2026年中考数学二轮复习：四边形

**基本信息** 聚焦四边形性质与判定，通过分层题型构建"性质应用-模型转化-动态探究"的递进训练体系，强化空间观念与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础性质|选择1-5、填空11-12|多结论判断、基本计算|从菱形/矩形性质出发，结合等边三角形、直角三角形性质形成知识链| |综合应用|选择6-10、填空13-15|动态几何、跨图形综合|以平行四边形为载体，融合全等判定、勾股定理及坐标几何，体现知识迁移| |证明探究|解答16-20|开放证明、变式拓展|从平行四边形判定到菱形中动态问题，构建"性质-判定-应用"逻辑闭环，培养推理意识|

2026年中考数学二轮复习：四边形 一．选择题（共10小题） 1．如图，菱形ABCD中，AB＝4，∠B＝60°，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为E，F，连接EF，则△AEF的面积是（　　） A．4 B．3 C．2 D． 2．如图，矩形ABCD中，O为AC中点，过点O的直线分别与AB、CD交于点E、F，连接BF交AC于点M，连接DE、BO．若∠COB＝60°，FO＝FC，则下列结论：①FB垂直平分OC；②△EOB≌△CMB；③DE＝EF；④S△AOE：S△BCM＝2：3．其中正确结论的个数是（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 3．一个多边形除一个内角外其余内角的和为1510°，则这个多边形对角线的条数是（　　） A．27 B．35 C．44 D．54 4．如图，平行四边形ABCD的周长是26cm，对角线AC与BD交于点O，AC⊥AB，E是BC中点，△AOD的周长比△AOB的周长多3cm，则AE的长度为（　　） A．3cm B．4cm C．5cm D．8cm 5．如图是一个由5张纸片拼成的平行四边形，相邻纸片之间互不重叠也无缝隙，其中两张等腰直角三角形纸片的面积都为S1，另两张直角三角形纸片的面积都为S2，中间一张正方形纸片的面积为S3，则这个平行四边形的面积一定可以表示为（　　） A．4S1 B．4S2 C．4S2+S3 D．3S1+4S3 6．如图，在矩形ABCD中，ADAB，∠BAD的平分线交BC于点E，DH⊥AE于点H，连接BH并延长交CD于点F，连接DE交BF于点O，下列结论： ①∠AED＝∠CED；②OE＝OD；③BH＝HF；④BC﹣CF＝2HE；⑤AB＝HF， 其中正确的有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 7．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E、F是对角线AC上的两点，给出下列四个条件：①AE＝CF；②DE＝BF；③∠ADE＝∠CBF；④∠ABE＝∠CDF．其中不能判定四边形DEBF是平行四边形的有（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 8．如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF中点，则AM的最小值为（　　） A． B． C． D． 9．如图所示，小华从A点出发，沿直线前进10米后左转24°，再沿直线前进10米，又向左转24°，…，照这样走下去，他第一次回到出发地A点时，一共走的路程是（　　） A．140米 B．150米 C．160米 D．240米 10．矩形ABCD与CEFG如图放置，点B，C，E共线，点C，D，G共线，连接AF，取AF的中点H，连接GH．若BC＝EF＝2，CD＝CE＝1，则GH＝（　　） A．1 B． C． D． 二．填空题（共5小题） 11．如图，已知∠XOY＝60°，点A在边OX上，OA＝2．过点A作AC⊥OY于点C，以AC为一边在∠XOY内作等边三角形ABC，点P是△ABC围成的区域（包括各边）内的一点，过点P作PD∥OY交OX于点D，作PE∥OX交OY于点E．设OD＝a，OE＝b，则a+2b的取值范围是 　 　 ． 12．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D，E分别是边AB，AC的中点，延长BC到点F，使CFBC．若AB＝10，则EF的长是　 　 ． 13．如图，已知AB＝8，P为线段AB上的一个动点，分别以AP，PB为边在AB的同侧作菱形APCD和菱形PBFE，点P，C，E在一条直线上，∠DAP＝60°．M，N分别是对角线AC，BE的中点．当点P在线段AB上移动时，点M，N之间的距离最短为　 　 （结果保留根号）． 14．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，矩形OABC中，A（10，0），C（0，4），D为OA的中点，P为BC边上一点．若△POD为等腰三角形，则所有满足条件的点P的坐标为　 　 ． 15．如图，△ACE是以▱ABCD的对角线AC为边的等边三角形，点C与点E关于x轴对称．若E点的坐标是（7，﹣3），则D点的坐标是　 　 ． 三．解答题（共5小题） 16．已知：如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，E，F为对角线AC上两点，且AE＝CF，DF∥BE． 求证：四边形ABCD为平行四边形． 17．如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠BCD＝90°，AB＝DC＝4，AD＝BC＝8．延长BC到E，使CE＝3，连接DE，由直角三角形的性质可知DE＝5．动点P从点B出发，以每秒2个单位的速度沿BC﹣CD﹣DA向终点A运动，设点P运动的时间为t秒．（t＞0） （1）当t＝3时，BP＝　 　 ； （2）当t＝　 　 时，点P运动到∠B的角平分线上； （3）请用含t的代数式表示△ABP的面积S； （4）当0＜t＜6时，直接写出点P到四边形ABED相邻两边距离相等时t的值． 18．如图，已知▱ABCD中，DE⊥BC于点E，DH⊥AB于点H，AF平分∠BAD，分别交DC、DE、DH于点F、G、M，且DE＝AD． （1）求证：△ADG≌△FDM． （2）猜想AB与DG+CE之间有何数量关系，并证明你的猜想． 19．如图，在▱ABCD中，∠ACB＝45°，点E在对角线AC上，BE＝BA，BF⊥AC于点F，BF的延长线交AD于点G．点H在BC的延长线上，且CH＝AG，连接EH． （1）若BC＝12，AB＝13，求AF的长； （2）求证：EB＝EH． 20．在菱形ABCD中，∠BAD＝60°． （1）如图1，点E为线段AB的中点，连接DE，CE，若AB＝4，求线段EC的长； （2）如图2，M为线段AC上一点（M不与A，C重合），以AM为边，构造如图所示等边三角形AMN，线段MN与AD交于点G，连接NC，DM，Q为线段NC的中点，连接DQ，MQ，求证：DM＝2DQ． 2026年中考数学二轮复习：四边形 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 1．如图，菱形ABCD中，AB＝4，∠B＝60°，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为E，F，连接EF，则△AEF的面积是（　　） A．4 B．3 C．2 D． 【考点】菱形的性质． 【答案】B 【分析】首先利用菱形的性质及等边三角形的判定可得出△AEF是等边三角形，再根据三角函数计算出AE＝EF的值，再过A作AM⊥EF，再进一步利用三角函数计算出AM的值，即可算出三角形的面积． 【解答】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴BC＝CD，∠B＝∠D＝60°， ∵AE⊥BC，AF⊥CD， ∴BC×AE＝CD×AF，∠BAE＝∠DAF＝30°， ∴AE＝AF， ∵∠B＝60°， ∴∠BAD＝120°， ∴∠EAF＝120°﹣30°﹣30°＝60°， ∴△AEF是等边三角形， ∴AE＝EF，∠AEF＝60°， ∵AB＝4， ∴BE＝2， ∴AE2， ∴EF＝AE＝2， 过A作AM⊥EF， ∴AM＝AE•sin60°＝3， ∴△AEF的面积是：EF•AM23＝3． 故选：B． 【点评】此题考查菱形的性质，等边三角形的判定及三角函数的运用．关键是掌握菱形的性质，证明△AEF是等边三角形． 2．如图，矩形ABCD中，O为AC中点，过点O的直线分别与AB、CD交于点E、F，连接BF交AC于点M，连接DE、BO．若∠COB＝60°，FO＝FC，则下列结论：①FB垂直平分OC；②△EOB≌△CMB；③DE＝EF；④S△AOE：S△BCM＝2：3．其中正确结论的个数是（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【考点】矩形的性质；全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质． 【答案】B 【分析】①利用线段垂直平分线的性质的逆定理可得结论； ②在△EOB和△CMB中，对应直角边不相等，则两三角形不全等； ③可证明∠CDE＝∠DFE； ④可通过面积转化进行解答． 【解答】解：①∵矩形ABCD中，O为AC中点， ∴OB＝OC， ∵∠COB＝60°， ∴△OBC是等边三角形， ∴OB＝BC， ∵FO＝FC， ∴FB垂直平分OC， 故①正确； ②∵△BOC为等边三角形，FO＝FC， ∴BO⊥EF，BF⊥OC， ∴∠CMB＝∠EOB＝90°， ∴BO≠BM， ∴△EOB与△CMB不全等； 故②错误； ③易知△ADE≌△CBF，∠1＝∠2＝∠3＝30°， ∴∠ADE＝∠CBF＝30°，∠BEO＝60°， ∴∠CDE＝60°，∠DFE＝∠BEO＝60°， ∴∠CDE＝∠DFE， ∴DE＝EF， 故③正确； ④易知△AOE≌△COF， ∴S△AOE＝S△COF， ∵S△COF＝2S△CMF， ∴S△AOE：S△BCM＝2S△CMF：S△BCM， ∵∠FCO＝30°， ∴FM，BMCM， ∴， ∴S△AOE：S△BCM＝2：3， 故④正确； 所以其中正确结论的个数为3个； 故选：B． 【点评】本题综合性比较强，既考查了矩形的性质、等腰三角形的性质，又考查了全等三角形的性质和判定，及线段垂直平分线的性质，内容虽多，但不复杂；看似一个选择题，其实相当于四个证明题，属于常考题型． 3．一个多边形除一个内角外其余内角的和为1510°，则这个多边形对角线的条数是（　　） A．27 B．35 C．44 D．54 【考点】多边形内角与外角． 【答案】C 【分析】设出题中所给的两个未知数，利用内角和公式列出相应等式，根据边数为整数求解即可，再进一步代入多边形的对角线计算方法，即可解答． 【解答】解：设这个内角度数为x°，边数为n， ∴（n﹣2）×180﹣x＝1510， 180n＝1870+x＝1800+（70+x）， ∵n为正整数， ∴n＝11， ∴44， 故选：C． 【点评】此题考查多边形的内角和计算公式以及多边形的对角线条数的计算方法，属于需要识记的知识． 4．如图，平行四边形ABCD的周长是26cm，对角线AC与BD交于点O，AC⊥AB，E是BC中点，△AOD的周长比△AOB的周长多3cm，则AE的长度为（　　） A．3cm B．4cm C．5cm D．8cm 【考点】平行四边形的性质． 【答案】B 【分析】由▱ABCD的周长为26cm，对角线AC、BD相交于点O，若△AOD的周长比△AOB的周长多3cm，可得AB+AD＝13cm，AD﹣AB＝3cm，求出AB和AD的长，得出BC的长，再由直角三角形斜边上的中线性质即可求得答案． 【解答】解：∵▱ABCD的周长为26cm， ∴AB+AD＝13cm，OB＝OD， ∵△AOD的周长比△AOB的周长多3cm， ∴（OA+OD+AD）﹣（OA+OB+AB）＝AD﹣AB＝3cm， ∴AB＝5cm，AD＝8cm． ∴BC＝AD＝8cm． ∵AC⊥AB，E是BC中点， ∴AEBC＝4cm； 故选：B． 【点评】此题考查了平行四边形的性质、直角三角形斜边上的中线性质．熟练掌握平行四边形的性质，由直角三角形斜边上的中线性质求出AE是解决问题的关键． 5．如图是一个由5张纸片拼成的平行四边形，相邻纸片之间互不重叠也无缝隙，其中两张等腰直角三角形纸片的面积都为S1，另两张直角三角形纸片的面积都为S2，中间一张正方形纸片的面积为S3，则这个平行四边形的面积一定可以表示为（　　） A．4S1 B．4S2 C．4S2+S3 D．3S1+4S3 【考点】平行四边形的性质． 【答案】A 【分析】设等腰直角三角形的直角边为a，正方形边长为c，求出S2（用a、c表示），得出S1，S2，S3之间的关系，由此即可解决问题． 【解答】解：设等腰直角三角形的直角边为a，正方形边长为c， 则S2（a+c）（a﹣c）a2c2， ∴S2＝S1S3， ∴S3＝2S1﹣2S2， ∴平行四边形面积＝2S1+2S2+S3＝2S1+2S2+2S1﹣2S2＝4S1． 故选：A． 【点评】本题考查平行四边形的性质、直角三角形的面积等知识，解题的关键是求出S1，S2，S3之间的关系，属于中考常考题型． 6．如图，在矩形ABCD中，ADAB，∠BAD的平分线交BC于点E，DH⊥AE于点H，连接BH并延长交CD于点F，连接DE交BF于点O，下列结论： ①∠AED＝∠CED；②OE＝OD；③BH＝HF；④BC﹣CF＝2HE；⑤AB＝HF， 其中正确的有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【考点】矩形的性质；全等三角形的判定与性质；角平分线的性质；等腰三角形的判定与性质． 【专题】几何图形问题． 【答案】C 【分析】①根据角平分线的定义可得∠BAE＝∠DAE＝45°，然后利用求出△ABE是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得AEAB，从而得到AE＝AD，然后利用“角角边”证明△ABE和△AHD全等，根据全等三角形对应边相等可得BE＝DH，再根据等腰三角形两底角相等求出∠ADE＝∠AED＝67.5°，根据平角等于180°求出∠CED＝67.5°，从而判断出①正确； ②求出∠AHB＝67.5°，∠DHO＝∠ODH＝22.5°，然后根据等角对等边可得OE＝OD＝OH，判断出②正确； ③求出∠EBH＝∠OHD＝22.5°，∠AEB＝∠HDF＝45°，然后利用“角边角”证明△BEH和△HDF全等，根据全等三角形对应边相等可得BH＝HF，判断出③正确； ④根据全等三角形对应边相等可得DF＝HE，然后根据HE＝AE﹣AH＝BC﹣CD，BC﹣CF＝BC﹣（CD﹣DF）＝2HE，判断出④正确； ⑤判断出△ABH不是等边三角形，从而得到AB≠BH，即AB≠HF，得到⑤错误． 【解答】解：∵在矩形ABCD中，AE平分∠BAD， ∴∠BAE＝∠DAE＝45°， ∴△ABE是等腰直角三角形， ∴AEAB， ∵ADAB， ∴AE＝AD， 在△ABE和△AHD中， ， ∴△ABE≌△AHD（AAS）， ∴BE＝DH， ∴AB＝BE＝AH＝HD， ∴∠ADE＝∠AED（180°﹣45°）＝67.5°， ∴∠CED＝180°﹣45°﹣67.5°＝67.5°， ∴∠AED＝∠CED，故①正确； ∵AB＝AH， ∵∠AHB（180°﹣45°）＝67.5°，∠OHE＝∠AHB（对顶角相等）， ∴∠OHE＝67.5°＝∠AED， ∴OE＝OH， ∵∠DHO＝90°﹣67.5°＝22.5°，∠ODH＝67.5°﹣45°＝22.5°， ∴∠DHO＝∠ODH， ∴OH＝OD， ∴OE＝OD＝OH，故②正确； ∵∠EBH＝90°﹣67.5°＝22.5°， ∴∠EBH＝∠OHD， 在△BEH和△HDF中， ， ∴△BEH≌△HDF（ASA）， ∴BH＝HF，HE＝DF，故③正确； ∵HE＝AE﹣AH＝BC﹣CD， ∴BC﹣CF＝BC﹣（CD﹣DF）＝BC﹣（CD﹣HE）＝（BC﹣CD）+HE＝HE+HE＝2HE．故④正确； ∵AB＝AH，∠BAE＝45°， ∴△ABH不是等边三角形， ∴AB≠BH， ∴即AB≠HF，故⑤错误； 综上所述，结论正确的是①②③④共4个． 故选：C． 【点评】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定与性质，熟记各性质并仔细分析题目条件，根据相等的度数求出相等的角，从而得到三角形全等的条件或判断出等腰三角形是解题的关键，也是本题的难点． 7．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E、F是对角线AC上的两点，给出下列四个条件：①AE＝CF；②DE＝BF；③∠ADE＝∠CBF；④∠ABE＝∠CDF．其中不能判定四边形DEBF是平行四边形的有（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【考点】平行四边形的判定与性质． 【答案】B 【分析】若是四边形的对角线互相平分，可证明这个四边形是平行四边形，②不能证明对角线互相平分，只有①③④可以． 【解答】解：由平行四边形的判定方法可知：若是四边形的对角线互相平分，可证明这个四边形是平行四边形，②不能证明对角线互相平分，只有①③④可以， 故选：B． 【点评】本题考查了平行四边形的判定定理，对角线互相平分的四边形是平行四边形，熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键． 8．如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF中点，则AM的最小值为（　　） A． B． C． D． 【考点】矩形的判定与性质；垂线段最短；勾股定理的逆定理． 【答案】D 【分析】根据勾股定理的逆定理可以证明∠BAC＝90°；根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，则AMEF，要求AM的最小值，即求EF的最小值；根据三个角都是直角的四边形是矩形，得四边形AEPF是矩形，根据矩形的对角线相等，得EF＝AP，则EF的最小值即为AP的最小值，根据垂线段最短，知：AP的最小值即等于直角三角形ABC斜边上的高． 【解答】解：设Rt△ABC的斜边BC上的高为h． ∵在△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5， ∴h， ∴AB2+AC2＝BC2， 即∠BAC＝90°． 又∵PE⊥AB于E，PF⊥AC于F， ∴四边形AEPF是矩形， ∴EF＝AP． ∵M是EF的中点， ∴AMEFAP． 因为AP的最小值即为直角三角形ABC斜边上的高，即等于， ∴AM的最小值是． 故选：D． 【点评】本题综合运用了勾股定理的逆定理、矩形的判定及性质、直角三角形的性质．要能够把要求的线段的最小值转换为便于分析其最小值的线段． 9．如图所示，小华从A点出发，沿直线前进10米后左转24°，再沿直线前进10米，又向左转24°，…，照这样走下去，他第一次回到出发地A点时，一共走的路程是（　　） A．140米 B．150米 C．160米 D．240米 【考点】多边形内角与外角；规律型：图形的变化类． 【答案】B 【分析】多边形的外角和为360°每一个外角都为24°，依此可求边数，再求多边形的周长． 【解答】解：∵多边形的外角和为360°，而每一个外角为24°， ∴多边形的边数为360°÷24°＝15， ∴小华一共走了：15×10＝150米． 故选：B． 【点评】本题考查多边形的内角和计算公式，多边形的外角和．关键是根据多边形的外角和及每一个外角都为24°求边数． 10．矩形ABCD与CEFG如图放置，点B，C，E共线，点C，D，G共线，连接AF，取AF的中点H，连接GH．若BC＝EF＝2，CD＝CE＝1，则GH＝（　　） A．1 B． C． D． 【考点】矩形的性质；勾股定理． 【专题】常规题型；矩形 菱形 正方形． 【答案】C 【分析】延长GH交AD于点P，先证△APH≌△FGH得AP＝GF＝1，GH＝PHPG，再利用勾股定理求得PG，从而得出答案． 【解答】解：如图，延长GH交AD于点P， ∵四边形ABCD和四边形CEFG都是矩形， ∴∠ADC＝∠ADG＝∠CGF＝90°，AD＝BC＝2、GF＝CE＝1， ∴AD∥GF， ∴∠GFH＝∠PAH， 又∵H是AF的中点， ∴AH＝FH， 在△APH和△FGH中， ∵， ∴△APH≌△FGH（ASA）， ∴AP＝GF＝1，GH＝PHPG， ∴PD＝AD﹣AP＝1， ∵CG＝2、CD＝1， ∴DG＝1， 则GHPG， 故选：C． 【点评】本题主要考查矩形的性质，解题的关键是掌握全等三角形的判定与性质、矩形的性质、勾股定理等知识点． 二．填空题（共5小题） 11．如图，已知∠XOY＝60°，点A在边OX上，OA＝2．过点A作AC⊥OY于点C，以AC为一边在∠XOY内作等边三角形ABC，点P是△ABC围成的区域（包括各边）内的一点，过点P作PD∥OY交OX于点D，作PE∥OX交OY于点E．设OD＝a，OE＝b，则a+2b的取值范围是 　2≤a+2b≤5　 ． 【考点】平行四边形的判定与性质；等边三角形的性质；含30度角的直角三角形． 【专题】几何图形． 【答案】2≤a+2b≤5 【分析】作辅助线，构建30度的直角三角形，先证明四边形EODP是平行四边形，得EP＝OD＝a，在Rt△HEP中，∠EPH＝30°，可得EH的长，计算a+2b＝2OH，确认OH最大和最小值的位置，可得结论． 【解答】解：如图1，过P作PH⊥OY交于点H， ∵PD∥OY，PE∥OX， ∴四边形EODP是平行四边形，∠HEP＝∠XOY＝60°， ∴EP＝OD＝a， Rt△HEP中，∠EPH＝30°， ∴EHEPa， ∴a+2b＝2（a+b）＝2（EH+EO）＝2OH， 当P在AC边上时，H与C重合，此时OH的最小值＝OCOA＝1，即a+2b的最小值是2； 当P在点B时，如图2，OC＝1，AC＝BC， Rt△CHP中，∠HCP＝30°， ∴PH，CH， 则OH的最大值是：OC+CH＝1，即（a+2b）的最大值是5， ∴2≤a+2b≤5． 【点评】本题考查了等边三角形的性质、直角三角形30度角的性质、平行四边形的判定和性质，有难度，掌握确认a+2b的最值就是确认OH最值的范围． 12．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D，E分别是边AB，AC的中点，延长BC到点F，使CFBC．若AB＝10，则EF的长是　5　 ． 【考点】平行四边形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线；三角形中位线定理． 【专题】压轴题． 【答案】5 【分析】根据三角形中位线的性质，可得DE与BC的关系，根据平行四边形的判定与性质，可得DC与EF的关系，根据直角三角形的性质，可得DC与AB的关系，可得答案． 【解答】解：如图，连接DC． DE是△ABC的中位线， ∴DE∥BC，DE， ∵CFBC， ∴DE∥CF，DE＝CF， ∴CDEF是平行四边形， ∴EF＝DC． ∵DC是Rt△ABC斜边上的中线， ∴DC5， ∴EF＝DC＝5， 解法二：△ADE和△ECF全等即可． 故答案为：5． 【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质，利用了平行四边形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 13．如图，已知AB＝8，P为线段AB上的一个动点，分别以AP，PB为边在AB的同侧作菱形APCD和菱形PBFE，点P，C，E在一条直线上，∠DAP＝60°．M，N分别是对角线AC，BE的中点．当点P在线段AB上移动时，点M，N之间的距离最短为　2　 （结果保留根号）． 【考点】菱形的性质；勾股定理；二次函数的性质． 【专题】矩形 菱形 正方形． 【答案】2 【分析】连接PM、PN．首先证明∠MPN＝90°设PA＝2a，则PB＝8﹣2a，PM＝a，PN（4﹣a），构建二次函数，利用二次函数的性质即可解决问题； 【解答】解：连接PM、PN． ∵四边形APCD，四边形PBFE是菱形，∠DAP＝60°， ∴∠APC＝120°，∠EPB＝60°， ∵M，N分别是对角线AC，BE的中点， ∴∠CPM∠APC＝60°，∠EPN∠EPB＝30°， ∴∠MPN＝60°+30°＝90°， 设PA＝2a，则PB＝8﹣2a，PM＝a，PN（4﹣a）， ∴MN， ∴a＝3时，MN有最小值，最小值为2， 解法二：连接CN延长CN交BF于点G，连接AG． 证明MNAG，求出AG的最小值，可得结论． 故答案为2． 【点评】本题考查菱形的性质、勾股定理、二次函数的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构建二次函数解决最值问题． 14．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，矩形OABC中，A（10，0），C（0，4），D为OA的中点，P为BC边上一点．若△POD为等腰三角形，则所有满足条件的点P的坐标为　（2.5，4），或（3，4），或（2，4），或（8，4）　 ． 【考点】矩形的性质；勾股定理；坐标与图形性质；等腰三角形的判定． 【专题】分类讨论． 【答案】（2.5，4），或（3，4），或（2，4），或（8，4） 【分析】由矩形的性质得出∠OCB＝90°，OC＝4，BC＝OA＝10，求出OD＝AD＝5，分情况讨论：①当PO＝PD时；②当OP＝OD时；③当DP＝DO时；根据线段垂直平分线的性质或勾股定理即可求出点P的坐标． 【解答】解：∵四边形OABC是矩形， ∴∠OCB＝90°，OC＝4，BC＝OA＝10， ∵D为OA的中点， ∴OD＝AD＝5， ①当PO＝PD时，点P在OD得垂直平分线上， ∴点P的坐标为：（2.5，4）； ②当OP＝OD时，如图1所示： 则OP＝OD＝5，PC3， ∴点P的坐标为：（3，4）； ③当DP＝DO时，作PE⊥OA于E， 则∠PED＝90°，DE3； 分两种情况：当E在D的左侧时，如图2所示： OE＝5﹣3＝2， ∴点P的坐标为：（2，4）； 当E在D的右侧时，如图3所示： OE＝5+3＝8， ∴点P的坐标为：（8，4）； 综上所述：点P的坐标为：（2.5，4），或（3，4），或（2，4），或（8，4）； 故答案为：（2.5，4），或（3，4），或（2，4），或（8，4）． 【点评】本题考查了矩形的性质、坐标与图形性质、等腰三角形的判定、勾股定理；本题有一定难度，需要进行分类讨论才能得出结果． 15．如图，△ACE是以▱ABCD的对角线AC为边的等边三角形，点C与点E关于x轴对称．若E点的坐标是（7，﹣3），则D点的坐标是　（5，0）　 ． 【考点】平行四边形的性质；等边三角形的性质；坐标与图形性质． 【专题】压轴题． 【答案】（5，0） 【分析】设CE和x轴交于H，由对称性可知CE＝6，再根据等边三角形的性质可知AC＝CE＝6，根据勾股定理即可求出AH的长，进而求出AO和DH的长，所以OD可求，又因为D在x轴上，纵坐标为0，问题得解． 【解答】解：∵点C与点E关于x轴对称，E点的坐标是（7，﹣3）， ∴C的坐标为（7，3）， ∴CH＝3，CE＝6， ∵△ACE是以▱ABCD的对角线AC为边的等边三角形， ∴AC＝6， ∴AH＝9， ∵OH＝7， ∴AO＝DH＝2， ∴OD＝5， ∴D点的坐标是（5，0）， 故答案为（5，0）． 【点评】本题考查了平行四边形的性质、等边三角形的性质、点关于x轴对称的特点以及勾股定理的运用． 三．解答题（共5小题） 16．已知：如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，E，F为对角线AC上两点，且AE＝CF，DF∥BE． 求证：四边形ABCD为平行四边形． 【考点】平行四边形的判定；全等三角形的判定与性质． 【专题】证明题． 【答案】见试题解答内容 【分析】首先证明△AEB≌△CFD可得AB＝CD，再由条件AB∥CD可利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明四边形ABCD为平行四边形． 【解答】证明：∵AB∥CD， ∴∠DCA＝∠BAC， ∵DF∥BE， ∴∠DFA＝∠BEC， ∴∠AEB＝∠DFC， 在△AEB和△CFD中， ∴△AEB≌△CFD（ASA）， ∴AB＝CD， ∵AB∥CD， ∴四边形ABCD为平行四边形． 【点评】此题主要考查了平行四边形的判定，关键是掌握一组对边平行且相等的四边形是平行四边形． 17．如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠BCD＝90°，AB＝DC＝4，AD＝BC＝8．延长BC到E，使CE＝3，连接DE，由直角三角形的性质可知DE＝5．动点P从点B出发，以每秒2个单位的速度沿BC﹣CD﹣DA向终点A运动，设点P运动的时间为t秒．（t＞0） （1）当t＝3时，BP＝　6　 ； （2）当t＝　8　 时，点P运动到∠B的角平分线上； （3）请用含t的代数式表示△ABP的面积S； （4）当0＜t＜6时，直接写出点P到四边形ABED相邻两边距离相等时t的值． 【考点】平行四边形的判定与性质；列代数式；全等三角形的判定与性质；角平分线的性质；勾股定理． 【专题】动点型；分类讨论；多边形与平行四边形；运算能力；推理能力． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）根据题意可得BP＝2t，进而可得结果； （2）根据∠A＝∠B＝∠BCD＝90°，可得四边形ABCD是矩形，根据角平分线定义可得AF＝AB＝4，得DF＝4，进而可得t的值； （3）根据题意分3种情况讨论：①当点P在BC上运动时，②当点P在CD上运动时，③当点P在AD上运动时，分别用含t的代数式表示△ABP的面积S即可； （4）当0＜t＜6时，点P在BC、CD边上运动，根据题意分情况讨论：①当点P在BC上，点P到AD边的距离为4，点P到AB边的距离也为4，②当点P在BC上，点P到AD边的距离为4，点P到DE边的距离也为4，③当点P在CD上，点P到AB边的距离为8，但点P到AB、BC边的距离都小于8，进而可得当t＝2s或t＝3s或t时，点P到四边形ABED相邻两边距离相等． 【解答】解：（1）BP＝2t＝2×3＝6， 故答案为：6； （2）作∠B的角平分线交AD于F， ∴∠ABF＝∠FBC， ∵∠A＝∠ABC＝∠BCD＝90°， ∴四边形ABCD是矩形， ∵AD∥BC， ∴∠AFB＝∠FBC， ∴∠ABF＝∠AFB， ∴AF＝AB＝4， ∴DF＝AD﹣AF＝8﹣4＝4， ∴BC+CD+DF＝8+4+4＝16， ∴2t＝16，解得t＝8． ∴当t＝8时，点P运动到∠ABC的角平分线上； 故答案为：8； （3）根据题意分3种情况讨论： ①当点P在BC上运动时， S△ABPBP×AB2t×4＝4t；（0＜t＜4）； ②当点P在CD上运动时， S△ABPAB×BC4×8＝16；（4≤t≤6）； ③当点P在AD上运动时， S△ABPAB×AP4×（20﹣2t）＝﹣4t+40；（6＜t≤10）； （4）当0＜t＜6时，点P在BC、CD边上运动， 根据题意分情况讨论： ①当点P在BC上，点P到四边形ABED相邻两边距离相等， ∴点P到AD边的距离为4， ∴点P到AB边的距离也为4， 即BP＝4， ∴2t＝4，解得t＝2s； ②当点P在BC上，点P到AD边的距离为4， ∴点P到DE边的距离也为4， ∴PE＝DE＝5， ∴PC＝PE﹣CE＝2， ∴8﹣2t＝2，解得t＝3s； ③当点P在CD上，如图，过点P作PH⊥DE于点H， 点P到DE、BE边的距离相等， 即PC＝PH， ∵PC＝2t﹣8， ∵S△DCE＝S△DPE+S△PCE， ∴3×45×PH3×PC， ∴12＝8PH， ∴12＝8（2t﹣8）， 解得t． 综上所述：t＝2或t＝3或t时，点P到四边形ABED相邻两边距离相等． 【点评】本题考查了平行四边形的性质、角平分线定义、三角形的面积、全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是综合运用以上知识． 18．如图，已知▱ABCD中，DE⊥BC于点E，DH⊥AB于点H，AF平分∠BAD，分别交DC、DE、DH于点F、G、M，且DE＝AD． （1）求证：△ADG≌△FDM． （2）猜想AB与DG+CE之间有何数量关系，并证明你的猜想． 【考点】平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质． 【专题】压轴题． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）由▱ABCD中，DE⊥BC于点E，DH⊥AB于点H，AF平分∠BAD，可证得DA＝DF，然后由ASA证得：△ADG≌△FDM． （2）延长GD至点N，使DN＝CE，连接AN先证明△ADN≌△DEC，再证AN＝NG＝CD＝AB 【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，AD∥BC， ∴∠BAF＝∠DFA， ∵AF平分∠BAD， ∴∠DAF＝∠DFA， ∴AD＝FD， ∵DE⊥BC，DH⊥AB，AB∥CD，AD∥BC， ∴DE⊥AD，DH⊥CD， ∴∠ADG＝∠FDM＝90°， 在△ADG和△FDM中， ， ∴△ADG≌△FDM（ASA）． （2）AB＝DG+EC． 证明：延长GD至点N，使DN＝CE，连接AN， ∵DE⊥BC，AD∥BC， ∴∠ADN＝∠DEC＝90°， 在△ADN和△DEC中， ， ∴△ADN≌△DEC（SAS）， ∴∠NAD＝∠CDE，AN＝DC， ∵∠NAG＝∠NAD+∠DAG，∠NGA＝∠CDE+∠DFA， ∴∠NAG＝∠NGA， ∴AN＝GN＝DG+CE＝DC， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD， ∴AB＝DG+EC． 【点评】此题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用． 19．如图，在▱ABCD中，∠ACB＝45°，点E在对角线AC上，BE＝BA，BF⊥AC于点F，BF的延长线交AD于点G．点H在BC的延长线上，且CH＝AG，连接EH． （1）若BC＝12，AB＝13，求AF的长； （2）求证：EB＝EH． 【考点】平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质． 【专题】多边形与平行四边形；几何直观；推理能力． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）依据BF⊥AC，∠ACB＝45°，BC＝12，可得等腰Rt△BCF中，BF＝sin45°×BC＝12，再根据勾股定理，即可得到Rt△ABF中，AF5； （2）连接GE，过A作AP⊥AG，交BG于P，连接PE，判定四边形APEG是正方形，即可得到PF＝EF，AP＝AG＝CH，进而得出△APB≌△HCE，依据AB＝EH，AB＝BE，即可得到BE＝EH． 【解答】解：（1）如图，∵BF⊥AC，∠ACB＝45°，BC＝12， ∴等腰Rt△BCF中，BF＝sin45°×BC＝12， 又∵AB＝13， ∴Rt△ABF中，AF5； （2）如图，连接GE，过A作AP⊥AG，交BG于P，连接PE， ∵BE＝BA，BF⊥AC， ∴AF＝FE， ∴BG是AE的垂直平分线， ∴AG＝EG，AP＝EP， ∵∠GAE＝∠ACB＝45°， ∴△AGE是等腰直角三角形，即∠AGE＝90°， △APE是等腰直角三角形，即∠APE＝90°， ∴∠APE＝∠PAG＝∠AGE＝90°， 又∵AG＝EG， ∴四边形APEG是正方形， ∴PF＝EF，AP＝AG＝CH， 又∵BF＝CF， ∴BP＝CE， ∵∠APG＝45°＝∠BCF， ∴∠APB＝∠HCE＝135°， ∴△APB≌△HCE（SAS）， ∴AB＝EH， 又∵AB＝BE， ∴BE＝EH． 【点评】本题考查了平行四边形的性质，正方形的判定以及全等三角形的判定与性质的运用，解题时注意：平行四边形的对边相等；平行四边形的对角相等；平行四边形的对角线互相平分． 20．在菱形ABCD中，∠BAD＝60°． （1）如图1，点E为线段AB的中点，连接DE，CE，若AB＝4，求线段EC的长； （2）如图2，M为线段AC上一点（M不与A，C重合），以AM为边，构造如图所示等边三角形AMN，线段MN与AD交于点G，连接NC，DM，Q为线段NC的中点，连接DQ，MQ，求证：DM＝2DQ． 【考点】菱形的性质；等边三角形的性质． 【专题】综合题． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）如图1，连接对角线BD，先证明△ABD是等边三角形，根据E是AB的中点，由等腰三角形三线合一得：DE⊥AB，利用勾股定理依次求DE和EC的长； （2）如图2，作辅助线，构建全等三角形，先证明△ADH是等边三角形，再由△AMN是等边三角形，得条件证明△ANH≌△AMD（SAS），则HN＝DM，根据DQ是△CHN的中位线，得HN＝2DQ，由等量代换可得结论． 【解答】解：（1）如图1，连接BD，则BD平分∠ABC， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AD∥BC， ∴∠A+∠ABC＝180°， ∵∠A＝60°， ∴∠ABC＝120°， ∴∠ABD∠ABC＝60°， ∴△ABD是等边三角形， ∴BD＝AD＝4， ∵E是AB的中点， ∴DE⊥AB， 由勾股定理得：DE2， ∵DC∥AB， ∴∠EDC＝∠DEA＝90°， 在Rt△DEC中，DC＝4， EC2； （2）如图2，延长CD至H，使CD＝DH，连接NH、AH， ∵AD＝CD， ∴AD＝DH， ∵CD∥AB， ∴∠HDA＝∠BAD＝60°， ∴△ADH是等边三角形， ∴AH＝AD，∠HAD＝60°， ∵△AMN是等边三角形， ∴AM＝AN，∠NAM＝60°， ∴∠HAN+∠NAG＝∠NAG+∠DAM， ∴∠HAN＝∠DAM， 在△ANH和△AMD中， ∵， ∴△ANH≌△AMD（SAS）， ∴HN＝DM， ∵D是CH的中点，Q是NC的中点， ∴DQ是△CHN的中位线， ∴HN＝2DQ， ∴DM＝2DQ． 【点评】本题考查了菱形的性质、三角形的中位线、三角形全等的性质和判定、等边三角形的性质和判定，本题证明△ANH≌△AMD是关键，并与三角形中位线相结合，解决问题；第二问有难度，注意辅助线的构建． 学科网（北京）股份有限公司 $