D. 2. 用斜二测画法画水平放置的边长为2的正三角形的直观图，所得图形的面积为（ ） A. B. C. D. 3. 已知，，与的夹角为60°，则（ ） A. B. C. 36 D. 72 4. 如图，已知中，为的中点，，若，则 A. B. C. D. 5. 已知圆锥的侧面展开图为半圆，则该圆锥的侧面积与其表面积之比为（ ） A. B. C. D. 6. 设为两个平面，为两条直线，则下列结论中正确的是（　　） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则或 7. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且面积为．若，且，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知平面内有单位圆，点是不与点重合的一点，若圆上存在不重合的两点使得，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 若复数满足，则（ ） A. B. C. 0 D. 1 10. 中，，，则（ ） A. B. 的角平分线交AB于D，则 C. D. 在上的投影向量是 11. 正方体中，下列结论正确的是（ ） A. 直线与直线所成角为 B. 二面角的大小为 C. 直线与平面所成角为 D. 平面平面 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12. 已知平面向量，，若，则________． 13. 已知棱台的上､下底面面积分别是2，8，高为3，则棱台的体积等于___________. 14. 正三棱台高为1，上下底边长分别为3和6，所有顶点在同一球面上，则球的表面积为________． 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图，在五面体中，四边形是正方形，平面平面， （1）求证：； （2）求证：平面； 16. 已知与的夹角. （1）求的值； （2）若向量与的夹角为锐角，求实数的取值范围. 17. 已知锐角的内角所对的边为，向量，，且； （1）求角； （2）若，求周长的取值范围． 18. 如图，长方体中，，点P为的中点. （1）求三棱锥的体积. （2）求证：直线平面； （3）求异面直线与所成角的余弦值； 19. 已知的外接圆半径为，角所对的边分别，． （1）用表示； （2）求证：； （3）若，分别为线段上的点，且构成等边，求面积的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $