精品解析：浙江省缙云中学等四校2025-2026学年高一下学期5月月考数学试卷

2025学年第二学期高一年级5月月考 数学学科 试题卷 考生须知： 1.本卷满分150分，考试时间120分钟； 2.答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场、座位号及准考证号（填涂）； 3.所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效； 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数满足，则的虚部为（    ） A. B. C. 1 D. 2 2. 某地区运动会在甲、乙、丙三地共同举办，其中甲、乙、丙三地分别承担10，20，30个不同的比赛项目，现采用分层随机抽样的方式抽取6个项目检查赛前准备情况，则丙地应抽取比赛项目的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 6 3. 已知，且，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知向量，，若，则（ ） A. B. C. D. 5. 一圆台的上底面半径为2，下底面半径为3，母线长为8，则该圆台的体积为（ ） A. B. C. D. 6. 若直线不平行于平面，则下列结论正确的是（ ） A. 平面内的所有直线都与直线异面 B. 平面内不存在与直线平行的直线 C. 平面内的所有直线都与直线相交 D. 直线与平面一定有公共点 7. 在中，内角，，所对的边分别为，，，已知，，若的面积为，则（ ） A. B. C. D. 8. 如图，边长都为1且互相垂直的正方形和的对角线，上分别有一动点，，满足到点的距离等于到点的距离，则四面体体积的最大值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求的.全部选对得6分，部分选对得部分，有选错得0分. 9. 下列等式正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 下列选项中，正确的是（ ） A. 若向量，满足，则或 B. 若非零向量与相等，则B，C重合 C. 在平行四边形ABCD中， D. 若与是共线向量，且，则 11. 在四边形中，，将折起，使平面平面，构成三棱锥，如图，则在三棱锥中，下列结论正确的有（ ） A. B. C. 平面平面 D. 平面平面 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数．若对任意实数都有，则的最小值为___________． 13. 一艘船从河岸边出发向河对岸航行.已知船的速度的大小为，水流速度的大小为，那么当航程最短时船实际航行的速度大小为___________km/h. 14. 已知复数满足，且，则＝______． 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤. 15. 已知复数在复平面内对应的点位于第一象限，且满足 （1）求a； （2）若z是关于x的方程的一个复数根，求pq的值. 16. 已知函数. （1）求的最小正周期和对称中心； （2）求在区间内的单调递增区间. 17. 已知的内角A、B、C所对的边分别为a，b，c，设向量,,且. （1）求角C； （2）若，的面积为，D为边的中点，求的长. 18. 如图，四棱锥的底面是矩形，底面，，分别为，的中点，与交于点，，为上一点，． （1）证明：； （2）求证：平面平面； （3）若，求与平面所成角的正弦值． 19. 如图，在三棱锥中，，点分别是棱上的动点（不含端点）． （1）若平面， ①求的长度； ②求直线与平面所成角的正弦值； （2）若三棱锥的内切球半径，求长度的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年第二学期高一年级5月月考 数学学科 试题卷 考生须知： 1.本卷满分150分，考试时间120分钟； 2.答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场、座位号及准考证号（填涂）； 3.所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效； 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数满足，则的虚部为（    ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】B 【解析】 【详解】，； 的虚部为. 2. 某地区运动会在甲、乙、丙三地共同举办，其中甲、乙、丙三地分别承担10，20，30个不同的比赛项目，现采用分层随机抽样的方式抽取6个项目检查赛前准备情况，则丙地应抽取比赛项目的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】利用分层抽样的特点可求答案. 【详解】甲、乙、丙三地分别承担比赛项目的比例为：； 采用分层随机抽样的方式抽取6个项目检查赛前准备情况，丙地应抽取比赛项目的个数为. 故选：C 3. 已知，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由，则，故. 4. 已知向量，，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】已知向量，，， ，解得． 5. 一圆台的上底面半径为2，下底面半径为3，母线长为8，则该圆台的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】设圆台的高为，则， 故圆台的体积为. 6. 若直线不平行于平面，则下列结论正确的是（ ） A. 平面内的所有直线都与直线异面 B. 平面内不存在与直线平行的直线 C. 平面内的所有直线都与直线相交 D. 直线与平面一定有公共点 【答案】D 【解析】 【分析】根据线面关系，以及线面平行的判定定理，判断正确选项即可. 【详解】直线不平行于平面，则可能为直线平面，或直线与平面相交， 所以A，B，C错误，D正确； 故选：D. 7. 在中，内角，，所对的边分别为，，，已知，，若的面积为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据正弦定理，把角化为边，结合面积公式，再用余弦定理，即可求解. 【详解】由题意得，，. 又，解得， ∴， . 故选:B. 【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理、面积公式，在解三角形中的应用，属于基础题. 8. 如图，边长都为1且互相垂直的正方形和的对角线，上分别有一动点，，满足到点的距离等于到点的距离，则四面体体积的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设，用表示三棱锥的体积，结合二次函数求其最大值. 【详解】过作，交于点，连接. 因为，，所以. 所以，所以. 又，，所以，. 设，，则，. 所以， 又平面平面，平面平面， 平面，则平面，所以为三棱锥的高， 所以， 当时，取得最大值，为. 故选：C 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求的.全部选对得6分，部分选对得部分，有选错得0分. 9. 下列等式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【详解】，所以A错误； ，所以B正确； ，所以C正确； ，所以D正确. 10. 下列选项中，正确的是（ ） A. 若向量，满足，则或 B. 若非零向量与相等，则B，C重合 C. 在平行四边形ABCD中， D. 若与是共线向量，且，则 【答案】BC 【解析】 【详解】对于A，向量满足，只说明向量的长度相等，而它们的方向是任意的， 因此向量不一定相等，也不一定互为相反向量，A错误； 对于B，非零向量与相等，则向量与的长度相等，方向相同，而它们共起点，因此终点重合，B正确； 对于C，在中，向量与的长度相等，方向相同，因此，C正确； 对于D，当与同向时，，当与反向时，，D错误. 11. 在四边形中，，将折起，使平面平面，构成三棱锥，如图，则在三棱锥中，下列结论正确的有（ ） A. B. C. 平面平面 D. 平面平面 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据线面、面面垂直的判定定理以及线面、面面垂直的性质定理逐项判断即可. 【详解】对于B，如图， 因为， 所以，又因为，， 所以，所以， 所以，故B正确； 对于A，由B选项知， 又因为平面平面，平面，平面平面， 所以平面， 因为平面，所以，故A正确； 对于C，由选项A知，平面， 因为平面，所以平面平面，故C正确； 对于D，如图， 过点A作，垂足为， 因为平面平面，平面，平面平面， 所以平面，显然平面， 所以平面与平面不垂直，故D错误. 故选：ABC. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数．若对任意实数都有，则的最小值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】由题意知是最小值、是最大值，先求出的周期，余弦函数最值相邻两点最小间距为半个周期，即可算出最小值为1. 【详解】已知函数，对任意实数都有. 由此可知为函数的最小值，为函数的最大值. 该余弦函数的角频率，根据周期公式可得周期. 余弦函数相邻的最小值点与最大值点之间的水平距离为周期的一半，即，因此的最小值为. 13. 一艘船从河岸边出发向河对岸航行.已知船的速度的大小为，水流速度的大小为，那么当航程最短时船实际航行的速度大小为___________km/h. 【答案】 【解析】 【分析】利用勾股定理求得正确答案. 【详解】要使航程最短，则船实际航行应正对着河对岸航行， 所以船实际航行的速度大小为km/h. 故答案为： 14. 已知复数满足，且，则＝______． 【答案】 【解析】 【分析】先设根据给定条件，结合复数相等和复数模公式计算作答. 【详解】设， 又，所以， 又，所以， 所以， 所以， 所以 ． 故答案为：. 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤. 15. 已知复数在复平面内对应的点位于第一象限，且满足 （1）求a； （2）若z是关于x的方程的一个复数根，求pq的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据列出方程，结合点所在象限可得答案； （2）根据根与系数的关系可求答案. 【小问1详解】 由题意知复数z在复平面内对应的点为， 因为点Z在第一象限，所以， 由，得， 即 则 所以. 【小问2详解】 由（1）知， 由是关于x的方程 的一个复数根，可知是 的另一个复数根， 因此，解得. 所以 16. 已知函数. （1）求的最小正周期和对称中心； （2）求在区间内的单调递增区间. 【答案】（1）最小正周期，对称中心为； （2）和. 【解析】 【分析】利用三角恒等变换将函数化为一个正弦型函数，根据周期公式得到最小正周期；令正弦函数内部的相位等于，解出即为对称中心的横坐标； （2）令正弦函数内部的相位落在正弦函数的单调递增区间内，解出的范围，得到单调递增区间的通式，再与给定区间取交集，即得所求的单调递增区间. 【小问1详解】 函数 ， 所以的最小正周期， 令，解得：，此时， 的对称中心为； 【小问2详解】 令， 解得， 的单调递增区间为； 当时，的单调递增区间为；当时，的单调递增区间为； 在区间内单调递增区间和. 17. 已知的内角A、B、C所对的边分别为a，b，c，设向量,,且. （1）求角C； （2）若，的面积为，D为边的中点，求的长. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据得到,再利用正弦定理和余弦定理求解即可; （2）先根据三角形的面积公式求出,再利用余弦定理求出即可. 【小问1详解】 因为,,且, 所以, 由正弦定理可得:，即, 由余弦定理得:，所以, 又,所以. 【小问2详解】 因为, 由三角形面积公式得:，解得, 因为D为边的中点，所以， 在中，， 即，所以. 18. 如图，四棱锥的底面是矩形，底面，，分别为，的中点，与交于点，，为上一点，． （1）证明：； （2）求证：平面平面； （3）若，求与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）利用平行关系得出三角形相似，利用相似比相等得出线线平行，进而证明结论； （2）利用勾股定理得出线线垂直，进而利用线面垂直判定定理，由线面垂直证明面面垂直； （3）利用垂直关系得出线面角，计算相关边长进而求解． 【小问1详解】 已知底面是矩形，底面，，分别为，的中点， 则， 在和中，，则三个内角均对应相等，故， 相似比为， ，即， 已知，则， 由平行线分线段成比例定理可得， 又分别为的中点， ，． 【小问2详解】 在矩形中，， ，则， ，则， ， ，即， 底面，底面，故， ，且平面， 平面， 又平面， 平面平面． 【小问3详解】 平面，即平面， 即为与平面所成的角， 由（2）知，， 已知，，， ， 在中，． 19. 如图，在三棱锥中，，点分别是棱上的动点（不含端点）． （1）若平面， ①求的长度； ②求直线与平面所成角的正弦值； （2）若三棱锥的内切球半径，求长度的最小值． 【答案】（1）①；② （2） 【解析】 【分析】（1）①由平面，得到，且，再由，在直角中，即可求解； ②由①求得为的中点，得到和到平面的距离相等，由平面，得到到平面的距离为，利用余弦定理求得的长，进而求得与平面所成的角； （2）根据题意，得到点在的角平分线上，且，设，求得，设，求得的表达式，再由，求得，得到，结合基本不等式，即可求解. 【小问1详解】 解：①由平面，因为平面，可得， 又因为，且，所以， 因为平面，可得， 又因为且，所以，且. ②由①知：，因为，所以为的中点， 所以到平面的距离等于点到平面的距离， 又由平面，所以到平面的距离为， 在中，由余弦定理得， 即， 设与平面所成的角为，则. 【小问2详解】 解：因为，设点在平面的射影为， 则点在的角平分线上，过点作，垂足为，连接， 因为平面，平面，所以 ， 又因为，且平面，所以平面， 因为平面，所以， 在直角中，可得， 在直角中，， 在直角中，可得， ，则， 所以, 设，可得， 在中，由余弦定理得， 同理可得：，， 设，可得, 代入整理得， 由， 又由， 所以 ， 可得 ， 将其代入， 整理得，即 又由 ， 因为，所以， 即 ，解得或（舍去）， 当且仅当时，等号成立， 此时取得最小值，可得为等边三角形，即的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $