重庆市第八中学校2026届高三下学期5月模拟预测数学试题

**基本信息** 这份高中数学模拟预测卷涵盖集合、复数、立体几何、导数等核心知识，通过选条件作答、概率统计应用等设计，考查数学思维与问题解决能力，适配模拟预测需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|集合运算（1题）、复数共轭（2题）|基础巩固，聚焦数学抽象| |多选|3/18|二项式定理（9题）、抛物线性质（10题）|能力提升，考查逻辑推理| |填空|3/15|向量模长（12题）、椭圆离心率（13题）|知识综合，体现几何直观| |解答|5/77|立体几何二面角（16题）、导数恒成立（17题）|创新应用，发展数学建模与运算能力|

数学试题 注意事项： 1.答卷前,考生务必将自己的姓名,准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3.试卷由”整理排版。考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。 一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1.已知集合A={-1,0,1,2},B={x|x∈A且x-2∈A},则A∩B= A.{0,1} B.{1,2} C.{0,2} D.{0,1,2} 2.若复数z满足z·i=1+2i，则z的共轭复数的虚部为 A.i B.-i C.-1 D.1 3.已知双曲线C:的虚轴长是实轴长的2倍，且焦点到渐近线的距离为2，则此双曲线的方程为 A. B. C. D. 4.已知则 A. B. C.- D. 5.已知各项均为正数的等比数列的前n项和为，且满足，3，-成等差数列，则 A.15 B.17 C.80 D.82 6.把分别写有1，2，3，4，5的五张卡片全部分给甲、乙、丙三个人，每人至少一张，若分得的卡片超过一张，则必须是连号，那么不同的分法种数为 A.40 B.36 C.30 D.12 7.已知函数则不等式f(2x)>f(x-1)的解集为 A. B. C.(-1,0) D. 8.已知一个圆锥的底面半径为5，表面积为75π.若在该圆锥内放入三个半径均为r的球，其中每个球都与其他两个球相切，三个球都与圆锥的底面和侧面也相切，则r= A. B.2 C. D.2 二、多项选择题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9.已知f(x)的展开式中只有第5项的二项式系数最大，则 A.m=8 B.f(x)的展开式中所有项的二项式系数和为1 C.f(6)-1是5的倍数 D. 10.在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线C:的焦点为F，准线为l，过F的直线与C交于A，B两点，连接BO并延长与准线l交于点P，PF与y轴交于点Q，准线l与x轴交于点G,则 A.∠AOB为锐角 B.|AP|=|AF| C.PF⊥AQ D. 11.已知数列满足则 A.数列为递增数列 B. C. D. 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分) 12.已知向量a,b满足|a|=1,|a+2b|=2,且(b-2a)⊥b,则|b|=______. 13.已知O为坐标原点，若椭圆E：上存在三点A，B，C，使四边形OABC为正方形，则椭圆E的离心率为__. 14.若函数有两个极值点,且则实数a的取值范围为__. 四、解答题(共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15.(本小题满分13分) 在这三个条件中任选一个补充在下面的问题中，并解决该问题. 问题:在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且_____. (1)求B; (2)若BC=4AB,求sinA. 16.(本小题满分15分) 如图，AB为⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，C是圆周上不同于A，B的任意一点，AB=2AP,三棱锥P-ABC体积的最大值为9. (1)当时，求二面角C-PB-A的正弦值； (2)当△PBC的面积最大时,求AC. ·17.(本小题满分15分) 已知函数 (1)若函数f(x)在x=-1处的切线与直线y=x垂直，求函数f(x)的单调区间； (2)若∀x>0,都有f(x)≥a(lnx+1)恒成立,求实数a的取值范围. 18.(本小题满分17分) 从1，2，3，…，n.这n个正整数中每次等可能地随机抽取一个. (1)当n=5时，若每个数字不可重复抽取，抽取数字直到抽到的数字大于2为止，记抽取次数为X，求X的分布列和期望； (2)若每个数字可以重复抽取，抽到k次奇数时停止抽取(k为正整数)，此时共抽取了次， (i)若n为奇数，证明： (ii)若n为偶数,求 19.(本小题满分17分) 已知曲线E: (1)证明：曲线E是轴对称图形，并求x的取值范围； (2)记点P(1,0),直线l:y=kx-k(k≠0). (i)证明：直线l与曲线E恒有三个不同的交点； (ii)设直线l与曲线E从左至右的交点依次为A，B，C，若存在直线l上的点Q，使得求点Q的轨迹方程. 学科网（北京）股份有限公司 $十 8 B 10 AC BCD ACD 12 13 14 √2 2 3 [品+ 15.(本小题满分13分) 解：(D若选@：由2sn4+引-古及正弦定理得2sm(4+ sinA+sinC 6-b sinB 即√5sin4sinB+cosAsinB=sin4+sinC. …(2分) ysinC=sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B, 所以√Bsin4sinB=sinM+sinAcosB. 因为sinA>0,所以√5sinB=1+cosB, (3分) ……………(4分) 因为0<B<π，所以-π<B-T<5 6 66 ……(6分) 若选②：在△ABC中，由(a+c-b(a+c+b)=3aC, 得a2+c2-b2=ac, …(2分) 由余弦定理的推论得cosB=(+c2-b1 ………(4分) 2ac 因为0<B<π，所以B= 3 (6分) 若选@由。。-即及正弦定理得血A血B sinC a-c a+b sin A-sinC sin A+sin B …(2分） sin24-sin2B=sinAsinC-sin'C, 即ad+c2-b2=ac. …(4分) 由余弦定理的推论得cosB= a2+c2-b21 2ac 2 因为0<B<π，所以B= 3 …(6分) (2)由(1)知，sinB=5 C=2n-A, 2 BC AB 由正弦定理得 sinA (8分) sin 又BC=4AB,所以sin4=4sin sinA=4× 2 cos+sin. 解得tanA=-2√5 …(11分) 又smA+sA=1,且4e】 所以sinA= 2V39 ………（13分) 13 16.(本小题满分15分) 解：(1)设⊙O的半径为r,则PA=r,AB=2r, 因为PA⊥平面ABC,故当三棱锥P-ABC体积取得最大值时，△ABC中AB边上的高最 大，即为半径长， 故有××2 FXFXF=9,解得r=3 …(2分) 32 如图2以点A为原点，AB,AP所在直线分别为x,二轴，以平面ABC上过点A的AB的 垂线为y轴，建立空间直角坐标系 因为<MC-号 易得AC=r=3, 则4(0,0,0)B(6,0,0P(0,0,3 3 35,0 (3分) 又BC= 2 BP=(-6,0,3), 0 设平面PCB的法向量为m=(x,为z), BC⊥m 图2 则 BC.m=-3x+√5y=0 BP⊥m' 则 BP.m=-2x+=0 故可取m=1,√5,2) …(5分) 易得平面PAB的一个法向量为n=(O,1,O), ……（6分) 则cos|(mm上 |m_56 ……(7分) 1mln1×2√24 设二面角C-PB-A的平面角为O, 则sin0=V1-cos2(m,n …(8分) 4 4 (2)因为AP⊥BC,AC⊥BC,AP∩AC=A,可得BC⊥平面PAC, 则有BC⊥PC ……(10分) 不妨设|AC=1(0<1<6),则有BC=V36-2,|PC上V9+F, 故SAPBC= 2 BCPC236-r)9+≤ 1.[36-2)+(9+2】_45 …(13分) 故当且仅当2= 27 2 时，△PBC的面积最大， 此时14ACF1=3V6 …(15分) 17.(本小题满分15分) 解：(1)f(x)的定义域为(-o,+o),f"(x)=(x+I)e-a, 由题意得f"(-l)=-a=-1,解得a=1,∴f'(x)=(x+1)e-1. 当x≤-1时，∫'(x)<0恒成立，即f(x)在(-0，-]上单调递减： 当x>-1时，易知f'(x)=(x+1)e-1在(-1，+o)上单调递增， …(3分) 又f0)=0, 所以x∈(-1,0)时，f'(x)<0,x∈(0，+o)时，f'(x)>0, 所以函数f(x)在(-0,0)上单调递减，在(0，+o)上单调递增： 综上：函数f(x)的单调递减区间为(-oo,O):单调递增区间为(0，+∞). …(6分) (2)由题意知：e-a(x+lnr+1)≥0对任意x>0恒成立， 可化为xe≥an(xe)+]对任意x>0恒成立. …(8分) 令xe=tt>0),则有≥a(lnt+)对任意t>0恒成立， 由a>0,1>0,可得上≥+对任意1>0恒成立 …(10分) 令g0=nu>0,则go=-n 2 令g()=0,可得t=1, 当1∈(0,1)时，g()>0,g()单调递增： 当t∈(1，+∞)时，g()<0,g(t)单调递减： 所以g()m=g)=1, (13分) 即上1，解得0<a, 故a的取值范围为(0，刂. (15分) 18.(本小题满分17分) (1)解：X的可能取值有1,2,3， 23_3 P0x=0-3x=2)-} 21 ,PX=3)=1 101 故X的分布列为： X 1 2 3 P 0.6 0.3 0.1 期望：E(X)=1.5 ………(5分) (2)()证明：n为奇数时，设每次抽取抽到奇数的概率为P,则p=”+ 2n 每次抽取抽到偶数的概率为q=1-p= n-1 …(6分) 2n 若第一次抽到奇数，概率为P,则只需再抽出(k-)个奇数： 若第一次抽到偶数，概率为9，则仍需再抽出k个奇数， 故：E(Y)=p(E(化-)+I)+qE(Y)+I),得pE(Y)-pE(Yk-)=1. (8分) 又EY)=1×p+gE)+),得E)=1 由累加法求得pE(Y)-pE(Y)=k-1, 所以E)=k=2k Pn+1,证毕 …(10分) (解：由于n为偶数，故每次抽取抽到奇数的概率为2 ……………… (11分) 法一：事件Y≤2k;表示抽到k个奇数时抽取的总次数不超过2k次，即抽取2k次时必定 抽到了至少k个奇数 设抽取2k次时，共抽到了Z个奇数，则Z~B2k, 故P(Y≤2)=P(Z≥k) …(13分) 所以艺C白 4+C2+C' 2 2 …(17分) 法二：由题意，事件{≤2表示抽到k个奇数时抽取的总次数不超过2k次， 故w2-2c僩 …………(13分) 设s=g=2.则s-三C 下计算S: s-立c2c+c-2c+2c 设4-立c得成-2c得 -cj-c周2c-c 8-cc”艺c+c (15分) 鉴理得：s-8=2c传+2xc付-c出份”-cw周 即s-s=-c 12 +C2CC-2CC C 226+2 22k+2 22k42 22k+2 22*, 故S=品+(1为常数。根据8=心≤2-得2-》 1 故P(Y≤2)= ......... 22+2 …(17分) 19.(本小题满分17分) (1)证明：将点(x,-y)代入曲线方程中，得到C:(1-x)2=(1-y2)1+x), 与原曲线方程相同，说明点(x,y)及其关于x轴的对称点(x,-y)均在曲线上， 所以曲线C关于x轴呈轴对称图形： …(2分) 由1-x=0-y0+x,得y=1-0- 1+x 由r≥0，得3-≥0，解得x∈（←0，-UI0,3引 …(4分) 1+x (2)(i)证明：由 0-x=0-广1+0，联立整理得k2x+(1-k2)x2-2+3x+k=0 y=kx-k ①， …(5分) 令F(x)=k2x3+1-K2)x2-(K2+3)x+k2,则F'(x)=3k2x2+21-k2)x-(k2+3), 其判别式为△=4(1-k2)2+12k2(k2+3)=16k4+28k2+4>0, F'(0)=-k2-3<0,F'0)=-1<0, 所以F'(x)有两根m,n且m<0<1<n,故F(x)在(-o,m),(n,+oo)上递增，在(m,n)上 递减 …(7分)） 又F(0)=k2>0,F()=-2<0,F(-I)=4>0,所以F(m)>F(0)>0,F(m)<F①)<0， 当x→+0时，F(x)→+：当x→-o0时，F(x)→-0 …………(9分)》 由零点存在定理可知，F(x)=0在(-0，-1)，(0,1)，(1,3)上各有一个解，故直线1与曲线 E恒有三个不同的交点， …(10分) (ii)解：由(i),不妨设A(x,yB(x2y2》C(x),Q(x。,%), 则x<-1<0<为<1<x<3, 1PA5V1+k2|x-1上V1+k20-x):1PB上V1+k2I32-1=1+k21-为)片 1PC卡1+Ix-1非1+k2(-):PQF+FIx,-1, ,1+1=1 1 代入条件得：+名多-可 …(12分) 令t=1-xi=0,1,2,3),则5<0<52<1<2<1， 代入①，得k212-(2k2+1)2-1+2=0, 1 1+1-1=1+1+1=华+华+丛= k2_11 所以-x+-x,名46 22。 k ………………………… …(15分) 所以1。=2，即x。=1-46=-1或3，%=x-k=±2k≠0， 所以当k变化时，Q的轨迹为x=-1(y≠0)或x=3y≠0). ………(17分)