广东东莞市东华高级中学、东华松山湖高级中学2025-2026学年高三下学期5月阶段检测数学试题

**基本信息** 该高三数学月考试卷知识覆盖全面，通过立体几何证明与计算、概率统计应用等综合性大题，考查逻辑推理与数学建模能力，贴合高考命题趋势。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8题40分|复数、集合、向量、二项式定理等|第6题以直角三角形旋转体体积考查空间观念| |多选|3题15分|统计、立体几何、方程|第10题结合直四棱柱动态问题考查几何直观| |填空|4题20分|抛物线、导数几何意义、数列|第14题以分段递推数列考查抽象能力| |解答|5题75分|解三角形、导数、立体几何、概率、解析几何|第18题以考试通过概率模型考查数据意识，第19题轨迹方程与斜率问题考查数学语言表达|

东莞市东华高级中学、东华松山湖高级中学 2025-2026学年第二学期5月质量检测高三数学试题 一、单选题 1．已知，若（i为虚数单位）是实数，则（　　） A．2 B．1 C． D． 2．设集合，，则的元素个数为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 3．已知向量满足，则（    ） A． B． C．1 D．2 4．的展开式中的系数是（    ） A．60 B．80 C．84 D．120 5．已知，且，则的值为 A． B． C． D． 6．已知三角形ABC中C为直角，分别以CA，CB，AB所在直线为轴，其余各边旋转一周形成的曲面围成3个几何体，体积分别为，若，则（    ） A． B． C． D． 7．已知圆与双曲线，若在双曲线上存在一点，使得过点能作圆的两条切线，切点为，且，则双曲线的离心率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 8．已知偶函数满足，且当时，，若关于的不等式在上有且只有150个整数解，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．下面说法正确的是（   ） A．若数据，，…，的方差为8，则数据，，…，的方差为4 B．若是等差数列，则这些数的中位数与平均数相等 C．已知是随机变量，则 D．若两个具有线性相关关系的变量的相关性越强，则线性相关系数的值越接近于1 10．如图，在直四棱柱中，底面是正方形，，，若，则（    ） A．当时， B．直线与异面 C．四面体的体积为定值 D．当平面截直四棱柱所得截面面积为时， 11．已知实数，满足，则（   ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 三、填空题 12．已知抛物线上的点到该抛物线焦点的距离为，则等于________． 13．曲线与在交点处切线的夹角是____________．（用弧度数作答） 14．已知数列对任意的，都有，且． ①当时，_________． ②若存在，当且为奇数时，恒为常数P，则P＝_________． 四、解答题 15．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知B=150°. （1）若a=c，b=2，求的面积； （2）若sinA+sinC=，求C. 16．已知函数，. （1）讨论的单调性； （2）若对任意，都有成立，求实数的取值范围. 17．如图，、、为圆锥三条母线，. (1)证明:； (2)若圆锥侧面积为为底面直径，，求二面角的正弦值； (3)在第(2)问的条件下，若内(含边界)存在一点Q满足，求QA与圆锥底面所成角正切值的取值范围. 18．某从业资格考试共分3级，考生必须从第1级考试开始，每级考试次数不限，通过后即进入下一级考试，直至第3级考试通过，考试终止并取得从业资格．已知甲参加一次第1，2，3级考试通过的概率分别为，，，且每次考试相互独立．记甲第次考试后取得从业资格为事件． (1)求，； (2)求的表达式； (3)甲第次考试恰通过2级为事件，比较与的大小，并根据你的理解说明其含义． 19．已知平面内动点P到两条直线和的距离的平方和为． (1)求动点P的轨迹C的方程； (2)M，N是C上任意两点． （ⅰ）C与y轴的交点分别为，（自下而上），点N位于y轴的右侧，若点，直线MN交y轴于点G，设和的面积分别为，，当时，求点N的坐标； （ⅱ）已知直线MN与坐标轴不垂直，H为线段MN的中点，直线OH与C交于K，L两点，当时，求直线MN的斜率． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A B D D D B C B BC AC 题号 11 答案 ACD 12． 13． 14．2 1 15．【详解】（1）由余弦定理可得， 的面积； （2）[方法一]：多角换一角 ， ， ， . [方法二]：正弦角化边 由正弦定理及得．故． 由，得． 又由余弦定理得，所以，解得． 所以． 16．（1）解：函数f（x）的定义域为（0，+∞） 又 当a≤0时，在（0，+∞）上，f′（x）＜0，f（x）是减函数 当a＞0时，由f′（x）=0得：或（舍） 所以：在上，f′（x）＜0，f（x）是减函数 在上，f′（x）＞0，f（x）是增函数 （2）对任意x＞0，都有f（x）＞0成立，即：在（0，+∞）上f（x）min＞0 由（1）知：当a≤0时，在（0，+∞）上f（x）是减函数， 又f（1）=2a﹣2＜0，不合题意 当a＞0时，当时，f（x）取得极小值也是最小值， 所以： 令（a＞0） 所以： 在（0，+∞）上，u′（a）＞0，u（a）是增函数又u（1）=0 所以：要使得f（x）min≥0，即u（a）≥0，即a≥1， 故：a的取值范围为[1，+∞） 17．（1）取中点，连接、， 因为，所以， 又因为面面，所以面， 因为面，所以. （2）因为为直径，故为底面圆的圆心，故平面，而 故可建立如图所示的空间直角坐标系， 因为圆锥侧面积为为底面直径，，所以底面半径为1，母线长为， 所以， 则可得， 故， 设为平面的法向量，则， 令，则，所以. 设为平面的法向量， 则， 令，则，所以. 则， 设二面角为，则. （3），故，进而可得. 18．【详解】（1）依题意，， ． （2）事件发生分两步： 第一步，第次考试后恰好通过第2级考试，概率为， 第二步，第次至次参加第3级考试没有通过，第次通过，概率为； 由全概率公式得，， 设， 则， 两式相减得， ， 所以，所以． （3）依题意，， 又因为，， 所以， 令，则， 因为，所以， 故数列在时递增，又，， 故当，4时，， 故，即， 说明甲取得从业资格的前一次考试2级刚过的概率较大， 当时，，故，即， 说明甲取得从业资格的前一次考试2级刚过的概率较小． 19．【详解】（1）设动点，则P到直线的距离为， 到直线的距离为， 由题可知，化简得， 可得动点P的轨迹方程为：． （2）（ⅰ）由题可知，，， ， ，，而， ，，， ，所以直线ON的方程为， 由可得或， 又因为点N位于y轴的右侧，所以． （ⅱ）且，， 设直线MN的方程为：，，， 由消x得， ， ，， 又由两式相减得，可得， 则直线OH的方程为，代入得：， 则，， ， ，， 即，解得，所以直线MN的斜率为． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $