精品解析：四川部分名校2027届高三上学期入学学情检测数学试题

高三数学学情检测 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 重庆市 2020-2025 年新能源汽车全年产量(单位:万辆)依次为 4.32，15.22，36.52，50.03， 95.32，129.60，则这组数据的极差为（ ） A. 125.38 万辆 B. 125.28 万辆 C. 114.38 万辆 D. 114.28 万辆 【答案】B 【解析】 【详解】由题意知，全年产量最高为万辆，最低为万辆， 所以极差为万辆. 2. 已知集合 ，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】集合  ， 所以. 3. 已知函数 与 的最小正周期相等，则 的值域为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】易知函数的最小正周期为； 对于函数 可知其最小正周期为， 解得； 因此，即的值域为. 4. 若直线将圆分成两段弧，则优弧长度与劣弧长度的比值为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【详解】由圆，得圆心，半径， 则圆心到直线的距离， 记直线与圆相交两点为，则弦长， 因为，所以， 所以劣弧所对圆心角为，优弧所对圆心角为， 由于弧长与对应圆心角成正比， 所以优弧长度与劣弧长度的比值为. 5. 变脸、吐火、滚灯、藏刀是川剧四大绝活，也是川剧区别于其他剧种最具标志性的非遗技艺. 已知某川剧剧场每日依次上演四大绝活，现要安排两天四大绝活的演出顺序，若要求第一天变脸和吐火的演出顺序相邻，第二天变脸和吐火的演出顺序不相邻，则不同的方案数为（ ） A. 24 B. 120 C. 144 D. 168 【答案】C 【解析】 【详解】先安排第一天的演出： 变脸和吐火的演出顺序相邻，共有种情况， 捆绑后与滚灯、藏刀全排列，共有种情况， 所以第一天有种不同的演出顺序； 再安排第二天的演出： 变脸和吐火的演出顺序不相邻， 先对滚灯、藏刀排列，共有种情况， 形成的三个空隙中选两个排变脸和吐火，共有种情况， 所以第二天有种不同的演出顺序； 由分步乘法计数原理，不同的方案数为. 6. 若 ，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先利用两角和的余弦公式展开已知等式，化简得到的值，再通过二倍角公式计算所求表达式的值. 【详解】易知 ， 代入已知等式可得 ， 即 ，可得. 显然， 所以 . 7. 在同一平面直角坐标系内，函数 （，且），的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分别根据图象确定参数的取值范围，再判断选项. 【详解】A.由可知，，，由的图象可知，，，参数取值不一致，故A错误； B. 由可知，，，由的图象可知，，，参数取值不一致，故B错误； C. 由可知，，，由的图象可知，，，参数取值一致，故C正确； D. 由可知，，，由的图象可知，，，参数取值不一致，故D错误； 8. 已知正三棱台 的侧面与底面的夹角为 ， ，且正三棱台 的 个顶点均在球 的球面上，则球 的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先由正三棱台的边角关系求出上下底面半径及高，再假设球心位置，利用球心到各顶点距离相等建立方程，解出半径后求表面积. 【详解】设正三棱台上下底面中心分别为 ​、​，下底面边长 ​，上底面边长 . 上下底面的外接圆半径分别为， ； 内切圆半径分别为， . 侧面与底面夹角为，该二面角在垂直于底边的截面中， 斜高 满足. 棱台高. ①若 在 和 之间，设 到 距离为 （），则到 距离为 . 由球心到上下底面顶点距离相等，可得， 代入 ，得，矛盾. ②若在 和 下方，如图. 设 ，则球心到上底面中心距离为 . 由球心到上下底面顶点距离相等可得， 化简得， 因此，可得球的表面积. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知向量，满足，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据条件求向量的坐标，再根据选项，判断选项. 【详解】由条件可知，， ，故A正确 其中，故B错误；，故C正确； ，所以，故D正确. 10. 已知椭圆与双曲线的焦距相同，左、右焦点分别为的离心率分别为是与的一个交点，，则的值可能为（ ） A. 4 B. C. 2 D. 【答案】CD 【解析】 【分析】设半焦距为，设，且，则根据椭圆定义与双曲线定义得，再结合，根据余弦定理求得即可求得答案. 【详解】设半焦距为，因为与的焦距相同， 所以，对椭圆，，， 对双曲线，，， 所以，即. 设， 所以，由椭圆的定义得，， 根据椭圆与双曲线的对称性，不妨设， 所以，解得， 因为，所以， 当时，，解得. 此时，，. 当时，，解得， 此时，. 综上，的值可能为或. 11. 已知函数的定义域为，当且仅当时，，且 ，则（ ） A. B. C. 在 上单调递减 D. 是偶函数 【答案】ABD 【解析】 【分析】推导的解析式，代入解析式求参数，逐一判断选项. 【详解】令，， 即， ， 不恒为零，所以. 选项A，，，正确； 选项B，，正确； 选项C，在上单调递增，错误； 选项D，是偶函数，正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 的虚部为_______. 【答案】 【解析】 【详解】， 则其虚部为. 13. 若函数的导函数的部分图象如图所示， 则 ________. 【答案】 【解析】 【分析】先求出函数的导函数，根据图象可知，代入求出的值并验证即可. 【详解】由，得. 由导函数的图象可知，，即，解得或. 若，则，其零点为和1，显然与图象不符合，故舍去. 若，则，其零点为1和3，与图象相符. 综上所述，. 14. 已知的内角的对边分别为，且的两条角平分线是与，则当取得最小值时，________. 【答案】 【解析】 【分析】根据角平分线性质得，，进而结合余弦定理求得，再根据，求解即可求得答案. 【详解】因为，所以 所以，由余弦定理得 将代入得：，即 设边上的高为， 因为为角的角平分线， ，， 所以，，即， 因为，所以，解得 同理，由为角的角平分线得： 所以， 因为 所以， 因为，， 所以，配方得， 所以，当时，取得最小值，即取得最小值. 所以，当取得最小值时， 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 箱中装有除颜色外其他都相同的黄、白两种小球， 黄球与白球的数量之比为. 现从箱中每次随机取出 1个球: 若取出白球， 则将其放回箱中， 并继续从箱中随机取出 1 个球; 若取出黄球， 或取球的次数达到 3 次， 则停止取球. （1）求取球终止时取到 2 次白球、 1 次黄球的概率； （2）设取球终止时取球的次数为 ，求 . 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先确定单次取球取到黄球、白球的概率，第一问根据事件对应“前两次取白球、第三次取黄球”的独立重复试验计算概率； （2）先明确X的所有可能取值，分别计算对应概率后代入离散型随机变量期望公式求解； 【小问1详解】 由题意可知，每次取球相互独立，取到黄球的概率为，取到白球的概率为； 若取球终止时取到2次白球、1次黄球， 则前两次取球均为白球（否则取球提前终止，无法得到2次白球），第三次取球为黄球， 因此所求概率为：； 【小问2详解】 由取球规则得，X的可能取值为1，2，3： 当时，对应第一次取到黄球，； 当时，对应第一次取到白球、第二次取到黄球，； 当时，对应前两次均取到白球，此时无论第三次取球结果如何均停止取球， 根据期望公式得. 16. 如图，在四棱锥 中，底面 为正方形， ， 分别为 ， 的中点. （1）证明: 平面 . （2）已知 平面 . ①证明: . ②求直线 与平面 所成角的正弦值. 【答案】（1）取中点，连接， 因为分别为的中点，所以 ， 因为平面，平面， 所以 平面， 同理 平面， 又平面，， 所以平面 平面， 因为平面，所以 平面. （2）①因为  平面 ，平面，所以 ， 因为底面 为正方形，所以， 因为，平面， 所以平面， 因为平面，所以， 又  ，平面， 所以 平面， 因为 平面，所以； ② 【解析】 【分析】(1) 中点条件优先构造中位线得到线线平行； (2)①要证线线垂直，先证线垂直于包含另一条直线的平面； ②线面角计算核心：直线方向向量与平面法向量夹角余弦的绝对值等于线面角正弦. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ①略 ②分别以为轴建立如图所示空间直角坐标系，不妨设， 则, ， 设平面法向量为， 则，令，则， 设直线与平面所成角为，则. 17. 已知抛物线 ，的焦点分别为 ，且 . （1）求直线 的方程； （2）若直线 与从左到右分别交于 ， 两点，与 从左到右分别交于 ， 两点， 求 . 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先根据两焦点距离求出值得到焦点坐标，进而求出直线的方程； （2）再将直线分别与两个抛物线联立，得到四点的横坐标，由即可求解； 【小问1详解】 对于抛物线，其焦点坐标为， 对于抛物线，其焦点坐标为； 由两点间距离公式：， 已知，故，结合解得， 因此，直线的斜率， 由斜截式得直线方程为，即. 【小问2详解】 由（2）知,则，. 联立直线与的方程：， 设的横坐标为，得 联立直线与的方程：， 设的横坐标为，得， 因为点都在直线上，且斜率为， 所以 . 18. 我们把函数 的 阶导数记为 ，已知 的导数为 ，则 . （1）若函数 的图象在点 处的斜率为 ，求 . （2）已知 ， ， 为常数. ① 若函数 ，求 在 上的零点个数； ②若函数 ， 证明: . 【答案】（1） （2）①在上的零点个数为2； ②因为，， 因此， 当时，， 设， ，设，， 所以在上单调递增，则，所以， 所以，故； 当时，，设， ，在单调递增， 由零点存在定理得存在唯一使，即， 当，，单调递减，当 ，，单调递增， 所以的极小值， 设， ，因为， 所以，在上单调递减，所以， 所以0,故， 综上， 得证. 【解析】 【分析】（1）求出，，建立方程求解参数； （2）①转化为方程，先看出是零点，当,证明在存在唯一零点，当时不再有零点，合计 2 个零点； ②当时，利用不等式放缩证明，当时，利用隐零点代换证明的极小值，故.从而得证. 【小问1详解】 函数 ， ， 则的图象在点 处的斜率为， 由于 ，所以 ，由题意得 ，即， 所以. 【小问2详解】 ①由题意得，， 因此， 令，得， 当时，左右两边均为，是个零点； 当时，，无零点； 当时，令，， 设，，当，， 所以在上单调递增，即在上单调递增， ，， 由在上单调递增和零点存在定理得在内有且仅有一个零点， 当，，单调递减，当，，单调递增， 所以在处取得最小值， 因为，，则，， ， 由，所以，故， 由零点存在定理得，在内有且仅有一个零点； 综上，方程在上有且仅有2个解，所以在上共有个零点； ②略 19. 在数列 中， ，等差数列 的前 项和为 ，且 . （1）求数列 ， 的通项公式. （2）设集合 ，在数列 中，定义 为集合 中在区间 内的元素个数. ① 求 ； ② 求 . 参考公式: 当 时， . 【答案】（1）， （2）①；② 【解析】 【分析】（1）利用等比数列定义得到的通项公式，对等差数列设公差，根据题给两个条件建立关于首项、公差的方程组求解，进而得到的通项公式； （2）①根据的定义，找出落在区间中的全部元素，统计元素个数即得到；②先利用容斥原理把并集的计数拆成两个集合分别计数再减交集，然后对每部分按数列的项分段求和，借助等差乘等比求和公式，套用题目给出的求和公式计算，最后通分化简得到结果. 【小问1详解】 由可得是首项为2，公比为2的等比数列，则，故数列的通项公式是； 设等差数列的公差为，因为，所以有，解得， 则，故数列的通项公式是； 【小问2详解】 ①由题，当，此时，在区间的元素个数为2，所以； ②的定义：集合中落在区间内的元素个数，即， 由集合容斥原理:, 对求和：, 对于集合，满足的正整数满足， 对于实数，表示不超过的最大整数，则中不超过的元素个数为，因此， 按的幂分段计数： 当时，，该区间共个整数； 端点单独计算，，仅个点， 因此 ， 由参考公式: 当 时， ，代入，，得：， 所以， 令，整理得，即，故为偶数，因此，满足的正整数个数为， 故中不超过的元素个数为，因此， 按的幂分段计数： 当时，，该区间共个整数； 端点单独计算，，仅个点， 因此， 由参考公式，代入，，得，， 对于集合，由，所以中不超过的元素个数为，因此 由，得为整数，即中不大于的项数为， 按公差分段计数： 当（）时，，每段共个整数； 端点单独计算，值为，仅个点， 因此, 将代入并化简得， 所以. 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三数学学情检测 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 重庆市 2020-2025 年新能源汽车全年产量(单位:万辆)依次为 4.32，15.22，36.52，50.03， 95.32，129.60，则这组数据的极差为（ ） A. 125.38 万辆 B. 125.28 万辆 C. 114.38 万辆 D. 114.28 万辆 2. 已知集合 ，则 （ ） A. B. C. D. 3. 已知函数 与 的最小正周期相等，则 的值域为（ ） A. B. C. D. 4. 若直线将圆分成两段弧，则优弧长度与劣弧长度的比值为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 5. 变脸、吐火、滚灯、藏刀是川剧四大绝活，也是川剧区别于其他剧种最具标志性的非遗技艺. 已知某川剧剧场每日依次上演四大绝活，现要安排两天四大绝活的演出顺序，若要求第一天变脸和吐火的演出顺序相邻，第二天变脸和吐火的演出顺序不相邻，则不同的方案数为（ ） A. 24 B. 120 C. 144 D. 168 6. 若 ，则 （ ） A. B. C. D. 7. 在同一平面直角坐标系内，函数 （，且），的图象可能是（ ） A. B. C. D. 8. 已知正三棱台 的侧面与底面的夹角为 ， ，且正三棱台 的 个顶点均在球 的球面上，则球 的表面积为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知向量，满足，，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知椭圆与双曲线的焦距相同，左、右焦点分别为的离心率分别为是与的一个交点，，则的值可能为（ ） A. 4 B. C. 2 D. 11. 已知函数的定义域为，当且仅当时，，且 ，则（ ） A. B. C. 在 上单调递减 D. 是偶函数 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 的虚部为_______. 13. 若函数的导函数的部分图象如图所示， 则 ________. 14. 已知的内角的对边分别为，且的两条角平分线是与，则当取得最小值时，________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 箱中装有除颜色外其他都相同的黄、白两种小球， 黄球与白球的数量之比为. 现从箱中每次随机取出 1个球: 若取出白球， 则将其放回箱中， 并继续从箱中随机取出 1 个球; 若取出黄球， 或取球的次数达到 3 次， 则停止取球. （1）求取球终止时取到 2 次白球、 1 次黄球的概率； （2）设取球终止时取球的次数为 ，求 . 16. 如图，在四棱锥 中，底面 为正方形， ， 分别为 ， 的中点. （1）证明: 平面 . （2）已知 平面 . ①证明: . ②求直线 与平面 所成角的正弦值. 17. 已知抛物线 ，的焦点分别为 ，且 . （1）求直线 的方程； （2）若直线 与从左到右分别交于 ， 两点，与 从左到右分别交于 ， 两点， 求 . 18. 我们把函数 的 阶导数记为 ，已知 的导数为 ，则 . （1）若函数 的图象在点 处的斜率为 ，求 . （2）已知 ， ， 为常数. ① 若函数 ，求 在 上的零点个数； ②若函数 ， 证明: . 19. 在数列 中， ，等差数列 的前 项和为 ，且 . （1）求数列 ， 的通项公式. （2）设集合 ，在数列 中，定义 为集合 中在区间 内的元素个数. ① 求 ； ② 求 . 参考公式: 当 时， . 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $