精品解析：北京市朝阳区北京中学2025--2026学年下学期七年级数学学科期中调研试卷

初一年级数学学科期中调研试卷 满分100分，考试时间90分钟 考生须知 1．本试卷共6页，满分100分，考试时间90分钟． 2．在试卷和答题卡上准确填写学校、班级、姓名、座位号． 3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效． 4．在答题卡上，选择题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答． 5．考试结束，请将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（共24分，每题3分） 1. 在3.14，，，，1.14114111411114．．．（后面依次多个1）中，无理数的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【详解】解：，是整数，属于有理数；3.14是有限小数，属于有理数；是无限不循环小数，是无理数；π是无限不循环小数，是无理数；1.14114111411114⋯是无限不循环小数，是无理数； ∴无理数共3个． 2. 如图，用三角尺经过直线l外一点A画这条直线的垂线，这样的垂线我们只能画出一条．这里面蕴含的数学原理是（ ） A. 垂线段最短 B. 两点之间线段最短 C. 平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 D. 过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行 【答案】C 【解析】 【分析】在平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，根据垂线的性质可得答案； 【详解】解：这样的直线只能画出一条，理由是：在平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直， 故选：C． 【点睛】本题考查了垂线，利用了垂线的性质：在平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直． 3. 下列说法中，正确的是（ ） A. 的立方根是 B. 平方根等于它本身的数是和 C. 的绝对值是 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据立方根，算术平方根，平方根的定义，逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：A. 的立方根是，故该选项不正确，不符合题意； B. 平方根等于它本身的数是，故该选项不正确，不符合题意； C. 的绝对值是，故该选项正确，符合题意； D. ，故该选项不正确，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了立方根，算术平方根，平方根的定义，熟练掌握立方根，算术平方根，平方根的定义是解题的关键． 4. 如图，下列说法不正确的是（ ） A. 与是对顶角 B. 与是同位角 C. 与是内错角 D. 与是同旁内角 【答案】B 【解析】 【分析】根据同位角、内错角、同旁内角、对顶角的定义，逐一判断即可． 【详解】解：A、与是对顶角，故该选项正确，不符合题意； B、与不是同位角，故该选项错误，符合题意； C、与是内错角，故该选项正确，不符合题意； D、与是同旁内角，故该选项正确，不符合题意． 5. 点P是直线l外一点，A、B、C为直线l上的三点，，，，则点P到直线l的距离（ ） A. B. 小于 C. 不大于 D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了垂线段最短，正确理解垂线段最短的性质是解题的关键．根据垂线段最短，分析判断． 【详解】解：∵直线外一点到直线上所有的连接线段中，垂线段最短，，，， ∴距离一定不大于， 故选：C． 6. 如图，下列给出的条件，能判断的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的判定，熟知同位角相等，两直线平行，内错角相等，两直线平行，同旁内角互补，两直线平行是解题的关键．根据平行线的判定条件逐一判断即可． 【详解】解：A、由，可以根据内错角相等，两直线平行得到，不符合题意； B、由，可以根据内错角相等，两直线平行得到，符合题意； C、由，可以根据同旁内角互补，两直线平行得到，不符合题意； D、由，可以根据内错角相等，两直线平行得到，不符合题意； 故选：B． 7. 下图是某中学的平面示意图，每个正方形格子的边长为1，如果校门所在位置的坐标为(2,4)，小明所在位置的坐标为(－6，－1)，那么坐标(3，－2)在示意图中表示的是(　　) A. 图书馆 B. 教学楼 C. 实验楼 D. 食堂 【答案】A 【解析】 【分析】根据小明的坐标向右平移6个单位，再向上平移1个单位，可得原点，根据平面直角坐标系中点的坐标，可得答案． 【详解】由小明的坐标向右平移6个单位，再向上平移1个单位，得： 坐标（3，﹣2）在示意图中表示的是图书馆． 故选A． 【点睛】本题考查了坐标确定位置，利用小明的坐标平移得出原点的位置是解题的关键． 8. 对于整数，定义为不大于的最大整数，例如：，，．对72进行如下操作：，即对72进行3次操作后变为1，对整数进行3次操作后变为2，则的最大值为（ ） A. 80 B. 6400 C. 6561 D. 6560 【答案】D 【解析】 【分析】本题本题考查了估算无理数的大小，的定义，熟知估算无理数大小的方法是解决此题的关键．由的定义为不大于的最大整数，6560进行3次操作后变为2，6561进行3次操作后变为3，据此可得出m的最大值． 【详解】解：∵，，， ∴对6560只需进行3次操作后变为2， ∵，，， ∴只需进行3次操作后变为2的所有正整数中，最大的是6560， ∴m的最大值为6560． 故选：D． 二、填空题（共24分，每题3分） 9. 若是关于和的二元一次方程的解，则的值等于______． 【答案】3 【解析】 【分析】将x和y的代入二元一次方程可得关于a的一元一次方程，解方程即可求解. 【详解】解：将代入可得： ， 解得a=3. 故答案为：3. 【点睛】本题主要考查二元一次方程解的定义，解决本题的关键是要将二元一次方程组的解代入方程进行求解. 10. 已知为实数，则点一定在第______象限． 【答案】一 【解析】 【分析】根据平面直角坐标系中各象限内点的坐标特征，判断点横纵坐标的符号，即可确定点所在象限． 【详解】解：∵为实数， ∴， ∴， 又∵点的纵坐标， ∴点的横纵坐标均为正数， ∴点一定在第一象限． 11. 将“相等的角是对顶角”写成如果……那么……的形式：______________________________，它是一个____命题（填真或假）． 【答案】 ①. 如果两个角相等，那么这两个角是对顶角 ②. 假 【解析】 【分析】把条件与结论区分即可写成如果……那么……的形式，再根据命题的真假判断即可； 【详解】将“相等的角是对顶角”写成如果……那么……的形式：如果两个角相等，那么这两个角是对顶角； 这是一个假命题； 故答案是：如果两个角相等，那么这两个角是对顶角；假． 【点睛】本题主要考查了命题与定理，准确判断分析是解题的关键． 12. 若 则 _______________． 【答案】 【解析】 【分析】当被开方数的小数点每向右（或向左）移动2位，它的算术平方根的小数点就相应的向右（或向左）移动1位，据此解答即可． 【详解】解：∵，且， ∴． 13. 如图，将周长为的三角形沿边方向向右平移得到三角形，则四边形的周长为_____． 【答案】12 【解析】 【分析】本题考查的是平移的性质，熟知把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同；新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行且相等是解题的关键．先根据图形平移的性质得出，，进而可得出结论． 【详解】解：∵三角形沿边方向向右平移得到三角形， ∴，， ∴，， ∴的周长是， ∴， ∴四边形的周长． 故答案为：12． 14. 按如图所示的程序计算，若开始输入的x的值是64，则输出的y的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题中所给的运算程序，依次计算立方根和算术平方根，并判断结果是否为无理数，直到满足输出条件为止． 【详解】解：由题可得：的立方根为，是有理数，继续运算；  的算术平方根为，是有理数，返回取立方根；  的立方根为，是无理数，输出； 则输出的的值为． 15. 光的逆向反射又称再归反射，自行车的尾部通常会安装一种塑料制成的反光镜．夜间骑车时，在车灯照射下，能把光线按原来方向返回，其原理如图所示，若，则的度数为________． 【答案】 【解析】 【分析】由光的反射定律得，，由平角定义求出，由平行线的性质推出，求出，即可得到 的度数． 【详解】解：如图，由光的反射定律得：，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 16. “3·28活动”是北京中学大地课程的重要组成部分，学校为每个班级提供2000元活动经费，需要同学们自主规划一次户外活动．初一某班级计划参观奥林匹克森林公园（免门票），在租车和为每名同学购买一份保险的情况下，需要购买一些纪念品作为活动奖励，所需费用如下表： 租车费用（辆） 个人保险（人） 纪念品套装（套） （包含一个冰箱贴和一个徽章） 纪念品徽章（个） 纪念品冰箱贴（个） 1500元 5元 30元 16元 20元 （1）已知这个班级共有学生42人，在所需费用不超过活动经费的基础上，本次活动最多能够买______个纪念品（纪念品套装算两个纪念品）； （2）如果该班级想同时买到纪念品套装、纪念品徽章及纪念品冰箱贴，并且刚好把活动经费用完，则一共有______种购买方案． 【答案】 ①. 19 ②. 6 【解析】 【分析】(1)先计算租车和保险的固定费用，得到可购买纪念品的剩余费用，要得到最多纪念品数量，需优先购买平均单价最低的纪念品套装，再计算剩余费用可购买的单个纪念品数量，得到总个数； (2)设出三种纪念品的购买数量，根据总费用列出方程，结合三个数量均为正整数的条件，分类讨论得到所有符合条件的购买方案数量． 【详解】（1）计算固定支出：租车费用为1500元，42名学生的保险费用为元，总固定支出为：元。 可用于购买纪念品的费用为：元． 纪念品套装平均单价为元，低于徽章的16元和冰箱贴的20元，因此要得到最多纪念品个数，应尽可能多买套装． 设购买套套装，则，得的最大整数值为9，此时花费元，剩余费用元，可再购买1个单个纪念品． 总纪念品个数为； （2）设购买套装套，徽章个，冰箱贴个，由题意可知，，均为正整数，总费用满足：． 两边同除以2得：， 由奇偶性可知为奇数，因此为奇数，又，得，因此的可能取值为1，3，5，7，9，分类讨论： 当时，方程化简为，正整数解为，，共3组解； 当时，方程化简为，正整数解为，共2组解； 当时，方程化简为，正整数解为共1组解； 当时，方程化简为，无符合条件的正整数解； 当时，剩余费用不足以同时购买至少1个徽章和1个冰箱贴，无符合条件的解； 总符合条件的方案数为． 三、解答题（共52分，17题5分，18题4分，19-24题，每题各5分，25题7分，28题6分） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【详解】解： ． 18. 解方程组：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是解二元一次方程组，解题的关键是掌握加减消元法求解．根据加减消元法解二元一次方程组即可． 【详解】解： 得，，解得，． 将代入①得． 方程组的解是 19. 如图，，．试确定直线a与直线c的位置关系，并说明理由． （1）问题的结论：a_______c； （2）理由如下： 因为 所以（ ） 因为 所以_______（ ） 所以a_______c（ ）． 【答案】（1） （2）内错角相等，两直线平行；；同旁内角互补，两直线平行；；平行于同一直线的两直线平行． 【解析】 【小问1详解】 解：问题的结论是： 【小问2详解】 解：因为 所以（内错角相等，两直线平行） 因为 所以（同旁内角互补，两直线平行） 所以（平行于同一直线的两直线平行） 20. 如图，在平面直角坐标系中，三角形的顶点都在正方形网格的格点上，其中点C的坐标为，点A的坐标为． （1）将三角形先向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到三角形，请画出平移后的图形，并分别写出三角形的三个顶点的坐标； （2）求三角形的面积． 【答案】（1）图见解析， （2）的面积5 【解析】 【分析】（1）结合平移的性质，画出，再读取点的坐标，即可作答； （2）运用割补法进行列式计算，即可作答． 【小问1详解】 解：如图所示， ∴； 【小问2详解】 解：由图可得， ． 21. 如图，直线和相交于点O，平分，，若，求的度数． 【答案】的度数为 【解析】 【分析】根据得，进而结合角平分线的定义可得，再根据对顶角相等可得，进而计算即可． 【详解】解：∵， ∴， 又∵，且平分， ∴， ∴， ∴． 22. 《数学启蒙》是我国古代的数学著作，其中有一道题：“今有罗七尺，绫九尺，其价适等，只云绫尺价不及罗尺价三十六文．问：二色尺价各几何?”意思是：7尺罗类丝绸和9尺绫类丝绸的价格相同，每尺绫类丝绸的价格比罗类丝绸少36文，问这两类丝绸每尺的价格各是多少文? 【答案】罗类丝绸每尺162文，绫类丝绸每尺126文 【解析】 【分析】设罗类丝绸每尺的价格为文，绫类丝绸每尺的价格为文，根据题意列出二元一次方程组求解即可． 【详解】解：设罗类丝绸每尺的价格为文，绫类丝绸每尺的价格为文 ， 根据题意可得方程组 ， 解得，  答：罗类丝绸每尺162文，绫类丝绸每尺126文． 23. 阅读材料：学习了平行线后，小明想出了过已知直线外一点画这条直线的平行线的新方法，他是通过折一张半透明的纸得到的（如图中的（1）（4）所示，虚线部分表示折痕）． （1）从图中可知，小明得出的依据是_______； （2）联系拓展：将正方形纸片按以上图方式折叠，标记字母如图，若，求的度数．小明经过思考，想到过正方形的顶点E作．请你根据小明的想法作出辅助线，并解答． 【答案】（1）内错角相等，两直线平行（答案不唯一） （2）的度数为，图见解析 【解析】 【分析】（1）根据折叠可得，、，再根据平行线的判定求解即可； （2）先根据题意作出图形，再根据平行线的性质求解即可． 【小问1详解】 解：如下图： 由题意知，第一次折叠后，得到的折痕与直线之间的位置关系是； 第二次折叠，得到的折痕与第一次折痕之间的位置关系是； ， ， ， 小明得出的依据是内错角相等，两直线平行； 【小问2详解】 解：如图，过点作， 由（1）可知，， ， ， ， ， ． 24. 【综合与实践】如图1，把两个边长为的小正方形分别沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼在一起，就可以得到一个面积为的大正方形，试根据这个研究方法回答下列问题： （1）所得到的面积为的大正方形的边就是原先边长为的小正方形的对角线长，因此，可得小正方形的对角线长为___________； （2）由此，我们得到了一种方法，能在数轴上画出无理数所对应的点，则图2中，两点表示的数为___________； （3）通过动手操作，小张同学把长为5，宽为1的长方形进行裁剪，拼成如图3所示的一个正方形．请用（2）中相同的方法在数轴上找到表示的点．（作图过程中标出必要线段长） 【答案】（1） （2）， （3）作图见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了实数与数轴，实数与数轴是一一对应的，正确理解算术平方根的定义、实数与数轴的关系及正确进行实数运算是解题关键． （1）直接利用算术平方根的定义解答； （2）先表示出线段的长度，再通过计算得出点所表示的数； （3）先确定长为的线段表示方法，再在数轴上找表示的点． 【小问1详解】 ∵面积为的大正方形的边就是原先边长为的小正方形的对角线长， ∴小正方形的对角线长等于大正方形的面积的算术平方根，即， 故答案为：； 【小问2详解】 如图，设数轴原点为，数1表示的点为， ∵图中小正方形对角线长为， ∴， ∴，， ∴，两点表示的数分别为和， 故答案为：，； 【小问3详解】 根据图3作法，可得利用图3拼成的大正方形面积为5， 则大正方形边长为， 即图3裁出的长方形的对角线长为， 则可利用如下图所示作图： 其中，，， ∴， ∴点表示的数为． 25. 直线，，两两相交，，过点A的直线与平行，点D是直线上一点（不与点A重合），过点D作交于点E，和的平分线所在直线相交于点P（点P不与点B，D重合）． （1）如图1所示： ①依题意补全图形； ②试探究，，之间的数量关系，并说明理由； （2）请直接写出的度数______． 【答案】（1）①见解析， （2）或或或 【解析】 【分析】（1）①依据题意即可作图；②过点向左作，根据平行线的性质以及角平分线的意义求解即可； （2）分四种情况讨论，点在点左侧，且点在内；点在点左侧，且点在外；点在点右侧，且点在内；当点在点右侧，且点在外，然后过点作的平行线，根据平行线的性质求解即可． 【小问1详解】 解：①补全图形如图： ②，理由如下： 过点向左作， ∵分别平分 ∴， ∵ ∴ ∴， ∴， 即； 【小问2详解】 解：①点在点左侧，且点在内时，如图： ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴， 由（1）知， ； ②点在点左侧，且点在外时，如图： 过点作直线 ∵ ∴ ∴， ∴， ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴， ∴； ③点在点右侧，且点在内时，如图： 过点作直线 ∵ ∴ ∴， ∴， ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴， ∴ ∴； ④当点在点右侧，且点在外时，如图： 过点作直线 ∵ ∴ ∴， ∴， ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴， ∴ ∴， 综上：的度数为或或或． 26. 根据以下思考，探索完成任务． 曼哈顿距离的思考 问题背景 很多城市街道交织成格，行人和车辆沿网格线行走，城市街道的抽象含义是直角坐标系内平行于两条数轴的条条直线．十九世纪数学家赫尔曼·闵可夫斯基提出：定义城市内街道上两点，之间的距离为，称为曼哈顿距离（简称为曼距）． 根据题意，完成下列问题： （1）任务1：点与点之间的曼距_________； （2）任务2：【探求消防站位置】在城市里有一个社区，其中的相邻道路恰可以近似地用过直角坐标系内格点的平行线表示．该社区内有多个火警高危点，为了消防安全，拟在某个格点位置（横纵坐标均为整数）设立消防站D，点D的坐标为．若火警高危点，且点D与点C的曼距，则点为______（写出1个即可）； （3）任务3：【寻找最短曼距】若火警高危点，则的最小值为______； （4）任务4：【拟定安全方案】若平面内任意一点M到消防站D的曼哈顿距离满足，则称点M在消防站D的责任区域内．如图所示，若点，，现计划在街道开展文明城市展示活动，要求街道完全包含（包括端点）在消防站D的责任区域内，则n的取值范围是______． 【答案】（1） （2）（答案不唯一） （3） （4） 【解析】 【分析】（1）由曼距的定义可得：； （2）分类讨论得出当或时，，只有当时，，即可找到符合题意的点D的坐标； （3）分类讨论得出当或时，；当时，，即可得出最小值为； （4）取中点，过点作垂足为点，要使街道完全包含（包括端点）在消防站D的责任区域内，只要找到线段上曼距最远的点，使其曼距即可，当垂足在中点左侧时，此时线段上曼距最远的点为点；当垂足在中点右侧或与中点重合时，此时线段上曼距最远的点为点，利用或即可求出n的取值范围． 【小问1详解】 解：∵点，点， ∴由曼距的定义可得：． 【小问2详解】 解：∵点D的坐标为，点， ∴， ∵， ∴当时，，，即当时，不可能为，不符合题意； 当时，，，即当时，，符合题意； 当时，，，即当时，也不可能为，不符合题意； 综上：当符合题意， ∴当时，点D的坐标为（答案不唯一）． 【小问3详解】 解：∵点D的坐标为，点， ∴， ∴当时，，，； 当时，，，； 当时，，，； 综上：当时，有最小值为． 【小问4详解】 解：取中点，过点作垂足为点， ∵点，，纵坐标都为， ∴直线上所有点的纵坐标都为， ∵，D的坐标为， ∴， ∵点，， ∴， ∵要使街道完全包含（包括端点）在消防站D的责任区域内， ∴只要找到线段上曼距最远的点，使其曼距即可， ①当垂足在中点左侧时，即，解得：， ∵， ∴此时点一定在线段的下方， 此时线段上曼距最远的点为点，如图所示： ∴， ∵， ∴， ∴此时街道没有完全包含（包括端点）在消防站D的责任区域内，不符合题意； ②当垂足在中点右侧或与中点重合时，即，解得：， 此时线段上曼距最远的点为点，如图所示： ∴， 此时点有可能在线段下方，也有可能在线段上方， 当时，即点在线段下方时， ∴， ∴此时街道完全包含（包括端点）在消防站D的责任区域内，符合题意； 当时，即点在线段上方时， ∴， ∴此时街道没有完全包含（包括端点）在消防站D的责任区域内，不符合题意； 综上：可使街道完全包含（包括端点）在消防站D的责任区域内． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初一年级数学学科期中调研试卷 满分100分，考试时间90分钟 考生须知 1．本试卷共6页，满分100分，考试时间90分钟． 2．在试卷和答题卡上准确填写学校、班级、姓名、座位号． 3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效． 4．在答题卡上，选择题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答． 5．考试结束，请将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（共24分，每题3分） 1. 在3.14，，，，1.14114111411114．．．（后面依次多个1）中，无理数的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 2. 如图，用三角尺经过直线l外一点A画这条直线的垂线，这样的垂线我们只能画出一条．这里面蕴含的数学原理是（ ） A. 垂线段最短 B. 两点之间线段最短 C. 平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 D. 过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行 3. 下列说法中，正确的是（ ） A. 的立方根是 B. 平方根等于它本身的数是和 C. 的绝对值是 D. 4. 如图，下列说法不正确的是（ ） A. 与是对顶角 B. 与是同位角 C. 与是内错角 D. 与是同旁内角 5. 点P是直线l外一点，A、B、C为直线l上的三点，，，，则点P到直线l的距离（ ） A. B. 小于 C. 不大于 D. 6. 如图，下列给出的条件，能判断的是（ ） A. B. C. D. 7. 下图是某中学的平面示意图，每个正方形格子的边长为1，如果校门所在位置的坐标为(2,4)，小明所在位置的坐标为(－6，－1)，那么坐标(3，－2)在示意图中表示的是(　　) A. 图书馆 B. 教学楼 C. 实验楼 D. 食堂 8. 对于整数，定义为不大于的最大整数，例如：，，．对72进行如下操作：，即对72进行3次操作后变为1，对整数进行3次操作后变为2，则的最大值为（ ） A. 80 B. 6400 C. 6561 D. 6560 二、填空题（共24分，每题3分） 9. 若是关于和的二元一次方程的解，则的值等于______． 10. 已知为实数，则点一定在第______象限． 11. 将“相等的角是对顶角”写成如果……那么……的形式：______________________________，它是一个____命题（填真或假）． 12. 若 则 _______________． 13. 如图，将周长为的三角形沿边方向向右平移得到三角形，则四边形的周长为_____． 14. 按如图所示的程序计算，若开始输入的x的值是64，则输出的y的值是______． 15. 光的逆向反射又称再归反射，自行车的尾部通常会安装一种塑料制成的反光镜．夜间骑车时，在车灯照射下，能把光线按原来方向返回，其原理如图所示，若，则的度数为________． 16. “3·28活动”是北京中学大地课程的重要组成部分，学校为每个班级提供2000元活动经费，需要同学们自主规划一次户外活动．初一某班级计划参观奥林匹克森林公园（免门票），在租车和为每名同学购买一份保险的情况下，需要购买一些纪念品作为活动奖励，所需费用如下表： 租车费用（辆） 个人保险（人） 纪念品套装（套） （包含一个冰箱贴和一个徽章） 纪念品徽章（个） 纪念品冰箱贴（个） 1500元 5元 30元 16元 20元 （1）已知这个班级共有学生42人，在所需费用不超过活动经费的基础上，本次活动最多能够买______个纪念品（纪念品套装算两个纪念品）； （2）如果该班级想同时买到纪念品套装、纪念品徽章及纪念品冰箱贴，并且刚好把活动经费用完，则一共有______种购买方案． 三、解答题（共52分，17题5分，18题4分，19-24题，每题各5分，25题7分，28题6分） 17. 计算：． 18. 解方程组：． 19. 如图，，．试确定直线a与直线c的位置关系，并说明理由． （1）问题的结论：a_______c； （2）理由如下： 因为 所以（ ） 因为 所以_______（ ） 所以a_______c（ ）． 20. 如图，在平面直角坐标系中，三角形的顶点都在正方形网格的格点上，其中点C的坐标为，点A的坐标为． （1）将三角形先向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到三角形，请画出平移后的图形，并分别写出三角形的三个顶点的坐标； （2）求三角形的面积． 21. 如图，直线和相交于点O，平分，，若，求的度数． 22. 《数学启蒙》是我国古代的数学著作，其中有一道题：“今有罗七尺，绫九尺，其价适等，只云绫尺价不及罗尺价三十六文．问：二色尺价各几何?”意思是：7尺罗类丝绸和9尺绫类丝绸的价格相同，每尺绫类丝绸的价格比罗类丝绸少36文，问这两类丝绸每尺的价格各是多少文? 23. 阅读材料：学习了平行线后，小明想出了过已知直线外一点画这条直线的平行线的新方法，他是通过折一张半透明的纸得到的（如图中的（1）（4）所示，虚线部分表示折痕）． （1）从图中可知，小明得出的依据是_______； （2）联系拓展：将正方形纸片按以上图方式折叠，标记字母如图，若，求的度数．小明经过思考，想到过正方形的顶点E作．请你根据小明的想法作出辅助线，并解答． 24. 【综合与实践】如图1，把两个边长为的小正方形分别沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼在一起，就可以得到一个面积为的大正方形，试根据这个研究方法回答下列问题： （1）所得到的面积为的大正方形的边就是原先边长为的小正方形的对角线长，因此，可得小正方形的对角线长为___________； （2）由此，我们得到了一种方法，能在数轴上画出无理数所对应的点，则图2中，两点表示的数为___________； （3）通过动手操作，小张同学把长为5，宽为1的长方形进行裁剪，拼成如图3所示的一个正方形．请用（2）中相同的方法在数轴上找到表示的点．（作图过程中标出必要线段长） 25. 直线，，两两相交，，过点A的直线与平行，点D是直线上一点（不与点A重合），过点D作交于点E，和的平分线所在直线相交于点P（点P不与点B，D重合）． （1）如图1所示： ①依题意补全图形； ②试探究，，之间的数量关系，并说明理由； （2）请直接写出的度数______． 26. 根据以下思考，探索完成任务． 曼哈顿距离的思考 问题背景 很多城市街道交织成格，行人和车辆沿网格线行走，城市街道的抽象含义是直角坐标系内平行于两条数轴的条条直线．十九世纪数学家赫尔曼·闵可夫斯基提出：定义城市内街道上两点，之间的距离为，称为曼哈顿距离（简称为曼距）． 根据题意，完成下列问题： （1）任务1：点与点之间的曼距_________； （2）任务2：【探求消防站位置】在城市里有一个社区，其中的相邻道路恰可以近似地用过直角坐标系内格点的平行线表示．该社区内有多个火警高危点，为了消防安全，拟在某个格点位置（横纵坐标均为整数）设立消防站D，点D的坐标为．若火警高危点，且点D与点C的曼距，则点为______（写出1个即可）； （3）任务3：【寻找最短曼距】若火警高危点，则的最小值为______； （4）任务4：【拟定安全方案】若平面内任意一点M到消防站D的曼哈顿距离满足，则称点M在消防站D的责任区域内．如图所示，若点，，现计划在街道开展文明城市展示活动，要求街道完全包含（包括端点）在消防站D的责任区域内，则n的取值范围是______． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $