14.4.2用样本估计总体的离散程度参数同步课时练-2025-2026学年高一下学期数学苏教版必修第二册

**基本信息** 以“基础-能力-拓展”三级分层设计，聚焦离散程度参数（方差、标准差），从概念辨析到实际应用，培养数据观念与运算推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A级|方差/标准差概念、简单计算、数据变换影响|选择/填空为主，如第1题概念辨析、第6题数据缩放方差计算，夯实基础| |B级|实际应用、综合计算、新高考题型|含多选题（第13题）、应用题（第16题样本数据最大值），提升数据分析与推理能力| |C级|复杂情境数据处理|如第19题结合数据丢失与区间估计，培养探究与创新意识|

14.4.2　用样本估计总体的离散程度参数 A级 基础达标练 1.下列说法正确的是(　　) A.在两组数据中,平均数较大的一组方差较大 B.平均数反映数据的集中趋势,方差则反映数据离平均数的波动大小 C.方差的求法是求出各个数据与平均数的差的平方后再求和 D.在记录两个人射击环数的两组数据中,方差大的表示射击水平高 2.某公司为加强员工新冠肺炎防控意识,组织防控知识问卷测试,共30道题.已知甲、乙、丙、丁、戊五位员工在这次测试中答对的题数分别是28,30,25,28,29,则这五位员工答对题数的方差是(　　) A.3 B. C. D.4 3.如图所示是小王与小张二人参加某射击比赛的预赛的五次测试成绩的折线图,设小王与小张成绩的样本平均数分别为,方差分别为,则(　　) A. B. C. D. 4.对一组样本数据xi(i=1,2,…,n),若将它们改为xi-m(i=1,2,…,n),其中m≠0,则下列结论正确的是(　　) A.平均数与方差都不变 B.平均数与方差都变了 C.平均数不变,方差变了 D.平均数变了,方差不变 5.某校甲、乙两个班级各有5名编号为1,2,3,4,5的学生进行投篮练习,每人投10次,投中的次数如下表: 学生 1号 2号 3号 4号 5号 甲班 6 7 7 8 7 乙班 6 7 6 7 9 以上甲、乙两个班级数据的方差中较小的一个班级数据的s2=　　　　.  6.某工厂为了解产品的生产情况,随机抽取了50个样本,若样本数据x1,x2,…,x50的方差为8,则数据3x1-1,3x2-1,…,3x50-1的方差为　　　　.  7.样本容量为10的一组数据,它们的平均数是5,频率条形图如图,则其标准差为　　　　.  8.把某校三年级一班40人随机平均分成两组,两组学生一次考试的成绩情况如下表: 　　统计量 组别　　　 平均成绩 标准差 第一组 90 6 第二组 80 4 求全班学生的平均成绩和标准差. B级 能力提升练 9.为评估一种农作物的种植效果,选了n块地作试验田.这n块地的亩产量(单位:kg)分别是x1,x2,…,xn,下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是(　　) A.x1,x2,…,xn的平均值 B.x1,x2,…,xn的标准差 C.x1,x2,…,xn的最大值 D.x1,x2,…,xn的中位数 10.已知一组数据x1,x2,x3,…,x10的标准差为2,将这组数据x1,x2,x3,…,x10中的每个数先同时减去2,再同时乘3,得到一组新数据,则这组新数据的标准差为(　　) A.2 B.4 C.6 D.3 11.某公司10位员工的月工资(单位:元)为x1,x2,…,x10,其平均数和方差分别为和s2,若从下月起每位员工的月工资增加100元,则这10位员工下月工资的平均数和方差分别为(　　) A.,s2+1002 B.+100,s2+1002 C.,s2 D.+100,s2 12.某市有15个旅游景点,经计算,黄金周期间各个景点的旅游人数平均为20万,标准差为s;后来经核实,发现甲、乙两处景点统计的人数有误,甲景点实际为20万,被误统计为15万,乙景点实际为18万,被误统计成23万;更正后重新计算,得到标准差为s1,则s与s1的大小关系为(　　) A.s=s1 B.s<s1 C.s>s1 D.不能确定 13.(多选题)(2025新高考Ⅰ)有一组样本数据x1,x2,…,x6,其中x1是最小值,x6是最大值,则(　　) A.x2,x3,x4,x5的平均数等于x1,x2,…,x6的平均数 B.x2,x3,x4,x5的中位数等于x1,x2,…,x6的中位数 C.x2,x3,x4,x5的标准差不小于x1,x2,…,x6的标准差 D.x2,x3,x4,x5的极差不大于x1,x2,…,x6的极差 14.某创业公司共有36名职工,为了了解该公司职工的年龄构成情况,随机采访了9位职工,得到的数据分别为36,36,37,37,40,43,43,44,44.若用样本估计总体,则公司中年龄在(-s,+s)内的人数占总人数的百分比是(其中是平均数,s为标准差,结果精确到1%)(　　) A.14% B.25% C.56% D.67% 15.一组数据由10个数组成,将其中一个数由6改为3,另一个数由2改为5,其余的数不变,得到新的10个数,则新的一组数的方差相比原先一组数的方差的减小值为　　　　.  16.为了考察某校各班参加课外书法小组的人数,从全校随机抽取5个班级,把每个班级参加该小组的人数作为样本数据.已知样本平均数为7,样本方差为4,且样本数据互不相同,则样本数据中的最大值为　　　　.  17.由正整数组成的一组数据x1,x2,x3,x4,其平均数和中位数都是2,且标准差等于1,则这组数据为　　　　.(从小到大排列)  18.某校医务室随机抽查了高一10名男同学的体重(单位:kg)如下: 74,71,72,68,76,73,67,70,65,74. (1)估计高一所有男同学体重数据的平均数、中位数、方差、标准差. (2)在高一10名男同学的体重数据中,位于[-s,+s]内的有几个?所占的百分比是多少? C级 拓展探究练 19.(2025苏州期中)在去年高考体检中,某校随机选取了20名男生,测得其身高(单位:cm)如下表. 序号 1 2 3 4 5 6 7 身高 168 167 165 186 a b c 序号 8 9 10 11 12 13 14 身高 d 178 158 166 178 175 169 序号 15 16 17 18 19 20 / 身高 172 177 182 169 168 176 / 由于统计时出现了失误,导致5,6,7,8号的身高数据丢失,先用字母a,b,c,d表示,但是已知这4人的身高都在区间(160,180)内(单位: cm),且这20组身高数据的平均数=172,标准差s=7. (1)为了更好地研究本校男生的身高数据,决定用这20个数据中在区间(-2s,+2s)内的数据,重新计算其平均数与方差,据此估计,高校男生身高的平均值与方差分别为多少(方差结果保留2位小数)? (2)说明区间(-2s,+2s)内的数据与原数据对比,有什么特点(主要用平均数与方差进行说明)? 参考公式:s2=(xi-)2=-n) 参考答案 1.B　A中平均数和方差是数据的两个特征,不存在这种关系;C中求和后还需取平均数;D中方差越大,射击越不平稳,水平越低.故选B. 2.B　五位员工在这次测试中答对的题数分别是28,30,25,28,29,所以该组数据的平均数为×(28+30+25+28+29)=28,则方差s2=×[(28-28)2+(30-28)2+(25-28)2+(28-28)2+(29-28)2]=.故选B. 3.C　由题图可知,实线中的数据都大于或等于虚线中的数据,所以小王成绩的平均数大于小张成绩的平均数,,显然实线中的数据波动较大,所以小王成绩的方差大于小张成绩的方差,即.故选C. 4.D　若x1,x2,…,xn的平均数为,方差为s2,则x1+b,x2+b,…,xn+b的平均数为+b,方差为s2,故选D. 5.　由题意知×(6+7+7+8+7)=7, ×(6+7+6+7+9)=7, ×[(6-7)2+…+(7-7)2]=, ×[(6-7)2+…+(9-7)2]=. ∵,∴较小的一个s2=. 6.72　因为样本数据x1,x2,…,x50的方差为8,所以数据3x1-1,3x2-1,…,3x50-1的方差为32×8=72.故答案为72. 7.　由条形图知这10个数分别为2,2,2,2,5,5,8,8,8,8.∵=5, ∴s2=×[(2-5)2+(2-5)2+(2-5)2+(2-5)2+(5-5)2+(5-5)2+(8-5)2+(8-5)2+(8-5)2+(8-5)2]=×72=,∴s=. 8.解 设第一组20名学生的成绩为xi(i=1,2,…,20), 第二组20名学生的成绩为yi(i=1,2,…,20), 依题意得(x1+x2+…+x20)=90, (y1+y2+…+y20)=80, 故全班平均成绩为 (x1+x2+…+x20+y1+y2+…+y20) =(90×20+80×20)=85. 又设第一组学生成绩的标准差为s1,第二组学生成绩的标准差为s2,则 +…+-20), +…+-20). 再设全班40名学生的标准差为s,平均成绩为z(z=85),故有s2=+…++…+-40z2) =(20+20+20+20-40z2) =(62+42+902+802-2×852)=51. 即s=. 所以全班学生的平均成绩为85分,标准差为. 9.B　在A中,平均数是表示一组数据集中趋势的量,它是反映数据集中趋势的一项指标,故A不可以用来评估这种农作物亩产量的稳定程度;在B中,标准差能反映一组数据的离散程度,故B可以用来评估这种农作物亩产量的稳定程度;在C中,最大值是一组数据中最大的量,故C不可以用来评估这种农作物亩产量的稳定程度;在D中,中位数将数据分成前半部分和后半部分,用来代表一组数据的“中等水平”,故D不可以用来评估这种农作物亩产量的稳定程度.故选B. 10.C　因为数据x1,x2,x3,…,x10的标准差为2,所以方差为4. 由题意知,得到的新数据为3x1-6,3x2-6,3x3-6,…,3x10-6, 所以这组新数据的方差为4×32=36,标准差为6.故选C. 11.D　方法一　因为每个数据都加上100,所以平均数也增加100,而离散程度应保持不变,即方差不变. 方法二　由题意知x1+x2+…+x10=10, s2=[(x1-)2+(x2-)2+…+(x10-)2], 则所求平均数[(x1+100)+(x2+100)+…+(x10+100)]=(10+10×100)=+100, 所求方差为[(x1+100-)2+(x2+100-)2+…+(x10+100-)2]=[(x1-)2+(x2-)2+…+(x10-)2]=s2. 12.C　由已知,两次统计所得的旅游人数总数没有变,即两次统计的各景点旅游人数的平均数是相同的,设为,则s= , s1=, 若比较s与s1的大小,则只需比较(15-)2+(23-)2与(20-)2+(18-)2的大小即可,而(15-)2+(23-)2=754-76+2,(20-)2+(18-)2=724-76+2, 所以(15-)2+(23-)2>(20-)2+(18-)2,从而s>s1. 13.BD　对于选项A,设x2,x3,x4,x5的平均数为m,x1,x2,…,x6的平均数为n,则n-m=, 结果不一定为0,故A错误; 对于选项B,不妨设x1≤x2≤x3≤x4≤x5≤x6, 所以x2,x3,x4,x5的中位数等于x1,x2,…,x6的中位数,均为,故B正确; 对于选项C,因为x1是最小值,x6是最大值, 则x2,x3,x4,x5的波动性不大于x1,x2,…,x6的波动性,即x2,x3,x4,x5的标准差不大于x1,x2,…,x6的标准差,故C错误; 对于选项D,不妨设x1≤x2≤x3≤x4≤x5≤x6, 则x6-x1≥x5-x2,当且仅当x1=x2,x5=x6时,等号成立,故D正确. 故选BD. 14.C　因为=40, s2=(16+16+9+9+0+9+9+16+16)=,即s=, 所以年龄在内的人数为5,所以年龄在内的人数占公司总人数的百分比约为56%.故选C. 15.0.6　一个数由6改为3,另一个数由2改为5,故该数据的平均数不变, 设没有改变的八个数分别为x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7,x8, 则原数据的方差为[(x1-)2+(x2-)2+(x3-)2+(x4-)2+(x5-)2+(x6-)2+(x7-)2+(x8-)2+(6-)2+(2-)2],新数据的方差为[(x1-)2+(x2-)2+(x3-)2+(x4-)2+(x5-)2+(x6-)2+(x7-)2+(x8-)2+(3-)2+(5-)2],所以[(3-)2+(5-)2-(6-)2-(2-)2]=×(-6)=-0.6, 所以新的一组数的方差相比原先一组数的方差的减少值为0.6.故答案为0.6. 16.10　设5个班级中参加的人数分别为x1,x2,x3,x4,x5,则由题意知=7,(x1-7)2+(x2-7)2+(x3-7)2+(x4-7)2+(x5-7)2=20, 五个整数的平方和为20,则必为0+1+1+9+9=20, 由|x-7|=3可得x=10或x=4. 由|x-7|=1可得x=8或x=6. 由上可知参加的人数分别为4,6,7,8,10, 故最大值为10. 17.1,1,3,3　假设这组数据按从小到大的顺序排列为x1,x2,x3,x4,则 又s= = ==1, ∴(x1-2)2+(x2-2)2=2. 同理可求得(x3-2)2+(x4-2)2=2. 由x1,x2,x3,x4均为正整数,且(x1,x2),(x3,x4)均为方程(x-2)2+(y-2)2=2的解,分析知x1,x2,x3,x4应为1,1,3,3. 18.解 (1)这10名男同学的体重数据的平均数×(74+71+72+68+76+73+67+70+65+74)=71. 将这10名男同学的体重数据按从小到大重新排列,得65,67,68,70,71,72,73,74,74,76,位于中间的两个数是71,72, 所以这10名男同学的体重数据的中位数为=71.5, 这10名男同学的体重数据的方差s2=×[(74-71)2+(71-71)2+(72-71)2+(68-71)2+(76-71)2+(73-71)2+(67-71)2+(70-71)2+(65-71)2+(74-71)2]=11, 标准差s=. (2)因为[-s,+s]=[71-,71+], 所以在数据74,71,72,68,76,73,67,70,65,74中,有7个数据位于区间[71-,71+]内,所占的百分比为70%. 19.解 (1)由条件可得区间(-2s,+2s)=(158,186), 在区间外的数据有158和186,剔除后,剩余18个数据,其平均数为 (172×20-158-186)=172, 方差为(s')2=[s2×20-(158-172)2-(186-172)2] =(72×20-1582-1862+1722×2)=≈32.67. (2)在区间(-2s,+2s)以内的数据与原数据对比,有以下特点: ①在区间(-2s,+2s)以内的数据个数占数据的总个数的90%, 说明该校90%左右的男生身高都在区间(158,186)以内; ②在区间(-2s,+2s)以内的数据与原数据对比,平均数没变,即平均身高没有变化; ③原数据的方差为49,而在区间(-2s,+2s)以内的数据的方差约为32.67,方差变小了,说明剔除两个极端数据后,数据更趋于集中,更具有代表性. 学科网（北京）股份有限公司 $