精品解析：北京市日坛中学2025—2026学年度春季学期阶段性学业水平诊断七年级 数学学科试题

2025—2026学年度春季学期阶段性学业水平诊断 七年级数学学科试题 一、选择题（本题共24分，每小题3分） 1. 如图是马年春晚皮影吉祥物“骐骐”，下列可以通过平移得到的是（ ） A. B. C. D. 2. 在实数，，，中，无理数是( ) A. B. C. D. 3. 如图，直线，相交于点O，，垂足为O，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 4. 若是方程的解，则的值为（ ） A. B. C. D. 5. 若点在第三象限，则点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 6. 数学源于生活，寓于生活，用于生活．下列各选项中能用“垂线段最短”来解释的现象是（ ） A. 测量跳远成绩 B. 木板上弹墨线 C. 弯曲河道改直 D. 两钉子固定木条 7. 在数学课上，同学们在练习过点B作线段所在直线的垂线段时，有部分同学画出了下列四种图形，其中画法正确的是（ ） A. 图① B. 图② C. 图③ D. 图④ 8. 已知点，，点是线段的中点，则，．在平面直角坐标系中有三个点，，，点关于的对称点为（即，，三点共线，且），关于的对称点为，关于的对称点为，按此规律继续以，，为对称点重复前面的操作，依次得到，，，…，则点的坐标是（ ）． A. B. C. D. 二、填空题（本题共24分，每小题3分） 9. 将“对顶角相等”改写为“如果…，那么…”的形式，可写为________． 10. 如图，将直径为1个单位长度的圆从原点处沿着数轴无滑动的逆时针滚动一周，使圆上的点A从原点运动至数轴上的点B，则点B表示的数是_______. 11. 若点在x轴上，则P点坐标是______． 12. 如图，给出了直线外一点作已知直线平行线的一种方法，它的依据是_________． 13. 如图，直尺和含角的三角板叠放在一起，三角板的顶点A恰好落在直尺的下沿上，如果，则的度数为_______°． 14. 如图，为一长条形纸带，，将沿折叠，C、D两点分别与、对应，若，则的度数为___________ 15. 下表中的每一对x，y的值都是二元一次方程的一个解，则表中“？”表示的数为________． x 2 1 0 … ？ y 2 4 6 8 10 … 100 16. 小茗同学爱好气象研究．小茗用数列记录其生活城市年月份天中每天是否下过雨，方法为：当第天下过雨时，记；当第天没下过雨时，记．他用数列记录该地区该月每天气象台预报是否有雨，方法为：当预报第天有雨时，记；当预报第天没有雨时，记记录完毕后，小茗计算出，若已知月气象台预报准确天，则m=______；若，则气象台k天中预报准确的天数为______（用，表示）． 三、解答题（本题共52分，题每小题5分，题每小题6分） 17. 计算：． 18. 求下式中的的值：． 19. 解二元一次方程组：． 20. 如图，点为内一点，点为外一点，根据下列语句画图并回答问题： （1）画图：①过点画，垂足为点； ②过点画，交于点，交于点； （2）若，则____________； （3）连接，线段与的大小关系是____________，依据是____________． 21. 把下列的推理过程补充完整，并在括号里填上推理的依据： 如图，已知，，垂足分别为、，，试说明：． 解：，（已知） （____①____） （____②____） （____③____）． 又（已知） （____④____） （____⑤____） ． 22. 把三角形放在直角坐标系中如图所示，现将三角形向上平移1个单位长度，再向右平移3个单位长度就得到三角形． （1）在图中画出三角形； （2）写出、、的坐标； （3）求在平移过程中扫过的面积． 23. 在下面的正方形网格图中，标明了学校附近的一些地方，其中每一个小正方形网格的边长代表．在图中以正东和正北方向分别为轴，轴正方向，代表个单位长度建立平面直角坐标系．若学校的坐标为，体育馆的坐标为． （1）坐标原点所在的位置为________； （2）请在图中画出这个平面直角坐标系； （3）超市所在位置的坐标为________． 24. 列方程（组）不等式（组）解应用题： 近年来，北京市大力推进新能源汽车充电基础设施建设．年，北京市发布了新修订的《电动汽车充电基础设施规划设计标准》．根据该标准，行政办公、学校、医院等公共建筑，直接建设充电设施的停车位比例应不低于总车位数的． 某三甲医院积极响应政策，计划与充电站经营企业合作，将地下停车场部分车位改建成充电车位．该医院地下停车场共有个停车位．根据医院规划，建设慢充桩与快充桩的数量比为． 充电桩的收费标准涉及电费和服务费两部分，实行“价费分离”政策．电费按一般工商业电价（约元/度）执行，由充电站经营企业代收代缴，不计入收入，服务费则由充电站经营企业按充电量向用户收取，作为主要收入来源．参考北京市场行情，两种充电桩的运营数据如下： 充电桩类型 单桩日均充电量（度） 收费标准（元/度） 慢充桩（） 快充桩（） 医院希望充电站每天的服务费收入恰好达到元，那么应当建设慢充桩和快充桩各多少台？ 25. 如图，已知，． （1）求证：． （2）若平分，于点，，求的度数． 26. 综合与实践 【问题情境】 在数学综合与实践课上，老师让同学们以“三角板与平行线”为主题开展数学活动．已知直线，在直角三角板中，． 【操作发现】 （1）如图1所示，将直角三角板顶点A放在直线上，设边与相交于点，边与相交于点．当时，发现．请说明理由． 【深入探究】 （2）如图2所示，将图1中三角板的直角顶点放在平行线和之间，两直角边，分别与，相交于点和，得到和，试探究和的数量关系并说明理由． 【拓展运用】 （3）同学们继续探究以下问题，在（2）的情况下，分别作和对顶角的角平分线，它们相交于点，如图3所示，请直接写出的度数． （4）若在内部作射线，过点B作射线交直线于点M，得到，请在图4中补充完整相应图形，并直接写出，与的数量关系． 四、选做题（本题共6分） 27. 对于平面直角坐标系中的图形M，N，给出如下定义：P为图形M上任意一点，Q为图形N上任意一点，如果P，Q两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形M，N间的“近距离”，记作．如图，已知点，，，． （1）d（点O，） ， ； （2）记线段组成图形G已知点，若d（点T，G），求m的取值范围； （3）若四边形内部的点和点满足（，四边形），请直接写出t的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度春季学期阶段性学业水平诊断 七年级数学学科试题 一、选择题（本题共24分，每小题3分） 1. 如图是马年春晚皮影吉祥物“骐骐”，下列可以通过平移得到的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据平移的性质：平移不改变图形的形状、大小和方向，只改变图形的位置，对各选项进行逐一判断即可． 【详解】 解：根据平移的定义，平移后的图形与原图形的形状、大小和方向完全相同， A、图形发生了旋转，方向改变，故不符合题意； B、图形发生了旋转，方向改变，故不符合题意； C、图形的形状、大小和方向与原图完全一致，可以通过平移得到，故符合题意； D、图形发生了旋转，方向改变，故不符合题意． 2. 在实数，，，中，无理数是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据定义逐个判断各数即可得到结果． 【详解】解：是有限小数，属于有理数； 是分数，属于有理数；  是开方开不尽的数，是无限不循环小数，属于无理数； ，是整数，属于有理数． 3. 如图，直线，相交于点O，，垂足为O，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据垂直定义求出，进而得出，再利用即可求出结果． 【详解】解：， ， ， ∵， ∴， 故选：B． 【点睛】此题考查了垂直的定义，平角的定义，根据平角得到是解题的关键． 4. 若是方程的解，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】知道了方程的解，可以把这对数值代入方程，得到一个含有未知数a的一元一次方程，从而可以求出a的值． 【详解】解：把代入方程得： ， 解得． 故选：C． 【点睛】此题考查的是二元一次方程组的解．解题关键是把方程的解代入原方程，使原方程转化为以系数a为未知数的方程，一组数是方程的解，那么它一定满足这个方程，利用方程的解的定义可以求方程中其他字母的值． 5. 若点在第三象限，则点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了点的象限的判断，根据点A所处的象限可得到a的符号，由a的符号即可判定点B所在的象限． 【详解】解：∵点在第三象限， ∴， ∴， ∴在第一象限； 故选：A． 6. 数学源于生活，寓于生活，用于生活．下列各选项中能用“垂线段最短”来解释的现象是（ ） A. 测量跳远成绩 B. 木板上弹墨线 C. 弯曲河道改直 D. 两钉子固定木条 【答案】A 【解析】 【分析】根据垂线段最短，两点确定一条直线，两点之间线段最短逐项判断即可． 【详解】解：A、测量跳远成绩，可以用“垂线段最短”来解释，符合题意； B、木板上弹墨线，可以用“两点确定一条直线”来解释，不符合题意； C、弯曲河道改直，可以用“两点之间，线段最短”来解释，不符合题意； D、两钉子固定木条，可以用“两点确定一条直线”来解释，不符合题意； 7. 在数学课上，同学们在练习过点B作线段所在直线的垂线段时，有部分同学画出了下列四种图形，其中画法正确的是（ ） A. 图① B. 图② C. 图③ D. 图④ 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查画垂线．满足两个条件：①经过点B，②垂直；由此即可判断． 【详解】解：根据垂线段的定义可知，图①线段，是过点B作线段所在直线的垂线段， 故选：A． 8. 已知点，，点是线段的中点，则，．在平面直角坐标系中有三个点，，，点关于的对称点为（即，，三点共线，且），关于的对称点为，关于的对称点为，按此规律继续以，，为对称点重复前面的操作，依次得到，，，…，则点的坐标是（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据中点坐标公式依次求出前几个对称点的坐标，找出坐标的循环周期，再计算2026除以周期的余数，根据余数确定的坐标． 【详解】解：设， ∵点关于点的对称点为，是的中点， ∴ ， ， 解得，，即 ， 同理可得 ， ， ， ， ， ∴点的坐标每次循环一次， ∵ ，余数为， ∴ 的坐标与坐标相同，为． 二、填空题（本题共24分，每小题3分） 9. 将“对顶角相等”改写为“如果…，那么…”的形式，可写为________． 【答案】 如果两个角是对顶角，那么这两个角相等 【解析】 【分析】先明确命题的题设与结论，再按照要求将命题改写为“如果…，那么…”的形式即可． 【详解】解：命题“对顶角相等”中，题设为两个角是对顶角，结论为这两个角相等， 因此将“对顶角相等”改写为“如果…，那么…”的形式为：如果两个角是对顶角，那么这两个角相等. 10. 如图，将直径为1个单位长度的圆从原点处沿着数轴无滑动的逆时针滚动一周，使圆上的点A从原点运动至数轴上的点B，则点B表示的数是_______. 【答案】-π 【解析】 【分析】因为圆从原点沿数轴向左滚动一周，可知A点滑动的距离为π，再根据数轴的特点即可解答． 【详解】解：∵直径为1个单位长度的圆从原点沿数轴向左滚动一周， ∴A点滑动的距离为圆的周长=π，滑动后A点在原点的左边． ∴A点对应的数是-π． ∴点B表示的数是-π 故答案为-π． 【点睛】此题考查了数轴，关键是熟悉数轴的特点及圆的周长公式． 11. 若点在x轴上，则P点坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了坐标轴上的点的特征，根据x轴上的点的纵坐标为0即可求出m的值，从而求出点P的坐标． 【详解】解：若点在x轴上， 则， ∴， ∴， ∴P点坐标是， 故答案为：． 12. 如图，给出了直线外一点作已知直线平行线的一种方法，它的依据是_________． 【答案】同位角相等，两直线平行 【解析】 【分析】利用作图可得，画出两同位角相等，从而根据平行线的判定方法可判断所画直线与原直线平行． 【详解】解：给出了过直线外一点作已知直线的平行线的方法，其依据是同位角相等，两直线平行． 故答案是：同位角相等，两直线平行． 【点睛】考查了作图——复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．也考查了平行线的判定． 13. 如图，直尺和含角的三角板叠放在一起，三角板的顶点A恰好落在直尺的下沿上，如果，则的度数为_______°． 【答案】##70度 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 如图，根据平行线的性质得到，，再把，代入即可求解． 【详解】解：如图， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴． 故答案为： 14. 如图，为一长条形纸带，，将沿折叠，C、D两点分别与、对应，若，则的度数为___________ 【答案】##108度 【解析】 【分析】由平行线的性质和折叠的性质可得，，再结合和平角的定义，求出，即可得解． 【详解】解：， ， 由折叠的性质可知，， ，且， ， ， ， 15. 下表中的每一对x，y的值都是二元一次方程的一个解，则表中“？”表示的数为________． x 2 1 0 … ？ y 2 4 6 8 10 … 100 【答案】 【解析】 【分析】先将表格中两组x，y的值代入二元一次方程，得到关于a，b的二元一次方程组，解方程组得到a，b的值，确定原方程，再将代入原方程，即可求出表中“？”表示的数． 【详解】解：将，代入得： ， 解得， 因此原二元一次方程为， 当时，代入得， 解得． 即表中“？”表示的数为． 16. 小茗同学爱好气象研究．小茗用数列记录其生活城市年月份天中每天是否下过雨，方法为：当第天下过雨时，记；当第天没下过雨时，记．他用数列记录该地区该月每天气象台预报是否有雨，方法为：当预报第天有雨时，记；当预报第天没有雨时，记记录完毕后，小茗计算出，若已知月气象台预报准确天，则m=______；若，则气象台k天中预报准确的天数为______（用，表示）． 【答案】 ①. ； ②. ． 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程的应用，解题的关键是得出气象台预报准确的天数为．根据题意可得：的值为或，且当时，表示第天预报正确，若，则表示第天预报错误，据此即可求解． 【详解】解：根据题意可得：若，则表示第天预报正确， 若，则表示第天预报错误， 若， 其中天预报正确，则天预报错误， 、、、、中有个，个， ； 气象台预报准确的天数为； 若， 假设其中有天预报正确，即等式的左边有个，个，即， 解得：， 即气象台预报正确的天数为， 故答案为：，． 三、解答题（本题共52分，题每小题5分，题每小题6分） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式、立方根、绝对值，正确化简各数是解题关键． 直接利用绝对值、立方根、二次根式的性质分别化简，进而得出答案． 【详解】 ； 18. 求下式中的的值：． 【答案】或 【解析】 【分析】利用平方根的定义求解即可. 【详解】解：∵， ∴， ∴或. 19. 解二元一次方程组：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，利用加减消元法解方程组即可． 【详解】解： 由①②得：， 解得：， 把代入①得：， 解得：， 则方程组的解为： 20. 如图，点为内一点，点为外一点，根据下列语句画图并回答问题： （1）画图：①过点画，垂足为点； ②过点画，交于点，交于点； （2）若，则____________； （3）连接，线段与的大小关系是____________，依据是____________． 【答案】（1）①画图见解析；②画图见解析 （2） （3），垂线段最短 【解析】 【分析】（）根据垂线和平行线的定义画图即可； （）根据平行线的性质求解即可； （）根据垂线段最短求解即可； 此题考查了垂线和平行线的定义，平行线的性质，垂线段最短等知识，熟练掌握知识点是解题的关键． 【小问1详解】 解：①如图所示，即为所求； ②如图所示，即为所求； 【小问2详解】 解：∵， ∴， 故答案为：； 【小问3详解】 解：如图，连接， 线段与的大小关系是，依据是垂线段最短， 故答案为：，垂线段最短． 21. 把下列的推理过程补充完整，并在括号里填上推理的依据： 如图，已知，，垂足分别为、，，试说明：． 解：，（已知） （____①____） （____②____） （____③____）． 又（已知） （____④____） （____⑤____） ． 【答案】垂直的定义；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补；同角的补角相等；内错角相等，两直线平行 【解析】 【分析】根据平行线的性质与判定条件结合垂直的定义，同角的补角相等进行证明即可． 【详解】解：，（已知） （垂直的定义） （同位角相等，两直线平行） （两直线平行，同旁内角互补）． 又（已知） （同角的补角相等） （内错角相等，两直线平行） ． 22. 把三角形放在直角坐标系中如图所示，现将三角形向上平移1个单位长度，再向右平移3个单位长度就得到三角形． （1）在图中画出三角形； （2）写出、、的坐标； （3）求在平移过程中扫过的面积． 【答案】（1）见详解 （2） （3）15 【解析】 【分析】（1）首先确定、、三点平移后的位置，再连接即可； （2）利用坐标系确定、、的坐标； （3）根据平行四边形的面积公式可得在平移过程中扫过的面积． 【小问1详解】 解：如图所示： 【小问2详解】 解：由图可得：； 【小问3详解】 解：， ， 在平移过程中扫过的面积为． 23. 在下面的正方形网格图中，标明了学校附近的一些地方，其中每一个小正方形网格的边长代表．在图中以正东和正北方向分别为轴，轴正方向，代表个单位长度建立平面直角坐标系．若学校的坐标为，体育馆的坐标为． （1）坐标原点所在的位置为________； （2）请在图中画出这个平面直角坐标系； （3）超市所在位置的坐标为________． 【答案】（1）电影院 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据学校的坐标为，体育馆的坐标为即可确定坐标原点的位置； （2）根据坐标原点，建立平面直角坐标系即可； （3）根据坐标系即可得出超市所在位置的坐标． 【小问1详解】 解：坐标原点所在的位置为电影院； 【小问2详解】 解：平面直角坐标系如图 【小问3详解】 解：由坐标系可得出：超市所在位置的坐标为． 24. 列方程（组）不等式（组）解应用题： 近年来，北京市大力推进新能源汽车充电基础设施建设．年，北京市发布了新修订的《电动汽车充电基础设施规划设计标准》．根据该标准，行政办公、学校、医院等公共建筑，直接建设充电设施的停车位比例应不低于总车位数的． 某三甲医院积极响应政策，计划与充电站经营企业合作，将地下停车场部分车位改建成充电车位．该医院地下停车场共有个停车位．根据医院规划，建设慢充桩与快充桩的数量比为． 充电桩的收费标准涉及电费和服务费两部分，实行“价费分离”政策．电费按一般工商业电价（约元/度）执行，由充电站经营企业代收代缴，不计入收入，服务费则由充电站经营企业按充电量向用户收取，作为主要收入来源．参考北京市场行情，两种充电桩的运营数据如下： 充电桩类型 单桩日均充电量（度） 收费标准（元/度） 慢充桩（） 快充桩（） 医院希望充电站每天的服务费收入恰好达到元，那么应当建设慢充桩和快充桩各多少台？ 【答案】应当建设慢充桩150台，快充桩50台 【解析】 【分析】设建设快充桩x台，则建设慢充桩台，根据题意列出一元一次方程求解即可． 【详解】解：设建设快充桩x台，则建设慢充桩台，根据题意可得： ， 解得：， ， 总充电车位为，占总车位的，符合题意， 答：应当建设慢充桩150台，快充桩50台． 25. 如图，已知，． （1）求证：． （2）若平分，于点，，求的度数． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质与判定，熟练掌握平行线的性质与判定是解题的关键． （1）利用平行线的性质得到，结合得到，从而得到，再利用平行线的性质即可证明； （2）利用平行线的性质和垂直的定义得到，利用角平分线的定义得到，结合（1）中的结论得到，最后利用即可求解． 【小问1详解】 证明：， ， 又， ， ， ． 【小问2详解】 解：， ， ， ， 平分，， ， 由（1）得，， ， ， 的度数为． 26. 综合与实践 【问题情境】 在数学综合与实践课上，老师让同学们以“三角板与平行线”为主题开展数学活动．已知直线，在直角三角板中，． 【操作发现】 （1）如图1所示，将直角三角板顶点A放在直线上，设边与相交于点，边与相交于点．当时，发现．请说明理由． 【深入探究】 （2）如图2所示，将图1中三角板的直角顶点放在平行线和之间，两直角边，分别与，相交于点和，得到和，试探究和的数量关系并说明理由． 【拓展运用】 （3）同学们继续探究以下问题，在（2）的情况下，分别作和对顶角的角平分线，它们相交于点，如图3所示，请直接写出的度数． （4）若在内部作射线，过点B作射线交直线于点M，得到，请在图4中补充完整相应图形，并直接写出，与的数量关系． 【答案】（1）见解析；（2）；（3）；（4） 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的定义，平行线的判定与性质． （1）根据题意得到，即可判定，再由平行公理即可得证； （2）小刚的方法：过点B作直线，根据平行线的判定与性质求解即可； 小红的方法：连接，由，得到，根据对顶角相等和三角形的内角和定理得到，，，代入即可解答； （3）过点O作，则，先证明，结合角平分线的定义可证，进而可求出； （4）由（2）知，，从而，再证明，由得，可得，从而，进而可得． 【详解】解：（1）∵，， ∴， ∴ ∵， ∴； （2），理由如下： 过点B作直线，如图， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． （3），理由如下： 如图3，过点O作，则， ∴， ∵， ∴， ∵和分别平分和， ∴， ∴， ∴，即． （4）如图， ，理由如下： 由（2）知，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 四、选做题（本题共6分） 27. 对于平面直角坐标系中的图形M，N，给出如下定义：P为图形M上任意一点，Q为图形N上任意一点，如果P，Q两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形M，N间的“近距离”，记作．如图，已知点，，，． （1）d（点O，） ， ； （2）记线段组成图形G已知点，若d（点T，G），求m的取值范围； （3）若四边形内部的点和点满足（，四边形），请直接写出t的取值范围． 【答案】（1）6，8； （2）或 （3）或 【解析】 【分析】本题考查了图形与坐标，新定义，熟练运用数形结合思想是解题的关键． （1）设交x轴于M，根据点的坐标得到轴，则，即可得到O到的距离，即d（点O，）；再推出，即可得到； （2）在直线上找出到到距离等于2的点，画出图形即可得到答案； （3）分三种情况：①当时，②当时，，③当时，分别求出（，四边形）和（，四边形）时t的值，进而结合图形和定义可得答案． 【小问1详解】 解：设交x轴于M， ∵， ∴轴， ∴， ∴O到的距离， ∴d（点O，） ∵，，，， ∴， ∴ 故答案为：6，8； 【小问2详解】 解：作直线，取，如图： 在直线上，到距离为2，线段上的点到距离都小于2， 同理到的距离为2，线段上的点到的距离都小于2， ∴当d（点T，G），或； 【小问3详解】 解：当时， 设与x轴交于G，与y轴交于H，则， ∵，， ∴，， ∴， ∴此时线段上的一点到四边形上一点的距离的最小值即为或的长， 当时，此时，即（，四边形）； 当时，此时，即（，四边形）； ∴当时，（，四边形）； 如图所示，当时，此时（，四边形） 当时， 同理可得当时，此时（，四边形）； 当时，此时（，四边形）； ∴当时，（，四边形）； 综上所述，或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $