精品解析：湖南株洲市部分学校2026届高三考前五月适应性测试数学试题

2026届高三考前适应性测试 数学 2026.5 温馨提示： 1．本试卷共4页，共19道题，时间为120分钟，满分150分． 2．作答时，把答案转填涂在答题卡上，写在试题卷上的答案无效． 3．考试结束时，只交答题卡． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】借助交集定义即可得. 【详解】由，，则. 2. 若复数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：. 3. 已知向量，，若，则实数（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】已知向量，，则， ，解得． 4. 若，则＝（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】． 5. 现有4名同学，需要把他们全部安排到甲、乙两个场馆参加志愿服务，每人只能去1个场馆，且每个场馆至少安排1人，则不同的安排方法共有（ ） A. 10种 B. 12种 C. 14种 D. 20种 【答案】C 【解析】 【分析】结合人数的分配以及排列数、组合数的计算求得正确答案. 【详解】根据题意，不同的分组有和， 则不同的安排方法共有． 6. 设公差不为零的等差数列，前项和为，若，且，则（ ） A. 15 B. 16 C. 17 D. 18 【答案】A 【解析】 【分析】利用等差数列的性质和通项公式求解. 【详解】因为，所以 ，即， 即根据等差数列性质得到，， 所以，即，则，即， 因为，所以， 即， 将代入得到， 因为，两边除以得到， ，故选项A正确. 7. 已知，是椭圆C：（）的左右焦点，点P在椭圆上，为等腰三角形，，则椭圆C的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由已知与可得，再由椭圆定义求解离心率． 【详解】由题意，为等腰三角形，， 所以， 所以，即， 所以，所以， 即C的离心率为. 8. 已知曲线在处的切线与曲线相切，则的值为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求在处的切线方程为；利用导数相等求出的切点横坐标；代入切线方程解得. 【详解】对求导得，当时，，， 曲线在处的切线方程为. 设切线与相切于点，对求导得， 由切线斜率为得，解得， 将切点代入切线方程得，解得. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 在中，，，，则（ ） A. B. 边上的中线长 C. 边上的角平分线长 D. 外接圆的面积为 【答案】BC 【解析】 【分析】对于A：根据向量的数量积求解即可；对于B：根据向量加法的平行四边形法则、向量数量积的运算律及向量的模求解即可；对于C：根据三角形面积关系及三角形面积公式求解即可；对于D：根据正余弦定理求解即可. 【详解】选项A：向量与的夹角为， 所以，A错误. 选项B：设中点为，则，则 ， 故边上的中线长，B正确. 选项C：设角的角平分线交于，利用面积关系， 即， 也即，解得，C正确. 选项D：由余弦定理得，即， 设外接圆半径为，由正弦定理，则. 所以外接圆的面积，D错误. 10. 在棱长为2的正方体中，分别是和的中点，则下列结论正确的有（ ） A. 平面 B. 平面 C. 点到直线的距离为 D. 点到平面的距离为 【答案】ACD 【解析】 【详解】对于A，因为分别是和的中点，所以， 又因为平面，平面，所以平面，故A正确； 对于B，以为坐标原点，所在直线为坐标轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 则 设平面的一个法向量为， 则，令，则， 所以平面的一个法向量为， 又，又，所以与不共线， 所以不垂直于平面，故B错误； 对于C，因为， 所以点到直线的距离为，故C正确； 对于D：因为， 所以点到平面的距离为，故D正确； 11. 已知函数，定义域均为，为偶函数，为奇函数，且，则（ ） A. B. 函数图象关于点对称 C. D. 当时， 【答案】ACD 【解析】 【分析】先根据为奇函数推出的对称中心，再结合与的关系分析的对称性、周期性、进而判断各选项. 【详解】A选项中，因为为奇函数，所以， 则，故A正确， B选项中，由A选项可知，，， 所以，即， 所以关于点对称，又的图象关于对称， 所以的对称中心为，，不是，故B错误， C选项中，由A项得关于对称，即，， ，，因为的图象关于对称， 所以，又，所以， 所以，即， 所以关于对称，即， 因此，， 所以，故C正确， D选项中，因为，所以， 又，所以，则， 所以，则的周期为4， 所以，又因为， 所以，所以，故D正确． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 在的展开式中，的系数为_____.（用数字作答） 【答案】 【解析】 【详解】展开式的通项为， 令，解得， 所以的系数为. 13. 若直线既是曲线在处的切线，也是曲线的切线，则实数_________． 【答案】2 【解析】 【分析】根据题意先求出曲线在处的切线方程，设与曲线的切点，利用导数的几何意义推得关于的方程组，求解即得. 【详解】由求导得，则曲线在处的切线方程为，即， 设曲线的切线的切点为，由求导得， 依题意可得，解得. 14. 一副扑克牌去掉大小王有52张，有红桃、方片、梅花、黑桃四种花色各13张，随机不放回地每次取出一张牌，直到将52张牌全部取出，记随机变量X为最后一张红桃被取出时总共所取牌的张数，则______. 【答案】 【解析】 【分析】设为最后一张红桃被取出时总共所取牌的张数，可得，再利用期望公式可得，结合组合数定义及组合恒等式化简并计算即可得解. 【详解】设为最后一张红桃被取出时总共所取牌的张数， 张红桃的位置可能有种，前张中张红桃的位置可能有种， 故； 则， 由， ， 故 . 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知的面积为，内角所对的边分别为，且. （1）求； （2）若，的角平分线交于点，求线段的长. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用余弦定理和三角形面积公式对已知条件进行转化，进而求出角. （2）先根据同角三角函数的基本关系求出，再利用正弦定理求出b，最后利用三角形面积公式求出线段的长. 【小问1详解】 因为，， 所以 ， 即，所以. 又，所以. 【小问2详解】 因为，所以， 所以 . 由正弦定理可得，，， 又， 所以，解得. 所以线段的长为. 16. 已知函数，其中. （1）当时， （ⅰ）求曲线在点处的切线方程； （ⅱ）求函数的单调区间； （2）若，求的取值范围. 【答案】（1）（ⅰ）；（ⅱ）在上单调递减，在上单调递增. （2）. 【解析】 【分析】（1）（ⅰ）根据导数的几何意义求切线方程； （ⅱ）根据导数的正负求函数的单调区间； （2）首先确定，再根据导数求函数的最小值，根据最小值，结合极值点化简不等式，求和的取值范围. 【小问1详解】 当时，，. （ⅰ）因，，所以切线方程为. （ⅱ）由得，由得， 所以在上单调递减，在上单调递增. 【小问2详解】 当时，，不满足题意. 所以，此时. 显然是上的增函数，且时，，时，， 所以存在唯一正实数使得，即. 此时在上单调递减，在上单调递增. 由题意. 将代入上式整理得：，解得：. 此时，代入后. 化简得：，解得：. 令，其中. 则，所以是区间上的增函数. 所以，代入得到的取值范围是. 17. 如图，在三棱柱中，平面平面，，，， （1）证明：平面； （2）求的长； （3）求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用线面垂直的判定定理和性质定理，结合题意即可得证； （2）先由余弦定理求出，取的中点，连接，，然后由已知条件结合勾股定理即可得解； （3）由（2），以为坐标原点，直线，，所在方向分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，然后由向量法即可得解． 【小问1详解】 证明：因为，所以四边形是菱形， 所以，又，且， 所以，因为，平面，平面， 所以平面； 【小问2详解】 在△中，由，，， 所以， 如图，取的中点，连接，， 因为，所以， 因为平面平面，平面平面， 所以平面，因为平面， 所以，因为，，，平面， 且，所以平面， 因为平面，所以因为的中点为， 所以，在△和△中，可知， 在△中，可知， 因为，所以， 解得：； 【小问3详解】 由（2），以为坐标原点，直线，，所在方向分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系， 则，，，， 所以，，， 设平面的法向量为， 则，令，得， 设平面的法向量为， 则，即，令，则， 所以平面的一个法向量为， 设平面与平面的夹角为， 则， 所以平面与平面夹角的余弦值为． 18. 已知椭圆分别与轴正半轴、轴正半轴交于，两点. （1）求直线的方程； （2）设，为椭圆上的两个动点，在四边形中，. （ⅰ）证明：直线与的斜率之积为定值； （ⅱ）设为坐标原点，过的直线交于，两点，，其中.判断是否存在直径为3的圆经过，，，四点？若存在，求；若不存在，说明理由. 【答案】（1） （2）（i）证明见解析（ii）不存在，理由见解析 【解析】 【分析】（1）求出点的坐标，然后由直线的截距式方程即可求解； （2）（i）设直线，与椭圆联立，根据两点斜率公式结合韦达定理即可证明； （ii）设，根据向量的坐标运算结合韦达定理可得，假设存在满足题意的圆，则圆的方程只能是，然后与椭圆方程联立得方程组无实根即可证明不存在满足题意的圆. 【小问1详解】 椭圆，令得（正半轴），故； 令得（正半轴），故， 由截距式得直线方程为：， 即  . 【小问2详解】 （i）由，设直线，， 联立与椭圆方程： ，整理得， 由韦达定理得： ， ， 故斜率之积为定值2，得证 . （ii）设，由得： ，  由，，得： ​ ， 点在椭圆上，代入椭圆方程得，即， 若在圆上，且（关于原点对称），则圆的方程必为， 圆心在原点，直径为3，故，则圆的方程为， 联立与椭圆，得，无实根， 因此不存在这样的点，故不存在满足条件的圆. 19. 甲、乙两人投篮，无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率为，乙每次投篮的命中率均为． （1）若甲单独投篮，规定：首次出现连续两次命中，则停止投篮．求甲投篮4次即停止投篮的概率； （2）若甲、乙进行投篮比赛，记甲、乙各投篮一次为一局，每局结束记录各自的投球总数．规定：首次比对方多进两球者获胜，比赛停止；若第四局结束仍未分出胜负，比赛也停止．记表示比赛停止时已比赛的局数，求随机变量的分布列与数学期望； （3）若甲单独投篮，规定：首次出现连续次命中，则停止投篮．设停止投篮时甲投篮总次数为，随机变量的数学期望为，记．写出与的递推关系，并求数列的前项和． 【答案】（1） （2）分布列见详解， （3）； 【解析】 【分析】（1）运用互斥事件概率加法公式，分析投篮4次停止需满足“前两次未出现连中且后两次连中”的结构，利用每次投篮的独立性，对命中与未命中序列进行分类相乘即可； （2）依据比赛规则确定随机变量的所有可能取值，逐局分析胜负条件，运用独立事件乘法与互斥事件加法求各取值概率，最后按定义计算分布列与数学期望； （3）利用数学期望的递推思想，基于投篮结果建立关系式，导出与的递推，通过构造等比数列求通项，再对等比数列与常数列分别求和得. 【小问1详解】 设事件：甲第次投篮合中， 则则甲投篮4次即停止投篮的概率， 则，故甲投篮4次即停止投篮的概率为． 【小问2详解】 依题意可得，随机变量的可能取值为：， ， 局结束时，甲胜概率， 局结束时，乙胜概率， ， ， 分布列： 数学期望：. 【小问3详解】 当时，，则， 当时，， 则，即则， 故为首项为，公比为的等比数列故， 即，故． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026届高三考前适应性测试 数学 2026.5 温馨提示： 1．本试卷共4页，共19道题，时间为120分钟，满分150分． 2．作答时，把答案转填涂在答题卡上，写在试题卷上的答案无效． 3．考试结束时，只交答题卡． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 若复数，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知向量，，若，则实数（ ） A. B. C. D. 4. 若，则＝（ ） A. B. C. D. 5. 现有4名同学，需要把他们全部安排到甲、乙两个场馆参加志愿服务，每人只能去1个场馆，且每个场馆至少安排1人，则不同的安排方法共有（ ） A. 10种 B. 12种 C. 14种 D. 20种 6. 设公差不为零的等差数列，前项和为，若，且，则（ ） A. 15 B. 16 C. 17 D. 18 7. 已知，是椭圆C：（）的左右焦点，点P在椭圆上，为等腰三角形，，则椭圆C的离心率为（ ） A. B. C. D. 8. 已知曲线在处的切线与曲线相切，则的值为（ ） A. 2 B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 在中，，，，则（ ） A. B. 边上的中线长 C. 边上的角平分线长 D. 外接圆的面积为 10. 在棱长为2的正方体中，分别是和的中点，则下列结论正确的有（ ） A. 平面 B. 平面 C. 点到直线的距离为 D. 点到平面的距离为 11. 已知函数，定义域均为，为偶函数，为奇函数，且，则（ ） A. B. 函数图象关于点对称 C. D. 当时， 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 在的展开式中，的系数为_____.（用数字作答） 13. 若直线既是曲线在处的切线，也是曲线的切线，则实数_________． 14. 一副扑克牌去掉大小王有52张，有红桃、方片、梅花、黑桃四种花色各13张，随机不放回地每次取出一张牌，直到将52张牌全部取出，记随机变量X为最后一张红桃被取出时总共所取牌的张数，则______. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知的面积为，内角所对的边分别为，且. （1）求； （2）若，的角平分线交于点，求线段的长. 16. 已知函数，其中. （1）当时， （ⅰ）求曲线在点处的切线方程； （ⅱ）求函数的单调区间； （2）若，求的取值范围. 17. 如图，在三棱柱中，平面平面，，，， （1）证明：平面； （2）求的长； （3）求平面与平面夹角的余弦值． 18. 已知椭圆分别与轴正半轴、轴正半轴交于，两点. （1）求直线的方程； （2）设，为椭圆上的两个动点，在四边形中，. （ⅰ）证明：直线与的斜率之积为定值； （ⅱ）设为坐标原点，过的直线交于，两点，，其中.判断是否存在直径为3的圆经过，，，四点？若存在，求；若不存在，说明理由. 19. 甲、乙两人投篮，无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率为，乙每次投篮的命中率均为． （1）若甲单独投篮，规定：首次出现连续两次命中，则停止投篮．求甲投篮4次即停止投篮的概率； （2）若甲、乙进行投篮比赛，记甲、乙各投篮一次为一局，每局结束记录各自的投球总数．规定：首次比对方多进两球者获胜，比赛停止；若第四局结束仍未分出胜负，比赛也停止．记表示比赛停止时已比赛的局数，求随机变量的分布列与数学期望； （3）若甲单独投篮，规定：首次出现连续次命中，则停止投篮．设停止投篮时甲投篮总次数为，随机变量的数学期望为，记．写出与的递推关系，并求数列的前项和． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $