2026年河北衡水市枣强县大营镇石村中学等校中考模拟数学试题（二模）

**基本信息** 融合《九章算术》“割圆术”等文化素材与浮箭漏实验情境，梯度覆盖代数几何核心知识，适配二模综合能力评估 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|12/36|实数、视图、统计等|第10题以“宛田”问题考查扇形面积，渗透文化传承| |填空题|4/12|计算、统计、反比例函数|16题结合“割圆术”估算圆周率，体现数学史与推理意识| |解答题|8/72|几何综合、函数应用等|21题浮箭漏实验构建一次函数模型，24题旋转动态问题发展空间观念与创新意识|

九年级数学试题 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题意） 1．某地一星期内每天的最高气温与最低气温如下表所示，哪天的温差最小？ 星期 一 二 三 四 最高气温/℃ 10 12 11 9 最低气温/℃ 2 1 0 ﹣1 A．星期一 B．星期二 C．星期三 D．星期四 2．如图，△ABC中，D点在BC上，分别以AB，AC所在直线为对称轴，画出点D的对称点E，F，并连接DE，DF．根据图中标示的数据，求得∠EDF的度数为（　　） A．113° B．124° C．102° D．134° 3．地球到太阳的距离约为150000000千米，这个数用科学记数法表示为（　　） A．15×108千米 B．1.5×108千米 C．15×109千米 D．1.5×109千米 4．如图所示的几何体，从正面看到的平面图形是（　　） A． B． C． D． 5．下列说法正确的是（　　） A．任意一个非负数都有两个平方根 B．任意两个正方形一定是全等图形 C．三角形的内角中最多有一个钝角 D．两个无理数的和还是无理数 6．有一块草坪如图所示，测量了草坪各边得：AB＝3米，BC＝4米，AD＝12米，CD＝13米，且AB⊥CB．请同学们计算一下这块草坪的面积（　　） A．24m2 B．36m2 C．48m2 D．60m2 7．当x＝﹣6，时，x2025y2024的值为（　　） A． B． C．6 D．﹣6 8．关于x的不等式组恰有3个整数解，则a的取值范围为（　　） A．﹣1≤a＜0 B． C．﹣1＜a≤0 D． 9．已知点P是⊙O外一点，甲、乙两位同学用尺规过点P作⊙O的切线PM．如图所示，下列关于两位同学作图判断正确的是（　　） A．甲对，乙错 B．乙对，甲错 C．甲乙都对 D．甲乙都不对 10．中国古代数学专著《九章算术》第一章“方田”中记载了如下问题：“今有宛田，下周三十步，径十六步，问为田几何？”意思为：现有一块扇形的田，弧长是30步，其所在圆的直径是16步，则这块田的面积是（　　） A．200平方步 B．120平方步 C．平方步 D．平方步 11．如图．正方形OCBA的顶点A，C分别在y轴，x轴上，正方形的边长为4，抛物线y＝ax2+bx+c的图象经过A、B两点，下列说法中，正确的个数有（　　）个． ①abc＞0； ②4a+b＝0； ③； ④方程ax2+bx+c＝4的解为x1＝0，x2＝4； ⑤a（m2﹣4）+b（m﹣2）＞0（m≠2）． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 12．如图，在平面直角坐标系中，边长为4的正方形ABCD的边AB在x轴上，AB边的中点是坐标原点O，将正方形绕点C按逆时针方向旋转90°后，点B的对应点B′的坐标是（　　） A．（﹣2，4） B．（6，4） C．（2，8） D．（﹣2，0） 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分） 13．计算的结果是 　 　 ． 14．某班7个兴趣小组的人数分别为：4，3，5，3，6，x，5，已知这组数据的平均数是4，则这组数据的中位数是　 　 ． 15．如图，点A是反比例函数在第一象限内的图象上的一个动点，过点A作AB垂直x轴交反比例函数的图象于点B，连接BO并延长，交反比例函数的图象于点C，连接AC，则△ABC的面积为　 　 ． 16．我国魏晋时期的数学家刘徽首创“割圆术”，以“圆的内接正多边形的面积”来无限逼近“圆面积”．并指出在圆的内接正多边形边数加倍的过程中“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”．刘徽将极限思想和无穷小分割引入了数学证明，并运用“割圆术”计算出圆周率π3.14．如图①，⊙O的半径为1，运用“割圆术”，以圆内接正六边形面积近似估计⊙O的面积，可得π的估计值为． （Ⅰ）如图②，在圆内接正十二边形中，∠AOB＝ 　 　 （度）； （Ⅱ）用圆内接正十二边形作近似估计，可得π的估计值为 　 　 ． 三、解答题（本大题共8小题，共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（7分）已知m＝2a2b+3ab﹣4． （1）当，求m的值． （2）当b＝20240，m＝﹣4时，求a的值． 18．（8分）我们定义：若两个分式A与B的和为一个分式C，且分式C的分子为常数，分母为关于x的一次整式，则称A与B是“合分式”，这个常数称为A与B关于C的“合值”．例如：分式，，，则A与B是“合分式”，A与B关于C的“合值”为3． 解决下列问题： （1）已知分式，，判断E与F是不是“合分式”．若不是，请说明理由；若是，请证明，并求出E与F关于C的“合值”； （2）已知分式（其中a是常数，且a≠0），，M与N是“合分式”，且M与N关于C的“合值”为1，求常数a的值． 19．（8分）如图，点O为△ABC内一点，点D，E，F分别在线段OA，OB，OC上，且满足． （1）求证：△DEF∽△ABC． （2）若△DEF的面积是3，求△ABC的面积． 20．（8分）我市某学校落实立德树人根本任务，构建“五育并举”教育体系，开设了“厨艺、园艺、电工、木工、编织”五大类劳动课程．为了解七年级学生对每类课程的选择情况，随机抽取了七年级若干名学生进行调查（每人只选一类最喜欢的课程），将调查结果绘制成如图两幅不完整的统计图： （1）本次随机调查的学生人数为 　 　 人，并补全条形统计图； （2）若该校七年级共有1200名学生，请估计该校七年级学生选择“厨艺”劳动课程的人数； （3）七（1）班计划在“园艺、电工、木工、编织”四大类劳动课程中任选两类参加学校期末展示活动，请用列表或画树状图的方法，求恰好选中“园艺、编织”这两类劳动课程的概率． 21．（9分）《九章算术》中记载，浮箭漏（如图①）出现于汉武帝时期，它由供水壶和箭壶组成，箭壶内装有箭尺，水匀速地从供水壶流到箭壶，箭壶中的水位逐渐上升，箭尺匀速上浮，可通过读取箭尺读数计算时间．某学校数学兴趣小组仿制了一套浮箭漏，并从函数角度进行了如下实验探究，兴趣小组每2h记录一次箭尺读数（箭尺最大读数为120cm），如表所示： 供水时间x（h） 0 2 4 6 8 箭尺读数y（cm） 6 18 30 42 54 （1）如图②，建立平面直角坐标系，横轴表示供水时间x（h），纵轴表示箭尺读数y（cm），请描出以表格中数据为坐标的各点，并连线； （2）观察各点的分布规律，它是我们学过的什么函数？请结合表格数据，求出该函数的解析式； （3）应用上述得到的规律计算：如果本次实验记录的开始时间是上午9：00，那么当箭尺读数为78cm时是几点？请写出解答过程． 22．（9分）如图1，在菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，AB＝4，∠ABC＝120°，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，点P、Q分别为边AB、BC上的动点，且BP≠BQ，连接DP、DQ分别交AC于点G、H，DP＝DQ． （1）求证：△PDE≌△QDF； （2）连接PQ，判断△DPQ的形状，并说明理由； （3）设以P、B、Q、D为顶点的多边形的周长为l，请直接写出l的取值范围； （4）△DAG与△DGH的面积分别记为S1和S2，若H是OC的中点，n•S1＝（n+1）S2（n为正整数），请求出n的值． 23．（11分）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）过点A（1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C，OC＝3． （1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标； （2）过点A作AM⊥BC，垂足为M，求证：四边形ADBM为正方形； （3）点P为抛物线在直线BC下方图形上的一动点，当△PBC面积最大时，求点P的坐标． 24．（12分）如图1和图2，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝10，点E为BC边中点，把BE绕点E顺时针旋转α（0°≤α≤360°）得到B′E，连接BB′，过E点作EF⊥BB′交矩形ABCD边于F点，连接BF，B′F，设点F运动的路径长为x． （1）求证：BF＝B′F； （2）直接写出线段EF的最小值，并求当∠BEF＝20°时，∠AFB′的度数； （3）当点B′落在边AD上时，求x的值； （4）当0＜x≤4时，直接写出点B′到AB的距离（用含x的式子表示）． 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 A A B C C B D B C B A 题号 12 答案 B 13． 0 14． 4 15． 6 16．（Ⅰ）30 （Ⅱ）3 解：（Ⅰ）在圆内接正十二边形中，∠AOB30°， 故答案为：30； （Ⅱ）如图，由圆内接正十二边形的性质可得，∠AOB＝30°，过点A作AM⊥OB，垂足为M， 在Rt△AOM中，OA＝1，∠AOM＝30°， ∴AMOA， ∴S正十二边形＝1213， 即⊙O的面积近似为3，由此可得π的估计值为3， 故答案为：3． 17．（1）3 （2）a的值为0或 解：（1）∵， ∴a＝2，b， ∴m＝2a2b+3ab﹣4＝2×2234＝4+3﹣4＝3； （2）∵b＝20240， ∴b＝1， ∴﹣4＝2a2+3a﹣4， ∴2a2+3a＝0， a（2a+3）＝0， a＝0或2a+3＝0， ∴a＝0或a， ∴a的值为0或． 18． （1）E与F是“合分式”，理由见解析；E与F关于C的“合值”为3； （2）a＝﹣2． 解：（1）E与F是“合分式”，理由如下： E+F ， 则E与F关于C的“合值”为3； （2）M+N ， ∵M与N是“合分式”，且M与N关于C的“合值”为1， ∴a＝﹣2． 19． （1）证明：∵，∠DOE＝∠AOB， ∴△ODE∽△OAB， ∴， 同理得，， ∴， ∴△DEF∽△ABC； （2）解：∵△DEF∽△ABC； ∴△DEF的面积：△ABC的面积＝（）2， ∴△ABC的面积＝3×9＝27． 20． （1）60；补充统计图见解答过程 （2）大约有300人 （3） 解：（1）18÷30%＝60（人）， 60﹣15﹣18﹣9﹣6＝12（人），补全条形统计图如图所示： 故答案为：60； （2）1200300（人）， 答：该校七年级1200名学生中选择“厨艺”劳动课程的大约有300人； （3）用列表法表示所有可能出现的结果如下： 第1项 第2项 园艺 电工 木工 编织 园艺 ﹣ 电工 园艺 木工 园艺 编织 园艺 电工 园艺 电工 ﹣ 木工 电工 编织 电工 木工 园艺 木工 电工 木工 ﹣ 编织 木工 编织 园艺 编织 电工 编织 木工 编织 ﹣ 共有12种可能出现的结果，其中选中“园艺、编织”的有2种， ∴P（园艺、编织）． 21． （1）描点、连线如图所示； （2）y与x的函数表达式为y＝6x+6； （3）当箭尺读数为78cm时是21：00． 解：（1）描点、连线如图所示； （2）由图象可知这些点分布在同一条直线上， ∴y是x的一次函数， 设y与x的函数表达式为y＝kx+b（k≠0）， 将x＝0，y＝6与x＝4，y＝30分别代入y＝kx+b得： ， 解得， ∴y与x的函数表达式为y＝6x+6； （3）当y＝78时，得6x+6＝78， 解得x＝12， ∴当箭尺读数为78cm时是21：00． 22． （1）证明：在菱形ABCD中，BD平分∠ABC， ∵DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F， ∴DE＝DF， 在Rt△PDE和Rt△QDF中， ， ∴Rt△PDE≌Rt△QDF（HL）； （2）解：△DPQ为等边三角形； 理由：在菱形ABCD中，AB＝AD＝CD＝CB，BD平分∠ABC， ∵∠ABC＝120°， ∴∠ABD＝∠CBD＝60°， ∴△ABD、△CBD为等边三角形， ∵DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F， ∴∠BDE＝∠BDF＝30°， ∴∠EDF＝60°， 由（1）知Rt△PDE≌Rt△QDF， ∴∠PDE＝∠QDF， ∴∠PDE+∠PDF＝∠QDF+∠PDF， ∴∠EDF＝∠PDQ＝60°， ∵DP＝DQ， ∴△DPQ为等边三角形； （3）由（2）知△CBD为等边三角形， ∴DB＝DC，∠BDC＝60°， ∵∠DPQ＝60°， ∴∠PDB＝∠QDC＝60°﹣∠BPQ， 在△PDB和△QDC中， ， ∴△PDB≌△QDC（SAS）， ∴BP＝CQ， ∴l＝DP+PB+BQ+DQ＝DP+CQ+BQ+DQ＝DP+DQ+BC＝2DP+4， 在Rt△BDE中，∠BDE＝30°，BD＝AB＝4， ∴BEBD＝2， ∴DE2， ∵点P为边AB上的动点， ∴DE≤DP≤DB， ∴2DP≤4， ∴44≤2DP+4≤12， ∴44≤l≤12； （4）如图， S1AG•OD＝2AG，S2GH•OD＝2GH， ∵n•S1＝（n+1）S2， ∴2n•AG＝（n+1）•2GH， ∴， ∵H为OC中点，OC＝2， ∴OH， ∴DH， 设OG＝x，则GH＝x， ∴DG， 过H作HM⊥DG于点M， ∵∠HDM＝60°， ∴∠DHM＝30°， ∴DMDH，MH， 由等面积可得GH•OD， ∴•2（x）， 整理得5x2﹣32x+36＝0， 即（5x﹣2）（x﹣6）＝0， 解得x或x＝6AC，故舍去； 此时OG， ∴AG＝OA﹣OG，GH＝x， ∴， ∴n＝7． 23． （1）y＝x2﹣4x+3，D（2，﹣1）； （2）见解析； （3）P（，）． （1）解：设函数的表达式为：y＝a（x﹣1）（x﹣3）＝a（x2﹣4x+3）， 即：3a＝3，解得：a＝1， 故抛物线的表达式为：y＝x2﹣4x+3， ∵y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1， ∴顶点D（2，﹣1）； （2）证明：∵OB＝OC＝3， ∴∠OBC＝∠OCB＝45°， ∴AM＝MB＝AB•sin45°， ∵AD＝BD， ∴AM＝MB＝AD＝BD， ∴四边形ADBM为菱形， ∵AM⊥BC， ∴∠AMB＝90°， ∴四边形ADBM为正方形； （3）解：∵B（3，0），C（0，3）， ∴直线BC的解析式为：y＝﹣x+3， ∵点P在抛物线上，且位于直线BC下方， ∴设P（p，p2﹣4p+3），其中，0＜p＜3， 如图所示，作PM∥y轴，交BC于点M， ∴M（p，﹣p+3）， ∴PM＝yM﹣yP＝﹣p2+3p， ∵S△PBC＝S△PMB+S△PMC，S△PMB，S△PMC， ∴S△PBC（﹣p2+3p）×3， 整理可得：S△PBC（p）2，其中0＜p＜3， ∵0， ∴当p时，S△PBC取得最大值， 将p代入y＝x2﹣4x+3，得y， ∴此时点P的坐标为（，）． 24．（1）证明见解答； （2）EF的最小值为4，∠AFB＝40°； （3）x＝5或x＝7； （4）． （1）证明：由旋转可得EB＝EB′， 又∵EF⊥BB′， ∴∠BEF＝∠B′EF， 又∵EF＝EF， ∴△EFB≌△EFB′（SAS）， ∴BF＝B′F； （2）解：当点F在BA上时，EF的最小值为BE长， 即， 当点F在AD边上时，即当EF⊥BC时最小， 即EF＝AB＝4， 当点F在CD上时，即当F点在点C时最小， 即， ∴EF最小值为4； 当∠BEF＝20°时，根据（1）得到△EFB≌△EFB， ∴∠EFB′＝∠EFB＝70°， ∴∠AFB′＝180°﹣∠EFB'﹣∠EFB＝180°﹣70°﹣70°＝40°； （3）解：如图，当点F在AD上时，连接BF， 由（1）得∠B′EF＝∠BEF，BF＝B′F， 又∵四边形ABCD是矩形， ∴BC∥AD， ∴∠BEF＝∠B′FE， ∴∠B′EF＝∠B′FE， ∴， ∴B′F＝B′E＝BF， ∴点F运动的路径长x＝AB+AF＝4+3＝7； 如图，当点F在AB上时，过点E作EG⊥AD于点G， 则EG＝AB＝4， 由（1）可得EB′＝EB＝5，FB′＝FB＝x，∠B＝∠EB′F＝90°， ∴AF＝AB﹣BF＝4﹣x， ∴GB′， ∴AB′＝AG﹣GB′＝5﹣3＝2， 又∵EG⊥AD，∠A＝90°， ∴∠GEB′+∠GB′E＝∠FB′A+∠EB′G＝90°， ∴∠GEB′＝∠FB′A， ∴△EGB′∽△B′AF， ∴， 即， 解得， ∴点B′落在边AD上时，x的值为或7； （4）解：如图，当时，过点B′作MN∥AG交EG和AB于点M，N， 则MN＝BE＝EB′＝5，EM＝BF+FN＝x+FN， 设B′N＝y，则MB′＝5﹣y， 由（3）可得△EMB′∽△B′NF， ∴， 即， ∴； 当时，如图，过点B′作MN∥AG交EG和AB于点M，N， 则MN＝BE＝EB′＝5，EM＝BF+FN＝x+FN， 设B′N＝y，则MB′＝5+y， 由（3）可得△EMB′∽△B′NF， ∴， 即， 解得， ∴点B′到AB的距离为． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/5/24 17:00:52；用户：taianliu20；邮箱：taianliu2009@1 第16页（共18页） 学科网（北京）股份有限公司 $