命题大赛 河南2026年普通高等学校招生全国统一考试（新高考Ⅰ卷）数学模拟卷

**基本信息** 立足新高考命题趋势，以医学药物浓度衰减、大模型延迟测试等真实情境为载体，通过概率操作、函数与数列综合等问题设计，考查数学抽象、逻辑推理与数学建模素养，实现基础巩固与创新应用的梯度融合。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|集合、复数、三角函数等|第3题药物浓度衰减考查指数函数应用| |多选|3/18|统计抽样、立体几何|第9题分层抽样结合方差计算，体现数据意识| |填空|3/15|命题、解三角形、立体几何|第14题正方体动点体积范围，考查空间观念| |解答|5/77|立体几何、椭圆、概率、函数与数列|18题概率操作问题设计创新，19题函数与数列综合考查逻辑推理|

2026 年普通高等学校招生全国统一考试（新高考 Ⅰ 卷）数学模拟卷 参考答案 1．C 集合，集合B={0,1,2}，则A∩B={0,1,2}. 2．A 已知=i，即-i，得+i对应复平面内的点（）在第一象限 3．B 由题意得，血液中药物浓度不超过时，可正常驾驶机动车， 设患者服药后经过小时可正常驾驶，由题意得， 即，两边同时取对数得， 即，， ，代入参考数据得， 整理得，故至少经过小时后可正常驾驶. 4．B 依题意，， 由函数为偶函数，得，而， 则，所以的值为. 5．C 以A为坐标原点，方向为x轴正方向，方向为y轴正方向建立平面直角坐标系，设，则 ∵D为AC中点，E为BC中点，故. 直线的方程为，直线BD的方程为， 联立，解得，∴F的坐标为. 因此 , 得，即. 6．A 如图，以D为原点，分别以，，所在的直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系. 设正方体的棱长为3，则，，，， 所以，， 故， 所以向量与夹角的余弦值为.   7．B 双曲线的渐近线为且双曲线的焦半径参数满足 不妨取渐近线左焦点为设点关于直线的对称点为， 已知点关于直线的对称点坐标公式 把代入，得 再代入可得 所以 因为点在圆上，所以 由，上式化为 即整理得所以 再由得因为 ，故于是双曲线的离心率 8．D 集合A中有8个元素，由组合数的对称性可知M可能值是14或15. 9．BC 对于A选项，数学证明的样本容量为 ， 所以每个数学证明任务被抽中的概率为 ，故A选项错； 对于B选项，代码生成任务的样本容量为，故B选项对； 对于C选项，因为样本容量是 160 ， 且100个代码生成样本均值为 212ms，60个数学证明样本均值为 ， 所以总样本的均值是，故C选项对； 对于D选项，因为代码生成样本均值为 212ms，方差为 ； 数学证明样本均值为 ，方差为 ； 总样本的均值是200，所以总样本的方差为 ，故D选项错. 10．BD 对于A：平行六面体中，， 又为棱的中点，所以与相交，故与为异面直线，A错误. 对于B：连接、，交于点，连接、， 因为，则四边形为菱形，故，点为中点. 又，，所以，故. 又点为中点，所以， 又，，平面，故平面，故B正确. 对于C：由，， 得、、均为等边三角形，故. 在等腰中，， 在等腰中，， 在中，， 在中，，则，C错误. 对于D：连接，，因为，分别为棱，的中点，所以， 又，则直线与所成角即为直线与所成角，即为. ，，在中，，D正确. 11．ABD 已知，设，因为为等腰直角三角形， 则直线的斜率为，直线的方程为， 联立，解得，则，即，则， 设，则，， 则， 可得，即， 由，可得，故得， 所以数列是以2为首项，以2为公差的等差数列，则，故A正确； 对于B，，则，故B正确； 对于C，因为是等腰直角三角形，其面积， 则 由平方和公式，可得，故C错误； 对于D，因为，，当时，， 则，故D正确． 12． 若为真命题，等价于，，当且仅当时，等号成立， ，即，可得，故实数的取值范围是． 13．-1 在△ABC中，因为. 所以2cosAsinB=-sinB,所以cosA=，则A=,所以B+C=. 因为恒成立，所以 成立, 又=≥，当且仅当B=C时，“=”成立， 所以，即，又因为，所以的最小值为-1. 14． 如图所示，设，在正方体中，平面，因为平面， 所以，又，平面，所以平面， 因为是线段的中点，，则，所以点在平面内，即，  又因为，所以点在以点为球心，1为半径的球面上， 而，则平面， 所以到平面的距离为，由正方体的边长为1，则， 因为平面，所以，则， 所以在平面内，且以H为圆心，为半径的半圆弧上， 则到平面的距离的最小值为，最大值为1， 而正方形的面积为1， 所以四棱锥体积的最小值为，最大值为， 则四棱锥体积的取值范围为. 15.（1）连接，交于点，连接，.................1分 因为点分别是的中点，所以，.................2分 平面平面，.................3分 所以平面；.........................................4分 （2）因为，，由，可得， 如图，以为轴的正方向，建立空间直角坐标系，.................5分 则， 于是，.................7分 设平面的法向量为， 所以，令，则， 所以平面A1CE的一个法向量为，.................9分 设平面的法向量为， 所以，令，则， 所以平面的一个法向量为，.................11分 设平面与平面所成角为， 则， 则平面与平面所成角的余弦值．.................13分 16．（1）由题意可得：，，可得，， 所以椭圆的标准方程为..................5分 （2）由题意可知：，直线的斜率存在， 设直线，，，.................6分 联立方程，消去y可得，.........................7分 则，可得， 则，，...............................................9分 因为，.................10分 整理可得， 即， 整理可得，解得或，.................12分 若，则直线过定点，不合题意； 若，则直线过定点，符合题意； 综上所述：直线过定点........................15分 17．（1）由，可得．  .................1分 由正弦定理可得．  .................3分 故．.................4分   由余弦定理可得．   化简得．.................7分 （2）因为角取得最大值，所以为锐角，，.................8分 因为，所以，所以， 所以，所以为锐角，.............................................................................10分 则，   当且仅当即时取等号．  .........................................................13分 此时最大，且．  所以． 解得．.................15分 18．（1）初始状态：盒子A中有 张普通卡片，1张幸运卡片，共 张卡片，无空白卡片. 第一次操作将6张卡片分为两叠各3张，保留含幸运卡片的一叠，该叠除幸运外剩余2个位置，全部由普通卡片填充，因此第一次操作后普通卡片数量一定为 ， 即操作两次前盒子A中有：2张普通、1张幸运、3张空白，共6张卡片. 步骤2：计算两次操作后 的概率分布 第二次操作：将6张卡片分为两叠各3张，保留含幸运的一叠，为该叠中普通卡片的数量， 的可能取值为 .由于已确定幸运在保留叠，需从剩余5张（2普通+3空白）中选2张，总选法为 ，因此：；；.................5分 的分布列为： 0 1 2 因为 最大，因此此时盒子A中最有可能的普通卡片张数为 ..................6分 （2）（i）证明：若盒子A中只有1张普通卡片，设再进行W次操作后，恰好无普通卡片 .................8分 .................9分 .................10分 .................11分 （ii）当时，再进行1次操作后恰好无普通卡片的概率，..........12分 .................13分 .................14分 .................16分 .................17分 19．（1）证明：由， 则， 即，.................2分 则，即，而， 则，即，则..................4分 （2）证明：由，.................5分 则，..........6分 因为，所以，.................7分 而，， 则. .................9分 （3）由为等差数列， 则 ，.................11分 同理可得，，…，，.................12分 则 ，.................13分 令， 则，.................14分 而， ， 则，所以在上单调递增，则方程有且仅有一个解，.................15分 所以， 则. .................17分 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026 年普通高等学校招生全国统一考试（新高考 Ⅰ 卷）数学模拟卷 满分：150 分 考试时间：120 分钟 注意事项 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，则（    ） A．(-1,2] B．[-2,3) C．{0,1,2} D．{1,2} 2．已知，则对应复平面内的点在第（    ）象限 A．一 B．二 C．三 D．四 3．医学规定：服用某药物后，100mL血液中药物浓度不超过14mg时，可正常驾驶机动车.某患者服药后，血液中药物浓度瞬间升至2.1mg/mL；停止服药后，血液中药物含量每小时以剩余量的30%匀速衰减.则该患者至少经过多少小时后可正常驾驶.（   ） 参考数据：，， A．7 B．8 C．9 D．10 4．已知函数，是偶函数，则θ的值为（   ） A．0 B． C． D． 5．在中，，，为的中点，为的中点，与交于点，若，则线段的长度为（    ） A． B．4 C． D．6 6．如图，在正方体中，点P满足，则向量与夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 7．已知双曲线：（，），为的一条渐近线，若双曲线的左焦点关于直线的对称点在圆上，则双曲线的离心率为（   ） A．3 B．2 C． D． 8． 若集合A={|M,nN且n≤M}的真子集有255个，则M的值可能为（ ） A．11 B．12 C．13 D．14 二、多项选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得 6 分，部分选对的得 3 分，有选错的得 0 分。 9．某大模型用于处理两类推理任务：代码生成与数学证明，任务数量分别为 5000 个与 3000 个.现按比例分层抽样， 共抽取 160 个任务进行延迟测试 （单位： ms）.经计算， 代码生成样本均值为 212ms，方差为 ；数学证明样本均值为 ，方差为 ，下列说法中正确的有（    ） A．每个数学证明任务被抽中的概率为 B．代码生成任务应抽取 100 个 C．总样本的均值为 D．总样本的方差为 10．在平行六面体中，，，，分别为棱，的中点，则（    ） A． B．平面 C． D．直线与所成角的余弦值为 11．如图，曲线上的点与x轴非负半轴上的点，构成一系列斜边在x轴上的等腰直角三角形，记为，，，（为坐标原点）．设的斜边长为，点，的面积为，则下列说法中正确的是（    ） A．数列的通项公式 B．数列的通项公式 C． D． 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。 12．已知命题，若为真命题，则实数的取值范围是________． 13．在△ABC中，内角所对应的边分别是，已知，若,满足恒成立，则的最小值为________． 14．已知棱长为1的正方体内有一个动点M，满足，且，则四棱锥体积的取值范围为______． 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）如图，在直三棱柱中，，分别是的中点．已知，． (1)证明：平面； (2)求平面与平面所成角的余弦值． 16．（15分）已知椭圆的离心率为，以椭圆的焦点和短轴顶点为顶点的四边形是边长为2的菱形. (1)求椭圆的标准方程； (2)已知为椭圆的左顶点，，为椭圆上两个不同的动点（均不与点重合），且满足直线与直线的斜率之积为.求证：直线过定点. 17．（15分）△ABC内角，，的对边分别为，，，满足． (1)求证：； (2)当角取得最大值时，△ABC的面积为，求． 18．（17分）盒子A中装有张普通卡片和1张幸运卡片，另有足够多的备用盒子，每盒各有n张空白卡片（）．每次操作分为以下步骤： ①将盒子A里的卡片取出并充分洗匀，随机分成数量相等的两叠； ②保留含有幸运卡片的一叠，另一叠移出不再使用； ③取一个备用盒，将其中的n张空白卡片全部加入保留的一叠卡片中并洗匀，放入盒A中． 重复上述操作，直至盒子A中无普通卡片． (1)当时，进行2次操作后，记盒子A中普通卡片数量为X，求X的分布列，并求出此时盒子A中最有可能的普通卡片张数； (2)记在某次操作后，盒子A中恰有Y张普通卡片且，且从此时起，再经Z次操作后盒子A中恰好无普通卡片． （i）若，证明：； （ii）若，求． 19．（17分）已知函数. (1)若，求证：； (2)设数列的通项公式，是其前项和，求证：； (3)设等差数列的公差，是其前项和，且，求. 第1页，共2页 第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $Sheet1 题号 题型 分值 考查知识点 能力要求 难度预估 1 单选 5 集合运算、不等式、自然数集 理解、运算 易 2 单选 5 复数运算、复平面象限 运算、几何直观 易 3 单选 5 指数衰减模型、对数不等式、实际应用 建模、运算、数据处理 易 4 单选 5 三角函数、奇偶性、恒等变形 恒等变形、性质应用 易 5 单选 5 平面向量、中点、交点、模长计算 坐标法、运算、几何推理 易 6 单选 5 空间向量、正方体、夹角余弦值 空间想象、坐标运算、向量夹角 中 7 单选 5 双曲线、渐近线、对称点、离心率 解析几何综合、对称、圆方程 中 8 单选 5 组合数、集合元素个数、真子集个数、指数方程 组合性质、方程求解、逻辑推理 中 9 多选 6 分层抽样、均值、方差、概率统计基础 统计运算、抽样原理、数据处理 中 10 多选 6 平行六面体、线面平行、异面直线夹角、空间位置关系 空间想象、线面平行判定、向量夹角 中 11 多选 6 数列、等腰直角三角形、递推、通项、求和、不等式 数列递推、通项、求和、不等式放缩 难 12 填空 5 全称命题、恒成立、基本不等式 逻辑、恒成立、最值 易 13 填空 5 三角恒等变换、解三角形、不等式恒成立、整数最值 三角变形、余弦定理、不等式、参数范围 中 14 填空 5 正方体、空间轨迹、四棱锥体积、范围 空间轨迹、体积、范围分析 难 15 解答 13 直三棱柱、线面平行、空间角、法向量、二面角 线面平行证明、空间向量、法向量、二面角计算 易 16 解答 15 椭圆标准方程、斜率乘积、直线过定点、联立方程、韦达定理 椭圆性质、解析几何综合、定点问题、代数运算 易 17 解答 15 解三角形、正弦定理、余弦定理、角最值、面积 边角互化、最值、面积公式、不等式 中 18 解答 17 概率、期望、递推、条件概率、操作模型、数列期望 概率建模、期望、递推、条件概率、数列 中 19 解答 17 导数、不等式证明、数列求和、等差数列、函数单调性、零点 导数应用、不等式、数列、函数零点、单调性 难 Sheet2 Sheet3 $