精品解析：四川省德阳市第五中学2025-2026学年高二下学期第二次定时练习数学试题

高2024级2026年春期第二次定时练习 数学试题 （总分150分 答题时间120分钟） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 复数的虚部是（ ） A. 3 B. C. D. 2 2. （ ） A. 24 B. 27 C. 36 D. 42 3. 设向量，，若，则（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 4. 已知数列的前项和公式为，则（　　） A. 10 B. 12 C. 14 D. 16 5. 若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则（ ） A. B. 0 C. 1 D. 4 6. 展开式中的系数为（ ） A. -10 B. 10 C. -20 D. 20 7. 若随机变量，若，则（ ） A. B. C. D. 8. 函数的部分图象大致是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，18分.在每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 设，函数在区间上有零点，则的值可以是（ ） A. B. C. D. 10. 已知数列的前项和，则（ ） A. 是公差为2的等差数列 B. C. 数列是等差数列 D. 11. 已知甲口袋中装有个红球，个白球，个黑球，乙口袋中装有个红球，个白球，个黑球，这些球只有颜色不同．先从甲口袋中随机取出个球放入乙口袋，再从乙口袋中随机取出个球．记从甲口袋中取出的球是红球、白球、黑球分别为事件、、，从乙口袋中取出的球是红球为事件B，则下列结论正确的有（ ） A. B. C. D. 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分. 12. 已知随机变量服从正态分布，且，则______． 13. 有10块糖，每天至少吃1块，不同的吃法有______种. 14. 设双曲线：的右焦点为，双曲线的一条渐近线为，以为圆心的圆与交于点，两点，，为坐标原点，，则双曲线的离心率的取值范围是______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数是函数的一个极值点． （1）求函数的单调区间； （2）当时，求函数的最小值． 16. 某汽车配件厂生产了一种塑胶配件，质检人员在这批配件中随机抽取了个，将其质量指标值（单位：分）作为一个样本，得到如图所示的频率分布直方图. （1）求的值； （2）求这组数据的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）； （3）当配件的质量指标值不小于分时，配件为“优秀品”，以频率估计概率.在这批产品中随机抽取件产品，随机变量表示：抽得的产品为“优秀品”的个数，求的分布列及数学期望. 17. 斜三棱柱各棱长为4，，D为棱上的一点． （1）求证：； （2）若平面平面ABC，且二面角的余弦值为，求BD的长． 18. 已知两点的坐标分别是，直线相交于点，且直线的斜率与直线的斜率的差是2． （1）求点的轨迹的方程； （2）已知上存在三点，且关于直线对称． ①求的取值范围； ②若为等边三角形，求． 19. 已知函数. （1）当时，求函数在点处的切线方程； （2）函数有两个不同的极值点，，且， （ⅰ）求m的取值范围； （ⅱ）证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高2024级2026年春期第二次定时练习 数学试题 （总分150分 答题时间120分钟） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 复数的虚部是（ ） A. 3 B. C. D. 2 【答案】C 【解析】 【详解】复数的虚部为. 2. （ ） A. 24 B. 27 C. 36 D. 42 【答案】C 【解析】 【详解】. 3. 设向量，，若，则（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【详解】由，得， ∵，， ∴，解得. 4. 已知数列的前项和公式为，则（　　） A. 10 B. 12 C. 14 D. 16 【答案】B 【解析】 【详解】． 5. 若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则（ ） A. B. 0 C. 1 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】求出曲线在点处的切线后结合判别式可求的值. 【详解】因为，故曲线在点处的切线的斜率为， 故对应的切线方程为， 因为该切线也是曲线的切线，故有两个等根， 即有两个等根，故，故， 故选：C. 6. 展开式中的系数为（ ） A. -10 B. 10 C. -20 D. 20 【答案】C 【解析】 【分析】写出二项展开式的通项，令x的指数为9，解出r，代入通项中求出其系数. 【详解】展开式的通项， 令，可得展开式中的系数为-20. 故选：C 7. 若随机变量，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二项分布的性质求出，再根据方差的性质即可得结果. 【详解】因为，所以，则， ， . 8. 函数的部分图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据奇偶性排除A；根据正负性排除CD. 【详解】定义域为，， 则是偶函数，排除A选项； 当时，，则， 当时，，则； 当时，，则，排除CD选项. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，18分.在每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 设，函数在区间上有零点，则的值可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据函数在上有零点可得零点 ，再由零点的范围及可得，进而再分两类讨论可得. 【详解】函数在区间上有零点，即方程在该区间有解： 令，得 ，因此，整理得 ， 因为，，所以，即， 所以，当时， ，即，此时零点为； 当时，，得，四个选项无符合此条件的值，故无需考虑. 对A选项，，则零点，符合题意，故A正确； 对B选项，，不符合题意，故B错误； 对C选项，，则零点，符合题意，故C正确； 对D选项，​，不符合题意，故D错误. 10. 已知数列的前项和，则（ ） A. 是公差为2的等差数列 B. C. 数列是等差数列 D. 【答案】ABC 【解析】 【详解】由，当时，， 当时，， 当时，上式也成立，所以，故B正确； 因为，所以是等差数列，故A正确； 对于C，，因为，所以数列是等差数列，故C正确； 对于D，令，则， 所以当时，，当时，， 故，故D错误. 11. 已知甲口袋中装有个红球，个白球，个黑球，乙口袋中装有个红球，个白球，个黑球，这些球只有颜色不同．先从甲口袋中随机取出个球放入乙口袋，再从乙口袋中随机取出个球．记从甲口袋中取出的球是红球、白球、黑球分别为事件、、，从乙口袋中取出的球是红球为事件B，则下列结论正确的有（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】A选项：由乘法公式计算即得；B选项：运用全概率公式求解即得；C选项：由贝叶斯概率公式计算即得；D选项：利用条件概率公式分别计算和，比较两个概率的大小即可. 【详解】对于A，由概率的乘法公式得，所以A正确； 对于B，由全概率公式得 ，故B错误； 对于C，由贝叶斯公式得，故C正确； 对于D，由条件概率公式得， ，因，故D正确． 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分. 12. 已知随机变量服从正态分布，且，则______． 【答案】0.4 【解析】 【详解】随机变量服从正态分布，其对称轴是直线. 因为，所以，所以， 所以. 13. 有10块糖，每天至少吃1块，不同的吃法有______种. 【答案】512 【解析】 【分析】由隔板法即可求解. 【详解】按吃糖的天数分类，并用隔板法，可得不同的吃法有（种）. 故答案为：512. 14. 设双曲线：的右焦点为，双曲线的一条渐近线为，以为圆心的圆与交于点，两点，，为坐标原点，，则双曲线的离心率的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】取直线的方程为，过点作于，则有，为等腰直角三角形，所以,,,由，可得，即可得，即可得出离心率的取值范围. 【详解】解：由题可知，点，如图所示，不妨取直线的方程为，过点作于，则到直线的距离， ，且， 为等腰直角三角形， ，， ，，， ，，即， 离心率， 令，，则，即]， ． 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数是函数的一个极值点． （1）求函数的单调区间； （2）当时，求函数的最小值． 【答案】（1）函数的增区间为和，减区间为 （2） 【解析】 【分析】（1）根据极值的定义，结合导数的正负性与函数单调性的关系进行求解即可； （2）根据（1）的结论，结合函数最值性质进行求解即可. 【小问1详解】 由题意得， 因为是函数的一个极值点， 所以，即， 当时，解得或， 所以在和上单调递增； 当时，解得，所以在上单调递减， 因此是函数的一个极值点， 所以函数的增区间为和，减区间为； 【小问2详解】 由（1）可知：函数的增区间为和，减区间为， 所以是函数的极小值点，且， 所以是函数的极大值点，且， 当时，函数在和上单调递增，在上单调递减， 因为，， 所以当时，函数的最小值为. 16. 某汽车配件厂生产了一种塑胶配件，质检人员在这批配件中随机抽取了个，将其质量指标值（单位：分）作为一个样本，得到如图所示的频率分布直方图. （1）求的值； （2）求这组数据的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）； （3）当配件的质量指标值不小于分时，配件为“优秀品”，以频率估计概率.在这批产品中随机抽取件产品，随机变量表示：抽得的产品为“优秀品”的个数，求的分布列及数学期望. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图的性质可得； （2）直接根据频率分布直方图求平均数可得； （3）根据题意可知随机变量，再由二项分布的性质可得分布列及数学期望. 【小问1详解】 由题知，，解得. 【小问2详解】 设为样本数据的平均数， 则， 故这组样本数据的平均数为. 【小问3详解】 设表示在这批产品中随机抽取一件产品，所抽取的产品为优秀品的概率， 因为以频率估计概率，所以， 因此，随机变量，的所有可能取值为， 则，， ， ， 的分布列为： 随机变量的数学期望. 17. 斜三棱柱各棱长为4，，D为棱上的一点． （1）求证：； （2）若平面平面ABC，且二面角的余弦值为，求BD的长． 【答案】（1）证明见解析 （2）． 【解析】 【分析】（1）取中点，连接，易得，结合题设关系得，进而得到平面，进而求证即可； （2）建立空间直角坐标系，设，求平面法向量及平面的法向量，再利用空间向量求解即可. 【小问1详解】 取AB中点O，在中，，O为AB中点，所以，在中，，，，由余弦定理可得， 所以有，即，所以， 又因为，平面，平面， 平面，又因为平面，所以； 【小问2详解】 由（1）知且平面平面，平面平面，平面，所以平面， 则，如图以OA，OC，两两垂直，以O为坐标原点，以OA，OC，方向为x轴，y轴，z轴正方向，建立如图所示空间直角坐标系． ，，，， 设，， ，， 设平面法向量为， ，， 可取， 平面的法向量为， 所以有，化简得， 所以有（舍）或者，所以． 18. 已知两点的坐标分别是，直线相交于点，且直线的斜率与直线的斜率的差是2． （1）求点的轨迹的方程； （2）已知上存在三点，且关于直线对称． ①求的取值范围； ②若为等边三角形，求． 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】（1）利用斜率公式，列方程化简即可； （2）①利用直线与抛物线联立，求出对称点的中点坐标，利用中点在对称轴上找到参数的相等关系，再利用判别式恒大于0，来求出参数的范围，最后再排除特殊情况即可； ②利用弦长公式，结合等边三角形可得到相等关系，再通过坐标满足的方程来求解即可. 【小问1详解】 设点． 因为直线的斜率与直线的斜率的差是2，所以， ， 化简得：． 【小问2详解】 ①因为关于直线对称，所以直线的斜率为-2． 设直线的方程为， 联立消去可得． 所以 所以中点坐标． 因为点在直线上，所以． 因为，所以， 因为曲线方程，即曲线上要挖掉两点， 即直线不能经过点， 若直线过点，则， 若直线过点，则． 综上所述：的取值范围是． ②因为为等边三角形，所以点在直线上． 设，则， ． 所以，即， 化简得，①． 因为点在直线上，所以②． 由①②消得，． 因为，所以， 所以． 19. 已知函数. （1）当时，求函数在点处的切线方程； （2）函数有两个不同的极值点，，且， （ⅰ）求m的取值范围； （ⅱ）证明：. 【答案】（1） （2）（ⅰ）（ⅱ）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义求解； （2）化简，求导，并令，分离参数得到，令，利用导数分析函数的取值，求出m的取值范围； （ⅱ）利用极值点性质得到，，令，将待证式转化为，构造函数，利用导数分析单调性，进而证明. 【小问1详解】 当时, ，, 所以，所以函数在点处的切线方程为：， 即； 【小问2详解】 ， ，令，则， 令，则， 所以当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以， 当时，，当时， 因为函数有两个不同的极值点，所以有两个不同的根， 所以，故m的取值范围为； （ⅱ）因为， 所以， 所以， 令，则，代入上式得：， 因为，所以 ， 要证，只需证，即证， 令，则， 令，则， 所以即在上单调递减，， 所以在上单调递增，所以， 即成立，故得证. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $