2026届高考物理三轮终极冲刺 讲义07：简谐运动的综合运用

该高中物理高考复习教案聚焦简谐运动综合运用专题，涵盖弹簧振子、单摆模型、变型模型及与万有引力、电场、电磁感应的综合应用，按基础模型到跨模块综合的逻辑组织知识点。通过考情分析明确考查方向，核心内容分模块梳理，题型分类讲解（典例示范+变式训练），结合高考真题强化应用，帮助学生构建系统知识网络。 教案突出科学思维与模型建构，如在单摆模型教学中引导学生分析等效摆长和等效重力加速度建立物理模型，在弹簧振子题型中强化周期性和对称性的应用。设置基础巩固、能力提升、综合应用分层练习，配合真题演练即时反馈，有效培养学生问题解决能力，为教师把控复习节奏提供清晰路径。

高考物理终极冲刺，全力以赴，备战高考！ 高考物理终极冲刺07 简谐运动的综合运用 高考全国考情分析 A B C LOREM LOREM LOREM 1、 考察方向与分值占比： 简谐运动是高考物理高频基础考点，全国卷与新高考卷均稳定考查，分值多为4至6分，题型以选择题为主，极少涉及计算题，整体难度较低，是稳拿基础分的关键模块。高考命题以弹簧振子、单摆两大核心模型为载体，重点考查简谐运动的周期性、对称性和往复运动规律。考题主要围绕振幅、周期、频率的判断与计算，位移、速度、加速度及回复力的动态变化规律展开，同时侧重振动图像的解读分析。此外，会结合能量规律，考查振动过程中动能与势能的相互转化及机械能守恒特点。命题情境常规、套路固定，偶尔结合生活现象创新设问，知识点综合性弱，只要熟记核心规律与模型特点，就能快速解题、稳定得分。 2、核心考查内容： 弹簧振子、单摆模型、变型“弹簧振子”、简谐运动与万有引力的综合、电场中的简谐运动、电磁感应中的简谐运动。 1、弹簧振子：掌握水平、竖直弹簧振子的回复力来源、周期公式，熟记位移、速度、加速度的对称与周期性变化规律，分析振动过程中机械能守恒及动能、弹性势能的转化规律。 2、单摆模型：明确单摆简谐运动条件，熟练运用周期公式，掌握等效摆长、等效重力加速度计算，分析单摆振动过程中的受力、运动及能量变化特点。 3、变型“弹簧振子”：识别斜面、叠加体等非常规弹簧振动模型，找准等效劲度系数与平衡位置，判断回复力构成，求解振动周期与运动变化规律。 4、简谐运动与万有引力综合：依托天体、地表特殊场景，结合万有引力等效重力，求解等效重力加速度，分析星球上单摆、弹簧振子的周期变化规律。 5、电场中的简谐运动：叠加电场力与重力确定等效平衡位置，求解等效回复力与振动周期，分析带电体在复合场中的简谐振动及能量变化。 6、电磁感应中的简谐运动：分析导体棒、线框在磁场中振动的受力情况，判断安培力对振动的影响，区分阻尼振动与简谐运动，结合电磁感应规律求解运动与电学物理量。 核心知识点及具体题型 A B C LOREM LOREM LOREM 【题型一】弹簧振子 分析简谐运动的技巧： （1）分析简谐运动中各物理量的变化情况时，要以位移（相对平衡位置的位移）为桥梁，位移增大时，振动质点的回复力、加速度、势能均增大，速度、动能均减小；反之，则产生相反的变化。另外，各矢量均在其值为零时改变方向。 （2）分析过程中要特别注意简谐运动的周期性和对称性。 （3）若没有给出开始时刻质点的振动方向，还须分情况讨论，以防丢解。 【典例1】（2026·四川成都·三模）如图所示，小球在轻弹簧作用下沿光滑水平杆做简谐运动，为平衡位置。小球振动过程中，下列哪个物理量相同时弹簧长度一定相同（　　） A．小球的加速度 B．小球的速度 C．小球的动能 D．系统的弹性势能 【变式1-1】（2026·北京海淀·三模）如图所示，弹簧振子的平衡位置为O点，小球在B、C两点之间做简谐运动，B点与C点相距20cm。小球经过B点时开始计时，经过2s首次到达C点。若以平衡位置O点为坐标原点，沿水平方向建立坐标轴，下列说法正确的是（　　） A．弹簧振子做简谐运动的周期为2s B．小球做简谐运动的振幅为20cm C．0~2s内，小球的动能先减小后增大 D．弹簧振子做简谐运动的位移x随时间t的变化关系为 【变式1-2】（2026·福建泉州·三模）（多选）如图，截面为等腰三角形的光滑斜面体固定在水平地面上，斜面顶端固定一轻质滑轮。质量均为的相同小物块A、B通过不可伸长的轻绳连接，轻绳跨过滑轮并与斜面平行，用劲度系数为的相同轻质弹簧分别将A、B与斜面体底端相连。A、B静止时弹簧均处于原长且与斜面平行。现将A沿斜面缓慢下拉，然后松手。弹簧始终在弹性限度内，不计一切摩擦。则在两物块运动过程中（　　） A．连接B的弹簧最大压缩量为 B．A向上运动过程中其加速度随时间线性减小 C．A向上运动过程中其最大速度大小为 D．A向上运动过程中轻绳对滑轮的作用力保持不变 【题型二】单摆模型 1、公式的适用条件：单摆的最大偏角θm很小时，单摆的运动才能近似看作简谐运动，公式T＝2π 才适用。一般要求最大偏角θm<5°。 2、在等效单摆模型中，公式可变换为T＝2π 。 ①l′——等效摆长：摆动圆弧的圆心到摆球重心的距离。如图甲所示的双线摆在垂直于纸面的平面内摆动，等效摆长l′＝r＋Lcosα。乙图中小球(可看作质点)在半径为R的光滑圆槽中A点的附近振动，其等效摆长为l′＝R。 ②g′——等效重力加速度：与单摆所处物理环境有关。 a．在不同星球表面，若忽略星球的自转，g′＝，M为星球的质量，R为星球的半径。 b．单摆处于超重或失重状态下的等效重力加速度分别为g′＝g＋a和g′＝g－a，a为超重或失重时单摆系统整体竖直向上或竖直向下的加速度大小。 c．如图丙所示，空间有竖直向下的电场强度大小为E的匀强电场，小球的质量为m、所带电荷量为＋q，细线绝缘，则等效重力加速度g′＝g＋。 【典例2】（2026·广东·二模）如图甲，将一个小钢球通过两根长均为s的不可伸长的细线悬挂在A、B两点，A、B两点连线水平且距离为x，摆球直径为d。摆球在垂直纸面内的竖直面内小角度摆动，则： (1)该单摆的摆长L=_______（用s、x、d表示）； (2)用游标卡尺测量d如图乙，则d=_______mm； (3)写出该双线摆的一个优点：_______。 【变式2-1】（2026·北京西城·一模）用图1所示的装置做“用单摆测重力加速度”的实验。 (1)下列实验操作正确的是______（填选项前的字母）。 A．用轻且不易伸长的细线和密度大且直径较小的球组装成单摆 B．让小球从细线与竖直方向夹角为30°的位置开始运动 C．在最高点释放小球并同时开始计时 D．在小球经过最低点时开始计时，测量次全振动的时间 (2)如图2所示，用游标卡尺测量摆球直径。摆球直径_________mm。 (3)测量摆球直径d，摆线长l，单摆完成n次全振动的时间t，可得重力加速度的大小___________（用题目所给的字母表示）。 (4)某同学设计了利用单摆和力传感器验证机械能守恒定律的实验方案。如图3所示，O点为单摆的悬点，将摆球从A点由静止释放，摆球将在竖直面内的A、C之间来回摆动，B点为运动的最低点。摆球运动过程中用力传感器测量细线上的拉力大小，传感器示数的最大值和最小值分别为F1和F2。摆球静止在B点时，传感器示数为F0。推导说明，F0、F1、F2满足什么关系即可验证摆球运动过程中在A点和B点的机械能相等___________________。 【变式2-2】（2026·黑龙江哈尔滨·二模）几个摆长相同的单摆在竖直面内不同条件下做简谐运动，图甲处于重力场中，图乙处于竖直向下的匀强电场中，图丙处于垂直纸面向里的匀强磁场中，图丁绝缘天花板固定一正的点电荷。图乙、丙、丁中小球电荷量为，小球可视为质点，不计空气阻力，下列说法正确的是（    ） A．图甲中，小球所受重力和拉力的合力充当回复力 B．图乙中，小球做简谐运动的周期最小 C．图丙中，小球每次通过最低点时线的拉力大小不变 D．图丁中，若将正点电荷换为负点电荷，单摆的周期会变大 【题型三】变型“弹簧振子” 模型建构： 此类问题主要识别物理情景中物体的运动受力是否满足力与位移成正比且方向相反。一般情况下，物体受到一个恒力与一个和位移成正比的力情况下为变型“弹簧振子”。 【典例3】（2026·河北唐山·二模）如图所示，一半径为的竖直光滑圆弧轨道与光滑水平面相切于点，圆弧轨道末端固定一上表面光滑的压敏传感器（未画出）。光滑水平面上放置两小物块、，小物块、质量分别为和，小物块距离点为，小物块锁定在水平面上，、间有一处于原长的轻质弹簧，其劲度系数为，始终在弹性限度内。现将一质量为的小物块由点静止释放，小物块经过传感器时，其示数为。小物块与在水平面上碰撞时间极短，且粘在一起。当、两小物块将弹簧压缩到某一位置时释放小物块，且能使小物块脱离弹簧时获得的速度最大。已知重力加速度取，，弹簧弹性势能表达式为（为弹簧的形变量），弹簧振子做简谐运动的周期公式为（为振子的质量，为弹簧的劲度系数），求： (1)、两点间竖直高度； (2)小物块、碰撞过程损失的机械能； (3)从开始释放小物块M到刚释放小物块Q的过程中，小物块M运动的时间。 【变式3-1】（2026·福建三明·二模）如图，为测试新型缓冲装置的安全性，工程师在滑雪训练场搭建了一倾角为的冰坡，轻质弹簧下端固定于坡底，上端与质量为m的缓冲块P连接。初始时P静止，另一质量为2m的滑雪机器人Q从P上方某处由静止释放，Q与P碰撞后“粘”在一起但不锁定，之后它们共同沿坡面向下运动到最低点时，弹簧的弹力大小为3.3mg。若弹簧始终在弹性限度内，P、Q均可视为质点，重力加速度大小为g，冰坡摩擦可忽略，则（　　） A．碰后一起下滑过程中，Q对P压力先减小后增大 B．P上滑时弹簧的弹力方向可能变化 C．整个运动过程中P、Q可能会分离 D．弹簧弹力的最小值为0.3mg 【变式3-2】（2026·福建福州·二模）（多选）如图甲，倾角的光滑斜面固定于水平面，劲度系数k=100 N/m的轻弹簧一端固定在斜面挡板上，另一端与木板相连，木板静止在斜面上。现有一质量m=2 kg的小物块以初速度从木板的上端P点滑入，t=2 s时小物块滑至木板的下端Q点，此时小物块和木板的速度恰好均为零，木板前2 s内的v-t图像为正弦图线（如图乙所示）。已知小物块与长木板间的动摩擦因数，取重力加速度，弹簧形变均在弹性限度内。则下列说法正确的是（    ） A．小物块滑上木板的初速度大小 B．前2 s内，小物块与木板间摩擦生热为75 J C．前1.5 s内，木板与弹簧系统的机械能增加了6.75 J D．若，木板与弹簧系统的机械能增加最多 【题型四】简谐运动与万有引力的综合 在匀质球体内部距离球心r处的质点(m)受到的球体其他部分物质的万有引力，等于球体内半径为r的同心球体(M′)对其的万有引力，即F＝G。 【典例4】（2026·江西九江·二模）如图，光滑竖直玻璃管内有一劲度系数为k的轻质弹簧，下端固定，上端与一物块P相连，物块Q与物块P之间不粘连，P、Q质量均为。初始时用竖直向下的力压物块Q，系统处于静止状态，某时刻撤去外力，此后在物块P、Q运动过程中，两者会分离。每当两者分离时立刻给物块Q施加竖直向上的恒力，每当两者接触时立刻撤去。P、Q之间的碰撞为弹性碰撞，且弹簧始终处于弹性限度内。已知弹簧的弹性势能与形变量x的关系为，弹簧振子的周期公式为。求： (1)从撤去外力到P、Q第一次分离时的位移大小； (2)从撤去外力到P、Q第一次分离时的时间； (3)从撤去外力到P、Q第2026次相遇时的时间及此次相遇的位置。 【变式4-1】（2026·湖南·一模）如图所示，一轻质弹簧一端固定在竖直墙上，另一端与质量为的物块A相连，弹簧的劲度系数为。初始时，物块A静止在粗糙水平面的点，物块A与水平面之间的动摩擦因数为，弹簧处于原长。光滑的、半径为的四分之一圆弧体B质量为静止在水平面上，弧面的最低点刚好与水平面相切，与相距足够远。质量为的物块C锁定在圆弧面的最高点。现用一水平向左的推力将物块A缓慢向左推动距离为到达时，撤去推力，同时解除锁定，将物块C由静止释放，物块C与物块A发生的碰撞为弹性碰撞。不计物块C的大小，忽略物块C与圆弧体和水平面之间的摩擦力，水平面足够长，弹簧始终处于弹性限度内，重力加速度取，可能用到的物理公式有：弹簧的弹性势能，其中为弹簧的形变量；弹簧振子做简谐运动的周期，求： (1)在物块从缓慢向左运动到的过程中，水平推力做的功； (2)圆弧体B的最终速度大小； (3)物块A从开始运动到最终静止的过程中，物块A和水平面之间摩擦产生的热量（结果要求保留一位小数）。 【变式4-2】（2026·上海嘉定·二模）设地球为一密度为的均匀球体，已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零。如图所示，若沿地球的直径挖一条细隧道，将一质量为的物体从隧道端由静止释放刚好能运动到端。（不考虑阻力，地球半径为，万有引力常量为） （1）物体在隧道内距离地心为处，受到的万有引力大小为___________。 A． B． C． D． E． （2）在水平弹簧振子中，弹簧劲度系数为，小球质量为，则弹簧振子做简谐运动振动周期为。论证物体在隧道中做简谐振动，并求出从端释放开始计时物体在隧道端的时刻。 【题型五】电场中的简谐运动 模型分析： 电场中的简谐运动主要需要熟悉等量同种电荷连线中垂线上电导场线分布、异种电荷连线上的电场线分布、匀强电场加弹簧模型。 【典例5】（2026·河南新乡·模拟预测）下列选项中现象和原理表述正确的是（     ） A．图甲为水波在水域深度不同区域传播时的图样，A、B两处水波的振动频率不同 B．图乙为频率相同的两列简谐横波相遇，实线表示波峰，介质中M点的位移不会为零 C．图丙中，救护车从路人身边经过时，人听到笛声的频率发生变化，是波的干涉现象 D．图丁中，单摆a被拉离平衡位置后开始摆动，其余三个单摆中单摆c的振幅最大，是共振现象 【变式5-1】（2026·山东泰安·模拟预测）（多选）如图为微量振荡天平测量大气颗粒物质量的原理简图。气流穿过滤膜后，颗粒物附着在滤膜上增加锥形振荡管的质量，从而改变其固有频率。固定在锥形振荡管上磁体的磁极正对接入电路中的霍尔元件。起振器从低到高改变振动频率，根据霍尔元件模块、端输出的电信号可以测量出锥形振荡管与起振器的共振频率，进而推测出滤膜上的颗粒物质量。已知霍尔元件由金属材料制成，则下列说法正确的是（　　） A．霍尔元件上表面的电势低于下表面的电势 B．霍尔元件上表面的电势高于下表面的电势 C．起振器振动频率越大，霍尔元件输出电压最大值越大 D．锥形振荡管左右振动时，霍尔元件的、端输出直流信号 【变式5-2】（2026·湖南衡阳·模拟预测）如图1所示，某扫描隧道显微镜减振装置由绝缘减振平台和磁阻尼减振器组成。平台通过三根关于O1O2轴对称分布的相同轻杆悬挂在轻质弹簧的下端O1处，弹簧上端固定在O点，三个相同的关于O1O2轴对称放置的减振器位于平台下方。图2为减振器的工作原理图，每个减振器由通过绝缘轻杆固定在平台下表面的线圈和固定在桌面上能产生辐向磁场的铁磁体组成，辐向磁场关于线圈中心竖直轴对称，线圈所在处磁感应强度大小均为B。处于静止状态的平台受到外界微小扰动，线圈在磁场中做竖直方向的阻尼运动，其位移随时间变化的图像如图3所示，t=0时刻，其速度为v0，方向竖直向下，t1时刻的位移为A。平台和三个线圈的总质量为m，弹簧的劲度系数为k，每个线圈半径为r、电阻为R。当弹簧形变量为时，其弹性势能为。不计空气阻力，下列说法正确的是（　　） A．平台静止时弹簧的伸长量为 B．扫描隧道显微镜减振装置在振动过程中机械能守恒 C．在0~t1时间内，每个线圈产生的焦耳热为 D．t=0时刻，每个线圈所受安培力的大小为 【题型六】电磁感应中的简谐运动 模型分析： 电磁感应中的简谐运动主要集中在最近较热题型--含感切割模型，注意此模型一定为回路中不能有电阻存在。利用微元积分的方法进行处理分析。 【典例6】（2026·重庆渝中·模拟预测）（多选）如图所示，O点左侧水平面光滑，右侧水平面粗糙。一块长度为L的质量均匀分布且质量为m的木板静止在O点左侧，右端距离O点为x0，木板在恒力F作用下由静止沿水平面运动，当木板右端到达O点时立即撤去恒力F，已知O点右侧水平面与木板间的动摩擦因数为μ，木板始终未全部进入O点右侧区域。则以下说法正确的是（   ） A．木板停下前一直做匀变速直线运动 B．木板加速阶段的平均速度小于减速阶段的平均速度 C．最终木板右端离O点的距离大小为 D．若开始木板右端与O点距离x0减小（不为0），木板做减速运动的时间减小 【变式6-1】（2026·江苏·一模）单摆做阻尼振动的位移-时间图像如图所示，则摆球在P与N时刻相同的物理量是（　　） A．加速度 B．动能 C．势能 D．机械能 【变式6-2】（25-26高三上·江苏扬州·期末）兴趣小组利用如图1所示装置研究机械振动，通过手机传感器测量加速度a随时间t变化的图像如图2所示。比较曲线上P、N两点对应的时刻，N时刻（　　） A．小车合外力较大 B．系统机械能较大 C．弹簧弹性势能较大 D．小车动能较大 链接高考 A B C LOREM LOREM LOREM 1．（2025·广东·高考真题）关于受迫振动和多普勒效应，下列说法正确的是（    ） A．系统的固有频率与驱动力频率有关 B．只要驱动力足够大，共振就能发生 C．应用多普勒效应可以测量车辆的速度 D．观察者与波源相互远离时，接收到的波的频率比波源的频率大 2．（2024·甘肃·高考真题）如图为某单摆的振动图像，重力加速度g取，下列说法正确的是（　　） A．摆长为1.6m，起始时刻速度最大 B．摆长为2.5m，起始时刻速度为零 C．摆长为1.6m，A、C点的速度相同 D．摆长为2.5m，A、B点的速度相同 3．（2025·四川·高考真题）如图所示，甲、乙、丙、丁四个小球用不可伸长的轻绳悬挂在天花板上，从左至右摆长依次增加，小球静止在纸面所示竖直平面内。将四个小球垂直纸面向外拉起一小角度，由静止同时释放。释放后小球都做简谐运动。当小球甲完成2个周期的振动时，小球丙恰好到达与小球甲同侧最高点，同时小球乙、丁恰好到达另一侧最高点。则（   ） A．小球甲第一次回到释放位置时，小球丙加速度为零 B．小球丁第一次回到平衡位置时，小球乙动能为零 C．小球甲、乙的振动周期之比为 D．小球丙、丁的摆长之比为 4．（2025·北京·高考真题）绝缘的轻质弹簧上端固定，下端悬挂一个磁铁。将磁铁从弹簧原长位置由静止释放，磁铁开始振动，由于空气阻力的影响，振动最终停止。现将一个闭合铜线圈固定在磁铁正下方的桌面上（如图所示），仍将磁铁从弹簧原长位置由静止释放，振动最终也停止。则（　　） A．有无线圈，磁铁经过相同的时间停止运动 B．磁铁靠近线圈时，线圈有扩张趋势 C．磁铁离线圈最近时，线圈受到的安培力最大 D．有无线圈，磁铁和弹簧组成的系统损失的机械能相同 5．（2025·江苏·高考真题）如图所示，弹簧一端固定，另一端与光滑水平面上的木箱相连，箱内放置一小物块，物块与木箱之间有摩擦。压缩弹簧并由静止释放，释放后物块在木箱上有滑动，滑动过程中不与木箱前后壁发生碰撞，不计空气阻力，则（    ） A．释放瞬间，物块加速度为零 B．物块和木箱最终仍有相对运动 C．木箱第一次到达最右端时，物块速度为零 D．物块和木箱的速度第一次相同前，物块受到的摩擦力不变 6．（2024·浙江·高考真题）如图所示，不可伸长的光滑细线穿过质量为0.1kg的小铁球，两端A、B悬挂在倾角为 的固定斜杆上，间距为1.5m。小球平衡时，A端细线与杆垂直；当小球受到垂直纸面方向的扰动做微小摆动时，等效于悬挂点位于小球重垂线与AB交点的单摆，重力加速度，则（　　） A．摆角变小，周期变大 B．小球摆动周期约为2s C．小球平衡时，A端拉力为N D．小球平衡时，A端拉力小于B端拉力 7．（2024·北京·高考真题）图甲为用手机和轻弹簧制作的一个振动装置。手机加速度传感器记录了手机在竖直方向的振动情况，以向上为正方向，得到手机振动过程中加速度a随时间t变化的曲线为正弦曲线，如图乙所示。下列说法正确的是（　　） A．时，弹簧弹力为0 B．时，手机位于平衡位置上方 C．从至，手机的动能增大 D．a随t变化的关系式为 8．（2025·甘肃·高考真题）（多选）如图，轻质弹簧上端固定，下端悬挂质量为的小球A，质量为m的小球B与A用细线相连，整个系统处于静止状态。弹簧劲度系数为k，重力加速度为g。现剪断细线，下列说法正确的是（   ） A．小球A运动到弹簧原长处的速度最大 B．剪断细线的瞬间，小球A的加速度大小为 C．小球A运动到最高点时，弹簧的伸长量为 D．小球A运动到最低点时，弹簧的伸长量为 9．（2024·海南·高考真题）（多选）真空中有两个点电荷，电荷量均为−q（q ≥ 0），固定于相距为2r的P1、P2两点，O是P1P2连线的中点，M点在P1P2连线的中垂线上，距离O点为r，N点在P1P2连线上，距离O点为x（x << r），已知静电力常量为k，则下列说法正确的是（   ） A．P1P2中垂线上电场强度最大的点到O点的距离为 B．P1P2中垂线上电场强度的最大值为 C．在M点放入一电子，从静止释放，电子的加速度一直减小 D．在N点放入一电子，从静止释放，电子的运动可视为简谐运动 10．（2023·河北·高考真题）（多选）如图，质量为m的小球穿在固定光滑杆上，与两个完全相同的轻质弹相连。开始时将小球控制在杆上的A点，弹簧1竖直且处于原长，弹簧2处于水平伸长状态，两弹簧可绕各自转轴，无摩擦转动。B为杆上的另一个点，与、A、构成矩形，。现将小球从A点释放，两弹簧始终处于弹性限度内。下列说法正确的是（　　） A．小球沿杆在AB之间做往复运动 B．与没有弹簧时相比，小球从A点运动到B点所用的时间更短 C．小球从A点运动到B点的过程中，两个弹簧对小球做的总功为零 D．小球从A点运动到B点的过程中，弹簧2的弹性势能先减小后增大 11．（2024·湖南·高考真题）在太空，物体完全失重，用天平无法测量质量。如图，某同学设计了一个动力学方法测量物体质量的实验方案，主要实验仪器包括：气垫导轨、滑块、轻弹簧、标准砝码、光电计时器和待测物体，主要步骤如下： （1）调平气垫导轨，将弹簧左端连接气垫导轨左端，右端连接滑块； （2）将滑块拉至离平衡位置20cm处由静止释放，滑块第1次经过平衡位置处开始计时，第21次经过平衡位置时停止计时，由此测得弹簧振子的振动周期T； （3）将质量为m的砝码固定在滑块上，重复步骤（2）； （4）依次增加砝码质量m，测出对应的周期T，实验数据如下表所示，在图中绘制T2—m关系图线______； m/kg T/s T2/s2 0.000 0.632 0.399 0.050 0.775 0.601 0.100 0.893 0.797 0.150 1.001 1.002 0.200 1.105 1.221 0.250 1.175 1.381 （5）由T2—m图像可知，弹簧振子振动周期的平方与砝码质量的关系是________（填“线性的”或“非线性的”）； （6）取下砝码后，将待测物体固定在滑块上，测量周期并得到T2 = 0.880s2，则待测物体质量是________kg（保留3位有效数字）； （7）若换一个质量较小的滑块重做上述实验，所得T2—m图线与原图线相比将沿纵轴________移动（填“正方向”“负方向”或“不”）。 12．（2023·湖南·高考真题）某同学探究弹簧振子振动周期与质量的关系，实验装置如图（a）所示，轻质弹簧上端悬挂在铁架台上，下端挂有钩码，钩码下表面吸附一个小磁铁，其正下方放置智能手机，手机中的磁传感器可以采集磁感应强度实时变化的数据并输出图像，实验步骤如下：    （1）测出钩码和小磁铁的总质量; （2）在弹簧下端挂上该钩码和小磁铁，使弹簧振子在竖直方向做简谐运动，打开手机的磁传感器软件，此时磁传感器记录的磁感应强度变化周期等于弹簧振子振动周期； （3）某次采集到的磁感应强度的大小随时间变化的图像如图（b）所示，从图中可以算出弹簧振子振动周期______（用“”表示）； （4）改变钩码质量，重复上述步骤； （5）实验测得数据如下表所示，分析数据可知，弹簧振子振动周期的平方与质量的关系是______（填“线性的”或“非线性的”）； 0.015 2.43 0.243 0.059 0.025 3.14 0.314 0.099 0.035 3.72 0.372 0.138 0.045 4.22 0.422 0.178 0.055 4.66 0.466 0.217 （6）设弹簧的劲度系数为，根据实验结果并结合物理量的单位关系，弹簧振子振动周期的表达式可能是______（填正确答案标号）； A．    B．     C．     D． （7）除偶然误差外，写出一条本实验中可能产生误差的原因：____________． 13．（2023·上海·高考真题）如图，将小球拴于的轻绳上，，向左拉开一段距离释放，水平地面上有一物块，。小球于最低点与物块碰撞，与碰撞前瞬间向心加速度为，碰撞前后的速度之比为，碰撞前后、总动量不变。（重力加速度取，水平地面动摩擦因数） （1）求碰撞后瞬间物块的速度； （2）与碰撞后再次回到点的时间内，求物块运动的距离。    14．（2025·江西·高考真题）如图所示，在竖直平面内一轻质弹力绳的一端固定于P点，另一端经光滑孔钉Q连接质量为m的小球A，该球穿过与水平直杆（足够长）成角的直杆，两杆平滑连接。点P、Q和O在同一竖直线上，间距为弹力绳原长。将小球A拉至与Q等高的位置由静止释放。当小球A首次运动到斜杆底端O点后，在水平方向与穿在直杆且静止于O点、质量为的小球B发生弹性碰撞。小球A、B与杆间的动摩擦因数均为，且最大静摩擦力等于滑动摩擦力。弹力绳始终在弹性限度内且满足胡克定律，劲度系数为k，其弹性势能与伸长量x的关系为。已知重力加速度为g，间距为。 (1)求小球A下滑过程中滑动摩擦力的大小； (2)若从碰撞后开始计时，小球A第一次上滑过程中离O点的距离x与时间t关系为（为常数），求小球A第一次速度为零时，小球B与O点的距离。 15．（2022·山东·高考真题）如图所示，“L”型平板B静置在地面上，小物块A处于平板B上的点，点左侧粗糙，右侧光滑。用不可伸长的轻绳将质量为M的小球悬挂在点正上方的O点，轻绳处于水平拉直状态。将小球由静止释放，下摆至最低点与小物块A发生碰撞，碰后小球速度方向与碰前方向相同，开始做简谐运动（要求摆角小于），A以速度沿平板滑动直至与B右侧挡板发生弹性碰撞。一段时间后，A返回到O点的正下方时，相对于地面的速度减为零，此时小球恰好第一次上升到最高点。已知A的质量，B的质量，A与B的动摩擦因数，B与地面间的动摩擦因数，取重力加速度。整个过程中A始终在B上，所有碰撞时间忽略不计，不计空气阻力，求： （1）A与B的挡板碰撞后，二者的速度大小与； （2）B光滑部分的长度d； （3）运动过程中A对B的摩擦力所做的功； （4）实现上述运动过程，的取值范围（结果用表示）。 1 学科网（北京）股份有限公司 $高考物理终极冲刺，全力以赴，备战高考！ 高考物理终极冲刺07 简谐运动的综合运用 高考全国考情分析 A B C LOREM LOREM LOREM 1、 考察方向与分值占比： 简谐运动是高考物理高频基础考点，全国卷与新高考卷均稳定考查，分值多为4至6分，题型以选择题为主，极少涉及计算题，整体难度较低，是稳拿基础分的关键模块。高考命题以弹簧振子、单摆两大核心模型为载体，重点考查简谐运动的周期性、对称性和往复运动规律。考题主要围绕振幅、周期、频率的判断与计算，位移、速度、加速度及回复力的动态变化规律展开，同时侧重振动图像的解读分析。此外，会结合能量规律，考查振动过程中动能与势能的相互转化及机械能守恒特点。命题情境常规、套路固定，偶尔结合生活现象创新设问，知识点综合性弱，只要熟记核心规律与模型特点，就能快速解题、稳定得分。 2、核心考查内容： 弹簧振子、单摆模型、变型“弹簧振子”、简谐运动与万有引力的综合、电场中的简谐运动、电磁感应中的简谐运动。 1、弹簧振子：掌握水平、竖直弹簧振子的回复力来源、周期公式，熟记位移、速度、加速度的对称与周期性变化规律，分析振动过程中机械能守恒及动能、弹性势能的转化规律。 2、单摆模型：明确单摆简谐运动条件，熟练运用周期公式，掌握等效摆长、等效重力加速度计算，分析单摆振动过程中的受力、运动及能量变化特点。 3、变型“弹簧振子”：识别斜面、叠加体等非常规弹簧振动模型，找准等效劲度系数与平衡位置，判断回复力构成，求解振动周期与运动变化规律。 4、简谐运动与万有引力综合：依托天体、地表特殊场景，结合万有引力等效重力，求解等效重力加速度，分析星球上单摆、弹簧振子的周期变化规律。 5、电场中的简谐运动：叠加电场力与重力确定等效平衡位置，求解等效回复力与振动周期，分析带电体在复合场中的简谐振动及能量变化。 6、电磁感应中的简谐运动：分析导体棒、线框在磁场中振动的受力情况，判断安培力对振动的影响，区分阻尼振动与简谐运动，结合电磁感应规律求解运动与电学物理量。 核心知识点及具体题型 A B C LOREM LOREM LOREM 【题型一】弹簧振子 分析简谐运动的技巧： （1）分析简谐运动中各物理量的变化情况时，要以位移（相对平衡位置的位移）为桥梁，位移增大时，振动质点的回复力、加速度、势能均增大，速度、动能均减小；反之，则产生相反的变化。另外，各矢量均在其值为零时改变方向。 （2）分析过程中要特别注意简谐运动的周期性和对称性。 （3）若没有给出开始时刻质点的振动方向，还须分情况讨论，以防丢解。 【典例1】（2026·四川成都·三模）如图所示，小球在轻弹簧作用下沿光滑水平杆做简谐运动，为平衡位置。小球振动过程中，下列哪个物理量相同时弹簧长度一定相同（　　） A．小球的加速度 B．小球的速度 C．小球的动能 D．系统的弹性势能 【答案】A 【详解】A．根据，则加速度相同时，弹簧的形变量相同，且小球肯定位于相同的位置，则此时弹簧长度一定相同，A正确； BCD．小球的速度相同或者是动能相同，或者是系统的弹性势能相同时，小球可能位于同一位置，此时弹簧的长度相同，但也可能位于平衡位置对称的位置，此时弹簧的长度不同，BCD错误。 故选A。 【变式1-1】（2026·北京海淀·三模）如图所示，弹簧振子的平衡位置为O点，小球在B、C两点之间做简谐运动，B点与C点相距20cm。小球经过B点时开始计时，经过2s首次到达C点。若以平衡位置O点为坐标原点，沿水平方向建立坐标轴，下列说法正确的是（　　） A．弹簧振子做简谐运动的周期为2s B．小球做简谐运动的振幅为20cm C．0~2s内，小球的动能先减小后增大 D．弹簧振子做简谐运动的位移x随时间t的变化关系为 【答案】D 【详解】A．因从B开始运动第一次到达C点为半个周期，可知弹簧振子做简谐运动的周期为T=4s，A错误； B．小球做简谐运动的振幅为A=10cm，B错误； C．0~2s内，小球的速度先增加后减小，可知小球的动能先增大后减小，C错误； D．弹簧振子做简谐运动的位移x随时间t的变化关系为，D正确。 故选D。 【变式1-2】（2026·福建泉州·三模）（多选）如图，截面为等腰三角形的光滑斜面体固定在水平地面上，斜面顶端固定一轻质滑轮。质量均为的相同小物块A、B通过不可伸长的轻绳连接，轻绳跨过滑轮并与斜面平行，用劲度系数为的相同轻质弹簧分别将A、B与斜面体底端相连。A、B静止时弹簧均处于原长且与斜面平行。现将A沿斜面缓慢下拉，然后松手。弹簧始终在弹性限度内，不计一切摩擦。则在两物块运动过程中（　　） A．连接B的弹簧最大压缩量为 B．A向上运动过程中其加速度随时间线性减小 C．A向上运动过程中其最大速度大小为 D．A向上运动过程中轻绳对滑轮的作用力保持不变 【答案】AD 【详解】A．设沿斜面向下为A物块的位移正方向，则B物块的位移向上为正，二者位移大小相等 A物块受力：重力分力方向向下，弹簧弹力方向向上，绳张力方向向上 B物块受力：重力分力方向向下，弹簧弹力方向向下，绳张力方向向上 由牛顿第二定律：A物块，B物块 两式相加得，即 故系统做简谐振动，频率，振幅 B物块的弹簧压缩量等于B物块的位移，故最大位移为振幅，故A正确； B．加速度，又简谐振动 故随时间余弦变化，不是线性，故B错误； C．由机械能守恒，初始弹性势能，其全部转化为动能时速度最大，有 解得，故C错误； D．由A物块，B物块 两式相减得，恒为常数，故轻绳对滑轮的作用力保持不变，故D正确； 故选AD。 【题型二】单摆模型 1、公式的适用条件：单摆的最大偏角θm很小时，单摆的运动才能近似看作简谐运动，公式T＝2π 才适用。一般要求最大偏角θm<5°。 2、在等效单摆模型中，公式可变换为T＝2π 。 ①l′——等效摆长：摆动圆弧的圆心到摆球重心的距离。如图甲所示的双线摆在垂直于纸面的平面内摆动，等效摆长l′＝r＋Lcosα。乙图中小球(可看作质点)在半径为R的光滑圆槽中A点的附近振动，其等效摆长为l′＝R。 ②g′——等效重力加速度：与单摆所处物理环境有关。 a．在不同星球表面，若忽略星球的自转，g′＝，M为星球的质量，R为星球的半径。 b．单摆处于超重或失重状态下的等效重力加速度分别为g′＝g＋a和g′＝g－a，a为超重或失重时单摆系统整体竖直向上或竖直向下的加速度大小。 c．如图丙所示，空间有竖直向下的电场强度大小为E的匀强电场，小球的质量为m、所带电荷量为＋q，细线绝缘，则等效重力加速度g′＝g＋。 【典例2】（2026·广东·二模）如图甲，将一个小钢球通过两根长均为s的不可伸长的细线悬挂在A、B两点，A、B两点连线水平且距离为x，摆球直径为d。摆球在垂直纸面内的竖直面内小角度摆动，则： (1)该单摆的摆长L=_______（用s、x、d表示）； (2)用游标卡尺测量d如图乙，则d=_______mm； (3)写出该双线摆的一个优点：_______。 【答案】(1) (2)15.3 (3)可以比较稳定地控制摆球在同一竖直面内摆动 【详解】（1）如图，摆长为O点到球心的距离 由勾股定理可得图中虚线长度为 故摆长为 （2）游标卡尺的主尺部分读数为，游标尺有10小格，分度值为，游标尺上的第3小格与主尺对齐，读数为 摆球直径 （3）该双线摆的一个优点：可以比较稳定地控制摆球在同一竖直面内摆动，答案合理均可。 【变式2-1】（2026·北京西城·一模）用图1所示的装置做“用单摆测重力加速度”的实验。 (1)下列实验操作正确的是______（填选项前的字母）。 A．用轻且不易伸长的细线和密度大且直径较小的球组装成单摆 B．让小球从细线与竖直方向夹角为30°的位置开始运动 C．在最高点释放小球并同时开始计时 D．在小球经过最低点时开始计时，测量次全振动的时间 (2)如图2所示，用游标卡尺测量摆球直径。摆球直径_________mm。 (3)测量摆球直径d，摆线长l，单摆完成n次全振动的时间t，可得重力加速度的大小___________（用题目所给的字母表示）。 (4)某同学设计了利用单摆和力传感器验证机械能守恒定律的实验方案。如图3所示，O点为单摆的悬点，将摆球从A点由静止释放，摆球将在竖直面内的A、C之间来回摆动，B点为运动的最低点。摆球运动过程中用力传感器测量细线上的拉力大小，传感器示数的最大值和最小值分别为F1和F2。摆球静止在B点时，传感器示数为F0。推导说明，F0、F1、F2满足什么关系即可验证摆球运动过程中在A点和B点的机械能相等___________________。 【答案】(1)AD (2)18.8 (3) (4) 【详解】（1）A．轻且不易伸长的细线可保证摆长稳定，密度大直径小的摆球可减小空气阻力影响，操作正确，故A正确； B．单摆做简谐运动要求摆角小于（不超过），偏角过大，不再是简谐运动，故B错误； CD．单摆计时应选在最低点，此处小球速度大，计时误差更小，且测量多次全振动可减小周期测量误差，故C错误，D正确。 故选AD。 （2）10分度游标卡尺读数为 （3）单摆摆长，周期 代入单摆周期公式 ​​ 整理得重力加速度 （4）摆球静止在B点时 最高点速度为0，沿绳方向向心力为0，得最小拉力 最低点拉力最大，由向心力公式得 若机械能守恒，A到B重力势能减少量等于动能增加量 ​​代入整理得，满足该关系即可验证机械能相等。 【变式2-2】（2026·黑龙江哈尔滨·二模）几个摆长相同的单摆在竖直面内不同条件下做简谐运动，图甲处于重力场中，图乙处于竖直向下的匀强电场中，图丙处于垂直纸面向里的匀强磁场中，图丁绝缘天花板固定一正的点电荷。图乙、丙、丁中小球电荷量为，小球可视为质点，不计空气阻力，下列说法正确的是（    ） A．图甲中，小球所受重力和拉力的合力充当回复力 B．图乙中，小球做简谐运动的周期最小 C．图丙中，小球每次通过最低点时线的拉力大小不变 D．图丁中，若将正点电荷换为负点电荷，单摆的周期会变大 【答案】B 【详解】A．图甲中，回复力是重力沿圆弧切线方向的分力，并非重力和拉力合力，故A错误； B．图乙中存在竖直向下的匀强电场，等效重力加速度为 根据周期公式，周期变小，故B正确； C．图丙中洛伦兹力始终垂直于速度，虽不做功，但方向随运动方向改变。小球左右通过最低点时，洛伦兹力方向相反，导致拉力不同，向右过最低点时，向左过最低点时，故C错误； D．图丁中库仑力始终沿摆线径向，不影响切向回复力，因此无论固定电荷正负，等效重力加速度仍为，周期不变，故D错误。 故选B。 【题型三】变型“弹簧振子” 模型建构： 此类问题主要识别物理情景中物体的运动受力是否满足力与位移成正比且方向相反。一般情况下，物体受到一个恒力与一个和位移成正比的力情况下为变型“弹簧振子”。 【典例3】（2026·河北唐山·二模）如图所示，一半径为的竖直光滑圆弧轨道与光滑水平面相切于点，圆弧轨道末端固定一上表面光滑的压敏传感器（未画出）。光滑水平面上放置两小物块、，小物块、质量分别为和，小物块距离点为，小物块锁定在水平面上，、间有一处于原长的轻质弹簧，其劲度系数为，始终在弹性限度内。现将一质量为的小物块由点静止释放，小物块经过传感器时，其示数为。小物块与在水平面上碰撞时间极短，且粘在一起。当、两小物块将弹簧压缩到某一位置时释放小物块，且能使小物块脱离弹簧时获得的速度最大。已知重力加速度取，，弹簧弹性势能表达式为（为弹簧的形变量），弹簧振子做简谐运动的周期公式为（为振子的质量，为弹簧的劲度系数），求： (1)、两点间竖直高度； (2)小物块、碰撞过程损失的机械能； (3)从开始释放小物块M到刚释放小物块Q的过程中，小物块M运动的时间。 【答案】(1)0.8m (2)8J (3) 【详解】（1）物块M从A到B，由机械能守恒定律 在B点时 解得vB=4m/s，h=0.8m （2）MP碰撞过程由动量守恒 解得 可得碰撞损失的能量 （3）释放Q时，P、M得速度为，弹簧恢复原长时P、M得速度为，Q的速度为，根据动量守恒可知 根据机械能守恒可知 化简动量守恒方程得，可知 化简机械能守恒可知，代入得 利用求根公式得（得解已经舍去） 令 求一阶导函数得 解得时Q得最大速度为 结合简谐运动当时解得 对应简谐运动时间为 M从A到B的过程 M从B到C的过程 总时间为 【变式3-1】（2026·福建三明·二模）如图，为测试新型缓冲装置的安全性，工程师在滑雪训练场搭建了一倾角为的冰坡，轻质弹簧下端固定于坡底，上端与质量为m的缓冲块P连接。初始时P静止，另一质量为2m的滑雪机器人Q从P上方某处由静止释放，Q与P碰撞后“粘”在一起但不锁定，之后它们共同沿坡面向下运动到最低点时，弹簧的弹力大小为3.3mg。若弹簧始终在弹性限度内，P、Q均可视为质点，重力加速度大小为g，冰坡摩擦可忽略，则（　　） A．碰后一起下滑过程中，Q对P压力先减小后增大 B．P上滑时弹簧的弹力方向可能变化 C．整个运动过程中P、Q可能会分离 D．弹簧弹力的最小值为0.3mg 【答案】D 【详解】A．碰后一起下滑过程中，PQ整体的加速度先向下减小后向上增加，对Q分析可知 可得，可知Q对P压力一直增大，A错误； BD．在最低点时PQ整体的加速度向上，则 根据对称性可知，整体到达最高点时的加速度与最低点时大小相等且方向相反，则在最高点时 解得最小弹力 此时弹簧仍处于压缩状态；即P上滑时弹簧的弹力方向不变，B错误，D正确； C．若PQ恰分离时，则两者间的压力为零，此时对Q分析可知，加速度为，方向沿斜面向下，则对P此时，则 而由上述分析可知，弹簧弹力不可能为零，则整个运动过程中P、Q不可能会分离，C错误。 故选D。 【变式3-2】（2026·福建福州·二模）（多选）如图甲，倾角的光滑斜面固定于水平面，劲度系数k=100 N/m的轻弹簧一端固定在斜面挡板上，另一端与木板相连，木板静止在斜面上。现有一质量m=2 kg的小物块以初速度从木板的上端P点滑入，t=2 s时小物块滑至木板的下端Q点，此时小物块和木板的速度恰好均为零，木板前2 s内的v-t图像为正弦图线（如图乙所示）。已知小物块与长木板间的动摩擦因数，取重力加速度，弹簧形变均在弹性限度内。则下列说法正确的是（    ） A．小物块滑上木板的初速度大小 B．前2 s内，小物块与木板间摩擦生热为75 J C．前1.5 s内，木板与弹簧系统的机械能增加了6.75 J D．若，木板与弹簧系统的机械能增加最多 【答案】BD 【详解】A．小物块沿斜面向下运动，相对木板向下滑动，摩擦力沿斜面向上。沿斜面方向由牛顿第二定律有 解得小物块加速度 小物块做匀减速直线运动，2s末速度为0，所以初速度，A错误； B．小物块2s内位移 木板的图为正弦曲线，由图可知，0~2s内正面积和负面积抵消，总位移 相对位移 摩擦生热，故B正确； C．木板做简谐运动，受到恒定摩擦力 开始时，回复力满足 解得 由木板的图可得周期为，则角频率 木板位移随时间关系为 时， 木板与弹簧系统机械能增加量等于摩擦力做的功，故C错误； D．木板位移最大时，摩擦力做功最多，系统机械能增加最多。由木板的图可知，木板最大位移出现在时，则 此时相对位移刚好等于木板长度 即 解得，故D正确。 故选BD。 【题型四】简谐运动与万有引力的综合 在匀质球体内部距离球心r处的质点(m)受到的球体其他部分物质的万有引力，等于球体内半径为r的同心球体(M′)对其的万有引力，即F＝G。 【典例4】（2026·江西九江·二模）如图，光滑竖直玻璃管内有一劲度系数为k的轻质弹簧，下端固定，上端与一物块P相连，物块Q与物块P之间不粘连，P、Q质量均为。初始时用竖直向下的力压物块Q，系统处于静止状态，某时刻撤去外力，此后在物块P、Q运动过程中，两者会分离。每当两者分离时立刻给物块Q施加竖直向上的恒力，每当两者接触时立刻撤去。P、Q之间的碰撞为弹性碰撞，且弹簧始终处于弹性限度内。已知弹簧的弹性势能与形变量x的关系为，弹簧振子的周期公式为。求： (1)从撤去外力到P、Q第一次分离时的位移大小； (2)从撤去外力到P、Q第一次分离时的时间； (3)从撤去外力到P、Q第2026次相遇时的时间及此次相遇的位置。 【答案】(1) (2) (3)，在弹簧原长位置 【详解】（1）当P、Q分离时P、Q之间弹力为0，加速度大小相等，令为 对Q由牛顿第二定律有 对P有 解得 初始状态 P、Q第一次分离时弹簧处于原长，解得P、Q位移大小 （2）当PQ一起振动时，周期 平衡位置 可得振幅 根据公式 代入和A可得 时间 （3）从撤去力到第一次分离，令P、Q速度为 根据能量守恒 分离后Q物块 分离后Q物块回到与P分离处的时间 分离后P物块做简谐运动的周期 故P、Q在分离处第一次相遇，此时P向上，Q向下，速度大小相等，发生弹性碰撞，速度交换 P向下振动，Q向上做匀变速运动，P、Q第二次在分离点相遇，具有共同向下的速度，压缩弹簧后又在弹簧原长位置分离，以后将重复上述过程 以此类推，P、Q奇数次相遇时，速度方向相反，发生碰撞速度交换；偶数次相遇时，P、Q速度方向相同 故P、Q第2026次相遇时的位置在弹簧原长位置 分析可得，P、Q第2026次相遇的时间 代入可得。 【变式4-1】（2026·湖南·一模）如图所示，一轻质弹簧一端固定在竖直墙上，另一端与质量为的物块A相连，弹簧的劲度系数为。初始时，物块A静止在粗糙水平面的点，物块A与水平面之间的动摩擦因数为，弹簧处于原长。光滑的、半径为的四分之一圆弧体B质量为静止在水平面上，弧面的最低点刚好与水平面相切，与相距足够远。质量为的物块C锁定在圆弧面的最高点。现用一水平向左的推力将物块A缓慢向左推动距离为到达时，撤去推力，同时解除锁定，将物块C由静止释放，物块C与物块A发生的碰撞为弹性碰撞。不计物块C的大小，忽略物块C与圆弧体和水平面之间的摩擦力，水平面足够长，弹簧始终处于弹性限度内，重力加速度取，可能用到的物理公式有：弹簧的弹性势能，其中为弹簧的形变量；弹簧振子做简谐运动的周期，求： (1)在物块从缓慢向左运动到的过程中，水平推力做的功； (2)圆弧体B的最终速度大小； (3)物块A从开始运动到最终静止的过程中，物块A和水平面之间摩擦产生的热量（结果要求保留一位小数）。 【答案】(1)17.5J (2)2.8m/s (3) 【详解】（1）对物块，从到有 解得 （2）设物块下滑到圆弧体的最低点时，物块、的速度大小分别为和，对、系统有， 解得，水平向右；，水平向左 设物块与静止的物块弹性碰撞完毕时的速度大小分别为和，对物块、系统有， 解得：，水平向左；，水平向右 设圆弧体与物块第二次发生作用后的速度大小分别为和，对、系统有 ， 解得：，水平向右；，水平向右 所以，圆弧体的最终速度大小为 （3）由弹簧振子做简谐运动的规律可得，物块第一次水平向右做简谐运动的振幅；第一次水平向左做简谐运动的振幅；第二次水平向左做简谐运动的振幅为；第二次水平向右做简谐运动的振幅为 物块以的初速度水平向左减速到零的过程中，有 解得： 物块从开始运动到最终静止的过程中，物块经过的总路程 物块和水平面之间摩擦产生的热量 解得 【变式4-2】（2026·上海嘉定·二模）设地球为一密度为的均匀球体，已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零。如图所示，若沿地球的直径挖一条细隧道，将一质量为的物体从隧道端由静止释放刚好能运动到端。（不考虑阻力，地球半径为，万有引力常量为） （1）物体在隧道内距离地心为处，受到的万有引力大小为___________。 A． B． C． D． E． （2）在水平弹簧振子中，弹簧劲度系数为，小球质量为，则弹簧振子做简谐运动振动周期为。论证物体在隧道中做简谐振动，并求出从端释放开始计时物体在隧道端的时刻。 【答案】（1）D （2）见解析 【解析】（1）半径为的球的质量为 由于均匀球壳对壳内物体的引力为零，则此时物体所受引力满足 故选D。 （2）以地心为坐标原点，建立沿隧道的轴。设物体在距离地心处，此时物体受到的万有引力为：（式中负号表示引力方向与位移方向相反，指向地心）。 令等效劲度系数 则 完全符合简谐运动的动力学特征 因此，物体在隧道中做简谐运动，从A端释放开始计时物体在隧道B端的时刻为（n=0，1，2，3…） 【题型五】电场中的简谐运动 模型分析： 电场中的简谐运动主要需要熟悉等量同种电荷连线中垂线上电导场线分布、异种电荷连线上的电场线分布、匀强电场加弹簧模型。 【典例5】（2026·河南新乡·模拟预测）下列选项中现象和原理表述正确的是（     ） A．图甲为水波在水域深度不同区域传播时的图样，A、B两处水波的振动频率不同 B．图乙为频率相同的两列简谐横波相遇，实线表示波峰，介质中M点的位移不会为零 C．图丙中，救护车从路人身边经过时，人听到笛声的频率发生变化，是波的干涉现象 D．图丁中，单摆a被拉离平衡位置后开始摆动，其余三个单摆中单摆c的振幅最大，是共振现象 【答案】D 【详解】A．水波的振动频率由波源决定，与水域深度无关，所以 A、B 两处水波的振动频率是相同的，故A错误； B．图乙为中M点是实线与实线相交的点，即波峰与波峰相遇的点，故M为振动加强点，其振幅最大，位移不会固定不变，会在波峰与波谷之间进行周期性变化，故B错误； C．救护车从路人身边经过时，人听到笛声的频率发生变化，这是多普勒效应，故C错误； D．单摆被拉动后，其余单摆做受迫振动，驱动力频率等于的固有频率，根据单摆周期公式 单摆的摆长与单摆的摆长相同，故的固有周期等于驱动力周期，即的固有频率等于驱动力频率，发生共振，振幅最大，故D正确。 故选D。 【变式5-1】（2026·山东泰安·模拟预测）（多选）如图为微量振荡天平测量大气颗粒物质量的原理简图。气流穿过滤膜后，颗粒物附着在滤膜上增加锥形振荡管的质量，从而改变其固有频率。固定在锥形振荡管上磁体的磁极正对接入电路中的霍尔元件。起振器从低到高改变振动频率，根据霍尔元件模块、端输出的电信号可以测量出锥形振荡管与起振器的共振频率，进而推测出滤膜上的颗粒物质量。已知霍尔元件由金属材料制成，则下列说法正确的是（　　） A．霍尔元件上表面的电势低于下表面的电势 B．霍尔元件上表面的电势高于下表面的电势 C．起振器振动频率越大，霍尔元件输出电压最大值越大 D．锥形振荡管左右振动时，霍尔元件的、端输出直流信号 【答案】AD 【详解】AB．金属霍尔元件的载流子是带负电的自由电子，根据左手定则（对负电荷，四指指向电流方向，磁感线穿手心，大拇指指向洛伦兹力方向），电子会向霍尔元件上表面偏转，使上表面积累负电荷，下表面带正电，因此霍尔元件上表面的电势低于下表面的电势，故A正确，B错误； C．只有当起振频率等于锥形振荡管的固有频率时，会发生共振，振幅达到最大，霍尔元件输出电压才会出现最大值，并不是起振频率越大输出电压最大值越大，故C错误； D．锥形振荡管左右振动时，磁体随振荡管周期性靠近、远离霍尔元件，霍尔元件处的磁感应强度大小周期性变化，虽然磁场大小随振动周期性变化，导致霍尔电压的大小周期性变化，但电压的极性（高低电势关系）始终不变，这种 “极性不变、大小随时间变化” 的信号，属于直流信号，故D正确； 故选AD。 【变式5-2】（2026·湖南衡阳·模拟预测）如图1所示，某扫描隧道显微镜减振装置由绝缘减振平台和磁阻尼减振器组成。平台通过三根关于O1O2轴对称分布的相同轻杆悬挂在轻质弹簧的下端O1处，弹簧上端固定在O点，三个相同的关于O1O2轴对称放置的减振器位于平台下方。图2为减振器的工作原理图，每个减振器由通过绝缘轻杆固定在平台下表面的线圈和固定在桌面上能产生辐向磁场的铁磁体组成，辐向磁场关于线圈中心竖直轴对称，线圈所在处磁感应强度大小均为B。处于静止状态的平台受到外界微小扰动，线圈在磁场中做竖直方向的阻尼运动，其位移随时间变化的图像如图3所示，t=0时刻，其速度为v0，方向竖直向下，t1时刻的位移为A。平台和三个线圈的总质量为m，弹簧的劲度系数为k，每个线圈半径为r、电阻为R。当弹簧形变量为时，其弹性势能为。不计空气阻力，下列说法正确的是（　　） A．平台静止时弹簧的伸长量为 B．扫描隧道显微镜减振装置在振动过程中机械能守恒 C．在0~t1时间内，每个线圈产生的焦耳热为 D．t=0时刻，每个线圈所受安培力的大小为 【答案】D 【详解】A．平台和三个线圈是一个整体，其总质量为，当平台静止时，系统处于平衡状态，受到的总重力与弹簧的弹力平衡，根据胡克定律可得 解得弹簧的伸长量为，故A错误； B．在振动过程中，线圈切割磁感线产生感应电流，通过电阻发热，将机械能转化为内能，因此系统的机械能不守恒，振幅逐渐减小，这是一个阻尼振动，故B错误； C．根据能量守恒定律，系统减少的机械能等于三个线圈产生的总焦耳热，取平衡位置为零势能面，则有 由于三个减振器（线圈）是相同的，所以每个线圈产生的焦耳热为，故C错误； D．时刻，平台的速度为，每个线圈切割磁感线产生的感应电动势为 根据欧姆定律，每个线圈中的感应电流为 线圈所受的安培力为，故D正确。 故选D。 【题型六】电磁感应中的简谐运动 模型分析： 电磁感应中的简谐运动主要集中在最近较热题型--含感切割模型，注意此模型一定为回路中不能有电阻存在。利用微元积分的方法进行处理分析。 【典例6】（2026·重庆渝中·模拟预测）（多选）如图所示，O点左侧水平面光滑，右侧水平面粗糙。一块长度为L的质量均匀分布且质量为m的木板静止在O点左侧，右端距离O点为x0，木板在恒力F作用下由静止沿水平面运动，当木板右端到达O点时立即撤去恒力F，已知O点右侧水平面与木板间的动摩擦因数为μ，木板始终未全部进入O点右侧区域。则以下说法正确的是（   ） A．木板停下前一直做匀变速直线运动 B．木板加速阶段的平均速度小于减速阶段的平均速度 C．最终木板右端离O点的距离大小为 D．若开始木板右端与O点距离x0减小（不为0），木板做减速运动的时间减小 【答案】BC 【详解】AB．设撤去恒力F时木板的速度为vm，由于F为恒力，木板在O点左侧做匀加速度直线运动，其平均速度为；在O点右侧，设木板单位长度的质量为，取O为坐标原点，向右为正方向，则木板向右运动了x，受到的摩擦力大小为 则木板的合外力满足 可看出木板向右做单方向的简谐运动，则木板的速度为v = vmcos(ωt) 可知木板运动的位移为 由于木板向右做单方向的简谐运动则木板运动，即时速度为零，解得木板单向运动的位移 则木板运动的平均速度 则木板加速阶段的平均速度小于减速阶段的平均速度，故A错误、B正确； C．由于木板受到的摩擦力大小为 由f—x图中的面积可计算此变力做的功，由动能定理有 解得 故C正确； D．由于木板向右做单方向的简谐运动则木板运动时间，T与vm无关，则若开始木板右端与O点距离x0减小（不为0），木板做减速运动的时间，故D错误。 故选BC。 【变式6-1】（2026·江苏·一模）单摆做阻尼振动的位移-时间图像如图所示，则摆球在P与N时刻相同的物理量是（　　） A．加速度 B．动能 C．势能 D．机械能 【答案】C 【详解】从位移-时间图像可知：时刻：位移，时刻：位移，两时刻位移大小相等、方向相反。 A．单摆加速度满足，方向与位移相反。可知摆球在P与N时刻加速度大小相同、方向相反，故加速度不同，A错误； B．动能，由速率决定。阻尼振动中机械能随时间衰减，时刻晚于时刻，总能量更低；且两时刻速度方向相同但速率因阻尼存在差异，故动能不同。B错误； C．重力势能，、时刻对应高度相同，故势能相同，C正确； D．阻尼振动因克服阻力做功，机械能随时间衰减。时刻晚于时刻，故，机械能不同，D错误。 故选C。 【变式6-2】（25-26高三上·江苏扬州·期末）兴趣小组利用如图1所示装置研究机械振动，通过手机传感器测量加速度a随时间t变化的图像如图2所示。比较曲线上P、N两点对应的时刻，N时刻（　　） A．小车合外力较大 B．系统机械能较大 C．弹簧弹性势能较大 D．小车动能较大 【答案】C 【详解】A．由图可知，P、N两点加速度相同，由牛顿第二定律可知合外力相等，故A错误； B．由图可知，手机在做阻尼振动，说明有摩擦力作用，从P到N，系统需要克服摩擦力做功，故N点系统机械能较小，故B错误； C．P点加速度在增大，说明小车在远离平衡位置，摩擦力与弹力同向，设形变量为x1，N点加速度在减小，说明小车在靠近平衡位置，摩擦力与弹力反向，设形变量为x2，根据牛顿第二定律可得， 由此可知 则N点弹簧弹性势能较大，故C正确； D．由于N点系统机械能较小，N点弹簧弹性势能较大，则在N点小车动能较小，故D错误。 故选C。 链接高考 A B C LOREM LOREM LOREM 1．（2025·广东·高考真题）关于受迫振动和多普勒效应，下列说法正确的是（    ） A．系统的固有频率与驱动力频率有关 B．只要驱动力足够大，共振就能发生 C．应用多普勒效应可以测量车辆的速度 D．观察者与波源相互远离时，接收到的波的频率比波源的频率大 【答案】C 【详解】A．系统的固有频率只与系统本身有关，与驱动力频率无关，A错误； B．只有驱动力频率与系统固有频率相同时，共振才能发生，B错误； CD．根据多普勒效应可知观察者与波源相互远离时，接收到的波的频率比波源的频率小，观察者与波源相互靠近时，接收到的波的频率比波源的频率大，所以应用多普勒效应可以测量车辆的速度，C正确，D错误。 故选C。 2．（2024·甘肃·高考真题）如图为某单摆的振动图像，重力加速度g取，下列说法正确的是（　　） A．摆长为1.6m，起始时刻速度最大 B．摆长为2.5m，起始时刻速度为零 C．摆长为1.6m，A、C点的速度相同 D．摆长为2.5m，A、B点的速度相同 【答案】C 【详解】由单摆的振动图像可知振动周期为，由单摆的周期公式得摆长为 x-t图像的斜率代表速度，故起始时刻速度为零，且A、C点的速度相同，A、B点的速度大小相同，方向不同。 综上所述，可知C正确，故选C。 3．（2025·四川·高考真题）如图所示，甲、乙、丙、丁四个小球用不可伸长的轻绳悬挂在天花板上，从左至右摆长依次增加，小球静止在纸面所示竖直平面内。将四个小球垂直纸面向外拉起一小角度，由静止同时释放。释放后小球都做简谐运动。当小球甲完成2个周期的振动时，小球丙恰好到达与小球甲同侧最高点，同时小球乙、丁恰好到达另一侧最高点。则（   ） A．小球甲第一次回到释放位置时，小球丙加速度为零 B．小球丁第一次回到平衡位置时，小球乙动能为零 C．小球甲、乙的振动周期之比为 D．小球丙、丁的摆长之比为 【答案】C 【详解】根据单摆周期公式 可知 CD．设甲的周期为，根据题意可得 可得，， 可得， 根据单摆周期公式 结合 可得小球丙、丁的摆长之比 故C正确，D错误； A．小球甲第一次回到释放位置时，即经过（）时间，小球丙到达另一侧最高点，此时速度为零，位移最大，根据可知此时加速度最大，故A错误； B．根据上述分析可得 小球丁第一次回到平衡位置时，小球乙振动的时间为（即）可知此时小球乙经过平衡位置，此时速度最大，动能最大，故B错误。 故选C。 4．（2025·北京·高考真题）绝缘的轻质弹簧上端固定，下端悬挂一个磁铁。将磁铁从弹簧原长位置由静止释放，磁铁开始振动，由于空气阻力的影响，振动最终停止。现将一个闭合铜线圈固定在磁铁正下方的桌面上（如图所示），仍将磁铁从弹簧原长位置由静止释放，振动最终也停止。则（　　） A．有无线圈，磁铁经过相同的时间停止运动 B．磁铁靠近线圈时，线圈有扩张趋势 C．磁铁离线圈最近时，线圈受到的安培力最大 D．有无线圈，磁铁和弹簧组成的系统损失的机械能相同 【答案】D 【详解】A．有线圈时，磁铁受到电磁阻尼的作用，振动更快停止，故A错误； B．根据楞次定律，磁铁靠近线圈时，线圈的磁通量增大，此时线圈有缩小的趋势，故B错误； C．磁铁离线圈最近时，此时磁铁与线圈的相对速度为零，感应电动势为零，感应电流为零，线圈受到的安培力为零，故C错误； D．分析可知有无线圈时，根据平衡条件最后磁铁静止后弹簧的伸长量相同，由于磁铁和弹簧组成的系统损失的机械能为磁铁减小的重力势能减去此时弹簧的弹性势能，故系统损失的机械能相同，故D正确。 故选D。 5．（2025·江苏·高考真题）如图所示，弹簧一端固定，另一端与光滑水平面上的木箱相连，箱内放置一小物块，物块与木箱之间有摩擦。压缩弹簧并由静止释放，释放后物块在木箱上有滑动，滑动过程中不与木箱前后壁发生碰撞，不计空气阻力，则（    ） A．释放瞬间，物块加速度为零 B．物块和木箱最终仍有相对运动 C．木箱第一次到达最右端时，物块速度为零 D．物块和木箱的速度第一次相同前，物块受到的摩擦力不变 【答案】D 【详解】A．根据题意可知，释放时，物块与木箱发生相对滑动，且有摩擦力，根据牛顿第二定律可知释放时物块加速度不为0，故A错误； B．由于物块与木箱间有摩擦力且发生相对滑动，所以弹簧的弹性势能会减少，直到弹簧的最大弹力满足以下分析的：设物块与木箱之间的最大静摩擦力为，物块质量为，对物块根据牛顿第二定律 设木箱质量为，对物块与木箱整体，根据牛顿第二定律 可得 即弹簧的最大弹力减小到后，二者一起做简谐运动，故B错误； C．根据AB选项分析可知只有当二者一起做简谐运动前，有相对滑动，木箱第一次到达最右端时，物块速度不为零，故C错误； D．开始滑块的加速度向右，物块与滑块第一次共速前，物块相对滑块向左运动，受到向右的摩擦力，共速前二者有相对滑动，摩擦力恒为二者之间的滑动摩擦力，保持不变，故D正确。 故选D。 6．（2024·浙江·高考真题）如图所示，不可伸长的光滑细线穿过质量为0.1kg的小铁球，两端A、B悬挂在倾角为 的固定斜杆上，间距为1.5m。小球平衡时，A端细线与杆垂直；当小球受到垂直纸面方向的扰动做微小摆动时，等效于悬挂点位于小球重垂线与AB交点的单摆，重力加速度，则（　　） A．摆角变小，周期变大 B．小球摆动周期约为2s C．小球平衡时，A端拉力为N D．小球平衡时，A端拉力小于B端拉力 【答案】B 【详解】A．根据单摆的周期公式可知周期与摆角无关，故A错误； CD．同一根绳中，A端拉力等于B端拉力，平衡时对小球受力分析如图 可得 解得 故CD错误； B．根据几何知识可知摆长为 故周期为 故B正确。 故选B。 7．（2024·北京·高考真题）图甲为用手机和轻弹簧制作的一个振动装置。手机加速度传感器记录了手机在竖直方向的振动情况，以向上为正方向，得到手机振动过程中加速度a随时间t变化的曲线为正弦曲线，如图乙所示。下列说法正确的是（　　） A．时，弹簧弹力为0 B．时，手机位于平衡位置上方 C．从至，手机的动能增大 D．a随t变化的关系式为 【答案】D 【详解】A．由题图乙知，时，手机加速度为0，由牛顿第二定律得弹簧弹力大小为 A错误； B．由题图乙知，时，手机的加速度为正，则手机位于平衡位置下方，B错误； C．由题图乙知，从至，手机的加速度增大，手机从平衡位置向最大位移处运动，速度减小，动能减小，C错误； D．由题图乙知 则角频率 则a随t变化的关系式为 D正确。 故选D。 8．（2025·甘肃·高考真题）（多选）如图，轻质弹簧上端固定，下端悬挂质量为的小球A，质量为m的小球B与A用细线相连，整个系统处于静止状态。弹簧劲度系数为k，重力加速度为g。现剪断细线，下列说法正确的是（   ） A．小球A运动到弹簧原长处的速度最大 B．剪断细线的瞬间，小球A的加速度大小为 C．小球A运动到最高点时，弹簧的伸长量为 D．小球A运动到最低点时，弹簧的伸长量为 【答案】BC 【详解】A．剪断细线后，弹力大于A的重力，则A先向上做加速运动，随弹力的减小，则向上的加速度减小，当加速度为零时速度最大，此时弹力等于重力，弹簧处于拉伸状态，选项A错误； B．剪断细线之前则 剪断细线瞬间弹簧弹力不变，则对A由牛顿第二定律 解得A的加速度 选项B正确； C．剪断细线之前弹簧伸长量 剪断细线后A做简谐振动，在平衡位置时弹簧伸长量 即振幅为 由对称性可知小球A运动到最高点时，弹簧伸长量为，选项C正确； D．由上述分析可知，小球A运动到最低点时，弹簧伸长量为，选项D错误。 故选BC。 9．（2024·海南·高考真题）（多选）真空中有两个点电荷，电荷量均为−q（q ≥ 0），固定于相距为2r的P1、P2两点，O是P1P2连线的中点，M点在P1P2连线的中垂线上，距离O点为r，N点在P1P2连线上，距离O点为x（x << r），已知静电力常量为k，则下列说法正确的是（   ） A．P1P2中垂线上电场强度最大的点到O点的距离为 B．P1P2中垂线上电场强度的最大值为 C．在M点放入一电子，从静止释放，电子的加速度一直减小 D．在N点放入一电子，从静止释放，电子的运动可视为简谐运动 【答案】BCD 【详解】AB．设P1处的点电荷在P1P2中垂线上某点A处产生的场强与竖直向下的夹角为θ，则根据场强的叠加原理可知，A点的合场强为 根据均值不等式可知当时E有最大值，且最大值为 再根据几何关系可知A点到O点的距离为 故A错误，B正确； C．在M点放入一电子，从静止释放，由于 可知电子向上运动的过程中电场力一直减小，则电子的加速度一直减小，故C正确； D．根据等量同种电荷的电场线分布可知，电子运动过程中，O点为平衡位置，可知当发生位移x时，粒子受到的电场力为 由于x << r，整理后有 在N点放入一电子，从静止释放，电子将以O点为平衡位置做简谐运动，故D正确。 故选BCD。 10．（2023·河北·高考真题）（多选）如图，质量为m的小球穿在固定光滑杆上，与两个完全相同的轻质弹相连。开始时将小球控制在杆上的A点，弹簧1竖直且处于原长，弹簧2处于水平伸长状态，两弹簧可绕各自转轴，无摩擦转动。B为杆上的另一个点，与、A、构成矩形，。现将小球从A点释放，两弹簧始终处于弹性限度内。下列说法正确的是（　　） A．小球沿杆在AB之间做往复运动 B．与没有弹簧时相比，小球从A点运动到B点所用的时间更短 C．小球从A点运动到B点的过程中，两个弹簧对小球做的总功为零 D．小球从A点运动到B点的过程中，弹簧2的弹性势能先减小后增大 【答案】BC 【详解】AC．根据对称性可知，小球从A点运动到B点的过程中，两个弹簧对小球做的总功为零，则此过程合力做功等于重力对小球做的功，根据动能定理可知，小球在B点的速度大于0，所以小球到达B点后继续向下运动，小球不会在AB之间做简谐运动，故A错误，C正确； D．小球从A点运动到B点的过程中，弹簧2先从伸长状态变为原长，再从原长变为压缩状态，最后再恢复原长，故弹簧2的弹性势能先减小后增大再减小，故D错误； B．小球从A点运动到B点过程，由于两个弹簧对小球做的总功为零，与没有弹簧时相比，小球运动到B点的速度相等；没有弹簧时，小球运动的加速度为 有弹簧时，加速度先大于，然后加速度逐渐减小，到AB中点时，加速度为，之后加速度小于，则两种情况的图像如图所示 两种情况的图像与横轴围成的面积相等，由图可知与没有弹簧时相比，小球从A点运动到B点所用的时间更短，故B正确。 故选BC。 11．（2024·湖南·高考真题）在太空，物体完全失重，用天平无法测量质量。如图，某同学设计了一个动力学方法测量物体质量的实验方案，主要实验仪器包括：气垫导轨、滑块、轻弹簧、标准砝码、光电计时器和待测物体，主要步骤如下： （1）调平气垫导轨，将弹簧左端连接气垫导轨左端，右端连接滑块； （2）将滑块拉至离平衡位置20cm处由静止释放，滑块第1次经过平衡位置处开始计时，第21次经过平衡位置时停止计时，由此测得弹簧振子的振动周期T； （3）将质量为m的砝码固定在滑块上，重复步骤（2）； （4）依次增加砝码质量m，测出对应的周期T，实验数据如下表所示，在图中绘制T2—m关系图线______； m/kg T/s T2/s2 0.000 0.632 0.399 0.050 0.775 0.601 0.100 0.893 0.797 0.150 1.001 1.002 0.200 1.105 1.221 0.250 1.175 1.381 （5）由T2—m图像可知，弹簧振子振动周期的平方与砝码质量的关系是________（填“线性的”或“非线性的”）； （6）取下砝码后，将待测物体固定在滑块上，测量周期并得到T2 = 0.880s2，则待测物体质量是________kg（保留3位有效数字）； （7）若换一个质量较小的滑块重做上述实验，所得T2—m图线与原图线相比将沿纵轴________移动（填“正方向”“负方向”或“不”）。 【答案】 线性的 0.120kg 负方向 【详解】（4）[1]根据表格中的数据描点连线，有 （5）[2]图线是一条倾斜的直线，说明弹簧振子振动周期的平方与砝码质量为线性关系。 （6）[3]在图线上找到T2 = 0.880s2的点，对应横坐标为0.120kg。 （7）[4]已知弹簧振子的周期表达式为 M是小球质量，k是弹簧的劲度系数，M变小，则T变小，相较原来放相同质量砝码而言，周期变小，图线下移，即沿纵轴负方向移动。 12．（2023·湖南·高考真题）某同学探究弹簧振子振动周期与质量的关系，实验装置如图（a）所示，轻质弹簧上端悬挂在铁架台上，下端挂有钩码，钩码下表面吸附一个小磁铁，其正下方放置智能手机，手机中的磁传感器可以采集磁感应强度实时变化的数据并输出图像，实验步骤如下：    （1）测出钩码和小磁铁的总质量; （2）在弹簧下端挂上该钩码和小磁铁，使弹簧振子在竖直方向做简谐运动，打开手机的磁传感器软件，此时磁传感器记录的磁感应强度变化周期等于弹簧振子振动周期； （3）某次采集到的磁感应强度的大小随时间变化的图像如图（b）所示，从图中可以算出弹簧振子振动周期______（用“”表示）； （4）改变钩码质量，重复上述步骤； （5）实验测得数据如下表所示，分析数据可知，弹簧振子振动周期的平方与质量的关系是______（填“线性的”或“非线性的”）； 0.015 2.43 0.243 0.059 0.025 3.14 0.314 0.099 0.035 3.72 0.372 0.138 0.045 4.22 0.422 0.178 0.055 4.66 0.466 0.217 （6）设弹簧的劲度系数为，根据实验结果并结合物理量的单位关系，弹簧振子振动周期的表达式可能是______（填正确答案标号）； A．    B．     C．     D． （7）除偶然误差外，写出一条本实验中可能产生误差的原因：____________． 【答案】 线性的 A 空气阻力 【详解】（3）[1]从图中可以算出弹簧振子振动周期 （5）[2]分析数据可知，弹簧振子振动周期的平方与质量的比值接近于常量3.95，则弹簧振子振动周期的平方与质量的关系是线性的； （6）[3]因的单位为 因为s（秒）为周期的单位，则其它各项单位都不是周期的单位，故选A。 （7）[4]除偶然误差外，钩码振动过程中受空气阻力的影响可能会使本实验产生误差。 13．（2023·上海·高考真题）如图，将小球拴于的轻绳上，，向左拉开一段距离释放，水平地面上有一物块，。小球于最低点与物块碰撞，与碰撞前瞬间向心加速度为，碰撞前后的速度之比为，碰撞前后、总动量不变。（重力加速度取，水平地面动摩擦因数） （1）求碰撞后瞬间物块的速度； （2）与碰撞后再次回到点的时间内，求物块运动的距离。    【答案】（1）1.67m/s，方向水平向右；（2）0.51m 【详解】（1）由题意可知当P运动到A点时有 代入数据可得P碰撞前的速度为 又因为碰撞前后P的速度之比为5：1，所以碰后P的速度为 P与Q碰撞瞬间，P与Q组成的系统内力远大于外力，动量守恒，取向右为正方向，由动量守恒定律得 代入数据解得 方向水平向右； （2）由于远大于小球P的大小，碰后P的速度较小，上升的高度较小，故可知小球P碰后做简谐运动，由单摆的周期公式得 小球P再次到平衡位置的时间为 联立解得 碰后Q向右做匀减速直线运动，末速度减为零时的时间为，由运动学公式得 对于Q，由牛顿第二定律得 联立解得 由于，故在小球P再次到平衡位置的时间内，小球Q已停下；所以小球Q向右运动的过程中由动能定理得 代入数据解得 14．（2025·江西·高考真题）如图所示，在竖直平面内一轻质弹力绳的一端固定于P点，另一端经光滑孔钉Q连接质量为m的小球A，该球穿过与水平直杆（足够长）成角的直杆，两杆平滑连接。点P、Q和O在同一竖直线上，间距为弹力绳原长。将小球A拉至与Q等高的位置由静止释放。当小球A首次运动到斜杆底端O点后，在水平方向与穿在直杆且静止于O点、质量为的小球B发生弹性碰撞。小球A、B与杆间的动摩擦因数均为，且最大静摩擦力等于滑动摩擦力。弹力绳始终在弹性限度内且满足胡克定律，劲度系数为k，其弹性势能与伸长量x的关系为。已知重力加速度为g，间距为。 (1)求小球A下滑过程中滑动摩擦力的大小； (2)若从碰撞后开始计时，小球A第一次上滑过程中离O点的距离x与时间t关系为（为常数），求小球A第一次速度为零时，小球B与O点的距离。 【答案】(1) (2) 【详解】（1）如图所示 以点为坐标原点，沿倾斜直杆ON向上为x轴正方向建立坐标系。任意选取小球A下滑过程中的某一位置，设此时弹力绳的伸长量为，小球A受到的滑动摩擦力为，小球A对倾斜直杆的压力为，小球A所受弹力绳的拉力为F，弹力绳与倾斜直杆的夹角为，孔钉Q到倾斜直杆的距离为。设 对小球A进行受力分析，可知，， 由几何关系可得 联立解得 （2）设小球A下滑到斜杆底端点时的速度为，小球由静止释放运动到点的过程中，由动能定理可得 可得 由小球A、B发生弹性碰撞后瞬间的速度分别为、，由动量守恒定律和能量守恒定律有， 解得， 由，可知小球A上滑过程做简谐运动，小球A第一次速度为零时，距离达到最大值，则有 解得 小球B碰撞后开始在直杆OM上做匀减速运动，加速度为，设小球B速度减为0所经历的时间为，则 因，则小球A在碰撞后第一次速度为零时，小球B与点的距离为，则有 联立解得 15．（2022·山东·高考真题）如图所示，“L”型平板B静置在地面上，小物块A处于平板B上的点，点左侧粗糙，右侧光滑。用不可伸长的轻绳将质量为M的小球悬挂在点正上方的O点，轻绳处于水平拉直状态。将小球由静止释放，下摆至最低点与小物块A发生碰撞，碰后小球速度方向与碰前方向相同，开始做简谐运动（要求摆角小于），A以速度沿平板滑动直至与B右侧挡板发生弹性碰撞。一段时间后，A返回到O点的正下方时，相对于地面的速度减为零，此时小球恰好第一次上升到最高点。已知A的质量，B的质量，A与B的动摩擦因数，B与地面间的动摩擦因数，取重力加速度。整个过程中A始终在B上，所有碰撞时间忽略不计，不计空气阻力，求： （1）A与B的挡板碰撞后，二者的速度大小与； （2）B光滑部分的长度d； （3）运动过程中A对B的摩擦力所做的功； （4）实现上述运动过程，的取值范围（结果用表示）。 【答案】（1），；（2）；（3）；（4） 【详解】（1）设水平向右为正方向，因为点右侧光滑，由题意可知A与B发生弹性碰撞，故碰撞过程根据动量守恒和能量守恒有 代入数据联立解得 ，（方向水平向左） ，（方向水平向右） 即A和B速度的大小分别为，。 （2）如图所示为A与B挡板碰撞后到运动至O点正下方的运动示意图 A回到前，A在B上匀速直线运动的时间设为。A的位移大小 对平板B，由牛顿第二定律得 对平板B，由运动学公式有 由几何关系 ① A从回到O点正下方设时间为，A在B上做匀减速直线运动，设A的加速度大小为，由牛顿第二定律得 解得 A返回到O点的正下方时，相对于地面的速度减为零，则 时间内A相对于地面的位移大小 由几何关系 ② 联立解得 或， 由①②可得 与等大 分析可知，A回到O点正下方时B未减速为0，故 舍去。综上解得 （3）在A刚开始减速时，B物体的速度为 在A减速过程中，对B分析根据牛顿运动定律可知 解得 B物体停下来的时间为t3，则有 解得 可知在A减速过程中B先停下来了，此过程中B的位移为 所以A对B的摩擦力所做的功为 （4）小球和A碰撞后A做匀速直线运动再和B相碰，此过程有 由题意可知A返回到O点的正下方时，小球恰好第一次上升到最高点，设小球做简谐振动的周期为T，摆长为L，则有 由单摆周期公式解得，小球到悬挂点O点的距离 小球下滑过程根据动能定理有 当碰后小球摆角恰为5°时，有 解得 ， 小球与A碰撞过程根据动量守恒定律有 小球与A碰后小球速度方向与碰前方向相同，开始做简谐运动（要求摆角小于），则要求 故要实现这个过程的范围为 1 学科网（北京）股份有限公司 $