精品解析：2026年安徽省阜阳市太和县多校三模数学试题

机密★启用前 2026年安徽省初中学业水平考试临考预测卷 数学 （试题卷） 注意事项： 1．你拿到的试卷满分为150分，考试时间为120分钟． 2．本试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分．“试题卷”共4页，“答题卷”共6页． 3．请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的． 4．考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 1. ﹣8的相反数是（　　） A. 8 B. C. D. －8 2. 据报道，截至年底，我国国内发明专利有效量达件，其中用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 4. 如图是某几何体的三视图，则这个几何体是（ ） A. 球体 B. 圆锥 C. 棱柱 D. 圆柱 5. 不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 6. 某拖拉机耕地时，油箱中剩余的油量与耕地时间之间的几组对应值如下表，已知Q是t的一次函数，则Q与t之间的函数关系式是（ ） 2 4 5 84 68 60 A. B. C. D. 7. 如图，在一个大矩形中不重叠放置4个全等的小矩形，下列关于图中阴影部分的周长的和的说法正确的是（） A. 只与大矩形的长有关 B. 只与大矩形的宽有关 C. 与大矩形的长和宽都有关 D. 与大矩形的长和宽都无关 8. 如图，中，，D为内一点，满足，，则下列结论一定成立的是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，四边形是菱形，对角线，交于点，且轴．已知反比例函数的图象经过点，，反比例函数的图象经过点，若菱形的面积是，则的值是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，中，，，点E，F在边上，且满足．过点E作于点M，过点F作于点N，且．设，，，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 写出一个能使式子有意义的x的值：______． 12. 如图，内接于，，D为的中点，交于点E，，的半径为2，则的长为______． 13. 某校举办的期末游园会设有套圈游戏，甲、乙、丙三位同学各投掷一次．已知每位同学套中与未套中是随机且等可能的，则恰好只有两人套中的概率为______． 14. 在平面直角坐标系中，我们给出如下定义：点与图形上各点的距离的最大值称为点到图形的“远距离”，记为“”．直线分别与轴、轴交于点和，的半径为． （1）若，则______； （2）为线段上一动点，若点到的“远距离”的最小值满足，则的取值范围是______． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 计算：． 16. 如图，在由边长为的小正方形组成的网格中，点和的三个顶点均为格点（网格线的交点）． （1）以点为旋转中心，将顺时针旋转得到，请画出（点的对应点分别为，，）； （2）在网格内选一格点，连接，，使的面积是面积的倍； （3）作的边上的高． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 某数学兴趣小组研究发现“十位数之和为10，个位数相等的两个两位数相乘，所得的积具有一定的规律”，并写出了如下等式： 第1组：； 第2组： 第3组：； …… （1）根据上述运算规律，请将等式补充完整：__________________； （2）设一个两位数的十位数字为整数a（），个位数字为整数b（），请你用含a，b的等式表示上述规律，并进行证明． 18. 为了测量斜坡上宝塔（如图1）的高度，某数学兴趣小组在斜坡的坡底C处竖立标杆进行测量，如图2，在标杆顶端D处测得宝塔的顶端A的仰角为．已知斜坡的坡角，斜坡的长为30米，标杆米，求宝塔的高度（，与地面垂直，点A，B，C，D，E，F在同一竖直平面内）．（结果精确到0.1米．参考数据：，，，，，） 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 某地区面向社会进行教师招聘考试，该考试分笔试和面试两个环节．某岗位计划招聘4位教师，有30名报考者参加笔试环节．现收集了这30名报考者的笔试成绩（单位：分，满分100分，成绩均为整数），将数据分5组：，，，，，并对这30个数据进行了整理、描述和分析．下面给出了部分信息： a．30名报考者的笔试成绩的频数分布直方图如图所示． b．30名报考者的笔试成绩在这一组的是： 65 66 66 67 69 71 72 72 73 73 73 74 根据以上信息，回答下列问题： （1）在频数分布直方图中，m的值是______，这30名报考者的笔试成绩的中位数是______分； （2）已知笔试成绩前12名的报考者进入面试环节．若1名报考者的笔试成绩为72分，判断他能否进入面试，并说明理由； （3）面试过后，最后按笔试成绩占40%，面试成绩占60%计算个人最终成绩，经过成绩核算，发现最低录取分为85．8分．甲的面试成绩是93分，最终恰好排第4名被录取，求甲的笔试成绩． 20. 如图，内接于，，与相切，，交于点E，连接并延长交的延长线于点F． （1）若，求证：； （2）若的半径为5，，求的值． 六、（本题满分12分） 21. 综合实践：制作简易的液体密度计 【项目背景】密度天平是一种基于阿基米德原理的精密测量仪器，主要用于固体、液体、浮体及不规则物质的密度测定，涵盖电子、橡胶、化工、科研等领域．某数学兴趣小组准备用一根轻质弹簧（劲度系数，弹簧原长，弹性限度内最大伸长量为）、一个体积为的小金属块以及一把带有刻度的刻度尺，制作一个能直接计算液体密度的简易密度计． 【项目准备】通过查阅资料，数学兴趣小组得到以下信息： a．弹簧在弹性限度内，拉力与弹簧伸长量x的关系为，其中k为弹簧的劲度系数，（L为弹簧受力时的长度）． b．金属块完全浸入在液体中时受到的浮力．（g取） c．在空气中，弹簧下端悬挂金属块时，（G为金属块的重力）；金属块完全浸入在液体中时，． 【操作实验】实验装置如图所示，弹簧上端固定，下端挂金属块，旁边竖直固定刻度尺．实验步骤如下： 第一步：在空气中悬挂金属块，弹簧长度． 第二步：将金属块完全浸入在水中（），弹簧长度． 任务一： （1）在空气中时，弹簧伸长量______；金属块完全浸入在水中时，弹簧伸长量______． （2）求金属块的体积（单位：）． 【确定量程】已知金属块浸没在不同液体中时，弹簧伸长量会变化． 任务二： （3）当金属块完全浸入到某种液体中时，弹簧恰好处于原长（），此时弹簧的拉力______N，该液体的密度为______． 七、（本题满分12分） 22. 如图1，抛物线与x轴交于点，与y轴交于点C． （1）求抛物线的函数表达式； （2）P为第一象限内抛物线上一动点，其横坐标为t，过点P分别作轴于点D，轴于点E，过点C作轴交直线于点F，若四边形的周长f为，求t的值； （3）如图2，连接，M为线段上一动点（不与点B，C重合），其横坐标为m，过点M分别作轴于点G，轴交抛物线于一点N，过点N作轴于点H，若四边形为正方形，求点M的坐标． 八、（本题满分14分） 23. 如图1，在中，E，F为对角线上两点，且，连接，． （1）求证：． （2）连接 并延长交于点M，延长交于点N． 如图2，连接，，若，求证：； 如图3，连接，若，且，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 机密★启用前 2026年安徽省初中学业水平考试临考预测卷 数学 （试题卷） 注意事项： 1．你拿到的试卷满分为150分，考试时间为120分钟． 2．本试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分．“试题卷”共4页，“答题卷”共6页． 3．请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的． 4．考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 1. ﹣8的相反数是（　　） A. 8 B. C. D. －8 【答案】A 【解析】 【分析】根据相反数的概念：只有符号不同的两个数互为相反数可得答案． 【详解】解：-8的相反数是8， 故选A． 【点睛】此题主要考查了相反数，关键是掌握相反数的定义． 2. 据报道，截至年底，我国国内发明专利有效量达件，其中用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：． 3. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先计算积的乘方，再计算单项式除以单项式． 【详解】解：． 4. 如图是某几何体的三视图，则这个几何体是（ ） A. 球体 B. 圆锥 C. 棱柱 D. 圆柱 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了由三视图来判断几何体，还考查学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力．主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形． 【详解】解：由于主视图和左视图为长方形可得此几何体为柱体， 由俯视图为圆可得为圆柱体． 故选：D． 5. 不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：， ， ， ． 6. 某拖拉机耕地时，油箱中剩余的油量与耕地时间之间的几组对应值如下表，已知Q是t的一次函数，则Q与t之间的函数关系式是（ ） 2 4 5 84 68 60 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】运用待定系数法求解函数表达式即可． 【详解】解：设， 将分别代入，得 解得 故Q与t之间的函数关系式是． 7. 如图，在一个大矩形中不重叠放置4个全等的小矩形，下列关于图中阴影部分的周长的和的说法正确的是（） A. 只与大矩形的长有关 B. 只与大矩形的宽有关 C. 与大矩形的长和宽都有关 D. 与大矩形的长和宽都无关 【答案】B 【解析】 【分析】通过设未知数表示小矩形的长、宽和大矩形的长、宽，利用图形关系得到．分别写出两个阴影部分的周长表达式，再相加．化简后发现周长和仅等于，说明只与大矩形的宽有关． 【详解】解：设小矩形的长为a，宽为b，大矩形的长为m，宽为n． ∵由图形可知，． ∵左边阴影矩形的长为a，宽为， ∴左边阴影的周长为． 右边阴影矩形的长为，宽为， ∴右边阴影的周长为． ∴阴影部分的周长和为： ； ∵化简后周长和为，仅含大矩形的宽n， ∴阴影部分的周长和只与大矩形的宽有关． 8. 如图，中，，D为内一点，满足，，则下列结论一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设，利用等边对等角结合三角形内角和定理即可判断． 【详解】解：设， ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴，即，故A选项一定成立． 9. 如图，四边形是菱形，对角线，交于点，且轴．已知反比例函数的图象经过点，，反比例函数的图象经过点，若菱形的面积是，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先利用菱形对角线互相垂直平分的性质，得出，再由轴推出轴，得到与纵坐标相同、与横坐标相同，设、两点的坐标，根据对角线交点性质表示出点坐标，进而写出的表达式和、的长度，然后利用直角三角形面积公式列方程，化简后通过换元法求解，最后代入的表达式即可得到结果． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，，， ∴ ， ∵轴， ∴轴， 设，， ∴， ∴，，， ∵ ， ∴ ， ∴ ，即 ， 化简，得， 设，则， ∴，， ∵， ∴， ∴． 10. 如图，中，，，点E，F在边上，且满足．过点E作于点M，过点F作于点N，且．设，，，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意易得，利用三角形外角的性质得到．即可证明，即可判断A选项；证明均为等腰直角三角形，得到，．根据，即可判断B选项；根据，得到，进而求出，即可判断C选项；再根据，即，结合，即可判断D选项． 【详解】解：∵中，，， ∴， ∵，， ∴． ∴，故A选项中的结论正确； ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴均为等腰直角三角形， ∵，，， ∴，． ∵， ∴ ，故B选项中的结论正确； ∵， ∴， ∴． ∵，，， ∴，故C选项中的结论正确； ∵， ∴， ∴，即， ∴． 又∵， ∴，故D选项中的结论错误． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 写出一个能使式子有意义的x的值：______． 【答案】5 【解析】 【分析】根据分式有意义的条件和二次根式有意义的条件求解即可． 【详解】解：根据题意可知：且， 例如：5（答案不唯一，满足且即可）． 12. 如图，内接于，，D为的中点，交于点E，，的半径为2，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】先根据弧中点性质得出；再利用三角形外角性质求出；接着根据圆周角定理得到圆心角；最后代入弧长公式计算的长度． 【详解】解：∵D是的中点， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， 如图，连接，， ∴， ∴的长为． 【点睛】本题考查圆的弧中点性质、圆周角定理、三角形外角性质以及弧长公式的应用；解题关键是利用弧中点性质得到角的关系，通过三角形外角性质求出圆周角，再结合圆周角定理得到圆心角，最后用弧长公式计算弧长；易错点是混淆圆周角与圆心角的关系． 13. 某校举办的期末游园会设有套圈游戏，甲、乙、丙三位同学各投掷一次．已知每位同学套中与未套中是随机且等可能的，则恰好只有两人套中的概率为______． 【答案】 【解析】 【详解】解：设套中为√，未套中为×， 根据题意画树状图如下， 由树状图可知，共有8种等可能的情况，其中恰好只有两人套中的情况有3种， 所以恰好只有两人套中的概率为． 14. 在平面直角坐标系中，我们给出如下定义：点与图形上各点的距离的最大值称为点到图形的“远距离”，记为“”．直线分别与轴、轴交于点和，的半径为． （1）若，则______； （2）为线段上一动点，若点到的“远距离”的最小值满足，则的取值范围是______． 【答案】 ①. ②. 或 【解析】 【分析】本题是一道通过设置新定义的知识迁移和实践创新题． （1）代入，根据定义内容得到点与上各点的距离的最大值，即可得到答案. （2）根据定义内容，结合点到的“远距离”的最小值进而分析，得到时最小，，并根据和，分情况讨论，求出其最小值． 【详解】解：（1）如图，当时， 直线的表达式为：， ∴当时，， ∴点， ∴， 记与轴负半轴交于点，则，的长即为点与上各点的距离的最大值， ∴； （2）如图，连接，延长交于点， ∴点到上各点的距离的最大值为的长，， ∴当取最小值时，最小，此时， ①当时，若，则， ∴如图，此时直线AB与⊙O相切， ∵直线的函数表达式为， ∴点，点， ∴，，， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 如图，若，则， 同上可知，即， ∴， ∴， ∴的取值范围是， ②当时，根据对称性可知的取值范围是， 综上所述，的取值范围是或． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】先计算负整数指数幂、算术平方根、零指数幂，再计算加减即可得出结果． 【详解】解： ． 16. 如图，在由边长为的小正方形组成的网格中，点和的三个顶点均为格点（网格线的交点）． （1）以点为旋转中心，将顺时针旋转得到，请画出（点的对应点分别为，，）； （2）在网格内选一格点，连接，，使的面积是面积的倍； （3）作的边上的高． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）见解析 【解析】 【分析】（1）分别将点绕点顺时针旋转，得到点，，，再顺次连接点，，即可． （2）在直线上找到格点D，使，此时满足题意． （3）利用正方形和等腰三角形的轴对称的性质作图即可． 【小问1详解】 解：如图，分别将点绕点顺时针旋转，得到点，，，再顺次连接点，，，即为所求； 【小问2详解】 解：如图，延长至格点D，恰使，此时即为所求（答案不唯一）； 【小问3详解】 解：如图，连接，，观察网格可知，则应为的中点，而为正方形的一条对角线，连接该正方形另一条对角线并延长至点，得到线段，和的交点，即为所求（作法不唯一）． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 某数学兴趣小组研究发现“十位数之和为10，个位数相等的两个两位数相乘，所得的积具有一定的规律”，并写出了如下等式： 第1组：； 第2组： 第3组：； …… （1）根据上述运算规律，请将等式补充完整：__________________； （2）设一个两位数的十位数字为整数a（），个位数字为整数b（），请你用含a，b的等式表示上述规律，并进行证明． 【答案】（1），3264 （2），证明见解析 【解析】 【分析】（1）观察规律可知，这两个两位数相乘等于这两个两位数十位数字的乘积加上个位数字，然后再乘以100，最后再加上个位数字的平方，据此即可解得； （2）先用a，b表示出这两个两位数，根据观察的规律即可用含a，b的等式表示上述规律，再化简等式左边，证明等式左边等于右边即可得证． 【小问1详解】 解：根据前3组的规律可知； 【小问2详解】 解：由题意，这两个两位数为，， 用含a，b的等式表示上述规律为． 证明：左边 右边， 故规律成立． 18. 为了测量斜坡上宝塔（如图1）的高度，某数学兴趣小组在斜坡的坡底C处竖立标杆进行测量，如图2，在标杆顶端D处测得宝塔的顶端A的仰角为．已知斜坡的坡角，斜坡的长为30米，标杆米，求宝塔的高度（，与地面垂直，点A，B，C，D，E，F在同一竖直平面内）．（结果精确到0.1米．参考数据：，，，，，） 【答案】宝塔的高度约为米 【解析】 【分析】分别构造含和的直角三角形，根据三角函数及线段间的数量关系计算即可． 【详解】解：如图，延长交于点C，过点D作于点H，则，米． 在中，，，， ∴（米）， （米）． 在中，，， ∴（米）， ∴（米）． 答：宝塔的高度约为米． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 某地区面向社会进行教师招聘考试，该考试分笔试和面试两个环节．某岗位计划招聘4位教师，有30名报考者参加笔试环节．现收集了这30名报考者的笔试成绩（单位：分，满分100分，成绩均为整数），将数据分5组：，，，，，并对这30个数据进行了整理、描述和分析．下面给出了部分信息： a．30名报考者的笔试成绩的频数分布直方图如图所示． b．30名报考者的笔试成绩在这一组的是： 65 66 66 67 69 71 72 72 73 73 73 74 根据以上信息，回答下列问题： （1）在频数分布直方图中，m的值是______，这30名报考者的笔试成绩的中位数是______分； （2）已知笔试成绩前12名的报考者进入面试环节．若1名报考者的笔试成绩为72分，判断他能否进入面试，并说明理由； （3）面试过后，最后按笔试成绩占40%，面试成绩占60%计算个人最终成绩，经过成绩核算，发现最低录取分为85．8分．甲的面试成绩是93分，最终恰好排第4名被录取，求甲的笔试成绩． 【答案】（1）6；70 （2）不能，理由见解析 （3）甲的笔试成绩为75分 【解析】 【分析】（1）样本容量为30，某组频数样本容量其他组频数之和；根据频数分布直方图和这一组的数据即可找到按大小顺序排列后的第15，16个数据，计算二者平均数，即可得中位数； （2）根据条件找到第12名的成绩，与72进行比较即可； （3）根据加权平均数的计算公式列方程即可得甲的笔试成绩． 【小问1详解】 解：； 将数据按大小顺序排列后的第15，16个数据分别为69，71， 中位数； 【小问2详解】 解：不能． 理由：， 所以这一组的前4名（分数分别为74，73，73，73）能够进入总排名的前12名， 故这名报考者不能进入面试； 【小问3详解】 解：设甲的笔试成绩为x分，则， 解得． 答：甲的笔试成绩为75分． 20. 如图，内接于，，与相切，，交于点E，连接并延长交的延长线于点F． （1）若，求证：； （2）若的半径为5，，求的值． 【答案】（1）证明见解析 （2）80 【解析】 【分析】（1）结合切线的性质和三角形内角和定理等计算出与的度数，即可证明． （2）先根据勾股定理计算出，再求证，得到，与的数量关系，即可得到的值． 【小问1详解】 证明：∵，， ∴是等边三角形， ∴，． 如图，连接．连接，，延长交于点G， ∵为的切线， ，即． 又∵， ， ∴直线垂直平分线段， ∴． ， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：如图，连接．连接，，延长交于点G， ∵， ∴． 由（1）可知直线垂直平分线段， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 又∵， ∴． 又∵， ∴， ∴， ∴． 六、（本题满分12分） 21. 综合实践：制作简易的液体密度计 【项目背景】密度天平是一种基于阿基米德原理的精密测量仪器，主要用于固体、液体、浮体及不规则物质的密度测定，涵盖电子、橡胶、化工、科研等领域．某数学兴趣小组准备用一根轻质弹簧（劲度系数，弹簧原长，弹性限度内最大伸长量为）、一个体积为的小金属块以及一把带有刻度的刻度尺，制作一个能直接计算液体密度的简易密度计． 【项目准备】通过查阅资料，数学兴趣小组得到以下信息： a．弹簧在弹性限度内，拉力与弹簧伸长量x的关系为，其中k为弹簧的劲度系数，（L为弹簧受力时的长度）． b．金属块完全浸入在液体中时受到的浮力．（g取） c．在空气中，弹簧下端悬挂金属块时，（G为金属块的重力）；金属块完全浸入在液体中时，． 【操作实验】实验装置如图所示，弹簧上端固定，下端挂金属块，旁边竖直固定刻度尺．实验步骤如下： 第一步：在空气中悬挂金属块，弹簧长度． 第二步：将金属块完全浸入在水中（），弹簧长度． 任务一： （1）在空气中时，弹簧伸长量______；金属块完全浸入在水中时，弹簧伸长量______． （2）求金属块的体积（单位：）． 【确定量程】已知金属块浸没在不同液体中时，弹簧伸长量会变化． 任务二： （3）当金属块完全浸入到某种液体中时，弹簧恰好处于原长（），此时弹簧的拉力______N，该液体的密度为______． 【答案】（1）2.7 1.7 （2） （3）0，2.7 【解析】 【分析】（1）根据，求解； （2）根据列式求解； （3）弹簧恰好处于原长时，拉力为0，重力等于浮力，由此列式求解． 【小问1详解】 解：在空气中时，弹簧伸长量， 金属块完全浸入在水中时，弹簧伸长量； 【小问2详解】 解：金属块的重力． 由，，得， 其中， 即， 解得． 【小问3详解】 解：弹簧恰好处于原长， ， ∴，即， 解得． 七、（本题满分12分） 22. 如图1，抛物线与x轴交于点，与y轴交于点C． （1）求抛物线的函数表达式； （2）P为第一象限内抛物线上一动点，其横坐标为t，过点P分别作轴于点D，轴于点E，过点C作轴交直线于点F，若四边形的周长f为，求t的值； （3）如图2，连接，M为线段上一动点（不与点B，C重合），其横坐标为m，过点M分别作轴于点G，轴交抛物线于一点N，过点N作轴于点H，若四边形为正方形，求点M的坐标． 【答案】（1） （2）t的值为或 （3） 【解析】 【分析】（1）将点A，B的坐标分别代入，列方程组求解即可． （2）根据点P的位置（即t的取值范围）进行分类讨论，分别计算结果． （3）设点N的横坐标为n，用含m，n的式子分别表示出的长，再根据列方程求解． 【小问1详解】 解：将，分别代入， 得 解得 故抛物线的函数表达式为． 【小问2详解】 解：∵P为第一象限内抛物线上一动点， ∴，其中． ∵抛物线的函数表达式为， ∴． 令，解得，， ∵轴， ∴当时，点E与点C重合． ∴，． ①当时，如图1，点E在点C上方， 此时， ∴． 当时，，解得． ②当时，如图2，点E在点C下方， 此时， ∴． 当时，，解得，（舍去）． 综上可知，t的值为或． 【小问3详解】 解：∵轴，轴， ∴． 又轴， ∴四边形是矩形， ∴． 设点N的横坐标为n，则， ∴． ∵，， ∴设直线的函数表达式为，把，代入，得， ∴直线的函数表达式为， ∴， ∴，， ∴①． 要使四边形为正方形，则要满足． 点N的位置有以下两种情况． ①当点N在点C左侧的抛物线上时，如图3，此时． 若，则，整理，得②， 把②代入①，得， 解得，（不符合题意，舍去）， ∴， ∴， ∴． ②当点N在点C右侧的抛物线上时，． 若，则，解得，此时点与点重合，不符合题意． 综上可知，点M的坐标为． 八、（本题满分14分） 23. 如图1，在中，E，F为对角线上两点，且，连接，． （1）求证：． （2）连接 并延长交于点M，延长交于点N． 如图2，连接，，若，求证：； 如图3，连接，若，且，求的值． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析； 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形的性质求证，即可证明． （2）结合题中各组平行线（，，，灵活运用平行线分线段成比例、相似三角形的判定与性质，证明，得到相似即可证得． 连接，通过证明得到与的数量关系，进而得到与的数量关系；通过证明得到与的数量关系；结合即可得到的值． 【小问1详解】 证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴． 又∵， ∴， ∴． 【小问2详解】 证明：∵四边形是平行四边形， ∴，． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 又∵， ∴， ∴， ∴． 如图，连接． 由（1）可知， ∴，， ∴， ∴， ， ， ∴， ∴， ∴．， ∵， ∴， ∴． ∵， ， ∴， ∴． 又∵， ， ∴． ∵， ∴平行四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $