精品解析：湖南衡阳市衡阳县第四中学2025-2026学年高二下学期5月期中考试数学试题

衡阳县四中2026年上学期期中考试 高二数学 （本试卷共2页，试卷满分150分，考试时间120分钟，命题人：杜超群） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1. 复数，则的虚部为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据复数的乘法运算求解出，则复数的虚部可知. 【详解】因为，所以的虚部为， 故选：A. 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】. 3. 向量，化简后等于（ ） A. B. 0 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用向量的加减运算法则计算即可求得结果. 【详解】， 故选：C 4. 若函数，则（ ） A. B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【详解】由题意得， 则. 5. 设函数是定义在上的奇函数，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据奇函数的定义与性质运算求解. 【详解】∵函数是定义在上的奇函数，则，且， ∴. 故选：D. 6. 在某项测量中，测量结果服从正态分布，则（ ） A. 0.1 B. 0.2 C. 0.4 D. 0.5 【答案】D 【解析】 【详解】服从正态分布，所以由正态分布的对称性知． 7. 为研究某池塘中水生植物覆盖池塘的面积（单位：）与水生植物的株数（单位：株）之间的相关关系，收集了4组数据，如表格所示，得到与的线性回归方程，则（ ） 3 4 6 7 2 2.5 4.5 A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】C 【解析】 【详解】由题意可得，， 所以样本中心点为，又与的线性回归方程， 所以，解得. 8. 人工智能大语言模型训练是借助海量数据与特定算法，实现模型知识学习与能力迭代的复杂过程.在一定条件下，某人工智能大语言模型训练个单位的数据量所需的时间（单位：），其中为常数.在此条件下，训练200000个单位的数据量与训练2000个单位的数据量所需的时间之差为，当训练个单位的数据量所需的时间为时，（ ） A. 10000 B. 15000 C. 20000 D. 30000 【答案】A 【解析】 【详解】依题意，得， 则有，解得，. 当训练个单位的数据量所需的时间为时，则有，解得. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知集合，，若，则a的取值可以是（ ） A. B. 0 C. 2 D. 【答案】BC 【解析】 【分析】由集合子集的关系和元素互异性求解. 【详解】因为，又，， 所以或， 解得或或， 当时，，，满足要求， 当时，，，满足要求， 当时，，与元素互异性矛盾，不满足要求, 所以或2. 10. 在的展开式中，下列说法正确的是（　　） A. 一共有5项 B. 第3项为 C. 所有项的系数和为0 D. 所有项的二项式系数和为32 【答案】CD 【解析】 【分析】利用展开式的通项公式和赋值法可求解. 【详解】因为的展开式共有6项，所以A不正确； 通项公式为，令可得第三项为，B不正确； 令可得所有项的系数和为0，C正确； 所有项的二项式系数和为，D正确. 故选：CD 11. 已知函数，则下列结论正确的是（      ） A. 函数的最小正周期为 B. 将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象 C. 函数的图象关于点对称 D. 函数在区间上单调 【答案】ABC 【解析】 【详解】对于A，由周期公式计算可得函数的最小正周期为，即A正确； 对于B，将函数的图象向左平移个单位长度得到的图象，B正确； 对于C，将代入检验可得， 因此函数的图象关于点对称，即C正确； 对于D，当时，，由于在上不单调， 所以函数在区间上不单调，D错误； 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，满足，，，则________. 【答案】1 【解析】 【详解】. 13. 若函数在区间上不是单调函数，那么实数的取值范围是__________. 【答案】（2，5） 【解析】 【分析】根据二次函数的对称轴以及开口方向与单调性的关系，判断出二次函数的对称轴在区间内，由此计算出的取值范围. 【详解】因为函数f(x)=x2-2(a-1)x+2在区间(1,4)上不是单调函数， 所以对称轴x=a-1位于区间(1,4)上，即1＜a-1＜4，所以2＜a＜5. 故答案为. 【点睛】判断二次函数的单调性，可以通过二次函数的开口方向以及对称轴来进行分析：开口向上，在对称轴左侧单调递减，在对称轴右侧单调递增；开口向下，在对称轴左侧单调递增，在对称轴右侧单调递减. 14. 某演讲比赛结束后，2名男同学、3名女同学和2位老师站成一排拍照留念，则2位老师相邻，且3名女同学不相邻的站法有_________种.（用数字作答） 【答案】288 【解析】 【详解】将2名老师作为一个元素和2名男同学共3个元素全排列，共有种方法， 再让3名女同学插空，有种方法，所以满足条件的站法有种. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知角θ的终边与单位圆相交于点． （1）的值； （2）求的值； （3）求的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据已知条件，运用三角函数的几何性质计算求解； （2）利用二倍角公式求出，再利用两角和的余弦公式计算求解； （3）根据三角函数的性质，化简已知代数式并计算求解． 【小问1详解】 角θ的终边与单位圆相交于点， ，． 【小问2详解】 ， ， ． 【小问3详解】 ． 16. 在中，角，，所对的边分别是，，．已知，，．求： （1）的值； （2）的值； （3）边上的高． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理求. （2）利用余弦定理求边. （3）利用三角形的面积公式求边上的高. 【小问1详解】 由正弦定理，得，解得． 【小问2详解】 由余弦定理得，即， 整理得，解得或（舍去），所以． 【小问3详解】 由（2）知． 三角形面积． 又边即边， 设边上的高为，则 ． 故边上的高为． 17. 围建一个面积为360m2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙（利用旧墙需维修），其它三面围墙要新建，在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为2m的进出口，如图所示，已知旧墙的维修费用为45元/m，新墙的造价为180元/m，设利用的旧墙的长度为x（单位：元）．设修建此矩形场地围墙的总费用为y. （Ⅰ）将y表示为x的函数； （Ⅱ）试确定x，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用． 【答案】（Ⅰ）y=225x+ （Ⅱ）当x=24m时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是10440元． 【解析】 【详解】试题分析：（1）设矩形的另一边长为am，则根据围建的矩形场地的面积为360m2，易得，此时再根据旧墙的维修费用为45元/m，新墙的造价为180元/m，我们即可得到修建围墙的总费用y表示成x的函数的解析式；（2）根据（1）中所得函数的解析式，利用基本不等式，我们易求出修建此矩形场地围墙的总费用最小值，及相应的x值 试题解析：（1）如图，设矩形的另一边长为a m 则45x+180（x-2）+180·2a=225x+360a-360 由已知xa=360,得a=, 所以y=225x+ （2） ．当且仅当225x=时，等号成立． 即当x=24m时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是10440元． 考点：函数模型的选择与应用 18. 如图在棱长为1的正方体中，E，F，G分别是，，的中点． （1）求直线与所成角的余弦值． （2）求证：⊥平面． （3）求三棱锥的体积． 【答案】（1） （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，求出相关点和向量坐标，再利用向量夹角余弦公式计算求解； （2）根据正方体的几何性质，利用线面垂直判定定理证明结论； （3）利用等体积法，结合三棱锥体积公式计算求解． 【小问1详解】 以为坐标原点，建立下图所示空间直角坐标系， 已知正方体棱长为1，E，F，G分别是，，的中点， 则， ， 设直线与所成角为，则 . 【小问2详解】 在正方体中，底面，底面， ， 为中点，是等腰直角三角形， ， 又，平面， 平面． 【小问3详解】 ． 19. 甲盒中有3个黑球，3个白球，乙盒中有4个黑球，2个白球，丙盒中有4个黑球，2个白球，三个盒中的球只有颜色不同，其他均相同，从这三个盒中各取一球. （1）求“三球中至少有一个为白球”的概率； （2）设表示所取白球的个数，求的分布列及数学期望. 【答案】（1） （2）分布列见解析，E（）= 【解析】 【分析】（1）由题意，分别求出甲、乙、丙盒中取一球为白球事件的概率，从而得到三个球中没有白球的概率，再用间接法即可求得“三球中至少有一个为白球”的概率； （2）由题意可得的可能取值为0，1，2，3.分别求出各个取值对应的概率，从而可列出离散型随机变量的分布列，并求得其数学期望. 【小问1详解】 记甲、乙、丙盒中取一球为白球事件分别为，三球中至少有一球为白球记为事件， 则；；. ； 【小问2详解】 由题意可知，随机变量的可能取值为0，1，2，3. ， ， ， . 所以，随机变量的分布列如下： 0 1 2 3 ∴ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 衡阳县四中2026年上学期期中考试 高二数学 （本试卷共2页，试卷满分150分，考试时间120分钟，命题人：杜超群） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1. 复数，则的虚部为（ ） A. B. C. D. 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. 向量，化简后等于（ ） A. B. 0 C. D. 4. 若函数，则（ ） A. B. 2 C. 3 D. 4 5. 设函数是定义在上的奇函数，且，则（ ） A. B. C. D. 6. 在某项测量中，测量结果服从正态分布，则（ ） A. 0.1 B. 0.2 C. 0.4 D. 0.5 7. 为研究某池塘中水生植物覆盖池塘的面积（单位：）与水生植物的株数（单位：株）之间的相关关系，收集了4组数据，如表格所示，得到与的线性回归方程，则（ ） 3 4 6 7 2 2.5 4.5 A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 8. 人工智能大语言模型训练是借助海量数据与特定算法，实现模型知识学习与能力迭代的复杂过程.在一定条件下，某人工智能大语言模型训练个单位的数据量所需的时间（单位：），其中为常数.在此条件下，训练200000个单位的数据量与训练2000个单位的数据量所需的时间之差为，当训练个单位的数据量所需的时间为时，（ ） A. 10000 B. 15000 C. 20000 D. 30000 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知集合，，若，则a的取值可以是（ ） A. B. 0 C. 2 D. 10. 在的展开式中，下列说法正确的是（　　） A. 一共有5项 B. 第3项为 C. 所有项的系数和为0 D. 所有项的二项式系数和为32 11. 已知函数，则下列结论正确的是（      ） A. 函数的最小正周期为 B. 将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象 C. 函数的图象关于点对称 D. 函数在区间上单调 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，满足，，，则________. 13. 若函数在区间上不是单调函数，那么实数的取值范围是__________. 14. 某演讲比赛结束后，2名男同学、3名女同学和2位老师站成一排拍照留念，则2位老师相邻，且3名女同学不相邻的站法有_________种.（用数字作答） 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知角θ的终边与单位圆相交于点． （1）的值； （2）求的值； （3）求的值． 16. 在中，角，，所对的边分别是，，．已知，，．求： （1）的值； （2）的值； （3）边上的高． 17. 围建一个面积为360m2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙（利用旧墙需维修），其它三面围墙要新建，在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为2m的进出口，如图所示，已知旧墙的维修费用为45元/m，新墙的造价为180元/m，设利用的旧墙的长度为x（单位：元）．设修建此矩形场地围墙的总费用为y. （Ⅰ）将y表示为x的函数； （Ⅱ）试确定x，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用． 18. 如图在棱长为1的正方体中，E，F，G分别是，，的中点． （1）求直线与所成角的余弦值． （2）求证：⊥平面． （3）求三棱锥的体积． 19. 甲盒中有3个黑球，3个白球，乙盒中有4个黑球，2个白球，丙盒中有4个黑球，2个白球，三个盒中的球只有颜色不同，其他均相同，从这三个盒中各取一球. （1）求“三球中至少有一个为白球”的概率； （2）设表示所取白球的个数，求的分布列及数学期望. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $