安徽合肥市第一中学2026届高三5月检测数学试题

数学试题 (考试时间：120分钟满分：150分) 注意事项： 1.答题前，务必在答题卡和答题卷规定的地方填写自己的姓名、准考证号和 座位号后两位。 2.答题时，每小题选出答策后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答策标号涂 黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。 3.答颗时，必须使用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卷上书写，要求字体 工整、笔迹清晰。作图题可先用铅笔在答题卷规定的位置绘出，确认后再 用0.5毫来的黑色墨水签字笔描清楚。必须在题号所指示的答题区域作答， 超出答题区域书写的答策无效，在试题卷、草稿纸上答题无放。 4.考试结束，务必将答题卡和答题卷一并上交。 一、远题：本题共8小题，每小题5分，共40分在年小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的， 1.已知复数z=2+i（i为虚数单位)： 3+4 A C.5 D.5 2. 已知集合4-ke2华≤，B=任<小，则n8=() A.R B.{2} c.{-2,-刂 D.{-2,-1,2} 3.已知等比数列{a},a2=2,a6=8,则a4=（) A.5 B.4 C.4 D.4 4双曲线女 额位=(a>0,b>0),若两条渐近线上存在点A和B,使得△04B为等边 三角形（O为坐标原点)，则双曲线的离心率为（) A.3 8.23 3 c6政29 D.2或2 3 5如图是个“心形”图形，这个图形可看作由两个函数的图象构成，则“心形在x轴上方部 分对应的函数解析式可能为() A.y=N4-(y>0) B.y=xN4-天(y30) C.y=V-x2+24y>0) B.y=√-x2+2x(y>0) 6.4cos80°+V5tan10°=() A.1 B, c.-1 D.5+1 3 2 7.一定条件下，某人工智能大语言模型训练N个单位的数据量所需要的时间T=k10g2N (单位：h),其中k为常数.在此条件下，已知训练数据量N从105个单位增加到1.024×10° 个单位时，训练时间增加20h;当训练数据量N从1.024×10°个单位增加到8.192×10°个单 位时，训练时间增加() A.2h B.4h C.6h D.8h 8.安繳某高中高一研学游有“皖东”、“皖南”、“皖西”、“皖北”、“皖中5条线路，现高-一年 级有1-10班共10个班级，每条线路有且仅有两个班级，已知“皖东"线路的两个班级班号 不相邻，“皖南”线路的两个班级班号也不相邻，则共有（)种不同的选择 A.68040 B.72900 C.73080 D:74340 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有( 多项符合题目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.下列说法正确的是、) A设随机变量专等可能取-2,10,12，则P(5<0）)= B已知随机变量5-82号)，则B(5-2到= C若蓝凯变量5的颜率分布为P(5=小=网中=2习)且a是常数，则a-号 D设随机变量专服从两点分布，则P(5=)=方 10.已知半径为R的球与圆台的上下底面和侧面都相切若圆台上下底面半径分别为和 2,母线长为L,球的表面积与体积分别为S和，圆台的表面积与体积分别为S和则 下列说法正确的是（) A.l=万+2 B.R=√ 的最大值为 C. S-K D.S Vi 11.已知函数f(x)的定义域为R,y=f(x)-sin2x为偶函数，y=f(x)+2co3x为奇函 数，则) A∫(x)的最小正周期为2π 日，x=一君是儿似的一条对称轴 c.f凶)的值城为[35,35] 2,2 D了()在区间(-工，7巧)上单调递增 66 三、填空题：本题共3小题，每小思5分，共15分. 12.等边△ABC面积为√3，则B.AC= 13.己知a,=9n-8,bn=3”+1,由数列{a}和{色}的公共项构成数列(cn),则数列 {cn}的第5项是数列{a}的第项. 14.已知抛物线E:x2=8y,A,B,C,D是抛物线E上异于点P(2N2,1)的四个动点，直线 P%PB,PC,PD的斜率分别为，5，k,k,且二+=1+1=2N2,过点QL,)分别作 kh kk AB,CD的垂线，垂足分别为M,N,则线段N长度的最大值为 四、解答题：本题共5小题，共77分解答应写出文字说明、证明过程或演算步 豫 15.(13分)在△MBC中，角48，C的对边分别为a6,c,且B=于若点M是BC的 点，MM=34C, (1)求4的值： (2)若△ABC的外接圆面积为 ，求△ABC的面积S. 4π I6.(I5分)在五面体ABCDEF中，CD⊥平面ADE,EF⊥平面ADE. (I)求证：ABIICD: 2)诺AB=2AD=2EF=2,∠ADE=∠CBF=90°，FC=√5，求二面角A-BF-C. 17.(《5分)蛇年春晚上的机器人表演相当精彩，让人们深刻感受到科技的飞速发展，现有 某研究机构开发了一款智能机器人，该机器人通过交替学习不同技能Y,S,W来提升综合 能力初始时，机器人选择学习技能Y,且每次学习Y后会等可能地选择学习S或W:每次 学习S后，有的概率继续学习， 2的概率学习网：每次学习”后，有的概率继续学 3 习Y, 的概率学习8 3 (1)每次学习技能Y可得2点技能点，每次学习S或m可得1点技能点，若机器人仅进 行三次学习，求所得技能点数的分布列及其数学期望： (2设Pn为该机器人第n次学习后接着学习技能Y的概率，求P。(用n表示) 18。（17分)已知曲线C上的点到点F(么，0)的距离和到直线x=2的距离比值为J 2 ()求曲线C的标准方程； (②)点P(,y%)(x≠0)是曲线C上动点，直线1：xx+2yy-2=0,过原点O作以点 P为圆心，半径为1的圆的两条切线，分别交直线1于点A(名，片)，B(:,2) ①求证：+2=0： ②求△OAB面积的取值范围. 19.(17分)已知函数f(x)=e. (1)当x∈(-1,0)时，f(x)<x+1恒成立，求m的取值范围： (2)若f x =x的一个实根为x=且名，e合，0， ①求a的取值范围： @证明：1<血1<1+1+1@ 0 Aa 数学答案 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的 1.己知复数z=2+i(i为虚数单位)， 则 =() 3+41 A. B. c.5 D.5 5 5 【答案】A 【解析】由题意， 三=2+i-2+3-=2- 3+4i3+4i(3+41)3-41)55 所以3经r+兮=5故选：A 2.已知集合4=ez4≤4.8=<小，则4n8=《) A.R B.{2} C.{-2,- D.{-2,-1,2 【答案】D 【解析】因为集合A={xezr2≤4={xez-2≤x≤2={-2，-1,0，l,2, 8=<-1<->0=1度e. 所以A∩B={-2,-1,2}.故选：D. 3.已知等比数列{an},42=2,a。=8,则a4=（) A.5 B.4 C.-4 D.±4 【答案】B 【解析】由题意可知a2a。=a→a4=±4又a4与a2同号，所以a4=4.故选：B 4.双曲线少 云广一台=1(a>0,b>0),若两条浙近线上存在点A和B,使得△0AB为等边 三角形(O为坐标原点)，则双曲线的离心率为() A.5 B.25 3 C.5或2 3 D.2或23 【答案】D 【解折1由竖意，b=5或者白=5，又因为a+=c a 所以e=￡=2W3 或者e=C=2.故选：D. a 5如图是个“心形”图形，这个图形可看作由两个函数的图象构成，则“心形”在x轴上方部 分对应的函数解析式可能为() A.y=KV4-x2(y>0) B.y=xW4-x2(U>0) C.y=√-x2+2x(y>0) D.y=V-x2+2x(y>0) 【答案】C 【解析】由图象可知函数是偶函数，且定义域为(-2,0)U(0,2),且值域为(0， 排除B、D: 即V4-x≤2， 当且仅当=4-时取等号，即当x=士互时取等号， 所以该函数的值域不符合题意，因此本选项函数解析式不符合题意： 故选：C 6.4cos80°+√3tan10°=() A.1 迈 B. c.5-1 D.5+1 3 2 2 【答案】A 【解折】4cos80°+V5tan10°=4sin10°+5sin10° cos10° =4sin10°cos10°+V5sin10°_2sin20°+V5sin10 cos10° cos10° =2sin(30°-109)+y5sin10°=cos10°-V5sin10°+V5sin10 =1 cos10° cos10° 故选：A 7.一定条件下，某人工智能大语言模型训练N个单位的数据量所需要的时间T=klog2N (单位：h),其中k为常数.在此条件下，已知训练数据量N从10个单位增加到1.024×10° 个单位时，训练时间增加20h:当训练数据量N从1.024×10°个单位增加到8.192×109个单 位时，训练时间增加（) A.2h B.4h C.6h D.8h 【答案】C 【解析】设当N取106个单位、1.024×109个单位、8.192×10°个单位时所需时间分别为 T.L1. 由题意，T=klog210°=6klog210, T2=k1og2(1.024×10)=k1og2(2°×10)=k(10+61og210), T,=k1og2(8.192×10）=klog,(2×10)=k(13+61og210), 因为T2-T=k(10+6log210)-6klog210=10k=20,所以k=2, 所以T-T2=k(13+61og210)-k(10+6log210)=3k=6, 当训练数据量N从1.024×10°个单位增加到8.192×109个单位时，训练时间增加6小时. 8.安徽某高中高一研学游有“皖东”、“皖南”、“皖西”、“皖北”、“皖中”5条线路，现高一年 级有1-10班共10个班级，每条线路有且仅有两个班级，已知“皖东"线路的两个班级班号 不相邻，“皖南”线路的两个班级班号也不相邻，则共有（）种不同的选择. A.68040 B.72900 C.73080 D.74340 【答案】C 【解析】1-10中选出2组不相邻的班级安排给皖东"和皖南"共有C,Cg+CC=812, (也可以从反面考忠CC-CCgC++C4=812) 其余6个班级均匀分成三组选择另3条线路共有CC=90, 故共有812×90=73080.故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有 多项符合题目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.下列说法正确的是（) A设随机变量5梦可能取-2，-1,02，则P(5<0)=月 B已知随机安最5~82》，则(5-2到= C.若随机变量5的概率分布为P(传=m）=an=1,2)且a是常数，则a= n+1 D.设随机变量5服从两点分布，则P(5=)=2 【答案】BC 【解折】对于A。P代(5<0)=子放A错误 对千B,因E()=2x好方故E(5-2刘=3E(分-2=交故B正： 4 对于C,依愿意，P(5=)+P(5=2)=g+9=1,解得a=,故C正确： 23 对于D,两点分布成功的概率是未知的，由具体随机事件确定，故D错误 故选：BC 10.已知半径为R的球与圆台的上下底面和侧面都相切若圆台上下底面半径分别为和 2,母线长为1，球的表面积与体积分别为S和八，圆台的表面积与体积分别为S2和则 下列说法正确的是() A.I=+ B.R=√5 的最大值为 C.S2 3 【答案】ABD 【解析】由切线长定理易得！=片+2，A正确： 由勾股定理知(2R)2=(5+2)'-(G-2)'=452,解得R=V5,B正确： 2r52 2 一≤ 2 因为S22++5上+2+1 3,当且仅当=3时，等号成立， 21 这与圆台的定义矛盾，故C错误： 4πR2 4元R2 2R2 因为3，+层+G+)川 2π(2+好+5)+片+5 K R 3 R 3 2R2 = 3行+后+5)h 2+分*) 2+经+52 所以冬-片，D正确故选：ABD, S,V 1l.已知函数f(x)的定义域为R,y=∫(x)-sin2xr为偶函数，y=f(x)+2cosx为奇函 数，则() A.∫(x)的最小正周期为2π B.x=-二是∫(x)的一条对称轴 6 c内的装99， 。了因在区同（若2石上单调送端 【答案】ACD 【解析】因y=f(x)-sin2x为偶函数，则f(-x)+sin2x=f(x)-sin2x①， 又y=f(x)+2cosx为奇函数，则f(-x)+2cosx=-f(x)-2cosx②， 由①-②，整理得f(x)=sin2x-2 cosx, 心-孕=-5-10=-2故B错误 易知f(x+2π)=f(x),所以2π是函数f(x)的周期， f(x)=2cos 2x+2sinx=2-4sinx+2sinx=-2(sinx-1)(2sinx+1) 在K间(-径上.了侧>0在K间(，若)上.了因<0 6,6 故A、D正确： 不9 ,故C正确.故选：ACD 6 2 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.等边△ABC面积为√，则AB.AC= 【答案】2. 【解折】△MB8C面积为5可得边长为2，而与4C夹角为号 所以AB.AC=2. 13.已知an=9n-8,b=3”+1,由数列{an}和{bn}的公共项构成数列{cn},则数列 {cn}的第5项是数列{a}的第_项。 【答案】82. 【解析】设a4=bn,得9k-8=3m+1,k=3m-2+l,m≥2，meN,k∈N, 当m=6时，{cn}取第5项得k=82, 14.已知抛物线E:x2=8y,A,B,C,D是抛物线E上异于点P(2W互，)的四个动点，直线 PA,PB,PC,PD的斜率分别为，k,k,k,且上+=+=25，过点)分别作 ky k2 k3 ka AB,CD的垂线，垂足分别为M,N,则线段MN长度的最大值为 【答案】√5. m 【解析】设A(m,。),B(n,。）, 8 8 则人+=m-22+n-22.8 8 kk m2 8-1m+25n+2W5-25, 81 8 化为mn=8,即n=二 m2 n2 则直线AB的方程为y-广。 8.88(x一)中 m-n 化为y=m+8x-1,则直线AB恒过定点H0,-: 8m 同理可得直线CD也恒过定点H(O,-), 又QM⊥AB,QN⊥CD,可得M,N在以QH为直径的圆上， 所以MN的最大值为直径1QH=√.（当AB,CD垂直时取等号） 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步 骤。 I5(I3分)在△MBc中，角AB,C的对边分别为ac,且B=骨若点M是BC的中 点，AM=24C (1)求口的值： ②)若△16C的外接圆面积为经求△MBC的面积S. 【解析】I)在△MBM中，因8M=之0，B=子 3, 由余弦定理可得： c, AM:=AB:+BM:-2AB-BM cos B=c+ 在△ABC中，由余弦定理可得： AC2=AB2+BC2-2AB.BCcos B=c2+a2-ac, 因为M=4C,即4C=4M, 可得e2+a-ac=4(e2+02-r4+-2ac,解=3. (6分) (2)若△ABC的外接圆面积为 3,可得外接圆半径为R=2 4 , 由、b =2R可得b=2, sin B b=a2+c2-2 accosB=7c2=4可得c2=-4 za-csin= 4c2 (13分) 7 I6.(I5分)在五面体ABCDEF中，CD⊥平面ADE,EF⊥平面ADE. (I)求证：AB/ICD: (2)若AB=2AD=2EF=2,∠ADE=∠CBF=90°，FC=V5,求二面角A-BF-C. B 【解析】(I)证明：因为CD⊥平面ADE,EF⊥平面ADE, 所以CD//EF, 所以cos0= m-3.5 网 2x62,故0= 6 (15分) 17.(15分)蛇年春晚上的机器人表演相当精彩，让人们深刻感受到科技的飞速发展，现有 某研究机构开发了一款智能机器人，该机器人通过交替学习不同技能Y,S,W来提升综合 能力初始时，机器人选择学习技能Y,且每次学习Y后会等可能地选择学习S或W:每次 学习S后， 有的概率维续学习X号的概率学习所每次学习甲后，有} 的概率继续学 3 习儿子的概帝学习5 (1)每次学习技能Y可得2点技能点，每次学习S或W可得1点技能点，若机器人仅进 行三次学习，求所得技能点数的分布列及其数学期望： (2)设Pn为该机器人第n次学习后接着学习技能Y的概率，求Pn(用n表示)· 【解析】(1)设三次学习所得技能点数为X,则X的取值可以为4,5， 121 第一次学Y,第二次学S,第三次学W,则P=1×二× 2331 第一次学Y,第二次学W第三次学S,则P=1必2×号方” x1x2=1 故P(X=4)=2×3亏 第一次学y,第二次学S,第三次学Y,则P=1xx= 2361 第一次学Y,第二次学W,第三次学Y,则P=1×二× `2361 故P(X=5)=2x= 631 故X的分布列为： X 4 5 P 2-3 1-3 故E(X)=4×名+5×；-9 (7分) 3 33 a②)已知A=0.且pu--p,Aa2. 因口，-}为等比数且公北为方首为- 因为CDt平面ABEF,，EFC平面ABEF, 所以CD/I平面ABEF, 因为平面ABEF平面ABCD=AB,ABC平面ABCD, 所以AB/ICD. (6分) (2)易知DA,DC,DE两两垂直 如图以D为坐标原点，DA,DC,DE所在的直线分别为x,y,z轴建系， B 设DC=a,DE=b, 则A(1,0,0),B(1,2,0),D(0,0,0),C(0,a,0),E(0,0,b),F(0,1,b), 故BF=(-1,-l,b),BC=(-1,a-2,0), 由于∠CBF=90°，所以BF.BC=1+2-a=0,故a=3, 由FC=V5可得(a-12+b2=√5，故b=1. (9分) 设平面BFA的法向量为m=(化，片，)，平面BFC的法向量为i=(心，y2,), 因为AB=(0,2,0),BF=(-1,-1,), 所以 丽m=0,即{6-义+名=0 BF.m=0' 2y=0, 令x=1,则i=(1,0,), 因为BC=(-1,l,0),BF=(-1,-1,1), BC.=0 -x3+=0, 所以 ，即 BF.n=0 -x-2+22=0, 令x=1,则n=1,l2), 设二面角A-BF-C为0，由图可知0为钝角， 故n故n=厂+好 (15分) 18.(17分)已知曲线C上的点到点F(L,0)的距离和到直线x=2的距离比值为Y5 (1)求曲线C的标准方程： (2)点P(xo,yo)(x。≠0)是曲线C上动点，直线1：xx+2yoy-2=0,过原点O作以点 P为圆心，半径为1的圆的两条切线，分别交直线I于点A(x,y),B(x2,2): ①求证：y+y2=0: ②求△OAB面积的取值范围， 【解析】：(1)设曲线C上点(x,) 则-)+少=2 |x-2 2 化简可得： 舌r1 (4分) (2)①设过原点O与圆相切的直线为x=y(因为x。≠0，易知切线斜率不为0) x。-l=1 则 V1+2 化简得：(1-y)r2+2x。1+1-x,2=0 因为号+疗=1，散解得1=2士5 2 % 又因为x=y且xx+2yy-2=0 则y2=±V2,所以片+y2=0得证. (10分) ②AB= 1+ 鈴以 原点0到直线1的距离为了+4 2 2且0xsV2 所以SA0AB 1+ 2 2 。1y-2 -≥2 所以△OAB面积的取值范围为[2，+∞). (17分) 19.(17分)已知函数f(x)=e. (1)当x∈(-1，O)时，f(x)<mx+1恒成立，求m的取值范围： (2)若」 =er的一个实根为x=且xo∈（仁，）， ①求a的取值范围： ②证明： <nL<1+1+16@ a Xo 4a 【解析】(I)令k(x)=e-mr-l,则k'(x)=e*-m, 易知k'(x)在(-l,0)上单调递增， 当m≤上时，K()>0,则k(x)<k(0)=0, 所以f(x)<x+1恒成立，符合题意： 当上<m<1时，K(x)=0可得x=nm, e k(x)在(-l,lnm)上单调递减，在(lnm,0)上单调递增， 因为k0)=0,只需k(-)=+m-1≤0，可得上<m≤1- 当m≥1时，k(x)<0,则k(x)>k(0)=0,不符合题意. 综上：m≤1-1 (5分) (也可由y=f(x)与y=x+1在(-l,0)上的图像分析) 2)⑩由/()上ex可得e立-ex 所以x=l+alnx,即x-1-alnx=0,令1=nx则1e(-l,0. Inx 可得兰-1-a=0,即a= e'1 设0=号-1e(L0n p0=2+“>0,所以p0在（←1,0）上单调递增， p-1)=1+l,1→0，p0→to, e 所以a的取值范围是仁+l,o). (10分) (注： =1+alhx,令1=1hx可将等式右侧转化成一次式。则可通过y=兰和 Inx y=al+1图像分析) ®欲证<h上<++16@等价于证明上<-<1++16@.1e(-L0, a xo 4a a 4a 因为al=g-1<-1,a∈(2+l,tw),所以-1>1 (12分) e 因为e'=at2+t,由(1)可知e'<5t+1 2 (注：观察不等式右侧考虑二次方程的求根式，m取可淡出++16a) 2 4a 所8a2+1<)+1,可得2-1+16a<1<1+VM+16@ 4a Aa 综上：↓<-1<++16@，所以上<n上<++160得证 (17分) a 4a