命题大赛 河南高一数学下学期阶段测试2025-2026学年（人教A版必修第二册）

**基本信息** 高一数学必修二阶段测试，覆盖复数、统计、立体几何等模块，含原创题与综合探究题，考查空间观念、数据意识及推理能力，适配6月月考/期末检测。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8/40|复数运算、百分位数、线面关系等|原创线面关系判断题（第3题）| |多选题|3/18|向量坐标运算、频率分布直方图|结合志愿者年龄数据考查数据意识（第10题）| |填空题|3/15|单位向量、解三角形测量、外接球|实际测量情境（第13题塔高计算）| |解答题|5/77|统计方差、圆锥圆柱最值、四棱锥证明探究|四棱锥面面垂直与线面角探究（第19题），体现逻辑推理与创新意识|

高一数学下学期阶段测试 范围：人教A版必修二全部 答案及解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 C B D D A C A C ABD ABC ABD 一、选择题： 1.【答案】C 【解析】，， ． 2．【答案】B 【解析】本次统计的样本总量，要计算第百分位数， 计算位置指标.向上取整得，即第个数据为第百分位数. 对频数进行累计：直径为的零件共个，对应第个数据；直径为的零件共个，对应第9~17个数据；直径为的零件共个，对应第个数据， ∴ 第个数据属于直径为的区间，即第百分位数为，对应选项B. 3．【答案】D 【解析】对A：若，，，则与的位置关系为平行或异面，故A错误； 对于B，当是平面内两条互相垂直的直线，且时，满足，，但，B错误； 对于C，由面面平行的判定定理可知：一个平面内两条相交直线都平行于另一个平面，才能推出面面平行， 题干中和可能平行，此时和仍可以相交，C错误； 对于D，过直线作平面，且， 因为，所以， 过直线作平面，且， 同理可得， 所以， 因为，（若，则与重合） 所以， 因为，且， 所以，，故D正确.    4．【答案】D 【解析】把直观图转化为原图四边形，如图所示， 由作图可知四边形为平行四边形，， ， , 故周长为. 5．【答案】A 【解析】设球的半径为，则球的直径为，由题意，圆锥的高， 所以球的体积为， 设圆锥底面半径为，则， 由，即，所以， 又因为圆锥的母线长， 所以， 又，所以. 6．【答案】C 【解析】样本数据1，2，2，2，3的均值为， 则， 样本数据3，5，5，5，7的均值为， 则， 所以. 7．【答案】A 【解析】已知向量，满足，，则， 则向量在向量方向上的投影向量为. 8．【答案】C 【解析】】连接， 在正方体中，平面， 对于平面，为垂线，为斜线，为射影， 所以即为直线与平面ABCD所成角， 设，则， 因为P是内（包括边界）的动点， , 当P与O重合时，最小， 此时最大， 当P与B重合时，最大， 此时最小， 所以.    二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．【答案】ABD 【解析】对于A，因为，所以有，解得，所以本选项正确； 对于B，因为，所以， 得到，即，所以，因此本选项正确； 对于C，当与的夹角为钝角时，所以有且与不是反向共线向量， 可得，得到，解得， 由上分析当时，，此时， 所以有且，因此本选项不正确； 对于D，当时，，则向量在方向上的投影向量如下， 为，所以本选项正确. 10．【答案】ABC 【解析】对于A，估计这1000名志愿者年龄的众数为，故A正确； 对于B，由频率分布直方图可知，年龄在的频率为， 所以这1000名志愿者中年龄在的有人，故B正确； 对于C，前2组的频率为， 前3组的频率为， 所以估计中位数在第3组，设中位数为， 则，解得， 因此，估计该公益组织所有志愿者年龄的中位数为，故C正确； 对于D，由频率分布直方图可知，年龄在的频率为， 以频率估计概率，从该公益组织所有志愿者中任选1人，其年龄均在的概率为0.2， 因此，从该公益组织所有志愿者中任选2人， 其年龄均在的概率为，故D错误. 11．【答案】ABD 【难度】0.62 【知识点】正弦定理判定三角形解的个数、正、余弦定理判定三角形形状 【分析】对于A选项，因为三角形中大角对大边，所以由得，再结合正弦定理即可判断；对于B选项，如果三角形有两解，那么需满足且，解不等式即可得到的范围；对于C选项，因为是角平分线上的向量，它与点积为0，所以角的平分线与边垂直，可得，再根据单位向量点积公式求出角的大小，即可判断三角形形状；对于D项，利用三角形内角和为，推导得到，再结合已知不等式判断三个角的正切符号，即可确定三角形的类型. 【解析】对于A项，根据正弦定理，，，（为外接圆半径）， 代入得：， 即. 因为，若中有一个角为钝角， 则其正切值为负，那么另外两个角的正切值也为负， 即均为钝角，这与三角形内角和为矛盾；若有角为直角，则分母等为0，无意义. 故均为锐角. 又因为正切函数在上单调递增， 所以由可得，故A正确； 对于B项，已知，由正弦定理， 即，解得 ， 若有两解，则，解得：，所以的取值范围是，故B正确 对于C项，由，得， 则， 所以，即动点在△ABC的高线上，所以动点经过△ABC的垂心，而不是一定为重心，故C错误. 对于D项，由正弦定理，将化边为角： 左边， 因此原式得， 中，故，又，得. 故D正确； 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．【答案】（或） 【解析】因为、为单位向量，，则， 所以， 因为，故. 13．【答案】 【解析】由题意知，平面，，，，. 因为平面，所以，. 在中，，所以. 在中，，所以. 在中，由余弦定理得，， 即，整理得， 即，解得或. 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意； 故. 14．【答案】 【解析】中，易知，可得； 在中，易知，可得； 易知和的外接圆半径分别为； 取的中点为，设和的外接圆圆心分别为，三棱锥的外接球的球心为，如下图所示： 易知，且，又平面平面，所以平面； 同理可得，平面； 由球心性质可知平面，平面； 因此可知，所以四边形为平行四边形，可得； 所以三棱锥的外接球的半径为； 因此外接球的表面积为. 四、解答题：本题共5个小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．【答案】(1)，平均数为69.5 (2)21.9 【解析】（1）由题意知，解得．...........3分 估计这200名候选者面试成绩的平均数， 即估计这200名候选者面试成绩的平均数为69.5．.......................................................6分 （2）设第四组、第五组候选者的测试成绩的平均数和方差分别为，，，， 则，，，，.....................................................................7分 且这两组的频率之比为4：1，则这两组的平均数为，.............10分 所以第四组和第五组所有参与测试的候选者的测试成绩的方差为： 所以第四组和第五组所有参与测试的候选者的成绩的方差为21.9．.............................13分 16．【答案】(1) (2)或 (3) 【解析】（1），， 故，所以....................................................................2分 所以在上的投影向量为 所以在上的投影向量为........................................................................................4分 （2）设，， ，又，......................................................................6分 或， 或...........................................................................................................8分 （3）因为， 所以，， 因为与的夹角为锐角，.....................................................................................11分 所以且与不共线 即...............................................................................................13分 解得且 即k的取值范围是............................................................................................15分 17． 【答案】(1) (2)最大值为，此时圆柱的高为. 【解析】（1）设圆锥的母线长为，底面半径为，高为. 已知母线长，圆锥侧面展开图为半圆， 因此半圆的弧长等于圆锥底面周长，即，代入，得，............2分 圆锥的高...........................................................................4分 因此圆锥的体积为....................................................................6分 （2）设圆柱的底面半径为，高为. 由相似三角形（小圆锥的轴截面与原圆锥的轴截面相似）， 可得比例关系..............................................9分 圆柱侧面积公式为，代入得.............................11分 这是关于的开口向下的二次函数，当时，二次函数取得最大值， 代入得最大侧面积............................................................13分 因此圆柱侧面积的最大值为，此时圆柱的高为......................................................15分 18．【答案】(1) (2) (3) 【解析】（1）解：由正弦定理可知， ， ，.......................................................2分 又，， ， ，， ，；...................................................................................................4分 （2）解：由（1）及余弦定理得，即①，.......5分 又因为，则， 则， 即， 所以②，..........................................................................................7分 由得，....................................................................................................8分 所以；.....................................................................10分 （3）解：由（1）得，则， 即，....................................................................12分 由正弦定理可知，， 所以 ．.......................................................................14分 因为为锐角三角形，所以，， 则，， 则，即，..................................................16分 则， 故的周长的取值范围为．.....................................................................17分 19．【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)存在， 【解析】（1）因为底面，平面，则， 又因为底面为正方形，则 ， 且，平面， 可得平面， 又因为平面PBD，所以平面平面........................................................4分 （2）在正方形中，则， 且平面，平面，可知平面， 且平面，平面平面，所以.........................................8分 （3）存在点F在BC的处，使得平面． 在线段PA上取点K，使，连接KE，KB，EF． 在中，，即， 则，且，.......................................................................................11分 在正方形中，F在BC的处，则，且， 可得，且，可知为平行四边形， 则，且平面，平面，所以平面，............13分 在AD的处取点M，连接． 中，点E，M分别为的处，则，且， 因为平面，则平面，即EF在平面上的射影MF，....15分 可知即为EF与底面所成角，                           在中，，    若，，所以......................................................................17分 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $Sheet1 题号 题型 分值 知识点 难度系数（预估） 1 单选题 5 求复数的模 0.92 2 单选题 5 总体百分位数的估计 0.78 3 单选题 5 线面关系有关命题的判断、面面关系有关命题的判断 0.75 4 单选题 5 斜二测画法中有关量的计算 0.75 5 单选题 5 圆锥表面积的有关计算、锥体体积的有关计算、球的体积的有关计算、球的表面积的有关计算 0.65 6 单选题 5 计算几个数的平均数、计算几个数据的极差、方差、标准差 0.82 7 单选题 5 数量积的运算律、求投影向量 0.82 8 单选题 5 求线面角 0.65 9 多选题 6 由向量共线（平行）求参数、向量夹角的计算、向量垂直的坐标表示、求投影向量 0.65 10 多选题 6 估计中位数、由频率分布直方图计算频率、频数、样本容量、总体容量 0.65 11 多选题 6 正弦定理判定三角形解的个数、正、余弦定理应用 0.75 12 填空题 5 向量夹角的计算、数量积的运算律 0.85 13 填空题 5 高度测量问题 0.65 14 填空题 5 多面体与球体内切外接问题 0.52 15 解答题 13 由频率分布直方图求平均数，方差 0.85 16 解答题 15 由向量共线（平行）求参数、向量夹角的计算、数量积的坐标表示、求投影向量 0.75 17 解答题 15 圆锥表面积的有关计算、锥体体积的有关计算 0.75 18 解答题 17 正余弦定理在解三角形中的应用 0.65 19 解答题 17 证明面面垂直、线面平行的性质、由线面角的大小求值 0.55 $ 适应场景：6月月考/期末 高一数学下学期阶段测试 范围：人教A版必修二全部内容 （考试时间：120分钟，分值150分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知复数，，则（   ） A． B． C． D．5 2．某工厂抽检了个零件，并统计了这个零件的直径（单位：）数据，得到如下的表格： 直径/ 49 50 51 52 53 54 频数 8 9 8 13 12 1 由表可知这51个零件的直径的第40百分位数为（   ） A． B． C． D． 3．（原创）设表示两条不重合的直线，表示两个不重合的平面，则下列说法正确的是（ ） A．若，，，则 B．若，则 C．若，，，，则 D．若，则 4．一水平放置的平面图形，用斜二测画法画出了它的直观图，此直观图恰好是一个边长为1的正方形，则原平面图形的周长为（   ） A． B． C．4 D．8 5．若圆锥的高与球的直径相等，圆锥的体积与球的体积也相等，则圆锥与球的表面积之比为（    ） A． B． C． D． 6．记样本数据1，2，2，2，3的方差为，样本数据3，5，5，5，7的方差为，则（    ） A． B． C． D． 7．已知向量，满足，，则向量在向量方向上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 8．正方体的棱长为1，若在内（包括边界）运动，则直线与平面所成角的正弦值的取值范围为（     ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．已知向量，，其中，则下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若与的夹角为钝角，则 D．若，向量在方向上的投影向量为 10．某公益组织为更好地安排志愿者工作，随机抽取了1000名志愿者，并统计了他们的年龄数据，绘制了如图所示的频率分布直方图（每组为左闭右开的区间），则（   ） A．估计这1000名志愿者年龄的众数为22.5 B．这1000名志愿者中年龄在的有175人 C．估计该公益组织所有志愿者年龄的中位数为 D．以频率估计概率，从该公益组织所有志愿者中任选2人，其年龄均在的概率为0.2 11．(原创)的内角的对边分别为，则下列说法正确的是（    ） A．若，则是等边三角形 B．已知，若有两解，则的取值范围是 C．在中，若，且满足条件，则动点经过△ABC的重心 D．若，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．设、为单位向量，若，则________. 13．如图，为了测量河对岸的塔高，某测量队选取与塔底在同一水平面内且相距20米的两个测量基点与．现测量得，在点处测得塔顶的仰角分别为，若河宽至少12米，则塔高______米．    14．在三棱锥中，平面平面，，，，则三棱锥的外接球的表面积为______． 四、解答题：本题共5个小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（13分）某高校承办了地铁站的志愿者选拔面试工作，现随机抽取了200名候选人的面试成绩（成绩均在内）并分成五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图． (1)求a的值，并估计这200名候选者面试成绩的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）； (2)现从第四组和第五组中用分层随机抽样的方法选取20人的成绩，若这20人中来自第四组候选者的面试成绩的平均数和方差分别为80和6.5，来自第五组候选者的测试成绩的平均数和方差分别为90和3.5，据此估计这次第四组和第五组所有参与测试的候选者的成绩的方差． 16．（15分）已知平面向量，且， (1)求在方向的投影向量的坐标； (2)若，且，求向量的坐标； (3)若与的夹角为锐角，求实数的取值范围. 17．（15分）已知圆锥的侧面展开图为半圆，母线长为． (1)求圆锥的体积； (2)在该圆锥内按如图所示放置一个圆柱，求圆柱侧面积的最大值，并求出此时圆柱的高． 18．（17分）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，． (1)求角A； (2)若D是线段的中点，且，求； (3)若为锐角三角形，求的周长的取值范围． 19．（17分）如图，在四棱锥中，底面ABCD是边长为2的正方形，，，底面．    (1)证明: 平面平面； (2)设平面平面于直线l，证明：； (3)若在线段BC上是否存在点 F，使得平面PAB，若存在点 F，则为何值时，直线EF与底面ABCD所成角为. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $