精品解析：浙江省萧山中学2025-2026学年第二学期5月阶段性测试高一数学试题

2025 学年第二学期5月阶段性测试 高一年级数学学科试题 一、单选题 1. 若圆锥的高为，底面半径为，则这个圆锥的侧面积为（   ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先计算出圆锥的母线长，再结合侧面积公式可得答案. 【详解】圆锥的高为，底面半径为，则母线长为 ， 则这个圆锥的侧面积为. 2. 将函数的图象向左平移个单位，得到的函数图象关于直线对称，则的可能取值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用函数图象的平移和正弦曲线的对称性即可求解. 【详解】函数的图象向左平移个单位，得到函数的图象， 由得到的函数图象关于直线对称，则， 所以的可能取值为， 故选：A. 3. 正四棱台的上、下底面边长分别为，，侧棱长为，则棱台的侧面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用已知条件求出斜高，然后求解棱台的侧面积即可. 【详解】正四棱台的上、下底面边长分别为，，侧棱长为， 所以棱台的斜高为: . 所以棱台的侧面积是: . 故选：D. 4. 设，为两个不同的平面，则的一个充分条件是（ ） A. 内有无数条直线与平行 B. ，平行于同一个平面 C. ，平行于同一条直线 D. ，垂直于同一个平面 【答案】B 【解析】 【分析】利用线面，面面平行，垂直的判定及性质对各个选项进行分析即可得到答案. 【详解】A选项，内有无数条直线与平行，与可能相交，A选项错误； B选项，平行于同一个平面，则，B选项正确； C选项，平行于同一条直线，与可能相交，C选项错误； D选项，垂直于同一平面的两个平面可以平行也可以相交，D选项错误. 故选：B. 5. 已知向量满足，且，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】直接根据投影向量的定义计算可得. 【详解】因为，且，由投影向量的定义，向量在上的投影向量为：. 故选：A. 6. 如图所示，三棱柱中，若、分别为，靠近点的三等分点，平面将三棱柱分成左右两部分体积为和，那么（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用棱台体积公式求解体积即可得到体积比. 【详解】设三棱柱的高为，底面的面积为，体积为，则， 因为、分别为，靠近点的三等分点，所以， 则，所以， 所以. 故选：D. 7. 已知为锐角，且，则的值为 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 直接利用三角函数关系式的恒等变换和角公式的应用求出结果． 【详解】解：由可得， 即， 所以， 又为锐角，故， 故选：B. 【点睛】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，和角公式的运用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题． 8. 在△ABC中，已知，P为线段AB上的点，且的最大值为 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【详解】试题分析：由题设,即,也即,所以,又因,故,即;因为,故,故建立如图所示直角坐标系,则,则由题设可知,直线且,所以,即,应选C. 考点：三角变换向量的数量积公式直线的方程及基本不等式的综合运用. 【易错点晴】本题将向量的数量积公式和三角变换及基本不等式等知识有机地结合起来,综合考查学生的数学思想和数学方法及运用所学知识去分析问题解决问题的能力.求解时,先将,再运用已知得到,即.再将向量的数量积公式化为,从而求得,.最后通过构建平面直角坐标系求出直线且,然后运用基本不等式使得问题获解. 二、多选题 9. 已知向量，，则下列叙述正确的是（ ） A. 若，则 B. 若与的夹角为锐角，则 C. 若，则 D. 与共线的单位向量 【答案】AB 【解析】 【分析】根据平面向量垂直、平行的坐标表示公式，结合平面向量数量积的性质、单位向量的定义逐一判断即可. 【详解】由，所以选项A正确； 因为与的夹角为锐角，所以有且与不是同向向量， 即，假设与是同向向量，故有，因为，所以方程组无实数解， 因此选项B正确； 由，所以有， 所以选项C不正确； 因为，所以与共线的单位向量为， 即或，所以选项D不正确， 故选：AB 10. 在中，内角，，所对的边分别为，，，下列与有关的结论，正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，且时，满足条件的三角形有两解，则 C. 若为锐角三角形，且，则的取值范围是 D. 若，，则该三角形内切圆面积的最大值是 【答案】BCD 【解析】 【分析】由正弦定理及比例的性质判断A；由正弦定理及大边对大角，判断B；由三角形的内角和及两角和差的余弦、正弦公式化简，并利用正弦函数的单调性求得其取值范围，判断C；根据直角三角形内切圆半径的特征及辅助角公式求得内切圆半径的最大值，即可求得内切圆面积的最大值，判断D. 【详解】对于A，若，，则由正弦定理知，， 所以，所以A不正确； 对于B，若，且，且满足条件的三角形有两解，则，为锐角或钝角. 由正弦定理，得. 因为，所以，所以B正确； 对于C，若为锐角三角形，且，则， 所以 . 因为，所以，所以. 令，则， 因为在上单调递增，在上单调递减， 且， 所以，即的取值范围是，所以C正确； 对于D，若， 则由正弦定理得. 因为， ， 所以，即. 因为，所以，所以， 所以. 因为，所以. 的内切圆半径为， 当时，取得最大值，此时的内切圆半径取得最大值， 所以该三角形内切圆面积的最大值是，所以D正确 11. 如图，在正方体中，若为棱的中点，点在侧面（包括边界）上运动，且∥平面，下面结论正确的是（ ） A. 点的运动轨迹为一条线段 B. 直线与所成角可以为 C. 三棱锥的体积是定值 D. 若正方体的棱长为1，则平面与正方体的截面的面积为 【答案】ACD 【解析】 【分析】不妨设正方体的棱长为1，对于A：可证平面∥平面，进而可知，即可得结果；对于B：分析可知直线与所成角为，且，分析的长度即可；对于C：分析可知∥平面，根据平行的定值结合锥体体积公式分析判断；对于D：分析可知平面与正方体的截面为四边形，求长度即可得面积. 【详解】不妨设正方体的棱长为1， 对于选项A：取的中点，连接， 由题意可知：∥，且， 可知为平行四边形，则∥， 又因为分别为的中点，则∥，可得∥， 且平面，平面，可得∥平面， 因为分别为的中点，则∥，且， 又因为∥，且，可得∥，且， 可知为平行四边形，则∥， 且平面，平面，可得∥平面， 由，平面，可得平面∥平面， 若∥平面，可知平面， 且侧面，侧面平面，可知， 所以点的运动轨迹为一条线段，故A正确； 对于选项B：因为点的运动轨迹为线段， 则直线与所成角为， 因为侧面，侧面，则， 在中，， 又因为，则有： 当为线段的中点时，取到最小值； 当为线段的端点时，取到最大值； 则，即，可知，故B错误； 对于选项C：由选项A可知：平面∥平面，且平面， 则∥平面， 且，可知点到平面的距离为定值， 即三棱锥的高为定值，且的面积为定值， 所以三棱锥的体积是定值，故C正确； 对于选项D：取的中点，连接， 因为分别为的中点，则∥， 由选项A可知：∥，则∥， 所以平面与正方体的截面为四边形， 由题意可知：， 则等腰梯形的高， 所以截面的面积为，故D正确； 故选：ACD. 【点睛】关键点点睛：本题的关键在于证明平面∥平面，结合面面平行的性质分析点的运动轨迹，进而逐项分析求解. 三、填空题 12. 如图，是水平放置的的直观图，，，，则原的面积为_____________. 【答案】 12 【解析】 【分析】根据斜二测画法规则将直观图图形还原成一个直角三角形，再根据长度变化规则可得直角边长，进而可得面积. 【详解】根据斜二测画法规则：平行于轴的线段长度不变，平行于轴的线段长度还原后变为直观图的2倍； 且直观图中，，， 根据斜二测画法规则，还原后，则， 则的面积为 . 13. 设定义在区间上的函数的图象与的图象交于点，过点作轴的垂线，垂足为，直线与函数的图象交于点，则线段的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】依题意可得，根据同角三角函数的基本关系转化为的方程，求出，即可得到点的纵坐标，从而得解. 【详解】设点的坐标为，则可设点的坐标为，点的坐标为， 联立，消去得，整理得， 即，即， 所以或（舍去）， 即， 所以点的纵坐标， 所以线段的长为． 故答案为： 14. 某封闭的圆锥容器的轴截面为等边三角形，高为6．一个半径为1的小球在该容器内自由运动，则小球能接触到的圆锥容器内壁的最大面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】分别计算侧面与底面上小球可能接触到的容器内壁的面积，即可得解． 【详解】 由轴截面为等边三角形的高为6，易得圆锥的母线长与底面圆的直径均为． 小球的半径为1，在圆锥内壁侧面，小球接触到的区域展开后是一个扇环， 可知扇环的半径为，，扇环所在扇形的圆心角为， 所以扇环其面积为； 在圆锥底面，小球接触到的区域是一个圆，其半径为其面积为． 综上，圆锥内壁上小球能接触到的区域面积为． 故答案为： 四、解答题 15. 如图，在平面四边形中，，，，． （1）求的长； （2）求的正弦值． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用余弦定理即求； （2）利用正弦定理即得. 【小问1详解】 在中，由余弦定理可知： , 【小问2详解】 在中，由正弦定理可知：， 即： . 16. 如图，在四棱锥中，，，，E为棱的中点，平面． （1）求证：平面； （2）求证：平面平面； （3）若二面角的大小为，求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）由题意可证四边形为平行四边形，则，结合线面平行的判定定理即可证明； （2）如图，易证，根据线面垂直的性质与判定定理可得平面，结合面面垂直的判定定理即可证明； （3）根据线面垂直的性质与判定定理可得为二面角的平面角，即，作，由面面垂直的性质确定为直线与平面所成的角，即可求解. 【小问1详解】 因为且，所以四边形为平行四边形，则， 又平面平面，所以平面； 【小问2详解】 由平面平面，得， 连接，由且，所以四边形为平行四边形，又， 所以平行四边形为正方形，所以， 又，， 又平面，平面， 由平面，所以平面平面； 【小问3详解】 由平面，平面，所以，又，，平面，所以平面， 又因为平面，所以， 故为二面角的平面角，即 设，在中，，作，垂足为， 由（2）知，平面平面，平面平面平面，所以平面， 则为直线在平面上的投影，所以为直线与平面所成的角， 在中，， 所以， 在中，， 即直线与平面所成角的正弦值为. 17. 在中，角的对边分别为，且. （1）求A的值； （2）若，，当的周长最小时，求的值； （3）若，，且的面积为，求的长度. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理化简得到，利用辅助角公式得到，结合角A的范围，求出A；（2）利用余弦定理，基本不等式求出周长最小值及此时的值；（3）由面积公式得到，结合正弦定理得到，求出，由余弦定理求出答案. 【小问1详解】 由及正弦定理， 得， 因为，且， 所以，即， 因为，所以； 【小问2详解】 由余弦定理，得， 将代入，整理，得， 因为，所以的周长为， 当且仅当，即时取等号， 所以当的周长最小时，； 【小问3详解】 由的面积为，得， 所以①， 又，所以，， 由正弦定理，得，② 由①②可得， 因为，所以， 在中，由余弦定理，得， 所以. 18. 已知函数（）在一个周期内的图象如图所示，A为图象的最高点，B，C为图象与x轴的交点，且为等腰直角三角形. （1）求的值及函数的值域； （2）若，且，求的值； （3）已知函数的图象是由的图象上各点的横坐标缩短到原来的倍，然后再向左平移1个单位长度得到的，若存在，使成立，求a的取值范围. 【答案】（1），；（2）；（3）. 【解析】 【分析】（1）先将原式整理，得到，得出值域，求出点纵坐标为，推出周期，进而可求出； （2）先由题中条件，和（1）的结果，得到，求出，再由两角和的正弦公式，即可求出结果； （3）先根据函数平移，得到，根据正弦函数的性质，求出时，，令，将问题转为存在使成立，根据二次函数的性质，即可得出结果. 【详解】（1）因为 ，即的值域为； 所以点纵坐标为， 又为等腰直角三角形，所以，因此最小正周期为； 所以； （2）由（1）知， 因为，所以， 又，所以， 因此， 所以 ； （3）由题意，可得， 若，则，所以， 令，则可化为， 即， 因为函数是开口向上，对称轴为的二次函数， 所以时，函数单调递减；时，函数单调递增， 所以， 又当时，；当时，， 所以； 因为存在，使成立， 所以存在使成立， 因此只需. 【点睛】本题主要考查求正弦型函数的值域，考查由正弦型函数的周期求参数，考查三角恒等变换，二次函数的性质，以及三角函数的平移与伸缩变换，属于常考题型. 19. 在直角梯形ABCD中，，（如图1），把△ABD沿BD翻折，使得平面BCD，连接AC，M，N分别是BD和BC中点（如图2）． （1）证明：平面平面AMN； （2）记二面角A—BC—D的平面角为θ，当平面BCD⊥平面ABD时，求tanθ的值； （3）若P、Q分别为线段AB与DN上一点，使得（如图3），令PQ与BD和AN所成的角分别为和，求的取值范围． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用垂足关系和平行关系，转化为证明平面； （2）首先利用的垂线，利用垂线构造二面角的平面角，再根据几何关系求解的值； （3）利用垂足关系和平行关系，得到，即可化简，并求取值范围. 【小问1详解】 因为，且点是的中点， 所以， 因为是等腰直角三角形，，，， 则， 则，得， 因为点分别是的中点，所以，即， ，且平面， 所以平面，且平面， 所以平面平面； 【小问2详解】 因为平面平面，且平面平面， 因为，所以平面， 取的中点，连结， 因为，则，， 所以， 所以为二面角的平面角， ； 【小问3详解】 在线段取点，使得， 从而易得且，，， 另一方面，，，从而， 所以，，，平面， 所以平面，平面， 所以， 因为，， 所以， 从而， 则. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025 学年第二学期5月阶段性测试 高一年级数学学科试题 一、单选题 1. 若圆锥的高为，底面半径为，则这个圆锥的侧面积为（   ） A. B. C. D. 2. 将函数的图象向左平移个单位，得到的函数图象关于直线对称，则的可能取值为（ ） A. B. C. D. 3. 正四棱台的上、下底面边长分别为，，侧棱长为，则棱台的侧面积为（ ） A. B. C. D. 4. 设，为两个不同的平面，则的一个充分条件是（ ） A. 内有无数条直线与平行 B. ，平行于同一个平面 C. ，平行于同一条直线 D. ，垂直于同一个平面 5. 已知向量满足，且，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 6. 如图所示，三棱柱中，若、分别为，靠近点的三等分点，平面将三棱柱分成左右两部分体积为和，那么（ ） A. B. C. D. 7. 已知为锐角，且，则的值为 A. B. C. D. 8. 在△ABC中，已知，P为线段AB上的点，且的最大值为 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、多选题 9. 已知向量，，则下列叙述正确的是（ ） A. 若，则 B. 若与的夹角为锐角，则 C. 若，则 D. 与共线的单位向量 10. 在中，内角，，所对的边分别为，，，下列与有关的结论，正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，且时，满足条件的三角形有两解，则 C. 若为锐角三角形，且，则的取值范围是 D. 若，，则该三角形内切圆面积的最大值是 11. 如图，在正方体中，若为棱的中点，点在侧面（包括边界）上运动，且∥平面，下面结论正确的是（ ） A. 点的运动轨迹为一条线段 B. 直线与所成角可以为 C. 三棱锥的体积是定值 D. 若正方体的棱长为1，则平面与正方体的截面的面积为 三、填空题 12. 如图，是水平放置的的直观图，，，，则原的面积为_____________. 13. 设定义在区间上的函数的图象与的图象交于点，过点作轴的垂线，垂足为，直线与函数的图象交于点，则线段的长为______． 14. 某封闭的圆锥容器的轴截面为等边三角形，高为6．一个半径为1的小球在该容器内自由运动，则小球能接触到的圆锥容器内壁的最大面积为______． 四、解答题 15. 如图，在平面四边形中，，，，． （1）求的长； （2）求的正弦值． 16. 如图，在四棱锥中，，，，E为棱的中点，平面． （1）求证：平面； （2）求证：平面平面； （3）若二面角的大小为，求直线与平面所成角的正弦值． 17. 在中，角的对边分别为，且. （1）求A的值； （2）若，，当的周长最小时，求的值； （3）若，，且的面积为，求的长度. 18. 已知函数（）在一个周期内的图象如图所示，A为图象的最高点，B，C为图象与x轴的交点，且为等腰直角三角形. （1）求的值及函数的值域； （2）若，且，求的值； （3）已知函数的图象是由的图象上各点的横坐标缩短到原来的倍，然后再向左平移1个单位长度得到的，若存在，使成立，求a的取值范围. 19. 在直角梯形ABCD中，，（如图1），把△ABD沿BD翻折，使得平面BCD，连接AC，M，N分别是BD和BC中点（如图2）． （1）证明：平面平面AMN； （2）记二面角A—BC—D的平面角为θ，当平面BCD⊥平面ABD时，求tanθ的值； （3）若P、Q分别为线段AB与DN上一点，使得（如图3），令PQ与BD和AN所成的角分别为和，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $