上海市南洋模范中学2025-2026学年高三下学期3月阶段测试数学试卷

2025-2026学年上海市南洋模范中学高三年级下学期阶段测试 数学试卷3.31 2026.3 一、填空题（本大题共有12小题，满分54分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得0分． 1．1 2．12 3． 4． 5． 6． 7． 8．1 9． 10． 11． 12． 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分） 每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑． 13．D 14．B 15．C 16．D 三、解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤 17．【答案】（1）见解析；（2）或 【解析】 （1）证明：如图，取中点，连接，，设与交于点， 由于，为中点，所以，在直三棱柱中，有平面， 又平面，所以，又，，平面， 所以平面，又平面，所以， 又，可得四边形是正方形，所以，且为线段中点， 又，可得点为的中点， 又为的中点，所以是的中位线，为的中位线， 所以，， 所以， 又，，平面，所以平面， 又平面，所以； （2）如图，以为原点，，所在的直线为轴，轴，以平行于的直线为轴，如图建系， 则，，， 设，，则，， 因异面直线和所成角为， 则， 解得，即，则， 则，，，设平面的一个法向量为， 由，得，故可取， 设平面的一个法向量为， 由，得， 故可取， 设平面与平面所成角为， 则， 故平面与平面所成角的余弦值为或． 18．【答案】（1）；（2） 【解析】（1）在中，角，，的对边分别为，，，， 由正弦定理可得，，即 ，在中，，， 所以， 因为，所以； （2）若点满足，且， 则，设， 在中，，在中，由正弦定理，，得， 又因为，得， ，所以， ，所以， 所以的面积为． 19．【答案】（1）有关；（2）期望；（3） 【解析】（1）补全的联表如下： 体测合格 体测不合格 合计 运动量达标 5 5 10 运动量未达标 15 75 90 合计 20 80 100 零假设：体测成绩与每日运动量之间无关， 则， 根据小概率值的独立性检验，零假设不成立， 即体测成绩与每日运动量之间有关，此推断犯错误的概率不大于； （2）该校随机抽取三人，每个人合格的概率为20%，设抽取的三人中合格人数为， 则，，，，由于测试相互独立，则， 故，， ，， 则的分布列为： 0 1 2 3 所以； （3）设“第次操作取出白球”，“第次操作取出红球”，，，…，， 依题意，， 当时，若天后任务结束， 则第次取出的是白球，前次操作中，有一次取出白球，其余次均取出红球， 则 ， 经检验，，均满足该式， 所以． 20．【答案】（1）；（2）（ⅰ）；（ⅱ） 【解析】（1）圆：，即， 所以圆心，半径， 因为是关于原点的对称点，所以， 设动圆的半径为，因为动圆与圆相内切，所以， 又因为圆经过点，所以，则， 所以点的轨迹是以，为焦点的椭圆，其中，，则，， 所以曲线的方程为； （2）（ⅰ）曲线的方程，则，， 由题可知直线斜率不为零，则设直线：，， 联立，消去整理得， ， ，， 又直线的斜率恰好是直线的斜率的7倍，即， 即，整理得， 即， 即， ，解得， 时，， ，直线的方程为，即直线恒过定点； （ⅱ）由（ⅰ）知，则，， 则四边形的面积， ， ， 令，， 则， 当，即时取等， 即四边形的面积的最大值为． 21．【答案】（1）（ⅰ）；（ⅱ）；（2）见解析 【解析】（1）（ⅰ）当时，， 则， 则当时，，当时，， 即在上单调递增，在上单调递减， 即对任意，存在，当时，都有， 即在上的最大“点”为； （ⅱ）由题意可得在时恒成立， ， 令，， 令， 当时，恒成立，故在上单调递减， 则， 故在上单调递减，此时，符合要求； 当时，令，则， 则当，即时，，即在上单调递增， 则，即在上单调递增， 有，不符合要求，故舍去； 当，即时，恒成立，故在上单调递减， 则，故在上单调递减， 此时，符合要求； 当，即时， 若，，若，， 即在上单调递减，在单调递增， 则若需恒成立， 解得， 由， 故， 由， 故， 即当时，符合要求； 综上所述，； （2）证明：若在上的“点”个数为0，则，符合要求； 若在上的“点”个数为，令在上的“点”分别为、、…、， 其中、，、、…、， 若， 则若，由，则，即， 若，由题意，， 故，即，又， 故，符合要求； 若， 则，，…，， 由，则， 若，即，则， 若，由题意， ，且， 又， 故， 即， ，…，， 即有， 即， 由，故， 又，故， 即在上的“点”个数不小于． 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年上海市南洋模范中学高三年级下学期阶段测试 数学试卷3.31 一、填空题（本大题共有12小题，满分54分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得0分． 1．设集合，，若，则________． 2．一组数据从小到大排列为：3，4，5，6，7，9，12，14，则该组数据的80%分位数为________． 3．复数z满足，则________． 4．在的二项展开式中项的系数为________． 5．函数的定义域是________． 6．若关于x的方程有两解，则实数a的取值范围是________． 7．若，则________． 8．如图，在长方体中，，，，点P是矩形（包括边界）上的动点，点Q是矩形（包括边界）上的动点，若，则四面体体积的最大值为________． 9．如图，是款电动自行车用“遮阳神器”的结构示意图，它由三叉形的支架和覆盖在支架上的遮阳布组成：已知，，且：为保障行车安全，要求遮阳布的最宽处；若希望遮阳效果最好（即的面积最大），则的大小约为________．（结果四舍五入精确到） 10．甲、乙、丙三人相互做传球训练，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人．若第一次由甲传出，共传5次结束，记X表示球传回到甲手中的次数，则X的数学期望________． 11．若平面有不共线的五点，，，，，记，，，，满足．，，则的最小值为________． 12．已知，存在，当时，都有，则的取值范围是________． 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑． 13．已知集合，，则的子集个数为（ ） A．8 B．6 C．4 D．2 14．已知圆：关于直线：对称，则的最小值是（ ） A．1 B．2 C．4 D．8 15．已知双曲线：，在双曲线左支上任取两个不同的点，，都有，则双曲线的离心率的最大值为（ ） A． B．3 C． D．2 16．若无穷数列满足：，当时，，则称是“数列”．则下列正确的是（ ） A．若是“数列”，则 B．若是“数列”且是等差数列，则单调递增 C．若是“数列”且单调递减，则是等比数列 D．若是“数列”且是周期数列，则集合的元素个数最多是50 三、解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤 17．（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分） 如图，在直三棱柱中，，，点满足，点为的中点． （1）证明：； （2）若异面直线和所成角为，求平面与平面所成角的余弦值． 18．（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分） 在中，角，，的对边分别为，，，． （1）求； （2）若点满足，且，求的面积． 19．（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分） 为了解学生身体素质的情况，学校随机抽取了100位同学组织了一次体测，结果有20%的同学合格，经过调查，抽取的学生中只有10%的学生每日运动量能达标，每日运动量能达标的学生体测合格率有50%． （1）完成列联表，并根据小概率值的独立性检验，能否认为体测成绩与每日运动量之间有关； 体测合格 体测不合格 合计 运动量达标 运动量未达标 合计 （2）从该校随机抽取三人，三人中体育项目测试相互独立，求三人中合格人数的分布列和期望； （3）为提升学生身体素质，学校决定给每个班级安排任务，规则如下：每天班主任从箱子 里抽球，里面有2个白球和2个红球（大小、材质相同），抽到红球放回，且学生就需要跑 步；抽到白球则休息，抽完的球不放回，再往里放入一个红球，直至箱子里全部都是红 球后结束，记n天后任务结束的概率为，求． 附：，． 0.100 0.050 0.010 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 20．（本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分） 已知平面上一动圆P与圆：相内切（其中圆P的半径小于圆F的半解径），且圆P经过点F关于原点的对称点，记圆心P的轨迹为曲线C． （1）求C的方程； （2）记C与x轴的两个交点分别为，（在的右侧），直线l与C相交于点M，N（异于点，），且直线的斜率恰好是直线的斜率的7倍． （ⅰ）直线l是否过一定点？若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，请说明理由； （ⅱ）求四边形的面积S的最大值． 21．（本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分） 已知函数定义域为，，若，，当时，都有．则称t为在上的“点”． （1）设函数． （ⅰ）当时，求在上的最大“点”； （ⅱ）若在上不存在“点”，求的取值范围； （2）设，且，． 证明：在上的“点”个数不小于． 学科网（北京）股份有限公司 $