江苏南京市2025-2026学年高一下学期数学期末全真模拟练习卷

**基本信息** 南京市高一下期末数学模拟卷，立足苏教版必修二，通过测量楼高、密铺图形等现实与文化情境，梯度覆盖立体几何、向量、概率统计等核心知识，适配期末综合测评，体现数学眼光、思维与语言的素养导向。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11/58|复数、概率、立体几何判定、向量投影|单选考基础（如复数虚部），多选重辨析（如统计方差计算）| |填空题|3/15|三角恒等变换、几何体体积、解三角形范围|结合动态情境（如三棱柱盛水体积）| |解答题|5/77|向量运算、立体几何证明与线面角、统计与概率、四边形面积最值、翻折与二面角|注重现实应用（如竞赛成绩分析）和空间动态问题（如翻折二面角正切值范围），综合考查逻辑推理与运算能力|

2025-2026学年南京市高一下学期期末全真模拟练习卷 数学试卷 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 C A D A D C C D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 BCD ABD ACD 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12． 13． 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 【解析】（1）因为与共线， 则存在唯一实数，使得， 所以，解得， 所以；（3分） （2）因为，为单位向量，且与的夹角为， 所以， 则；（7分） （3）因为向量与的夹角为锐角， 所以且向量与不共线， 由，得， 即，解得，（10分） 当向量与共线时， 则存在唯一实数，使得， 所以，解得， 因为向量与不共线，所以，（12分） 综上所述，实数的取值范围为（13分） 16．（15分） 【解析】（1）取的中点，连接、，则，且. 因为，，所以且. 所以四边形为平行四边形. 所以， 因为平面，平面，所以平面. （6分） （2）因为底面为梯形，，，， 所以，， ，（8分） 又垂直于面，为棱的中点， 所以到平面的距离为，所以，（10分） 因为垂直于面，平面，所以，， 所以，， 所以， 所以， 设点到平面的距离为，则，即，所以，（13分） 设直线与面所成的角为，则， 直线与面所成的角的正弦值为.（15分） 17．（15分） 【解析】（1）由频率分布直方图得，， 解得． 初赛成绩的众数为， 估计初赛成绩的平均数为：． 所以，众数为，平均成绩为77.5.（3分） （2）由（1）知，成绩在的频率之比为， 则在中随机抽取了人，记为， 在中随机抽取了人，记为， 从5人中随机抽取2人的样本空间为：， 共10个样本点， 设事件“有1名或2名学生的成绩在内”， 则，有7个样本点， 因此， 所以有1名或2名学生的成绩在内的概率为．（7分） （3）若首场比赛，则获胜有三种情况： ①比赛胜，比赛胜，概率为， ②比赛胜，比赛胜，比赛胜，比赛胜的概率为 ③比赛胜，比赛胜，比赛胜，比赛胜的概率为； 所以最终获胜的概率为；（10分） 若首场比赛，则获胜有三种情况： ①比赛胜，比赛胜的概率为， ②比赛胜，比赛胜，比赛胜，比赛胜的概率为， ③比赛胜，比赛胜，比赛胜，比赛胜的概率为， 所以最终获胜的概率为，（12分） 若首场比赛，则获胜有两种情况： ①比赛胜，比赛胜，比赛胜的概率为， ②比赛胜，比赛胜，比赛胜的概率为， 所以最终获胜的概率为，（14分） 因为， 所以首场由比赛才能使获胜的概率最大．（15分） 18．（17分） 【解析】（1）因为的面积为，所以， 解得，因为B为锐角，所以. 在中，由余弦定理可得 ，则；（4分） （2）在中，由余弦定理可得.① 在中，由余弦定理可得 .② 联立①②，可得，即， 即为定值1；（9分） （3）四边形的面积 ， 则，（13分） 由（2）可知，则， 所以， 所以. 当，即时，取得最大值72. 故，即四边形面积的最大值为.（17分） 19．（17分） 【解析】（1）在线段上截取，由， 可得四边形为平行四边形，则， 又平面，平面，则平面， 因为平面，又，则平面平面， 因为平面，所以平面， 又N为棱的中点，所以为的中点， 则，即.（4分） （2）由，，则， 过作平面于点，过作于点，连接， 由平面，平面，则， 又，平面，则平面， 又平面，则为二面角的平面角，，（7分） 在中，， 由等面积法可知，，， 而，.（10分） （3）设，则， 在中，由等面积法可知， ， 在矩形中，， 过点作于， 易得，，（13分） 设二面角的大小为，则， 由于，则， 即二面角的正切值的取值范围为．（17分） 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年南京市高一下学期期末全真模拟练习卷 数学试卷 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．若复数满足，则的虚部为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】C 【分析】根据给定的等式，利用复数运算求出即可得解. 【详解】由，得，即， 所以的虚部为1. 故选：C 2．从1，2，3，4这四个数中随机取两个数，则这两个数之和为偶数的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据古典概型概率公式，即可求解. 【详解】这4个数任取两个数，有，，，，，共6种情况， 两个数的和为偶数，则这两个数是奇数或是偶数，有和，共2种情况， 所以两个数之和为偶数的概率. 故选：A 3．已知，表示两个不同的平面，a，b，c表示三条不同的直线，下列说法正确的是（   ） A．若，，则 B．若，，，，则 C．若，，，，则 D．若，，，则 【答案】D 【分析】ABC选项，可举出反例；D选项，可由平行和垂直的性质和判定证明. 【详解】A选项，若，，则或，A错误； B选项，若，不能推出，B错误； C选项，若，则不能推出，C错误； D选项，因为，，所以.又，所以，D正确. 故选：D 4．已知向量和满足，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由已知，所以， 故向量在向量上的投影向量为. 5．如图，为了测量某楼的高度，测量人员选取了与该楼AB在同一铅垂面内的楼CD，B，C在同一水平直线上，现测得，在楼底B点处测得楼CD的顶点D的仰角为，在点D处测得楼AB的顶点A的仰角为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意可得，，，利用正弦定理可得结果. 【详解】在中，则，即． 在中，则，， 由正弦定理得，，所以． 故选：D． 6．如图，在等腰梯形中，是线段上一点，且，动点在以为圆心，1为半径的圆上，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过点作，垂足为，以为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，利用，通过坐标运算和数量积的定义来求解最值. 【详解】过点作，垂足为， 以为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系， 则， 则， 其中， ， 当，即同向时，取最大值， 所以的最大值为. 故选：C. 7．已知某圆锥的母线长为，该圆锥内切球的球心与其外接球的球心重合，则该圆锥内切球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据圆锥的轴截面可得圆锥底面半径为，高为，母线为的关系，结合该圆锥内切球的球心与其外接球的球心重合可得圆锥内切球半径为，外接球半径为之间的关系，列方程组从而可得，的值，即可得所求. 【详解】如图，圆锥的轴截面为，圆锥的底面中心为，则点为中点， 设内切球的球心与其外接球的球心为，则点在圆锥的高上，连接，过作于， 设圆锥内切球半径为，外接球半径为，圆锥底面半径为，高为，母线为， 由题可得，，，， 则， 由勾股定理可得：，所以，整理得 所以，又由可得， 联立解得， 故该圆锥内切球的半径为，所以内切球的表面积为. 故选：C. 8．在中，角，都是锐角，且，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据已知条件由诱导公式、两角和的正弦公式、同角三角函数基本关系可得，再由展开表示为关于的函数，利用基本不等式即可求最值. 【详解】由， 可得， 所以， 所以， 即，所以， 所以 ， 因为角，都是锐角，所有，， 所以， 当且仅当即时等号成立， 所以， 所以的最大值是， 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列说法正确的是（   ） A．数据2，3，4，5，6，7，8，9的第75百分位数为7 B．若一组样本数据3，，7，5，4，8的极差为5，则实数的取值范围为 C．和的方差分别为和，若，则 D．在对高一某班学生数学成绩调查中，抽取男生10人，其平均数为105，方差为24，抽取女生5人，其平均数为102，方差为21，则这15名学生数学成绩的方差为25 【答案】BCD 【分析】对于A求出第75百分位数即可判断，对于B根据极差的定义即可判断，对于C根据方差的性质即可判断，对于D计算分成抽样的方差即可判断. 【详解】对于A：由，所以第75百分位数为，故A错误； 对于B：若一组样本数据3，，7，5，4，8的极差为5，所以，故B正确； 对于C：若，即，故C正确； 对于D：由已知有这15名学生数学成绩的平均数为， 所以这15名学生数学成绩的方差为，故D正确. 故选：BCD. 10．在中，角A，B，C所对应的边分别是a，b，c，下列结论一定成立的有（    ）． A． B．若，则 C．若为锐角三角形，则 D．若，则是等边三角形 【答案】ABD 【分析】对A，根据三角形内角关系和诱导公式即可判断；对B，根据大角对大边和正弦定理即可判断；对C，利用余弦定理和正弦定理即可判断；对D，利用正弦定理结合倍角公式化简判断. 【详解】对于A，因为在中，则，故A正确； 对B，根据大角对大边，则推出，再根据正弦定理有，故B正确； 对C，若为锐角三角形，则锐角，则由余弦定理有， 则，即，再根据正弦定理进行边换角得，故C错误； 对于D，中，若，则，则根据二倍角的正弦公式有， 由，得， 所以，，是等边三角形，故D选项正确． 故选：ABD. 11．正多面体也称柏拉图立体(被誉为最有规律的立体结构)，是所有面都只由一种正多边形构成的多面体(各面都是全等的正多边形).数学家已经证明世界上只存在五种柏拉图立体，即正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体.已知一个正八面体的棱长都是3(如图)，则下列说法正确的是（    ） A． B．直线与平面所成的角为 C．若点为棱上的动点，则三棱锥的体积为定值 D．若点为棱上的动点，则的最小值为 【答案】ACD 【分析】对于A选项，正八面体，证明平面，再判断，对于B，可知平面，找到直线与平面所成的角为，在三角形中计算角度；对于C，利用等体积变换计算三棱锥的体积；对于D，由题意分析和，将两个三角形翻折到同一平面内，可得取最小值； 【详解】对于A选项，正八面体，连接， 对称性可知，⊥平面，且相交于点，为的中点， 又，， 故四边形为菱形，四边形为菱形， 可知是平面内两条相交直线， 所以平面，又平面，故，故A正确 对于B，由A选项可知平面，故直线与平面所成的角为， 且由题意得，故， 故，B错误； 对于C，三棱锥的体积， 其中点到平面的距离为，设菱形的面积为， 则 若点为棱上的动点，则三棱锥的体积为定值，故C正确. 对于D，由题意得为等边三角形，边长为3， 在中，，为等腰直角三角形， 将沿直线ED翻折到平面EAD内，如图，易得, 则的最小值为为 ， D正确. 故选：ACD. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知，则___________． 【答案】 【分析】利用两角和与差的正弦公式，以及正切定义，即可求得结果. 【详解】由题知，， 即，， 所以，， 所以. 故答案为： 13．如图，一个三棱柱形容器中盛有水，侧棱，若侧面水平放置时，水面恰好过，，，的中点，那么当底面水平放置时，水面高为_________． 【答案】 【分析】根据给定条件利用柱体体积公式求出水的实际体积，再由两种情况的放置水的体积相同求解即可. 【详解】设的面积为，底面ABC水平放置时，液面高为h， 侧面水平放置时，水的体积为， 当底面ABC水平放置时，水的体积为，于是，解得， 所以当底面水平放置时，液面高为. 故答案为： 14．已知锐角的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则的取值范围为______． 【答案】 【分析】运用二倍角公式及和角公式代入化简解方程可得，再将中边化为角后可用表示，最后利用对勾函数性质计算即可得解. 【详解】， ， 故， 由 ， 故， 又，故，即， 故有或， 若，由，则，即， 与为锐角三角形矛盾，故舍去； 则，由，则，即， 则 ， 由，为锐角三角形， 则，解得，故， 由对勾函数在上单调递增， 则. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 已知，为单位向量，且与的夹角为. (1)若与共线，求实数的值； (2)求的值； (3)若向量与的夹角为锐角，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据平面向量共线定理求解即可； （2）根据结合数量积的运算律求解即可； （3）由题意可得且向量与不共线，再根据数量积的运算律和平面向量共线定理求解即可. 【详解】（1）因为与共线， 则存在唯一实数，使得， 所以，解得， 所以；（3分） （2）因为，为单位向量，且与的夹角为， 所以， 则；（7分） （3）因为向量与的夹角为锐角， 所以且向量与不共线， 由，得， 即，解得，（10分） 当向量与共线时， 则存在唯一实数，使得， 所以，解得， 因为向量与不共线，所以，（12分） 综上所述，实数的取值范围为（13分） 16．（15分） 如图，在四棱锥中，底面为梯形，，垂直于面，，，，为棱的中点． (1)求证：平面． (2)求直线与面所成的角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）取的中点，连接、，即可证明，从而得到平面； （2）求出三棱锥的体积，再由等体积法求出点到平面的距离，最后利用锐角三角函数计算可得. 【详解】（1）取的中点，连接、，则，且. 因为，，所以且. 所以四边形为平行四边形. 所以， 因为平面，平面，所以平面. （6分） （2）因为底面为梯形，，，， 所以，， ，（8分） 又垂直于面，为棱的中点， 所以到平面的距离为，所以，（10分） 因为垂直于面，平面，所以，， 所以，， 所以， 所以， 设点到平面的距离为，则，即，所以，（13分） 设直线与面所成的角为，则， 直线与面所成的角的正弦值为.（15分） 17．（15分） 某市举行“高一年级节数学竞赛”，竞赛分为初赛和决赛两个阶段，为了解初赛情况，现从某中学高一年级随机抽取了200名学生，记录他们的初赛成绩，将数据按照分成5组，制成了如图所示的频率分布直方图． (1)求频率分布直方图中的值，并估计高一年级初赛成绩的众数和平均成绩（同一组中的数据用该组区间的中点值代替）． (2)按照分层抽样从和两组中随机抽取了5名学生，现从已抽取的5名学生中随机抽取2名，求有1名或2名学生的成绩在内的概率． (3)已知本次竞赛最终由三人进行决赛，决赛规则如下：比赛前抽签决定首场比赛的两人，另一人轮空，每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛（比赛没有平局），先赢两场者获胜，比赛随即结束．已知每场比赛胜的概率为，胜的概率为，胜的概率为，每场比赛互不影响．请通过计算说明哪两人参加首场比赛获胜的概率最大． 【答案】(1)，众数为，平均成绩为77.5. (2) (3)首场由比赛才能使获胜的概率最大． 【分析】（1）根据频率分布直方图中所有频率之和为来求的值，再利用平均数的计算公式和众数的定义求解即可； （2）先根据分层抽样确定两组抽取的人数，然后利用古典概型的概率公式计算有1名或2名学生的成绩在内的概率； （3）需要分别计算与、与、与参加首场比赛时获胜的概率，再进行比较. 【详解】（1）由频率分布直方图得，， 解得． 初赛成绩的众数为， 估计初赛成绩的平均数为：． 所以，众数为，平均成绩为77.5.（3分） （2）由（1）知，成绩在的频率之比为， 则在中随机抽取了人，记为， 在中随机抽取了人，记为， 从5人中随机抽取2人的样本空间为：， 共10个样本点， 设事件“有1名或2名学生的成绩在内”， 则，有7个样本点， 因此， 所以有1名或2名学生的成绩在内的概率为．（7分） （3）若首场比赛，则获胜有三种情况： ①比赛胜，比赛胜，概率为， ②比赛胜，比赛胜，比赛胜，比赛胜的概率为 ③比赛胜，比赛胜，比赛胜，比赛胜的概率为； 所以最终获胜的概率为；（10分） 若首场比赛，则获胜有三种情况： ①比赛胜，比赛胜的概率为， ②比赛胜，比赛胜，比赛胜，比赛胜的概率为， ③比赛胜，比赛胜，比赛胜，比赛胜的概率为， 所以最终获胜的概率为，（12分） 若首场比赛，则获胜有两种情况： ①比赛胜，比赛胜，比赛胜的概率为， ②比赛胜，比赛胜，比赛胜的概率为， 所以最终获胜的概率为，（14分） 因为， 所以首场由比赛才能使获胜的概率最大．（15分） 18．（17分） 密铺，即平面图形的镶嵌，指用形状、大小完全相同的平面图形进行拼接，使彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片、如图1，这是一个密铺图形，它由四个完全相同的平面四边形组成，小华为了进一步研究这个密铺图形，单独绘制出组成这个密铺图形的四边形，如图2，其中，.      (1)若的面积为，且B为锐角，求的长度. (2)试问是否为定值?若是，求出这个定值；若不是，请说明理由， (3)求四边形面积的最大值. 【答案】(1) (2)是，1 (3). 【分析】(1)利用的面积求出，再由余弦定理可得答案； （2）由余弦定理可得答案； （3）求出四边形的面积，平方后结合（2），利用两角和的余弦公式化简可得答案. 【详解】（1）因为的面积为，所以， 解得，因为B为锐角，所以. 在中，由余弦定理可得 ，则；（4分） （2）在中，由余弦定理可得.① 在中，由余弦定理可得 .② 联立①②，可得，即， 即为定值1；（9分） （3）四边形的面积 ， 则，（13分） 由（2）可知，则， 所以， 所以. 当，即时，取得最大值72. 故，即四边形面积的最大值为.（17分） 19．（17分） 如图，在矩形ABCD中，，，点M为线段BC上的动点（不含端点），将沿AM折起，点B翻折至位置，且使二面角的大小为60°． (1)若N为棱的中点，且满足平面，求的值； (2)若，求三棱锥的体积； (3)求二面角的正切值的取值范围． 【答案】(1)1 (2) (3) 【分析】（1）在线段截取，可证明平面，结合平面可得平面面，进而得到平面，再结合N为棱的中点即可求解； （2）过作面垂线，过作，连得二面角平面角，进而棱锥的体积公式求解即可； （3）设，求出，，作，由相似得，进而得出二面角正切表达式，根据取值范围求解即可. 【详解】（1）在线段上截取，由， 可得四边形为平行四边形，则， 又平面，平面，则平面， 因为平面，又，则平面平面， 因为平面，所以平面， 又N为棱的中点，所以为的中点， 则，即.（4分） （2）由，，则， 过作平面于点，过作于点，连接， 由平面，平面，则， 又，平面，则平面， 又平面，则为二面角的平面角，，（7分） 在中，， 由等面积法可知，，， 而，.（10分） （3）设，则， 在中，由等面积法可知， ， 在矩形中，， 过点作于， 易得，，（13分） 设二面角的大小为，则， 由于，则， 即二面角的正切值的取值范围为．（17分） 11 / 18 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年南京市高一下学期期末全真模拟练习卷 数学试卷 （考试时间：120分钟 分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：苏教版必修第二册。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．若复数满足，则的虚部为（    ） A． B． C．1 D． 2．从1，2，3，4这四个数中随机取两个数，则这两个数之和为偶数的概率是（   ） A． B． C． D． 3．已知，表示两个不同的平面，a，b，c表示三条不同的直线，下列说法正确的是（   ） A．若，，则 B．若，，，，则 C．若，，，，则 D．若，，，则 4．已知向量和满足，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 5．如图，为了测量某楼的高度，测量人员选取了与该楼AB在同一铅垂面内的楼CD，B，C在同一水平直线上，现测得，在楼底B点处测得楼CD的顶点D的仰角为，在点D处测得楼AB的顶点A的仰角为，则（   ） A． B． C． D． 6．如图，在等腰梯形中，是线段上一点，且，动点在以为圆心，1为半径的圆上，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 7．已知某圆锥的母线长为，该圆锥内切球的球心与其外接球的球心重合，则该圆锥内切球的表面积为（    ） A． B． C． D． 8．在中，角，都是锐角，且，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列说法正确的是（   ） A．数据2，3，4，5，6，7，8，9的第75百分位数为7 B．若一组样本数据3，，7，5，4，8的极差为5，则实数的取值范围为 C．和的方差分别为和，若，则 D．在对高一某班学生数学成绩调查中，抽取男生10人，其平均数为105，方差为24，抽取女生5人，其平均数为102，方差为21，则这15名学生数学成绩的方差为25 10．在中，角A，B，C所对应的边分别是a，b，c，下列结论一定成立的有（    ）． A． B．若，则 C．若为锐角三角形，则 D．若，则是等边三角形 11．正多面体也称柏拉图立体(被誉为最有规律的立体结构)，是所有面都只由一种正多边形构成的多面体(各面都是全等的正多边形).数学家已经证明世界上只存在五种柏拉图立体，即正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体.已知一个正八面体的棱长都是3(如图)，则下列说法正确的是（    ） A． B．直线与平面所成的角为 C．若点为棱上的动点，则三棱锥的体积为定值 D．若点为棱上的动点，则的最小值为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知，则___________． 13．如图，一个三棱柱形容器中盛有水，侧棱，若侧面水平放置时，水面恰好过，，，的中点，那么当底面水平放置时，水面高为_________． 14．已知锐角的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则的取值范围为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 已知，为单位向量，且与的夹角为. (1)若与共线，求实数的值； (2)求的值； (3)若向量与的夹角为锐角，求实数的取值范围. 16．（15分） 如图，在四棱锥中，底面为梯形，，垂直于面，，，，为棱的中点． (1)求证：平面． (2)求直线与面所成的角的正弦值． 17．（15分） 某市举行“高一年级节数学竞赛”，竞赛分为初赛和决赛两个阶段，为了解初赛情况，现从某中学高一年级随机抽取了200名学生，记录他们的初赛成绩，将数据按照分成5组，制成了如图所示的频率分布直方图． (1)求频率分布直方图中的值，并估计高一年级初赛成绩的众数和平均成绩（同一组中的数据用该组区间的中点值代替）． (2)按照分层抽样从和两组中随机抽取了5名学生，现从已抽取的5名学生中随机抽取2名，求有1名或2名学生的成绩在内的概率． (3)已知本次竞赛最终由三人进行决赛，决赛规则如下：比赛前抽签决定首场比赛的两人，另一人轮空，每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛（比赛没有平局），先赢两场者获胜，比赛随即结束．已知每场比赛胜的概率为，胜的概率为，胜的概率为，每场比赛互不影响．请通过计算说明哪两人参加首场比赛获胜的概率最大 18．（17分） 密铺，即平面图形的镶嵌，指用形状、大小完全相同的平面图形进行拼接，使彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片、如图1，这是一个密铺图形，它由四个完全相同的平面四边形组成，小华为了进一步研究这个密铺图形，单独绘制出组成这个密铺图形的四边形，如图2，其中，.      (1)若的面积为，且B为锐角，求的长度. (2)试问是否为定值?若是，求出这个定值；若不是，请说明理由， (3)求四边形面积的最大值. 19．（17分） 如图，在矩形ABCD中，，，点M为线段BC上的动点（不含端点），将沿AM折起，点B翻折至位置，且使二面角的大小为60°． (1)若N为棱的中点，且满足平面，求的值； (2)若，求三棱锥的体积； (3)求二面角的正切值的取值范围． 4 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $