精品解析：北京市海淀区北京大学附属中学2025-2026学年度第二学期期中练习 七年级数学学科试卷

2025-2026学年度第二学期期中练习 七年级数学学科试卷 考生须知： 1．本试卷共7页，共27题，满分100分．考试时间90分钟． 2．在试卷、答题卡和草稿纸上准确填写姓名、班级、准考证号． 3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效． 4．在答题卡上，选择题、画图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答． 一、选择题（本题共30分，每小题3分） 1. 下列各数中，是无理数的是（ ） A. B. C. D. 2. 平面直角坐标系中，点所在的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 如图，直线，相交于点．若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 4. 由可以得到用表示的式子是（ ） A. B. C. D. 5. 在平面直角坐标系中点到y轴的距离为（ ） A. 3 B. C. 4 D. 6. 如图，下列推理中正确的是（ ）     A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 7. 一个正方体的水晶砖，体积为100 cm3，它的棱长大约在( ) A. 4 cm～5 cm之间 B. 5 cm～6 cm之间 C. 6 cm～7 cm之间 D. 7 cm～8 cm之间 8. 2026年2月，北京大学董豪教授团队研发的“空间大脑”技术，让机器人能像人类一样理解空间关系、距离和方位．搭载“空间大脑”技术的机器人从起始位置点出发，按以下指令移动：指令1：向北移动4米到点；指令2：右转，向东移动3米到点；指令3：右转，向南移动2米到点；指令4：右转，向西移动5米到点．判断下列结论中不正确的是（ ） A. 直线与直线垂直 B. 直线与直线平行 C. 点位于点的北偏东方向 D. 点与点之间的距离大于3米 9. 如图，长方形的长，宽，则图中长方形内部的五个小长方形的周长之和为（ ） A. 9 B. 13 C. 14 D. 18 10. 已知关于的二元一次方程的解如下表： … 0 1 2 … … 5.5 5 4.5 4 3.5 3 … 关于的二元一次方程的解如下表： … 0 1 2 … … 5 1 … 则关于的二元一次方程的解是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本题共16分，每小题2分） 11. 比大小：___________3（填“”、“”或“”）． 12. 如图，点O在直线上，射线平分，若，则等于________． 13. 一个正数的两个平方根分别是和，则这个正数的值是___________． 14. 如果是关于的二元一次方程的一组解，那么代数式___________． 15. 如图，已知平面镜平行于平面镜，光线由水平方向射来，传播路线为，若，则___________． 16. 小红同学在学习完《相交线和平行线》这一章后认为：一个真命题，交换其题设与结论后得到的新命题也是真命题．请你举出一个反例说明小红同学的观点是错误的：___________． 17. 已知点，点，且轴，则m的值为 _____ ． 18. 在平面直角坐标系中，对点进行“幂变换”后得到新的坐标，第一次“幂变换”记为，“幂变换”法则如下：，且规定（为大于1的整数）． 例如：， ， ， 则___________，___________． 三、解答题（本题共54分，第19题6分，第20题8分，第21-24题，每小题5分，第25题6分，第26-27题，每小题7分，解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．） 19. 计算： （1）； （2）． 20. 解方程组： （1）； （2）． 21. 按要求完成下列的证明： 已知：如图，于点，是上一点，． 求证：． 证明：∵（已知） ∴____________（依据：________________________） ∵（已知） ∴____________（依据：________________________） ∴（依据：________________________） 22. 如图，在平面直角坐标系中，点，三角形经平移得到三角形，且点、、的对应点分别为、、．已知是线段上一点，． （1）画出三角形； （2）写出的对应点的坐标；____________，____________； （3）若点，且三角形的面积为9，直接写出满足条件的点的坐标____________． 23. 如图，线段与相交于点，点在线段上，． 求证：． 24. 列二元一次方程组解答问题： 2025年12月26日，北大附中初中部“畅听杯”合唱节圆满落幕．本届合唱节以“歌漾山河·强国有我”为主题，为初一年级同学们搭建了凝聚班级向心力、提升艺术审美、厚植家国情怀的展示舞台．为了呈现更精彩的舞台效果，某班担任合唱指挥、伴奏、伴舞与主唱的同学计划单独租赁演出服装．为享受团购优惠，该班与另一班级商议后决定一起租用服装．已知其中一个班级租赁5套男生演出服和5套女生演出服，共花费300元；另一个班级租赁3套男生演出服和7套女生演出服，共花费320元，求每套男生演出服与每套女生演出服的租赁费用分别是多少元？ 25. 类比探究： 小红同学在学习完平方根（二次方根）、立方根（三次方根）的知识后，想要类比探究四次方根、五次方根的相关知识： 若，则叫的二次方根；若，则叫的三次方根； 若，则叫的四次方根，记作，例如：16的四次方根记为． 请认真阅读上面的材料，回答下列问题： （1）①类似地，若____________，则叫的五次方根，记作____________； ②32的五次方根为____________； （2）若，则 ____________； （3）求的值：． 26. 已知，点、分别是和上两个定点，的角平分线交于，点是直线上一个动点，且不与点、重合． （1）如图1，当时，请补全图1，已知，则____________； （2）如图2，平分交于，连接，设、、 ． ①当点在线段上，请证明：、与之间满足（不能直接用三角形相关知识）； ②当点在直线上运动时，、与之间的数量关系是否保持①中的结论不变？若不变，请说明理由，若发生改变，请直接写出、与之间所有其他可能的数量关系． 27. 在平面直角坐标系中，对于给出如下定义： 记是的“半影点”，例如的“半影点”是它自己． 对平面内两点，，记，，如果称和为“单位邻点”，例如和是“单位邻点”． （1）已知，点是点的“半影点”． 点的坐标是_____________； 下列三个点中，是的“单位邻点”的有_____________（填字母）： ． ． ． 若点在轴上，且的半影点与是“单位邻点”，直接写出的坐标． （2）如图，四边形是以原点为中心的边长为，且四边分别与坐标轴平行的正方形． 请直接在图中画出点的所有单位邻点组成的图形； 对于一个四边分别与坐标轴平行的正方形，如果正方形边上的任何一点，其“半影点”都可以在四边形的边上找到其单位邻点，直接写出正方形的面积的最大值为_____________． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第二学期期中练习 七年级数学学科试卷 考生须知： 1．本试卷共7页，共27题，满分100分．考试时间90分钟． 2．在试卷、答题卡和草稿纸上准确填写姓名、班级、准考证号． 3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效． 4．在答题卡上，选择题、画图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答． 一、选择题（本题共30分，每小题3分） 1. 下列各数中，是无理数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】无限不循环小数是无理数，逐一判断各选项即可得到答案． 【详解】解：A、是分数，属于有理数，不符合题意； B、是有限小数，属于有理数，不符合题意； C、，是整数，属于有理数，不符合题意； D、是开方开不尽的数，是无限不循环小数，属于无理数，符合题意． 2. 平面直角坐标系中，点所在的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】第一象限内的点的横纵坐标都为正数；第二象限内的点的横坐标为负数，纵坐标为正数；第三象限内的点的横纵坐标都为负数；第四象限内的点的横坐标为正数，纵坐标为负数．据此即可解答． 【详解】解：点所在的象限是第二象限． 3. 如图，直线，相交于点．若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了角的和差计算，对顶角相等，理解图示，掌握对顶角相等是关键． 根据对顶角相等得到，由即可求解． 【详解】解：根据题意，， ∴， 故选：C ． 4. 由可以得到用表示的式子是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】对原方程移项整理，得到用表示的式子即可． 【详解】∵原方程为 ，题目要求用表示， 移项得 ， 等式两边同时乘以， 得 ． 5. 在平面直角坐标系中点到y轴的距离为（ ） A. 3 B. C. 4 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了求点到y轴的距离，根据点到y轴的距离为其横坐标的绝对值进行求解即可． 【详解】解：在平面直角坐标系中点到y轴的距离为， 故选：A． 6. 如图，下列推理中正确的是（ ）     A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行线的判定定理：内错角相等，两直线平行，对各选项进行逐一分析即可. 【详解】解：A、与不是内错角或同位角关系，无法判定，故A错误； B、与是直线、被直线所截形成的内错角，若，则，故B正确； C、与不是内错角或同位角关系，无法判定，故C错误； D、与是直线、被直线所截形成的内错角，若，则，故D错误． 7. 一个正方体的水晶砖，体积为100 cm3，它的棱长大约在( ) A. 4 cm～5 cm之间 B. 5 cm～6 cm之间 C. 6 cm～7 cm之间 D. 7 cm～8 cm之间 【答案】A 【解析】 【详解】可以利用方程先求正方体的棱长，然后再估算棱长的近似值即可解决问题． 解：设正方体的棱长为x， 由题意可知x3=100， 解得x=， 由于43＜100＜53， 所以4＜＜5． 故选A． 此题是考查估算无理数的大小在实际生活中的应用，“夹逼法”估算方根的近似值在实际生活中有着广泛的应用，我们应熟练掌握． 8. 2026年2月，北京大学董豪教授团队研发的“空间大脑”技术，让机器人能像人类一样理解空间关系、距离和方位．搭载“空间大脑”技术的机器人从起始位置点出发，按以下指令移动：指令1：向北移动4米到点；指令2：右转，向东移动3米到点；指令3：右转，向南移动2米到点；指令4：右转，向西移动5米到点．判断下列结论中不正确的是（ ） A. 直线与直线垂直 B. 直线与直线平行 C. 点位于点的北偏东方向 D. 点与点之间的距离大于3米 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意作出示意图，再逐项判断即可． 【详解】解：如图，设与相交于点 则直线与直线垂直，故A正确，不符合题意； 直线与直线平行，故B正确，不符合题意； 点位于点的正西方向，故C错误，符合题意； 点与点之间的距离，故D正确，不符合题意． 9. 如图，长方形的长，宽，则图中长方形内部的五个小长方形的周长之和为（ ） A. 9 B. 13 C. 14 D. 18 【答案】D 【解析】 【详解】解：根据题意可知，图中长方形内部的五个小长方形的周长之和与长方形的周长相等， 故周长之和为． 10. 已知关于的二元一次方程的解如下表： … 0 1 2 … … 5.5 5 4.5 4 3.5 3 … 关于的二元一次方程的解如下表： … 0 1 2 … … 5 1 … 则关于的二元一次方程的解是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用换元思想，将和看作整体，先找出两个原二元一次方程的公共解，得到关于的新方程组，再用消元法求解． 【详解】解：可化为， 由表格可知，，同时满足两个原方程， 因此可得，整理得 得：，解得， 将代入得 ，解得， 因此方程组的解为． 二、填空题（本题共16分，每小题2分） 11. 比大小：___________3（填“”、“”或“”）． 【答案】 【解析】 【分析】比较两个正实数的大小，可采用平方法，将两数分别平方后，比较平方结果的大小，平方结果更大的原数更大，据此即可求解. 【详解】解：，，且，， 又， . 12. 如图，点O在直线上，射线平分，若，则等于________． 【答案】##110度 【解析】 【分析】根据角平分线定义求出，代入求出即可．本题考查了角平分线定义和角的有关计算的应用，主要考查学生的计算能力． 【详解】解：射线平分，， ， ， 故答案为：． 13. 一个正数的两个平方根分别是和，则这个正数的值是___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据正数的两个平方根互为相反数列出方程，求出的值，再计算得到正数的值. 【详解】解：正数的两个平方根分别是和， ， 整理得：， 解得：， ， ． 14. 如果是关于的二元一次方程的一组解，那么代数式___________． 【答案】 【解析】 【分析】因为是方程的解，所以将解代入方程可得到和的关系式．观察待求代数式的结构，将其变形为含的形式，然后把、满足的关系式整体代入变形后的代数式，即可求出结果． 【详解】解：是关于的二元一次方程的一组解， ， ． 15. 如图，已知平面镜平行于平面镜，光线由水平方向射来，传播路线为，若，则___________． 【答案】 34 【解析】 【分析】根据光的反射规律可知光线与平面镜A的夹角等于，光线b与平面镜的夹角等于，根据平行线的性质得到这两个夹角相等，即可得解． 【详解】 解：如图，设光线b与平面镜A的夹角为，光线与平面镜B的夹角为 ， 根据光的反射规律可知，，  平面镜A平行于平面镜B ， 由平行线的性质可得，   ． 16. 小红同学在学习完《相交线和平行线》这一章后认为：一个真命题，交换其题设与结论后得到的新命题也是真命题．请你举出一个反例说明小红同学的观点是错误的：___________． 【答案】对顶角相等（答案不唯一） 【解析】 【分析】要说明小红的观点错误，只需举出一个原命题为真，交换题设与结论后得到的新命题为假的例子即可． 【详解】解：“对顶角相等”是真命题，该命题的题设为“两个角是对顶角”，结论为“这两个角相等”， 交换题设与结论后得到新命题“相等的角是对顶角”，该命题是假命题， 例如不同三角板的直角都为，二者相等但不是对顶角， 因此该例子可以说明小红同学的观点是错误的. 故答案为对顶角相等（答案不唯一）. 17. 已知点，点，且轴，则m的值为 _____ ． 【答案】4 【解析】 【分析】根据平行于y轴的直线上的点的横坐标相等列出关于m的方程求解即可． 【详解】解：∵点，点，且轴， ∴点A与点B的横坐标相等，即，解得：． 验证：当时，，点，两点横坐标相等，纵坐标不相等，即两点不重合，符合题意． 18. 在平面直角坐标系中，对点进行“幂变换”后得到新的坐标，第一次“幂变换”记为，“幂变换”法则如下：，且规定（为大于1的整数）． 例如：， ， ， 则___________，___________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】先根据“幂变换”法则计算前几次变换的结果，归纳得到偶数次变换的规律，再根据规律计算目标值。 【详解】根据“幂变换”法则，计算： 继续计算归纳规律： 可得规律：当为偶数，且时， 对于，因为，即，因此 故答案为； 三、解答题（本题共54分，第19题6分，第20题8分，第21-24题，每小题5分，第25题6分，第26-27题，每小题7分，解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．） 19. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解：原式； 【小问2详解】 解：原式． 20. 解方程组： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用代入消元法求解； （2）利用加减消元法求解． 【小问1详解】 解：， 把代入得，解得， 把代入得， 所以方程组的解为； 【小问2详解】 解： 得：，解得， 把代入得：，解得， 所以方程组的解为． 21. 按要求完成下列的证明： 已知：如图，于点，是上一点，． 求证：． 证明：∵（已知） ∴____________（依据：________________________） ∵（已知） ∴____________（依据：________________________） ∴（依据：________________________） 【答案】见解析 【解析】 【详解】证明：∵（已知） ∴（依据：垂直的定义） ∵（已知） ∴（依据：同角的余角相等） ∴（依据：内错角相等，两直线平行） 22. 如图，在平面直角坐标系中，点，三角形经平移得到三角形，且点、、的对应点分别为、、．已知是线段上一点，． （1）画出三角形； （2）写出的对应点的坐标；____________，____________； （3）若点，且三角形的面积为9，直接写出满足条件的点的坐标____________． 【答案】（1）见解析 （2）， （3）或 【解析】 【分析】（1）根据平移的性质解答，即可； （2）根据平移的性质解答，即可； （3）根据题意可得，再根据三角形的面积为9，即可求解． 【小问1详解】 解：如图，三角形即为所求； 【小问2详解】 解：∵点，， ∴三角形向左平移1个单位，再向上平移3个单位得到三角形， ∵点，， ∴点，； 【小问3详解】 解：∵点，， ∴， ∵三角形的面积为9， ∴， 解得：或10， ∴满足条件的点的坐标为或． 23. 如图，线段与相交于点，点在线段上，． 求证：． 【答案】见解析 【解析】 【详解】证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 24. 列二元一次方程组解答问题： 2025年12月26日，北大附中初中部“畅听杯”合唱节圆满落幕．本届合唱节以“歌漾山河·强国有我”为主题，为初一年级同学们搭建了凝聚班级向心力、提升艺术审美、厚植家国情怀的展示舞台．为了呈现更精彩的舞台效果，某班担任合唱指挥、伴奏、伴舞与主唱的同学计划单独租赁演出服装．为享受团购优惠，该班与另一班级商议后决定一起租用服装．已知其中一个班级租赁5套男生演出服和5套女生演出服，共花费300元；另一个班级租赁3套男生演出服和7套女生演出服，共花费320元，求每套男生演出服与每套女生演出服的租赁费用分别是多少元？ 【答案】每套男生演出服的租赁费用是25元，每套女生演出服的租赁费用是35元 【解析】 【分析】设每套男生演出服的租赁费用是元，每套女生演出服的租赁费用是元，根据题意列二元一次方程求解即可． 【详解】解：设每套男生演出服的租赁费用是元，每套女生演出服的租赁费用是元， ， 解得， 答：每套男生演出服的租赁费用是25元，每套女生演出服的租赁费用是35元． 25. 类比探究： 小红同学在学习完平方根（二次方根）、立方根（三次方根）的知识后，想要类比探究四次方根、五次方根的相关知识： 若，则叫的二次方根；若，则叫的三次方根； 若，则叫的四次方根，记作，例如：16的四次方根记为． 请认真阅读上面的材料，回答下列问题： （1）①类似地，若____________，则叫的五次方根，记作____________； ②32的五次方根为____________； （2）若，则____________； （3）求的值：． 【答案】（1）① ，；② （2） （3）或 【解析】 【分析】本题类比已学的二次方根、三次方根、四次方根的定义，探究五次方根的相关知识，整体解题思路为：先根据已知定义类比得到五次方根的概念，再结合非负数的性质、一元方程的求解方法，利用乘方与开方互逆运算计算各小题的结果． 【小问1详解】 解：①根据题干给出的二次方根、三次方根、四次方根的定义，类比可得，若 ，则x叫a的五次方根，记作． ②∵， ∴32的五次方根为2． 【小问2详解】 解：∵，，且， ∴，， 解得，， ∴， ∵， ∴． 【小问3详解】 解：∵， ∴， ∴ ∴， ∴， 解得，． 26. 已知，点、分别是和上两个定点，的角平分线交于，点是直线上一个动点，且不与点、重合． （1）如图1，当时，请补全图1，已知，则____________； （2）如图2，平分交于，连接，设、、 ． ①当点在线段上，请证明：、与之间满足（不能直接用三角形相关知识）； ②当点在直线上运动时，、与之间的数量关系是否保持①中的结论不变？若不变，请说明理由，若发生改变，请直接写出、与之间所有其他可能的数量关系． 【答案】（1）见解析； （2）①：见解析；②：①中的结论改变，或 【解析】 【分析】（1）过点P作，根据平行线的判定和性质解答即可； （2）①过点P作，根据平行线的判定和性质解答即可； ②分两种情况，结合平行线的判定和性质解答即可． 【小问1详解】 解：补全图形，如下图； 过点P作， ∵， ∴， ∴ ， ∵，即， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：①如图，过点P作， ∵， ∴， ∴ ， ∵平分，， ∴， ∵的角平分线为， ∴， ∴， ∵ ，， ∴； ②：①中的结论改变， 如图，当点P在的延长线上时，过点P作， ∵， ∴， ∴ ， ∵平分，， ∴， ∵的角平分线为， ∴， ∴， ∵ ，， ∴； 如图，当点P在的延长线上时，过点P作， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵平分，， ∴， ∴， ∵的角平分线为， ∴ ， ∴， ∵ ，， ∴， 即； 综上所述，、与之间的数量关系为或． 27. 在平面直角坐标系中，对于给出如下定义： 记是的“半影点”，例如的“半影点”是它自己． 对平面内两点，，记，，如果称和为“单位邻点”，例如和是“单位邻点”． （1）已知，点是点的“半影点”． 点的坐标是_____________； 下列三个点中，是的“单位邻点”的有_____________（填字母）： ． ． ． 若点在轴上，且的半影点与是“单位邻点”，直接写出的坐标． （2）如图，四边形是以原点为中心的边长为，且四边分别与坐标轴平行的正方形． 请直接在图中画出点的所有单位邻点组成的图形； 对于一个四边分别与坐标轴平行的正方形，如果正方形边上的任何一点，其“半影点”都可以在四边形的边上找到其单位邻点，直接写出正方形的面积的最大值为_____________． 【答案】（1）；；或或或； （2）见解析；． 【解析】 【分析】（）根据“半影点”定义即可求解； 根据“单位邻点”定义逐一判断即可； 设，则的半影点为，则，，所以，然后解方程或即可； （）由题意得，设的“单位邻点”为，所以，，则，即，然后画出图形即可； 设边上任意点的“半影点”为，由于所有“半影点”都可以在四边形的边上找到其单位邻点，，，则半影点正方形最大范围为，，得原正方形坐标，，所以正方形边长最大为，从而求出最大面积． 【小问1详解】 解：点是点的“半影点”, ∴，即， 故答案为：； 由得， ．， ∴，， ∴， ∴点是的“单位邻点”； ．， ∴，， ∴， ∴点不是的“单位邻点”； ．， ∴，， ∴， ∴点不是的“单位邻点”； 故选：； 设，则的“半影点”为， ∴，， ∴， ∴或， ∴或， 解得：或或或， ∴或或或； 【小问2详解】 解：由题意得，设的“单位邻点”为， ∴，， ∴， ∴， 画图如图， 设边上任意点的“半影点”为， ∵所有半影点，“半影点”都可以在四边形的边上找到其单位邻点，且或且， ∴“半影点”正方形最大范围为，， ∴原正方形坐标，， ∴正方形边长最大为，此时面积最大为， 故答案为：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $