精品解析：陕西咸阳市秦都区古愚中学2025-2026学年八年级下学期5月期中数学试题

2025~2026学年度第二学期期中检测 八年级数学（北师大版C） 注意事项：满分120分，时间120分钟． 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题目要求的） 1. x与7的和不小于10，用不等式表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：∵x与7的和表示为，“不小于”的含义是大于或等于，对应不等号为， ∴可得不等式． 2. 博物馆是展示历史、文化和艺术的重要场所，其标志设计往往蕴含着丰富的文化内涵和美学价值．下列博物馆标志中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：A、没有对称轴，不是轴对称图形，没有对称中心，不是中心对称图形，不符合题意； B、有对称轴，是轴对称图形，没有对称中心，不是中心对称图形，不符合题意； C、有对称轴，是轴对称图形，没有对称中心，不是中心对称图形，不符合题意； D、有对称轴，是轴对称图形，有对称中心，是中心对称图形，符合题意； 3. 如图，在中，、分别是线段、的垂直平分线，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，线段的垂直平分线的性质，熟练掌握线段的垂直平分线的性质是解题的关键； 根据三角形内角和定理求出，根据线段垂直平分线的性质得出，，求出，，再求出，再求出答案即可； 【详解】解：， ， ，分别是线段，的垂直平分线， ，， ，， ， ， ， 故选：B 4. 若，则下列结论一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：选项A：∵，不等式两边同乘，不等号方向改变， ∴，故A错误； 选项B：∵，不等式两边同减b，不等号方向不变， ∴，故B错误； 选项C：∵，不等式两边同除以正数3，不等号方向不变， ∴，故C一定成立； 选项D：∵，不等式两边同加m，不等号方向不变， ∴，故D错误． 5. 如图，网格中小正方形的边长均为1，和的顶点都在格点上，其中是由经过一次平移得到的，则平移距离为（ ） A. 1 B. 4 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】连接，根据平移性质，平移的距离是的长，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：连接， 由图知，， ∴平移的距离是． 6. 如图，在平面直角坐标系中，直线与直线的交点为，则关于x的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先利用直线的解析式确定点A坐标，然后结合函数特征写出不等式的解集即可． 【详解】解：把代入得， 解得， 结合图象可得：当时，． 7. 如图，在中，，，是边上的中线，平分交于点E，交于点F，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由等边对等角及三角形的内角和定理可得，由三角形角平分线的定义可得，由三线合一可得，则，由三角形外角的性质可得，由此即可求出的度数． 【详解】解：，， ， 平分， ， ，是边上的中线， ， ， ． 8. 如图，在四边形中，，，，，，则的长为（ ） A. 1.5 B. 2 C. 2.5 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】延长交于点E，证明是直角三角形，由直角三角形的性质可得，证明是等边三角形，可得，从而得到，即可求解． 【详解】解：延长交于点E， ∵， ∴是直角三角形， ∵， ∴， ∵在四边形中，，，， ∴，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴，即， ∴， ∴． 二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 9. 如图是关于x的不等式组的解集在数轴上的表示，则不等式组的解集为______． 【答案】 【解析】 【详解】解：由数轴可得不等式组的解集为. 10. 如图，已知为正六边形的一条对角线，则的度数为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据正六边形的性质可知， ，根据等边对等角计算即可． 【详解】解：正六边形， ∴， ， ∴ ． 11. 如图，在中，，将在平面内绕点A旋转到的位置，使，则的度数为______． 【答案】 【解析】 【分析】先由，利用平行线内错角相等得；再根据旋转性质得，推出为等腰三角形，结合三角形内角和求出旋转角． 【详解】解：∵， ∴， ∵绕点旋转得到， ∴对应边相等， ∴， ∴ ． 12. 如图，在中，，平分交于点D，E为边的中点，若，，则的面积为______． 【答案】3 【解析】 【分析】过点作于点，由角平分线的性质可得，由线段中点可得，再利用三角形面积公式求解即可． 【详解】解：如图，过点作于点， 平分，， ， 点E为的中点，， ， 的面积． 13. 已知关于x的方程的解是非负数，则k的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元一次方程的解的情况、解一元一次不等式，掌握解方程和解不等式的方法是解题关键．求出方程的解，根据题意得出，求出不等式的解集即可． 【详解】解：解方程，得， ∵方程的解是非负数， ∴， 解得， 故答案为：． 14. 如图，在矩形中，，，点为中点，，为边上两个动点，且，当四边形周长最小时，的长为__________． 【答案】4 【解析】 【分析】根据题意可知，为定长，四边形周长最小只要最小即可，取中点连接，在上取，连接，可推出，作点关于的对称点，连接交于点，利用三角形三边关系，可推出的长即为所求，最后利用等腰三角形的判定和性质，可得，即可得到答案． 【详解】解：四边形是矩形，，，，点为中点 为定长 四边形周长最小时，即最小 取中点连接，在上取，连接 则四边形为矩形， 四边形为平行四边形， 最小，即最小即可 作点关于的对称点，连接交于点 则， 即最小时，点位于处 的长即为所求 ， 是等腰直角三角形 故答案为：4． 【点睛】本题考查了轴对称的应用，矩形的性质，平行四边形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握以上知识点并确定四边形周长最小时，点的位置是解题的关键． 三、解答题（共12小题，计78分．解答应写出过程） 15. 解不等式： ． 【答案】 【解析】 【详解】解： ， 移项，得， 合并同类项，得， 两边都除以3，得． 16. 解不等式：． 【答案】 【解析】 【详解】解：去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 两边都除以，得． 17. 解不等式组：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，不等式组解集的原则“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”，先求出两个不等式的解集，再找出两个不等式的公共解集即可． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式①得：， ∴不等式组的解集为：． 18. 如图，已知，请用尺规作图法，在边的上方作一点D，使得平分，且．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】作图见解析 【解析】 【分析】先作的角平分线，再作线段的垂直平分线即可． 【详解】解：如图，点D即为制作， ． 19. 如图，，，于点E，于点F．求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】先证明，结合，进一步证明即可得到结论． 【详解】证明：∵， ∴． 即， ∵，， ∴和是直角三角形， ∵， ∴， ∴． 20. 如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别是，现将先向右平移m个单位长度，再向上平移n个单位长度，得到．点A，B，C的对应点分别为D，O，E． （1）请在图中画出； （2）若为内一点，则点P在内的对应点Q的坐标为                 ． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据点B的对应点为O找出平移规律，进而作图即可； （2）根据平移规律可知Q的坐标． 【小问1详解】 解：点的对应点为， ∴将先向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到， 如图，即为所求； 【小问2详解】 解：∵将先向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到， ∴点P在内的对应点Q的坐标为． 21. 在数学课外实践活动中，某小组测量一栋竖直楼房的高度（如图），其中一位同学站在点A处，测得该同学在点A处仰望楼顶D，仰角为（即），之后该同学往楼房的方向行走60米至B处，再仰望楼顶D，仰角为（即），已知点A，B，C在同一直线上．求这栋楼房的高度．（人的高度忽略不计） 【答案】这栋楼房的高度为米 【解析】 【分析】先证明，可得，再进一步得到，再结合勾股定理可得答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 由勾股定理，得， 答：这栋楼房的高度为米． 22. 如图，在中，，D是边上一点，且，过点A作于点E，过点C作于点G，与交于点H，延长交于点F． （1）若，求的度数； （2）求证：． 【答案】（1） （2）见解析 【解析】 【分析】（1）先求解，，进一步利用三角形的外角的性质可得答案； （2）证明．，结合垂直与内角和定理可得，结合，进一步证明即可． 【小问1详解】 解：∵，， ∴ ， ∵， ∴， ∵， ∴． 【小问2详解】 证明：∵，， ∴． ∵，， ∴， ∵，， ∴ ． ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴． 23. 某公司有、两种型号的客车，它们的载客量、租金如下表所示： 型号客车 型号客车 载客量/(人/辆) 租金/(元/辆) 已知某中学计划租用、两种型号的客车共辆，同时送七年级师生到生态园参加社会实践活动，该中学租车的总费用不超过元． （1）最多能租用多少辆型号客车？ （2）若七年级的师生共有人，请写出所有可行的租车方案． 【答案】（1）最多能租用辆型号客车 （2）有两种租车方案．方案一：租用型号客车辆，型号客车辆；方案二：租用型号客车辆，型号客车辆 【解析】 【分析】本题考查了不等式的应用； （1）设租用型号客车辆，则租用型号客车辆，根据总费用不超过元，列出不等式，解不等式即可求解． （2）设租用型号客车辆，则租用型号客车辆，根据师生共有人，列出不等式，解不等式即可求解． 【小问1详解】 解：设租用型号客车辆，则租用型号客车辆． 依题意，得， 解得． 又为整数， 的最大值为． 答：最多能租用辆型号客车． 【小问2详解】 依题意，得， 解得． 又为整数，且， 或． 有两种租车方案．方案一：租用型号客车辆，型号客车辆；方案二：租用型号客车辆，型号客车辆． 24. 如图，在等边中，点D是的中点，于点E，过点E作交于点F． （1）求证：是等边三角形； （2）若，求四边形的周长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查等边三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形，勾股定理等知识点，熟练掌握相关知识点，是解题的关键： （1）根据等边三角形的性质，结合平行线的性质，得到，，进而得到，即可得证； （2）根据含30度角的直角三角形的性质，等边三角形的性质，结合勾股定理把四边形的的各条边长求出来，即可得出结果． 【小问1详解】 证明：是等边三角形， ， ， ，， ， 是等边三角形． 【小问2详解】 解：是等边三角形， ． 点D是的中点， ， 于点E， ，由（1）知， ， ，． 在中，． 由（1）知，是等边三角形， ． ， 四边形的周长． 25. 陕西茯茶距今已有近千年历史．该茶茶体紧结，色泽黑褐油润，茶汤橙红透亮，滋味醇厚悠长．某茯茶特产专卖店计划采购A规格茯茶和B规格茯茶共50盒，若甲、乙两商店销售这两种规格茯茶的零售价相同，其中A规格茯茶的零售价为150元/盒，B规格茯茶的零售价为100元/盒．为促进消费，甲、乙两商店均推出不同的优惠方案： 甲店：A规格茯茶按零售价打8折销售，B规格茯茶按零售价销售； 乙店：A，B两种规格茯茶均按零售价打9折销售． 设购进A规格茯茶x盒，在甲店采购的总费用为元，在乙店采购的总费用为元．（两种规格茯茶只能从同一家商店购买） （1） ， ；（用含x的代数式表示） （2）若该专卖店至少采购A规格茯茶16盒，请你帮采购人员算一算，去哪家商店采购这两种规格的茯茶更合算？ 【答案】（1）， （2）当时，去甲、乙两家店采购的费用一样；当时，去乙店采购更合算；当时，到甲店采购更合算 【解析】 【分析】（1）根据甲店，乙店的优惠方式分别列代数式即可； （2）分， ，，再利用方程或不等式求解即可. 【小问1详解】 解：∵甲店：A规格茯茶按零售价打8折销售，B规格茯茶按零售价销售； ∴ ， ∵乙店：A，B两种规格茯茶均按零售价打9折销售， ∴ . 【小问2详解】 解：由，得，解得． 由，得，解得． 由，得，解得． 因为该专卖店至少采购A规格茯茶16盒，且计划购进A规格茯茶和B规格茯茶共50盒， 所以当时，去甲、乙两家店采购的费用一样；当时，去乙店采购更合算；当时，到甲店采购更合算． 26. 【问题提出】如图，在等边中，E是边上一动点（不与端点重合），连接． （1）如图①，若D是边上的点，且，连接交于点F，则的度数为 ； （2）如图②，若，Q是线段上的一个动点，连接，，，求的最小值； （3）【问题解决】如图③，某公园的四条通道围成了四边形，已知m，，，，道路，上分别有景点E，F，满足， ，为了游客们能更方便地游玩这两个景点，现要在E，F之间修一条笔直的道路，求道路的长． 【答案】（1） （2）的值最小为 （3）道路的长为 【解析】 【分析】（1）先证明，再利用三角形的外角的性质求解即可； （2）如图，将绕点C顺时针旋转得到，连接，，证明是等边三角形，可得，即当点B，Q，M，N共线时，的值最小，如图，连接，则是等边三角形，再进一步求解即可． （）如图，把绕点逆时针旋转至，连接，过作，垂足为，可得是等边三角形，得到，又由旋转的性质得到，可得，点在的延长线上，则可得，由勾股定理求得，进而可得，即可得，得到，，再进一步求解即可． 【小问1详解】 解：∵等边， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：如图，将绕点C顺时针旋转得到，连接，． 由旋转得，，，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 即当点B，Q，M，N共线时，的值最小，如图， 连接，则是等边三角形， ∴． ∵是等边三角形， ∴． ∴． ∴点A，C在线段的垂直平分线上，点B，N在线段的垂直平分线上，即与互相垂直平分． 设与的交点为F，则为直角三角形，，， ∴， ∴， 即的值最小为． 【小问3详解】 解：如图，将绕点A逆时针旋转至，连接，过点A作，垂足为H，则． ∵，， ∴． 又∵， ∴是等边三角形． ∴ ． 根据旋转的性质可知，，， ， ∵， ∴，即点G在的延长线上， 在中，， ∴， 由勾股定理，得． ∴． ∴． ∴． ∴． ∴ ，， ∴， ∵，， ∴， ∴． ∵， ∴ ． 即道路的长为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025~2026学年度第二学期期中检测 八年级数学（北师大版C） 注意事项：满分120分，时间120分钟． 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题目要求的） 1. x与7的和不小于10，用不等式表示为（ ） A. B. C. D. 2. 博物馆是展示历史、文化和艺术的重要场所，其标志设计往往蕴含着丰富的文化内涵和美学价值．下列博物馆标志中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，在中，、分别是线段、的垂直平分线，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 4. 若，则下列结论一定成立的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，网格中小正方形的边长均为1，和的顶点都在格点上，其中是由经过一次平移得到的，则平移距离为（ ） A. 1 B. 4 C. D. 6. 如图，在平面直角坐标系中，直线与直线的交点为，则关于x的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，，，是边上的中线，平分交于点E，交于点F，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在四边形中，，，，，，则的长为（ ） A. 1.5 B. 2 C. 2.5 D. 3 二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 9. 如图是关于x的不等式组的解集在数轴上的表示，则不等式组的解集为______． 10. 如图，已知为正六边形的一条对角线，则的度数为______． 11. 如图，在中，，将在平面内绕点A旋转到的位置，使，则的度数为______． 12. 如图，在中，，平分交于点D，E为边的中点，若，，则的面积为______． 13. 已知关于x的方程的解是非负数，则k的取值范围是______． 14. 如图，在矩形中，，，点为中点，，为边上两个动点，且，当四边形周长最小时，的长为__________． 三、解答题（共12小题，计78分．解答应写出过程） 15. 解不等式：． 16. 解不等式：． 17. 解不等式组：． 18. 如图，已知，请用尺规作图法，在边的上方作一点D，使得平分，且．（保留作图痕迹，不写作法） 19. 如图，，，于点E，于点F．求证：． 20. 如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别是，现将先向右平移m个单位长度，再向上平移n个单位长度，得到．点A，B，C的对应点分别为D，O，E． （1）请在图中画出； （2）若为内一点，则点P在内的对应点Q的坐标为                 ． 21. 在数学课外实践活动中，某小组测量一栋竖直楼房的高度（如图），其中一位同学站在点A处，测得该同学在点A处仰望楼顶D，仰角为（即），之后该同学往楼房的方向行走60米至B处，再仰望楼顶D，仰角为（即），已知点A，B，C在同一直线上．求这栋楼房的高度．（人的高度忽略不计） 22. 如图，在中，，D是边上一点，且，过点A作于点E，过点C作于点G，与交于点H，延长交于点F． （1）若，求的度数； （2）求证：． 23. 某公司有、两种型号的客车，它们的载客量、租金如下表所示： 型号客车 型号客车 载客量/(人/辆) 租金/(元/辆) 已知某中学计划租用、两种型号的客车共辆，同时送七年级师生到生态园参加社会实践活动，该中学租车的总费用不超过元． （1）最多能租用多少辆型号客车？ （2）若七年级的师生共有人，请写出所有可行的租车方案． 24. 如图，在等边中，点D是的中点，于点E，过点E作交于点F． （1）求证：是等边三角形； （2）若，求四边形的周长． 25. 陕西茯茶距今已有近千年历史．该茶茶体紧结，色泽黑褐油润，茶汤橙红透亮，滋味醇厚悠长．某茯茶特产专卖店计划采购A规格茯茶和B规格茯茶共50盒，若甲、乙两商店销售这两种规格茯茶的零售价相同，其中A规格茯茶的零售价为150元/盒，B规格茯茶的零售价为100元/盒．为促进消费，甲、乙两商店均推出不同的优惠方案： 甲店：A规格茯茶按零售价打8折销售，B规格茯茶按零售价销售； 乙店：A，B两种规格茯茶均按零售价打9折销售． 设购进A规格茯茶x盒，在甲店采购的总费用为元，在乙店采购的总费用为元．（两种规格茯茶只能从同一家商店购买） （1） ， ；（用含x的代数式表示） （2）若该专卖店至少采购A规格茯茶16盒，请你帮采购人员算一算，去哪家商店采购这两种规格的茯茶更合算？ 26. 【问题提出】如图，在等边中，E是边上一动点（不与端点重合），连接． （1）如图①，若D是边上的点，且，连接交于点F，则的度数为 ； （2）如图②，若，Q是线段上的一个动点，连接，，，求的最小值； （3）【问题解决】如图③，某公园的四条通道围成了四边形，已知m，，，，道路，上分别有景点E，F，满足， ，为了游客们能更方便地游玩这两个景点，现要在E，F之间修一条笔直的道路，求道路的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $