精品解析：四川省德阳市博雅明德高级中学2024-2025学年高二下学期3月月考数学试题

德阳市博雅明德高级中学2025年春季学期高二3月月考 数学试题 考试时间：120分钟 满分：150分 一､单项选择题（共8小题，每小题5分，共40分.每小题只有一个选项是最符合题意要求的.） 1. 已知复数，则（ ） A. 0 B. C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【分析】通过复数的运算求出，进而根据模长公式计算即可. 【详解】 因为， 所以，所以. 故选：C. 2. 已知角α的终边过点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角函数的定义求出，结合二倍角的正弦公式计算即可求解. 【详解】由题意知，， 所以. 故选：D 3. 在等差数列中，，则公差（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】应用等差数列通项公式基本量运算即可求解. 【详解】因为等差数列，所以 所以. 故选：C. 4. 已知，，且，则（ ） A. 4 B. 2 C. D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量的数量积运算列方程，求得，进而求得. 【详解】因为，解得， 则， 则， 则 故选：A 5. 已知，则（ ） A. 0 B. 2 C. 1 D. 【答案】B 【解析】 【分析】先对函数，再将代入即可求得结果. 【详解】因为，所以，故. 故选：B 6. 若函数无极值，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由已知可得恒成立，求解即可. 【详解】的导数为， 函数不存在极值点， 在R上恒成立， 即恒成立， ，解得， 即实数a的取值范围是 故选：B. 7. 已知函数，则（ ） A. 6 B. 3 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求出，通过赋值法求得代入，即可得. 【详解】因为， 所以， 令，得， ∴， 所以，故 故选：D. 8. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意可通过构造函数且，利用导数求出其单调性，即可比较得出各数的大小. 【详解】因为，所以构造函数且， 则， 当时，，所以在上单调递减， 当时，，所以在上单调递减； 当时，，所以在上单调递增； 综上可知，在与上单调递減，在上单调递增. 所以. 又因为，所以， 可得. 故选：C. 二､多项选择题（共3小题，每小题6分，共18分.全部选对得6分，部分选对的部分分） 9. 下列求导的运算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用基本函数的导数公式和运算法则逐项求解即可； 【详解】对于A，，故A正确； 对于B，，故B错误； 对于C，，故C正确； 对于D，，故D正确； 故选：ACD. 10. 设函数，则（ ） A. 是的极大值点 B. C. 的解集为 D. 当时， 【答案】ABD 【解析】 【分析】先由导数求出函数的单调区间，再结合函数的单调性逐一判断即可． 【详解】对于选项A：因为的定义域为， 且， 当时，，当或时，， 可知在，上单调递增，在上单调递减， 所以是函数的极大值点，故A正确 对于选项B：因为，故B正确； 对于选项C：对于不等式，因为， 即为不等式的解，但， 所以不等式的解集不为，故C错误 对于选项D：因为，则，且， 可得， 因为函数在上单调递增，所以，故D正确； 故选：ABD 11. 已知函数，则下列结论中正确地是（ ） A. 当时， B. 的图象关于中心对称 C. 若，则 D. 在上单调递减 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据指数函数与对数函数的性质，可判断A的真假；根据特殊点的位置关系，判断B的真假；探索时，与的关系，判断C的真假；求导，利用导数判断D的真假. 【详解】对A：当时，，所以，所以，故A正确； 对B：因为，. 由，所以与不关于点对称，所以B错误； 对C：若，不妨设， 则. 又当时，，所以，故C正确； 对D：当时，，所以在上单调递减.故D正确. 故选：ACD 三､填空题（共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 已知函数，则曲线在处的切线方程为__________. 【答案】 【解析】 【分析】先求出导函数，然后求出斜率，进而可得切线方程. 【详解】因为，所以， 所以曲线在处的切线方程为，即. 故答案为：. 13. 若函数在区间内存在单调递增区间，则实数的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】求，根据分离参数，构造函数可得的取值范围. 【详解】∵，∴， ∵在区间内存在单调递增区间， ∴在上有解，故在上有解， 令，则， ∵，∴，即在上为减函数， ∴，故． 故答案为：. 14. 已知函数，当时，记在区间的最大值为，最小值为，则的取值范围为________． 【答案】 【解析】 【分析】讨论的范围，利用导数求出函数单调性进行最大值和最小值的判断，求出，再构造函数求出的取值范围. 【详解】由求导得， 若，在区间单调递减，在区间单调递增， 所以在区间上的最小值为， 而，， 所以在区间上的最大值为， 所以， 设函数，， 当时，，从而单调递减， 而，所以，即的取值范围是； 若，在区间单调递减，在区间单调递增， 所以在区间上的最小值为， 而，，所以在区间上的最大值为， 所以， 而，所以，即的取值范围是， 综上得的取值范围是. 故答案为：. 【点睛】方法点睛：求函数在区间上的最值的方法： （1）若函数在区间上单调，则与一个为最大值，另一个为最小值； （2）若函数在区间内有极值，则要求先求出函数在区间上的极值，再与、比大小，最大的为最大值，最小的为最小值； （3）若函数在区间上只有唯一的极大点，则这个极值点就是最大（最小）值点，此结论在导数的实际应用中经常用到. 四､解答题（共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤） 15. 已知函数在处取得极值． （1）求函数的解析式； （2）求函数的单调区间； （3）求函数在区间的最大值与最小值． 【答案】（1） （2）单调递增区间为和；单调递减区间为. （3）最大值为，最小值为. 【解析】 【分析】（1）由解得，再将代入导函数验证是否满足题意； （2）由（1）可得函数的单调区间； （3）由（2）可得函数的极值，再和端点处的函数值比较大小，即可得最值. 【小问1详解】 由题意，函数的定义域为，. 因为函数在处取得极值，所以， 即，解得. 当时，， 令，解得或；令，解得， 所以在和上单调递增，在上单调递减； 此时，函数在处取得极小值，故满足题意. 因此，. 【小问2详解】 由（1）可知，的单调递增区间为和，单调递减区间为. 【小问3详解】 由（1）可知，函数在区间上有极大值，极小值. 又，，因为， 所以在区间上的最大值为，最小值为. 16. 已知是等差数列的前n项和，且， （1）求 （2）若，求数列前n项和为，并证明 【答案】（1） （2），证明如下： 因为，所以， 所以. 【解析】 【分析】（1）利用等差数列的基本量列方程求解即可； （2）利用裂项相消的方法求和，结合放缩法即可得 【小问1详解】 设等差数列的公差为d，则由题意得： 即 解得 故， 故 【小问2详解】 ， . 17. 如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧棱底面，，是的中点，垂足为． （1）求证：平面； （2）求证：平面； （3）求平面与平面的夹角的余弦值． 【答案】（1）连接交于，连接， 在中，，分别为的中点， 所以 ，又平面，平面 平面 （2）侧棱底面 ，底面 ， 又因为底面是正方形，， 因为，平面，平面， 又平面，， 是的中点 ， 又，平面，平面， 因为平面，， 又，，平面，平面. （3） 【解析】 【分析】（1）连接交于O，连接，通过证明 可证明结论； （2）通过证明平面，可得，结合可得平面； （3）建立空间直角坐标系，利用向量方法求面面所成角的大小. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 以点为原点，DA，DC，DP所在的直线分别为，，轴建立空间直角坐标系， 设，，，， ，，， 设是平面的一个法向量， 由得：， 令，得，所以平面的一个法向量， 显然，是平面的一个法向量， 设为平面与平面的夹角，， 即平面与平面的夹角的余弦值 18. 已知椭圆的离心率为，短轴长为是椭圆的右顶点. （1）求椭圆的方程； （2）设斜率为且过的直线与椭圆交于两点，求的面积 （3）若过点的直线与椭圆交两点，直线为，设直线和直线分别与直线交于两点，求的值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由条件列出等式求出即可； （2）联立直线与椭圆方程，由弦长公式及点到线的距离公式即可求解； （3）设直线方程为，，联立椭圆方程，结合韦达定理得到，进而得到方程，可求，同理求得，即可求解； 【小问1详解】 由题意得，，解得，∴椭圆的方程为. 【小问2详解】 ，∴直线：，联立方程组得， 设，则， 点到直线的距离 ∴. 【小问3详解】 由题意得，直线斜率存在，设直线方程为，， 由得，，∴. ∵，，∴，故直线方程为， 令得，，故， 同理得，， ∴， ∵， ∴. 19. 已知函数. （1）讨论函数的单调性； （2）令，当时，求的极值点个数； （3）令，当有且仅有两个零点时，求的取值范围. 【答案】（1） 当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增. （2）两个极值点. （3）或 【解析】 【分析】（1）求导，利用一次型含参讨论求得单调性； （2）求导，求的极值点个数即为求的变号零点个数； （3）求导，整理得，易知，为一个零点， 分和分类讨论. 【小问1详解】 的定义域为， 当时，在上单调递增 当时，由，得， 由，得， 综上，当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增. 【小问2详解】 ， 令 当时，时单调递减， 时，单调递增，， 又时，， 所以分别在和上存在唯一的变号零点， 即有两个极值点. 【小问3详解】 ， 又为一个零点， ①若，则在定义域内单调递增，又，所以只有一个零点. ②若，令 又，则，即单调递增， i.当时，即，当时，单调递减； 当时，单调递增，的最小值为，函数只有一个零点. ii.当时，即，当时，， 所以存在唯一，使得，所以当时，单调递减， 当时，单调递增. 又时，，所以有两个零点. iii.当时，即，当时，， 所以存在唯一，使得，所以当时，单调递减， 当时，单调递增， 又时，，所以有两个零点. 所以，有且仅有两个零点时，或. 【点睛】思路点睛：研究函数的零点问题，可以通过转换、求导研究函数的单调性、最值，借助零点存在定理求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 德阳市博雅明德高级中学2025年春季学期高二3月月考 数学试题 考试时间：120分钟 满分：150分 一､单项选择题（共8小题，每小题5分，共40分.每小题只有一个选项是最符合题意要求的.） 1. 已知复数，则（ ） A. 0 B. C. 2 D. 2. 已知角α的终边过点，则（ ） A. B. C. D. 3. 在等差数列中，，则公差（ ） A. B. C. 1 D. 2 4. 已知，，且，则（ ） A. 4 B. 2 C. D. 1 5. 已知，则（ ） A. 0 B. 2 C. 1 D. 6. 若函数无极值，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数，则（ ） A. 6 B. 3 C. D. 8. 若，则（ ） A. B. C. D. 二､多项选择题（共3小题，每小题6分，共18分.全部选对得6分，部分选对的部分分） 9. 下列求导的运算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 设函数，则（ ） A. 是的极大值点 B. C. 的解集为 D. 当时， 11. 已知函数，则下列结论中正确地是（ ） A. 当时， B. 的图象关于中心对称 C. 若，则 D. 在上单调递减 三､填空题（共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 已知函数，则曲线在处的切线方程为__________. 13. 若函数在区间内存在单调递增区间，则实数的取值范围是_______． 14. 已知函数，当时，记在区间的最大值为，最小值为，则的取值范围为________． 四､解答题（共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤） 15. 已知函数在处取得极值． （1）求函数的解析式； （2）求函数的单调区间； （3）求函数在区间的最大值与最小值． 16. 已知是等差数列的前n项和，且， （1）求 （2）若，求数列前n项和为，并证明 17. 如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧棱底面，，是的中点，垂足为． （1）求证：平面； （2）求证：平面； （3）求平面与平面的夹角的余弦值． 18. 已知椭圆的离心率为，短轴长为是椭圆的右顶点. （1）求椭圆的方程； （2）设斜率为且过的直线与椭圆交于两点，求的面积 （3）若过点的直线与椭圆交两点，直线为，设直线和直线分别与直线交于两点，求的值. 19. 已知函数. （1）讨论函数的单调性； （2）令，当时，求的极值点个数； （3）令，当有且仅有两个零点时，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $