1.1 三角形内角和定理 同步练习 2025-2026学年北师大版数学七年级下册

**基本信息** 分层设计清晰，从基础概念到综合应用梯度递进，注重推理能力与几何直观培养，适配新授课知识巩固需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|内角和公式、外角性质|直接计算与简单应用（如九边形内角和计算）| |提升层|辅助线证明、角平分线综合|推理判断与模型应用（如“8字型”等量关系）| |拓展层|探究证明、实际情境|跨知识探究与建模（如三岛视角计算）|

1.1《三角形内角和定理》 一、单选题 1.九边形的内角和为() A.1260° B.1440° C.1800° D.720° 2.如图，∠I是△ABC的一个外角，若∠1=85°，∠C=30°，则∠B的度数() A.45° B.55° C.65° D.75 3.将一块含有30°的直角三角板叠放在如图所示的直尺上，则∠1+∠2的度数为() A.60° B.75 C.90° D.105 4.在探究证明“三角形的内角和等于180°”时，飞翔班的同学作了如下四种辅助线，其中不 能证明“三角形的内角和等于180°”的是() 5.如图，在△ABC中，BD、BE分别是高线和角平分线，点F在CA的延长线上，FH⊥BE交 BD于G,交8C于”，下列结论：①D8E=P:②2∠BEF=∠BF+C:③ ∠F=(∠B1C-∠C):④∠BGH=∠ABE+∠C,正确的是() A.1 B.2 C.3 D.4 二、填空题 6.如图，在△ABC中，点D在BC的延长线上，∠B=50°，∠ACD=I15°，则∠A=一· D 7.已知一个边形的内角和等于1980°，则从这个多边形的一个顶点出发可以画条对角 线 8.在如图所示的三角形纸片ABC中剪去△CDE得到四边形ABDE,若∠C=50°，则∠I+∠2的度 数是 9.如图，在△ABC中，∠ABC,∠ACB的平分线交于点O,∠BOC=130°. D ○ B E (1)∠A的度数为 (2)若CD平分外角∠ACF,交BO的延长线于点D,点E是△ABC的两外角平分线的交点，则 LE-D的度数为一 10.如图1已知线段AB,CD相交于点O,连接AD,CB,我们把这种图形称之为“8字型”， 试解答下列问题： D D M B B 图1 图2 (1)∠A,∠B,∠C,∠D之间的等量关系为； (2)如图2，∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P,并与CD,AB分别交于点M,N, 若∠D=40°，∠B=36°，则∠P的度数为一 三、解答题 11.计算： (1)如图，求出图中x的值. (x+10) x 60> (2)一个多边形的内角和是它的外角和的3倍，求这个多边形的边数. 12.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC,P为线段AD上的一个动点，PE LAD交BC的延长线 于点E. (1)若∠ACB=80°，∠B=40°，求∠E的度数： (2)当P点在线段AD上运动时，猜想∠B,∠ACB与∠E的数量关系，并证明， 13.已知n边形(n≥3且n为整数)的内角和公式为(n-2)×180°，n边形的外角和为360°. 0 G (1)一个多边形的内角和比它的外角和的2倍少180°，求这个多边形的边数； (2)如图，GB,GC分别平分∠ABC,∠DCB,∠A=∠D=120°，求x的值. 14.在学习三角形的内角时，老师引导同学们根据拼合过程得到启发，如图1，过△ABC的顶 点A作直线1平行于△ABC的边BC,由平行线的性质与平角的定义就能证明“三角形的内角 和等于180°”这个结论. B 图1 图2 图3 (I)如果将“顶点A”这个特殊的位置换成“边AB上的任意一点P”,过点P分别作△ABC另 外两边的平行线，那么由平行线的性质与平角的定义也能证明“三角形的内角和等于180°” 这个结论.请你先作出辅助线，再完成这个证明过程. 已知，如图2，在△ABC中，点P是边AB上的任意一点.求证：∠A+∠B+∠C=18O°. (2)如图3，是A,B,C三岛的平面图，C岛在A岛的北偏东50°方向，B岛在A岛的北偏东80° 方向，C岛在B岛的北偏西4O°方向.从B岛看A,C两岛的视角∠ABC是多少度？从C岛看 A,B两岛的视角∠ACB呢？ 15.【问题呈现】 小明在学习了有关三角形内角与外角的相关知识后遇到这样一个问题： 如图①，∠1与∠2分别为△ABC的两个外角，求证：∠1+∠2=180°+∠A, 【推理证明】 A 0 3 48 E D E 2 D 图① 图② 图③ (1)补全证明过程. 证明：∠1与∠2分别为△ABC的两个外角， .∠1=∠A+ ∠2=∠A+ .∠1+∠2= :∠3+∠4+∠A=180° ∴.∠1+∠2=180°+∠A (2)如图②，在△ABC纸片中剪去△AED,得到四边形BCDE.若∠I=130°，则∠2-∠A的大小为 度 (3)如图③，在△ABC中，BP,CP分别为外角∠DBC,∠ECB的平分线，写出∠P与∠A之间的 数量关系，并说明理由. 16.请你参与下面探究过程，完成所提出的问题. B 图1 图2 图3 (1)探究1：如图1，P是△ABC的内角∠ABC与∠ACB的平分线BP和CP的交点，若∠A=70°， 则∠BPC= 度： (2)探究2：如图2，P是△ABC的外角∠DBC与外角∠ECB的平分线BP和CP的交点，求∠BPC 与∠A的数量关系？并说明理由. (3)拓展：如图3，P是四边形ABCD的外角∠EBC与∠BCF的平分线BP和CP的交点，设 ∠A+∠D=C ①直接写出∠BPC与a的数量关系； ②根据a的值的情况，判断△BPC的形状（按角分类）· 参者容案 一、单选题 1.A n-2)x180° 解：：n边形的内角和公式为 (9-2)×180°=7×180°=1260° .九边形的内角和为 故选：A 2.B 解：∠1=85°，∠C=30°， .∠B=∠1-∠C=55° 故选：B. 3.C 解：如图所示： 由对顶角相等可得∠1=∠4，∠2=∠3， ,此三角形是直角三角形， ∴.∠3+∠4=90°，即∠1+∠2=90°. 故选：C. 4.C 解：A、CEI AB,.∠BAC=LACE,∠B=∠ECD,由∠BCA+∠ACE+∠ECD=180°，得 ∠BCA+∠BAC+∠B=180° 故此选项不符合题意； B、DE BC,∴.∠DAB=∠B,∠EAC=∠C,由LDAB+∠BAC+∠CAE=18O°，得 ∠B+∠BAC+∠C=180° 故此选项不符合题意； C、DE川BC,∠B=LADE,∠C=∠AED,无法证得三角形的内角和等于180°，故此选项符合 题意； D、如图， B C :DE BC,∴.LB=∠AOE=∠BOP,LC=LAMP,:∠A+∠AMP=∠AOP,.∠A+LC=∠AOP, :∠BOP+∠A0P=180°，.∠BOP+∠A+∠C=180°， ∴.∠A+B+∠C=180°，故此选项不符合题意. 故选：C 5.D 解：.BD⊥AC, .∴.∠F+∠FGD=90°. .FH⊥BE, ∴.∠DBE+∠BGH=90°. .∠FGD=∠BGH, ∴.∠DBE=∠F.故①符合题意； .BE平分∠ABC, .∠ABE=∠CBE=}∠ABC .∠BEF=∠CBE+∠C, .2∠BEF=2(∠CBE+∠C)=∠ABC+2∠C .:∠BAF=∠ABC+∠C, ∴.2LBEF=∠BAF+∠C.故②符合题意； .BE平分∠ABC, ∠A6E-ABc-80-∠B4C-2c)=0-Bac-C. BD⊥AC, ∴.∠ABD=90°-∠BAC ∠DE=∠ABE-∠4BD-(90-B4c-5C-(0o-∠BAC)-(B4C-∠C). 由①知：∠DBE=∠F, :∠F=(∠BAC-∠C).故③符合题意： ·BD⊥AC,FH⊥BE, ∴.∠BGH+∠DBE=90°，∠BED+∠DBE=90°. ∴.∠BGH=∠BED=∠CBE+∠C. .BE平分∠ABC, ∴.∠ABE=∠CBE, ∴.∠BGH=∠ABE+∠C.故④符合题意； 综上可知，正确的有①②③④，共4个， 故选：D 二、填空题 6.65° 解：根据题意得，∠ACD是△ABC的外角， 则∠A=∠ACD-∠B=115°-50°=65°， 故答案为：65°. 7.10 解：设多边形的边数为n, 则内角和为n-2x180°=1980 解得n=13, 即从一个顶点出发的对角线条数为n-3=13-3=10, 故答案为：10. 8.230° 解：.∠C=50°， ∴.∠CDE+∠CED=180°-∠C=130°， .∠CED+∠1=180°，∠CDE+∠2=80°， .∠1=180°-∠CED,∠2=180°-∠CDE, ∴.∠1+∠2=180°-∠CED+180°-∠CDE =360°-（∠CED+∠CDE) =360°-130° =230° 故答案为：230° 9. 80° 10° (1)解：：B0平分∠ABC,CO平分∠ACB, ∴.∠ABC=2∠OBC,∠ACB=2∠OCB」 .∠OBC+∠OCB+∠BOC=180°，∠B0C=130°， ∴.∠OBC+∠OCB=50°， :∠ABC+∠ACB=2(∠0BC+∠0CB)=100 :.∠A=180-(∠ABC+∠ACB)=80 (2)解：由(1)知∠ABC+∠ACB=100°， ,点E是△ABC的两外角平分线的交点， ∠C8E=080-∠ABC),∠BcE=080°-∠ACB), :∠E=180°-∠CBE-∠BCE=180°-080°-∠ABC)-180°-∠4CB) =24Bc+Z4c8)-100=50. ,BO平分∠ABC,CD平分外角∠ACF, 208C-AC ZDCF-ACF 2 :∠OBC+∠D=∠DCF,∠ACF=I80°-∠ACB, :D=∠Dcr-∠08C-ACr-5ABc =号80-∠4c8)-ABc=90(2AcB+∠ABc)=90-100=40, ∴.∠E-∠D=50°-40°=10° 10.∠A+∠D=∠B+∠C 38 (1)解：在△AOD和△BOC中， ,:∠AOD=∠BOC(对顶角相等)，∠A+∠D+∠AOD=180°， ∠B+∠C+∠BOC=180° ∴∠A+∠D=∠B+∠C, 故答案为：∠A+∠D=∠B+∠C. (2)解：设∠DAP=∠PAB=x,∠DCP=∠PCB=y, 「∠D+x=∠P+y 由(1)得：∠B+y=∠P+x, 两式相加得：∠D+∠B=2∠P,代入∠D=40°，∠B=36°，得40°+36°=2∠P, 解得∠P=38°， 故答案为：38° 三、解答题 1.(D架：4-2到180-30,4+10+60490=30，解得=10m (2)解：设这个多边形是n边形， 由题意得：(-2)x180°=360°×3 解得：n=8 答：这个多边形的边数是8. 12.(1)解：∠ACB=80°，∠B=40°， ∴.∠BAC=180°-∠ACE-∠B=60°， ,AD平分∠BAC, :∠BAD=∠CaD=B4C=30, .:PE⊥AD交BC的延长线于点E, .∠DPE=90°， .∠ADE=∠B+∠BAD=70°， ∴.∠E=90°-∠ADE=20°， ∴.∠E的度数是20° (2)解：∠E=(∠ACB-∠B) 证明：：∠BAC=180°-LACB-∠B,AD平分∠BAC, 2B0-B4c-080-4Ca-∠8)=0-4cB, 2 ADE=/a+B4D=a+0-4C8-B=0-4cB+8, 2 :PE LAD交BC的延长线于点E, ∴.∠DPE=90°， ∠E=90°-∠ADE=90°- w-4c+584c-到 即∠E=ACB-∠B). 13.(1)解：设这个多边形的边数为”，依题意，0-2列180°=360×2-180° 解得n=5, ·这个多边形的边数为5. (2)解：四边形ABCD的内角和为 (4-2)×180°=360° .∠A=∠D=120° ∴.∠ABC+∠DCB=360°-∠A-∠D=120° 又GB,GC分别平分∠ABC,∠DCB, GBCAC./GCB-RCD ∠GBC+∠GCB)LABC+ZDCB)=609 ,∴.x=180°-60°=120° 14.(1)证明：过点P作PE∥BC,PF∥CA, A D B 图2 .PF∥AC, ∴.∠PFB=∠C,∠A=∠BPF, PE∥BC, ∴.∠APE=∠B,∠PFB=∠EPF, ∴.∠C=∠EPF, ∠APE+∠EPF+∠BPF=I8O°， .∠A+∠B+∠C=180°； (2)解：.C岛在A岛的北偏东50°方向， ..∠DAC=50°， .C岛在B岛的北偏西40°方向， .∠CBE=40°， .∴.∠DAC+∠CBE=90°， ,B岛在A岛的北偏东80°方向， .∠DAB=80°， ∴.∠CAB=∠DAB-∠DAC=80°-50°=30°， .DA∥EB, ∴.∠DAB+∠EBA=180°， 即∠DAC+∠CAB+∠CBA+∠CBE=180°， ∴.∠CAB+∠CBA=90°， ∠ACB=180°-（∠CAB+∠CBA=90° ∠ABC=90°-30°=60° 答：从B岛看A,C两岛的视角∠ABC是60度，从C岛看A,B两岛的视角∠ACB是90度. 15.(1)证明：：∠1与∠2分别为△ABC的两个外角， ∴∠1=∠A+∠4∠2=∠A+∠3 ∴.∠1+∠2=∠A+∠4+A+∠3 ,∠3+∠4+∠A=180° .∴.∠1+∠2=180°+∠A 故答案为：∠4，∠3，∠A+∠4+∠A+∠3. (2)解：∠1+∠2=180°+∠A,∠1=130°， ∴.∠2-∠A=180°-∠1=180°-130°=50°. 故答案为：50. (3)解：2P=04,是由如下 BP,CP分别为外角∠DBC,∠ECB的平分线， ∠PBC=)∠DBC,∠PCB=∠BCE. :.∠P=180P-(∠PBC+∠PCB)=180°-（∠DBC+∠BCE), .∠DBC+∠BCE=180°+∠A, 2P=180-080+20=0-A. 16.(1)解：.∠A=70°， ∴.∠ABC+∠ACB=180°-∠A=110° :P是△ABC的内角∠ABC与∠ACB的平分线BP和CP的交点， 2PBc=ABC,∠BCP=ACB, 2 :.∠PBC+∠BCP=)(∠ABC+∠ACB)=55° .∠PBC+∠BCP+∠BPC=180°， ∴.∠BPC=125°」 (2)∠BPC=90°-ラ∠A: 理由：：P是△ABC的外角∠DBC与外角∠ECB的平分线BP和CP的交点， ∴.∠PBC+∠PCB -D8c+∠ica) E)(∠A+∠ACB+∠A+LABC -0s0+a0. 在△PBC中， ∠BPC=18O°-（∠PBC+∠PCB) 180°-080°+∠A =90°- 21 (3)①∠BPC=180°- a 2 如图，延长BACD交于点Q, 0 D E 由(2)可知，∠BPC=00. .∠Q=180°-2∠BPC. .∠BAD+∠CDA=180°+∠9=180°+180°-2∠BPC=360°-2LBPC, .∠BPC=180°- 2 ②当0°<a<180时，则∠BPC=180- 2a>90°，则ABPC是钝角三角形； 当a=1380时，则∠BPC=180a=90,则ABPC是直角三角形. 当g>180°时，则∠BPC=180°2a<90° P是四边形ABCD的外角∠EBC与∠BCF的平分线BP和CP的交点， :.∠PBC=)∠EBC<90,∠PCB=∠BCF<90P 2 ∴.△BPC是锐角三角形.