11.2 一元一次不等式 重点题型归纳 专项练 2025-2026学年人教版数学七年级下册

**基本信息** 聚焦一元一次不等式全链条能力培养，以定义辨析为起点，通过参数计算、实际建模、几何综合等模块构建"概念-运算-应用"逻辑体系，渗透抽象能力与模型意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |定义判定|4题|未知数次数1且系数非0的双重条件辨析|从概念本质出发，建立不等式与一元一次方程的区别联系| |参数求解|4题|定义约束下的参数方程构建（如k²=1且k≠-1）|深化对"元""次"概念的理解，培养推理意识| |实际建模|4题|"至多""不低于"等关键词转化为不等关系|强化用数学语言表达现实世界的应用意识| |几何综合|4题|动点问题中面积/长度的不等式表达|融合几何直观与运算能力，体现跨知识整合|

11.2 一元一次不等式 重点题型归纳 专项练 2025-2026学年 下学期初中数学人教版（2024）七年级下册 一、一元一次不等式的判定 1．下面式子中，是一元一次不等式的是（    ） A． B． C． D． 2．下列不等式中，是一元一次不等式的是（   ） A． B． C． D． 3．下列各式：①，②，③，④．其中一元一次不等式的个数是（   ） A． B． C． D． 4．下列式子：①，②，③，④，⑤，⑥中，一元一次不等式有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、根据一元一次不等式的定义求参数 5．若是关于x的一元一次不等式，则k的值为（　　） A． B．1 C． D．2 6．若是关于的一元一次不等式，则的值为（    ） A．0 B． C． D．1 7．若是关于x的一元一次不等式，则m的值为（　　） A． B．1 C． D．0 8．已知是关于x的一元一次不等式，则m的值为（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 三、列一元一次不等式 9．小刚用100元钱去购买笔记本和圆珠笔共30件，已知每本笔记本2元，每支圆珠笔5元，则小刚最多能买圆珠笔（   ） A．12支 B．13支 C．14支 D．15支 10．某服装店现有一款热卖的羽绒服，进价为280元/件，售价为400元/件．现准备打折销售，在保证利润率（利润率）不低于10%的情况下，打x折，则下列说法正确的是（   ） A．依据题意得 B．依据题意得 C．该款羽绒服可以打折 D．该款羽绒服最多打折 11．某移动手环进价为200元/件，售价为280元/件．“双11”为了促销，商店准备将这批移动手环降价出售．若要保证单件利润不低于24元，则最低可打__________折出售． 12．第12届世界运动会将于2025年8月在成都举行，为迎接此次盛会，某社区举办了趣味运动比赛，并购买了A，B两种奖品．已知购买3份A种奖品和2份B种奖品需164元，购买5份A种奖品和4份B种奖品需292元． (1)每份A种奖品与每份B种奖品的价格分别为多少元？ (2)该社区计划购进A，B两种奖品共100份，且总费用不超过3120元，那么最多能购进A种奖品多少份？ 四、解一元一次不等式 13．一元一次不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 14．将不等式和的解集在同一数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 15．如图，小雨把不等式的解集表示在数轴上，则阴影部分盖住的数字是_________． 16．解不等式：． 五、求不等式的最值 17．已知实数x，y，z满足，．若，则的最大值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 18．已知两个实数a、b，满足，且、，则的最小值是（   ） A． B．0 C． D．1 19．已知实数x，y，z满足，，若，则的最大值为（   ） A．3 B．7 C．10 D．13 20．已知实数，，满足，，若，则的最大值为______ 21．已知．请确定的最大值． 六、用不等式解集求参数 22．若关于x的方程的解是非负数，则k的取值范围是（   ） A． B． C． D． 23．若的解能使关于的不等式成立，则实数的取值范围是___________． 24．已知关于x的不等式的解集是，则_________． 25．关于的不等式只有2个正整数解，求的取值范围． 七、用一元一次不等式解决几何问题 26．如图，在中，，，．动点从点出发，沿折线以每秒个单位长度运动，到达点时停止．设点运动的时间为秒． (1)点整个运动过程中，共需____秒； (2)当的面积为时，求的值； (3)当的面积大于时，求的取值范围． 27．在中，，，，，射线，点在射线上，且，连接．动点从点出发，沿折线方向以每秒2个单位长度运动，到达点时停止，设点的运动时间为秒． (1)当时，求线段的长度； (2)当的面积恰好等于的面积的时，求的值； (3)当是的高，且时，求的取值范围． 28．如图，在中，是边上的高，，，．点在高上，且．点从点出发，沿折线方向以每秒2个单位长度运动，到达点时停止，设点运动时间为秒． (1)求点整个运动过程共需多少秒？ (2)当点在边上运动，且以点、、为顶点的三角形是等腰直角三角形时，求的值； (3)当的长大于点运动总路程的时，求的取值范围． 29．如图，数轴上点为原点，点A、B、C表示的数分别是． (1) ．（用含m的代数式表示） (2)当时，求m的最小值． 八、求一元一次不等式的整数解 30．不等式的最大整数解是（     ） A．0 B．1 C． D．2 31．不等式的非负整数解为______． 32．如图，要使输出值大于100，则输入的最小正整数是___________． 33．解不等式，并求出最大整数解． 34．解不等式，并写出它的所有非负整数解． 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C D B B C D B B B D 题号 13 14 17 18 19 22 30 答案 A A A A B D D 1．C 本题考查一元一次不等式的定义．只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1的不等式是一元一次不等式，据此求解即可． 解：A、没有未知数，不是一元一次不等式，本选项不符合题意， B、是等式，不是一元一次不等式，本选项不符合题意， C、符合一元一次不等式的定义，是一元一次不等式，本选项符合题意， D、含有两个未知数，不是一元一次不等式，本选项不符合题意， 故选：C． 2．D 本题考查了一元一次不等式的定义，根据一元一次不等式的定义进行分析即可，熟知一元一次不等式的定义解题的关键． 解：A、不是一元一次不等式，故选项不符合题意； B、不是一元一次不等式，故选项不符合题意； C、不是一元一次不等式，故选项不符合题意； D、是一元一次不等式，故选项符合题意； 故选：D． 3．B 本题考查了一元一次不等式，只含有一个未知数，并且未知数的次数是，两边都是整式，这样的不等式叫做一元一次不等式，据此判断即可求解，掌握一元一次不等式的定义是解题的关键． 解：①是一元一次不等式； ②中左边是分式，不是一元一次不等式； ③中含有个未知数，不是一元一次不等式； ④是一元一次不等式； ∴一元一次不等式有个， 故选：． 4．B 本题主要考查一元一次不等式的定义，熟练掌握一元一次不等式的定义是解题的关键．根据一元一次不等式的定义进行判断即可． 解：①⑤为一元一次不等式，共2个，其它都不是． 故选B． 5．C 根据一元一次不等式的定义可得且，分别进行求解即可．本题主要考查一元一次不等式定义的“未知数的最高次数为次”这一条件；还要注意，未知数的系数不能是，掌握一元一次不等式的定义是解题的关键． 解：∵是关于的一元一次不等式， ∴且，解得：， 故选：C 6．D 本题主要考查了一元一次不等式的定义、绝对值等知识点，熟练掌握一元一次不等式的定义是解本题的关键． 利用一元一次不等式和绝对值的定义列式求解即可． 解：∵是关于x的一元一次不等式， ∴且， ∴． 故选D． 7．B 此题考查了一元一次不等式的定义．根据一元一次不等式的定义得到，即可求出m． 解：∵是关于的一元一次不等式， ∴， 解得， 故选：B． 8．B 本题考查了一元一次不等式“含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式”，熟记一元一次不等式的定义是解题关键．根据一元一次不等式的定义可得，且，由此即可得解． 解：∵是关于x的一元一次不等式， ∴，且， ∴． 故答案为：4． 9．B 本题考查一元一次不等式的应用，设圆珠笔数量为支，根据总花费不超过100元列出不等式，求解后取整数最大值，理解题意，找准不等关系是解此题的关键． 解：设小刚买圆珠笔支，则笔记本本， 由题意可得： 解得：， ∵为整数， ∴最大为， 故小刚最多能买支圆珠笔， 故选：B． 10．D 本题考查了一元一次不等式的应用，根据标价×打折-进价=利润，列出一元一次不等式，解不等式即可． 解：根据题意可列方程，． 解不等式得， ∴最多打折． 故选：D． 11．8/八 本题考查一元一次不等式的实际应用，设打折出售，根据单件利润不低于24元，列出不等式进行求解即可． 解：设打折出售，由题意，得：， 解得：， 答：最低可打8折出售． 故答案为：8． 12．(1)每份A种奖品的价格为36元，每份B种奖品的价格分别为28元 (2)最多购进A种奖品40个 本题主要考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，熟练掌握总价与单价和数量的关系列二元一次方程组，列一元一次不等式，是解题的关键． （1）设每份A种奖品的价格为x元，每份B种奖品的价格分别为y元，根据购买3份A种奖品和2份B种奖品需164元，购买5份A种奖品和4份B种奖品需292元．列出二元一次方程组，解方程组即可； （2）设购进m个A种奖品，则购进个B种奖品，根据总费用不超过3120元，列出一元一次不等式，解不等式即可． （1）解：设每份A种奖品的价格为x元，每份B种奖品的价格分别为y元， 由题意得：， 解得：， 答：每份A种奖品的价格为36元，每份B种奖品的价格分别为28元； （2）解：购进m个A种奖品，则购进个B种奖品，由题意得： ， 解得：， 答：最多购进A种奖品40个． 13．A 本题考查解一元一次不等式．按解一元一次不等式的步骤解答即可． 解：移项，得， 系数化为1，得， 故选：A． 14．A 先根据不等式的性质求出不等式的解集，在数轴上表示出不等式组的解集即可． 本题考查了解一元一次不等式在数轴上表示不等式的解集，能根据求出不等式的解集是解此题的关键． 解：解不等式，得， 解不等式，得， 在数轴上表示为： 故选：． 15． 本题考查解一元一次不等式，用数轴表示不等式的解集，掌握解一元一次不等式的步骤是解题关键．求出该不等式的解集，再在数轴上表示出来，即可确定阴影部分盖住的数字． 解：， ， 解得：． 所以阴影部分盖住的数字是． 故答案为：． 16． 本题考查的是一元一次不等式的解法，先取分母，再去括号，移项，合并同类项，最后把未知数的系数化为1即可； 解：去分母得：， 去括号得：， 移项、合并同类项得：， 系数化为1得：； 17．A 设，用x表示z得到，则，所以，再利用，得到，解不等式得到，所以，然后解不等式得到t的最大值即可． 解：设， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， 即， ∴， ∴， 解得：， ∴的最大值为1． 18．A 本题先根据已知条件用a表示b，结合a、b的非负性求出a的取值范围，，利用不等式的性质求最小值． 解：∵， ∴， ∵， ∴， 解得， 将代入得， ∴， ∴， ∴当时，取得最小值，最小值为． 19．B 本题主要考查了解一元一次不等式，将问题转化为解不等式是解题的关键． 由条件可得，因此求最大值等价于求的最大值，结合和 约束，得到，解不等式可得，从而求出最大值． 解：∵ ，， ∴ ， ∴ 。 故求的最大值即求的最大值， 由，得， 代入，得， 即 ， 解得 ∴ 的最大值为 ， 此时， 故最大值为， 故选：B． 20．7 由条件可得，因此求最大值等价于求的最大值，结合和约束，得到，解不等式可得，从而求出最大值． 解：∵，， ∴， ∴， 故求的最大值即求的最大值， 由，得， 代入，得， 即 ， 解得 ∴的最大值为， 此时， 故最大值为． 21． 本题主要考查了解一元一次不等式．先去括号，再移项合并同类项，可得到，即可求解． 解：， 去括号得：， 移项合并同类项得：， ∴， 即的最大值为． 22．D 23．/ 先解给定的一元一次方程得到x的值，再将方程的解代入不等式，解关于m的不等式即可得到m的取值范围． 解：解方程 去分母得， 移项、合并同类项得， 系数化为1得， ∵能使不等式成立， ∴将代入不等式得， 去括号得， 移项、合并同类项得， 系数化为1，得，． 24． 25． 解不等式，得． 不等式只有2个正整数解，这2个正整数解一定是1和2， ， 解得． 26．(1) (2)当或时，的面积为 (3)当时，的面积大于 （1）根据，，可以求出点运动的路程，根据点运动速度即可求出需要的时间； （2）当点在上运动时，，则有，根据三角形的面积公式可得，解方程即可求出的值；当点在上运动时，，则有，根据三角形的面积公式可得，解方程即可求出的值； （3）当点在上运动时，可得，当点在上运动时，可得，解不等式即可求出的取值范围． （1）解：在中，，，， ， 点的运动速度为个单位长度每秒， 点整个运动过程中，共需秒； （2）解：当点在上运动时，， 则有， ， 解得：； 当点在上运动时，， 则有， ， 解得：； 综上所述，当或时，的面积为； （3）解：当点在上运动时，， 则有， ， 解得：， 当点在上运动时，， 则有， ， 解得：， 当时，的面积大于． 27．(1)当时，线段的长度为2 (2)的值为或 (3)的取值范围是： （1）先求出运动的路程，再根据点的位置解答即可； （2）分两种情况：当点P在时，当点P在上时，根据面积关系列方程即可求解； （3）根据三角形的面积求出的值，分为点P在时，点P在上，两种情况根据列不等式组解答即可． （1）解：当时，． ． 答：当时，线段的长度为2． （2）解：， ． 的边的高． ∵， ∴ ∴． ． ①当点在边上，即时． ． ． ， ． 解这个方程，得．        ②当点在边上，即时． ． ． ． 解这个方程，得． 综上所述，的值为或． （3）解：是的高． ． ，，， ． ①当点在边上，即时，． ，且． ，解得． ， ．          ②当点在边上，即时． ． ，且． ． 解不等式，得． ， ．        综上所述，的取值范围是：． 28．(1)12秒 (2)2或6 (3)或 本题考查一元一次方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用，注意分情况讨论是解题的关键． （1）利用速度、路程、时间的关系求解； （2）当点在边上运动，且以点、、为顶点的三角形是等腰直角三角形时，，分点P在点D左侧与右侧两种情况，根据列方程，即可求解； （3）点运动总路程为，分“点在边上运动”和“点在边上运动”两种情况，根据的长大于点运动总路程的列不等式，解不等式即可． （1）解：， （秒）， 即点整个运动过程共需12秒； （2）解：是边上的高， 当点在边上运动，且以点、、为顶点的三角形是等腰直角三角形时，， 当点P在点D左侧时，，即， 解得； 当点P在点D右侧时，，即， 解得； 综上可知，的值为2或6； （3）解：点运动总路程为， 当点在边上运动时，， 则， 解得； 当点在边上运动时，， 则， 解得， 点整个运动过程共需12秒， ， 综上可知，的取值范围为或． 29．(1) (2) 本题考查数轴上两点间的距离，解一元一次不等式等知识，准确计算是解决问题的关键． （1）用右边的点所表示的数减去左边的点所表示的数即可求解． （2）利用，建立方程求得，求解即可． （1）解：； （2）解：∵， ∵，， ∴， ∴， m最小取． 30．D 先解一元一次不等式得到解集，再在解集中找出满足条件的最大整数即可． 解：移项可得， 合并同类项得， 系数化为得， ∵小于等于的最大整数是 ∴不等式的最大整数解是． 31．0，1，2 先求出一元一次不等式的解集，再从解集中找出符合要求的非负整数即可． 解： 移项得： 合并同类项得： 系数化为得： 不等式的非负整数解是，，． 32．21 设输入的值为，当为偶数，；当为奇数，，即可得到答案． 解：设输入的值为， 当为偶数，，解得， 当为奇数，，解得， 则输入的最小正整数是． 33．；最大整数解为 首先解不等式，然后确定不等式的解集中的最大整数解即可． 解：去括号得， 移项、合并同类项得，， 系数化为1得，， ∴最大整数解为． 34． ；非负整数解有 先求解不等式，即可找到所有非负整数解． 解：， 去分母，得， 去括号，得， 移项，合并同类项，得， 系数化为，得， ∴不等式的解集为， 它的所有非负整数解为． 学科网（北京）股份有限公司 $