第十章 分式 单元测试 2025-2026学年苏科版数学八年级下册

**基本信息** 苏科版八年级下册第十章分式单元卷，120分/90分钟题量，通过现实情境与跨学科素材考查分式概念、运算及应用，适配单元复习，培养数学抽象能力、推理意识与模型观念。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8/24|分式概念（第1题）、性质（第5题）|以“调和数”（第7题）渗透数学文化，结合物理密度（第6题）体现跨学科，培养抽象能力| |填空题|8/24|分式方程含参（第13-15题）、新定义“美妙分式”（第16题）|融入AI数据处理（第12题）情境，通过分类讨论（第14题）发展推理意识| |解答题|8/72|分式运算（17题）、实际应用（22题研学租车）、跨学科探究（24题糖水浓度）|以河道清理工程（21题）构建模型，通过“友好分式”定义（20题）考查创新思维，突出综合应用|

2026年苏科版数学八年级下册第十章单元测试 （满分：120分 时间：90分钟） 一、选择题(本大题共8小题，每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1.有下列各式： 其中，是分式的共有 ( ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 2.若分式 的值为0，则a，b满足的条件是 ( ) A. a=b B. a+b=0 C. a=b或a+b=0 D. a+b=0且a≠b 3.已知分式 (a，b为常数)满足下表中的信息，则下列结论中，错误的是 ( ) x的取值 2 0 q 分式的值 分式无意义 0 p 1 A. a=1 B. b=-2 C. p=2 D. q=-3 4.下列从左到右的变形中，正确的是 ( ) A. B. C. D. 5.若分式 中的x和y都扩大为原来的3倍，分式的值不变，则A 可能是( ) A. 3x+2y B. 3x+3 C. 2xy D. 3 6.在物理学中，物质的密度ρ等于由物质组成的物体的质量m与它的体积V之比，即 已知A，B两个物体的密度之比为3：1，当物体A的质量是200g，物体B的质量是600g时，物体B的体积比物体A的体积大24cm³.如果设物体A的体积是xcm³，那么根据题意列方程为( ) A. B. C. D. 7. 数学的美无处不在.数学家们研究发现，弹拨琴弦发出声音的音调高低，取决于弦的长度，绷得一样紧的几根弦，如果长度的比能够表示成整数的比，发出的声音就比较和谐.例如，三根弦的长度之比是15：12：10，把它们绷得一样紧，用同样的力弹拨，它们将分别发出很调和的乐声 do, mi, so.研究15,12,10这三个数的倒数发现: 我们称15，12，10这三个数为一组调和数.现有一组调和数：x(x>8)，8，5，则x的值为 ( ) A. 5 B. 10 C. 15 D. 20 8.为创建“全国文明城市”，进一步优化环境，某市政府拟对公用设施进行全面更新改造.现有甲、乙两个工程队有能力承包这项工程，并进行了投标.每施工一天，需付甲工程队工程款1.2万元，付乙工程队工程款0.5万元.工程领导小组根据投标书测算，给出了三种施工方案：方案①：甲队刚好单独如期完成这项工程；方案②：乙队单独完成这项工程，要比规定日期多用10天；方案③：若甲、乙两队合作5天，余下的工程由乙队单独做，也正好如期完成.在不耽误工期的前提下，最节省费用的施工方案是 ( ) A.方案① B.方案② C.方案③ D.方案①和方案③ 二、填空题(本大题共8小题，每小题3分，共24分) 9.分式 的最简公分母是 . 10.已知 则 . 11.已知正数a,b,c 满足: 则 . 12.某公司研发的两个AI模型R1和R2共同处理一批数据.已知R2单独处理这批数据所花的时间比R1少2小时.若两模型合作处理，仅需1.2小时即可完成.设R1单独处理需要x小时，则可列方程为 . 13.若关于x的分式方程 有增根，则m 的值是 . 14.若关于x的分式方程 无解，则m 的值是 . 15.若关于x的分式方程 的解为非负数，则m 的取值范围是 16.定义：若分式A 与分式B 满足|A—B|=3，则称A 与B互为“美妙分式”.若 与 互为“美妙分式”，且a，b均为不等于0的实数，则分式 的值为 . 三、解答题(本大题共8小题，共72分，解答时应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明) 17. (6分)计算: 18. (6分)先化简: 再从1，2，3这三个数中选择一个合适的数作为a 的值代入求值. 19. (8分)解方程: 20. (8分)定义1：若两个分式的和为n(n为正整数)，则称这两个分式互为“n阶分式”.例如： 则分式 与 互为“3阶分式”.定义2：若两个分式的和等于这两个分式的积，即A+B=A·B，则称分式A 与分式B 互为“友好分式”.例如：分式 与分式 ∴分式 与分式 互为“友好分式”. (1) 分式 与 互为“ 阶分式”； (2) 分式 与 互为“6阶分式”； (3)请通过计算判断分式 与分式 是否互为“友好分式”. 21. (10分)问题背景：某河道清理工程，总淤泥量设为单位“1”，由于设备调度限制，工程队将清理任务划分为多个周期，规划如下：以4天为一个周期，第1周期完成全部任务的 ，第2周期完成余下任务的 ，第3周期再完成余下任务的 ，以此类推，当剩余量不超过 时，则下一周期内完成所有剩余任务. 观察发现：第1周期完成量 剩余量 第2周期完成量 剩余量 第3周期完成量 剩余量 … (1)第5周期完成量= ,剩余量= ; (2)求第n(n为正整数)周期后，累计完成的任务总量； (3)若第 n周期结束后剩余量为 ，则工程队最多需要多少天完成全部任务? 22. (10分)某校为落实立德树人的根本任务，积极探索“五育并举，融合育人”的育人途径，计划组织八年级师生租用客车到成都大熊猫基地开展跨学科主题研学活动.已知每辆限载客60人的客车的租车费是限载客45人的客车租车费的1.25倍，花4000元可租限载客45人的客车的数量比租限载客60人的客车多2辆. (1)每辆限载客45人的客车的租车费和每辆限载客60人的客车的租车费分别是多少元? (2)该校八年级师生共有400人，若只租用同一种客车，则租用哪种客车合算? 23. (12分)阅读材料: 在解决某些分式问题时，倒数法是常用的变形技巧之一，所谓倒数法，即把式子变成其倒数形式，从而运用约分化简，以达到计算目的. 例：若 求代数式 的值. 解： 即 (1) 若 则 ； (2)解分式方程组 (3) 若 求 的值. 24.(12分)如图所示为小明的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应任务. 分式与糖水浓度 在生活中，有这样司空见惯的现象. 现象1：一杯糖水，向其中加入一点水，糖水变淡；向其中加入一点糖，糖水变甜. 用数学知识解释：设原来的糖水总质量是 ag，其中含有bg糖(a>b>0)，则糖水的浓度为 ①如果加入mg水，糖水的浓度变为 ，∵糖水变淡，∴可以得到不等式 . ②如果加入 ng糖，糖水的浓度变为 ，∵糖水变甜，∴可以得到不等式 . 现象2：两杯浓度相同的糖水混合，糖水甜度不变. 用数学知识解释：在两个杯子中分别盛有 糖水，分别含糖 它们浓度相同，则有 任务1：直接写出小明笔记当中的“ ”处空缺的内容； 任务2：证明②中的不等式； 任务3：将现象2中的两杯糖水倒入一个大空杯中，则大杯糖水的浓度与原来各小杯糖水的浓度相同，请说明其中的道理； 任务4：请运用现象1中的结论证明：设a，b，c是 三边的长，则 2026年苏科版数学八年级下册第十章单元测试 答案 一、1. B 解析: 中分式有 2. D 解析:∵分式 的值为0,, 且a-b≠0.∴(a+b)(a-b)=0且a-b≠0.∴a+b=0且a≠b. 3. C 解析：由表格数据，可知当 时，分式无意义；当x=2时，分式的值为 解得a=1,b=-2.当x=0时,原式 即 p=-2.若原式的值为1,则x-2=2x+1,解得x=-3,即q=-3.综上所述,p=2错误. 4. D 解析: 故选项 A错误；当x=1时，选项B左边 右边 左边≠右边，故选 不能约分，故选项C错误； ,故选项D正确. 5. A 解析:当A=3x+2y时,分式 中的x和y都扩大为原来的3倍后，分式的值不变，故选项 A符合题意；当A=3x+3时,分式 中的x和y都扩大为原来的3倍 分式的值改变，故选项B不符合题意；当A=2xy时，分式 中的x和y都扩大为原来的3倍后，分式的值改变，故选项C不符合题意；当A=3时，分式 中的x和y都扩大为原来的3倍后，分式的值改变，故选项D不符合题意. 6. D解析：由题意，得 即 7. D解析：根据调和数的定义，可列分式方程为 解得x=20.经检验，x=20是原分式方程的解，且符合题意.∴x的值为20. 8. C解析：设完成这项工程的规定日期是x天.根据题意，得 解得x=10.检验:当x=10时,x(x+10)≠0,∴x=10是原分式方程的解.∴完成这项工程的规定日期是10天.∴ 方案①的费用为10×1.2=12(万元),方案③的费用为5×(1.2+0.5)+(10-5)×0.5=11(万元).∵11<12,∴在不耽误工期的前提下,最节省费用的施工方案是方案③. 二、9. 6a²bc解析：分式 的最简公分母是6a²bc. 10. 2 解析: 11. 解析： b+1=3b,解得 解析：依题意得， 13. 2 解析:方程两边同乘(x-1),得m-2=3(x-1).整理，得 方程有增根,∴x=1.将x=1代入,得m=2. 14. 0或6 解析:方程两边同乘x(2x-6),得:mx=3(2x-6).整理,得(6-m)x=18.∵关于x的分式方程 无解,∴有两种情况:① 当6-m=0时,m=6;② 当分式方程有增根时，则增根为x=0或x=3，将x=0和x=3分别代入(6-m)x=18中,x=0不符合题意,当x=3时,(6-m)×3=18,解得m=0.综上所述,m=0或6. 15. m≥-3且m≠-1 解析:方程两边同乘(x-1),得m-3(x-1)=-x.整理，得 由题意，可知 且 解得m≥-3且m≠-1. 或 解析： 与 互为“美妙分式”， 或 或 ∵a，b均为不等于0的实数,∴ a =-3b 或( 当 a =-3b 时, 当 时， 综上所述，分式 的值为 或 三、17. (1) 原式 (2)原式=1- 18. 原式 2,a≠±3.∴a=1.∴ 当a=1时，原式 19. (1) 方程两边同乘(x-3),得 2x+1+2(x-3)=2-3x.解方程,得x=1.检验:当x=1时,x-3≠0,∴原方程的解为x=1 (2)方程两边同乘(x+1)(x-1),得3(x-1)-2(x+1)=-6.解方程,得x=-1.检验:当x=-1时,(x+1)(x-1)=0,∴x=-1;是原分式方程的增根.∴原方程无解 20. (1) 5 分式 与分式 不互为“友好分式” 21.(1) (2)第1周期完成量为 ，第2周期完成量为 以此类推，第n 周期完成量为 则累计完成的任务总量为 (3)已知第n周期结束后剩余量为 则 解得n=9.经检验，n=9是原方程的解.每个周期4天，前9个周期共9×4=36(天),第 10周期完成剩余的 任务，还需4天，∴ 最多需要36+4=40(天) 22.（1）设每辆限载客 45人的客车的租车费是x元，则每辆限载客 60人的客车的租车费是1.25x元.由题意，得 解得x=400.经检验,x=400是原方程的解,且符合题意.∴ 1.25x=1.25×400=500.∴ 每辆限载客 45人的客车的租车费是400元，每辆限载客60人的客车的租车费是 500元 (2) ∵ 400÷45=8(辆)……40(人),400÷60=6(辆)……40(人),∴ 租用限载客45人的客车9辆,租车费为9×400=3600(元),租用限载客60人的客车7辆,租车费为7×500=3500(元).∵3500<3600,∴ 租用限载客60人的客车合算 23. (1) 4 (2)原方程组化为 即 ①×3-②×2,得 解得m= ,①×2-②×3,得 解得n=-5,∴原方程组的解为 a 24. 任务1： 任务2： 任务3：∵ 在两个杯子中分别盛有a₁g,a₂g糖水，分别含糖b₁ g,b₂g，∴混合后的浓度为 浓度不变 任务 4：由现象1①，可得 易得 由现象 1②，可得 易得 学科网（北京）股份有限公司 $