精品解析：广西南宁二中学区2026年九年级中考二模考试数学试题

2026届初中毕业班5月份质量调研试题 数学 （考试时间：120分钟 满分：120分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．请在答题卡上作答，在本试卷上作答无效． 2．答题前，请认真阅读答题卡上的注意事项． 3．不能使用计算器，考试结束时，将本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷 一、选择题（共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．） 1. 下面各数是负数的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列立体图形中，主视图，左视图，俯视图都是圆的是（ ） A. B. C. D. 3. 今年广西三月三期间，南宁车站大约发送旅客万人次．数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 若长度分别为，，的三条线段能组成一个三角形，则的值可能是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，“云形”盖住的点的坐标可能是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，若的三边长，，，则的值为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，，，将线段水平向左平移个单位得到线段，若四边形为菱形，则的值为（ ） A. B. C. D. 8. 某同学参加学校举行的“十大歌手”评选活动，位评委分别给出了评分，去掉一个最高分、一个最低分后，剩下的个评分与原始的个评分相比一定不发生变化的是（ ） A. 中位数 B. 加权平均数 C. 算术平均数 D. 众数 9. 如图，木工师傅只用两枚钉子就把一根木条固定在墙上，依据的数学原理是（ ） A. 两点确定一条直线 B. 经过一点有无数条直线 C. 垂线段最短 D. 两点之间，线段最短 10. ，是关于的一元二次方程两个根，则值为（ ） A. B. C. D. 11. 中国古人用十二根长短不同的竹子做成律管，用它们分别吹出十二个标准音，称为十二律，十二根竹管的管长和频率乘积为定值，设管长为，频率为，选取组数对，在平面直角坐标系中进行描点，则下列描点正确的是（ ） A. B. C. D. 12. 《算学启蒙》是我国古代的数学著作，其中有一道题：“今有罗七尺，绫九尺，其价適等，只云绫尺价不及罗尺价三十六文．问：二色尺价各几何？”意思是：7尺罗类丝绸和9尺绫类丝绸的价格相同，每尺绫类丝绸的价格比罗类丝绸少36文，问这两类丝绸每尺的价格各是多少文？设罗类丝绸每尺的价格为x文，绫类丝绸每尺的价格为y文，则可以列出的方程组为（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分．） 13. 单项式的系数为________． 14. 如图，在月历表中任取天，恰好这一天是星期二的概率是_______． 15. 用若干张图中的直角三角形和四边形纸片密铺（不重叠、无空隙）成图，则_______°． 16. 汽车在转弯时会产生内轮差盲区，内轮差指车辆在转弯时前内轮与后内轮转弯半径之差．如图所示，为了安全，许多路口都设置如图的“右转危险区”（阴影部分）示意图．，与扇形分别相切于点，点，与扇形分别相切于点，点，后内轮转弯半径，前内轮转弯半径，．则“右转危险区”（阴影部分）的面积是_____． 三、解答题（本大题共7小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 按要求完成下列计算： （1）计算：； （2）化简：． 18. 如图，在扇形中，． （1）尺规作图：作的中点（不写作法，保留作图痕迹）； （2）在（1）的条件下，连接，，并且，交于点，若． ①求的长； ②如图，将如图中的扇形围成圆锥，，恰好重合，求圆锥的底面半径． 19. 某校开展牛顿杯物理竞赛，并对竞赛成绩开展抽样调查（成绩为百分制，为卓越奖，为优秀奖；为鼓励奖）． 【数据的收集】随机抽取名学生成绩如下： 93.5 75.5 89.5 81 46.5 95.5 82 77.5 81.5 55.5 99 70.5 86 92 95.5 52 57 65.5 68 85.5 【数据的整理】成绩频数分布表如下： 分组 组中值 划记 频数 一 正 【数据的描述】成绩频数分布直方图如下： 【数据的分析与应用】根据以上信息，回答下列问题： （1）填空： ； ；并补全成绩的频数分布直方图； （2）求本次抽样的平均数（计算平均数时，用这组数据的组中值代表该组的实际数据）； （3）若该校参加竞赛的学生共有人，估算该校获得卓越奖的人数． 20. 如图，的对角线，为的中点，连接，并延长，交的延长线于点，连接． （1）求证：； （2）求证：四边形是矩形． 21. 已知三个正整数，，满足，且，求，，． 解：，； 由，，可得， ，解得， 又，解得， 综上，的取值范围是① ， 为正整数，② ． （1）直接填空：① ；② ． （2）类比上述探究方法，求出的取值范围； （3）直接写出方程的正整数解． 22. 【研究背景】某实验室研发了一款面向复杂地形场景的巡检机器人．为避免其与障碍物发生碰撞，优化起跳性能，研究团队将机器人近似看作一点，以起跳点为坐标原点，水平向右为轴正方向，在固定起跳仰角下，机器人的跳跃高度与跳跃水平距离的关系，可用函数描述，式中为起跳速度（单位：），，是常数，轨迹系数由起跳速度的大小与仰角共同决定． 例如：以起跳时，则满足；以起跳时，则满足． 【模型研究】如图，将机器人跳跃轨迹抽象成形如的二次函数图象（，均为常数，，），该函数图象与轴交于点，取抛物线顶点，过作轴于点．机器人单次跳跃的水平距离为线段的长，跳跃最大高度为线段的长，经研究发现与存在一定的比例关系． （1）当，时，则，； （2）用含，的式子来表示，的长度，并求出的值； 【模型应用】图是研究团队利用高速摄像机记录的某次机器人连续两次跳跃的轨迹，两次跳跃均以某相同的起跳仰角起跳，每段跳跃轨迹均可用描述，两次共跳了远．在起跳点正上方处，设置有一条平行于地面的观测线．若两次跳跃过程中，均未触碰到，设两次跳跃的最大高度分别为，． （3）①求的值； ②设其第一次起跳的速度为（单位：），求的取值范围． 23. 四边形的形状特征与几何性质，和它的对角线有着密不可分的关系．在凸四边形中，若它的两条对角线互相垂直，且其中一条对角线与四边形的一边相等，则称该凸四边形为“垂等四边形”．如图，在四边形中，，，此时，四边形是“垂等四边形”． 【探究性质】 （1）如图，在垂等四边形中，，与相交于点． ①判断与的数量关系是______； ②若，，求垂等四边形的面积； 【判定推理】 （2）如图，在中，，将绕点顺时针旋转，得到，若点恰好落在的垂直平分线上，连接，，求证：四边形是垂等四边形； 【综合运用】 （3）如图，在平面直角坐标系中，点，，的坐标分别为，，，点为平面内一个动点，若以，，，为顶点的四边形是垂等四边形，且，直接写出点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026届初中毕业班5月份质量调研试题 数学 （考试时间：120分钟 满分：120分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．请在答题卡上作答，在本试卷上作答无效． 2．答题前，请认真阅读答题卡上的注意事项． 3．不能使用计算器，考试结束时，将本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷 一、选择题（共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．） 1. 下面各数是负数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据“小于0的数是负数”判断各选项即可得到答案． 【详解】解：∵ 负数的定义为小于0的数， 又∵ ，，，， ∴ 只有是负数． 2. 下列立体图形中，主视图，左视图，俯视图都是圆的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：A、圆锥的主视图、左视图是三角形，俯视图是带圆心的圆； B、圆柱的主视图、左视图是矩形，俯视图是圆； C、四面体的三视图不含圆； D、球体任意方向的视图都是圆，因此主视图、左视图、俯视图都是圆． 故选：D． 3. 今年广西三月三期间，南宁车站大约发送旅客万人次．数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据科学记数法的定义，确定和的值即可得到答案，用到的知识点为科学记数法的形式为，满足，为整数． 【详解】解：数据用科学记数法表示为． 4. 若长度分别为，，的三条线段能组成一个三角形，则的值可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用三角形两边之差小于第三边、两边之和大于第三边求出的取值范围，再结合选项判断即可． 【详解】解：长度分别为，，的三条线段能组成一个三角形， ，即， 观察选项，只有满足 ， 故选项C符合题意． 5. 如图，“云形”盖住的点的坐标可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据图案盖住的点在第二象限，第二象限的点的符号特征为，进行判断即可． 【详解】解：∵图案盖住的点在第二象限，且第二象限的点的符号特征为， ∴“云形”图案盖住的点的坐标可能是． 6. 如图，若的三边长，，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据勾股定理逆定理判断 为直角三角形，再利用锐角三角函数的定义求解即可． 【详解】解：∵ ∴ ∴ ∴ 是直角三角形，且， 在中，． 7. 如图，在中，，，将线段水平向左平移个单位得到线段，若四边形为菱形，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：∵四边形为菱形， ∴， ∴， ∴将线段水平向左平移个单位得到四边形为菱形． 8. 某同学参加学校举行的“十大歌手”评选活动，位评委分别给出了评分，去掉一个最高分、一个最低分后，剩下的个评分与原始的个评分相比一定不发生变化的是（ ） A. 中位数 B. 加权平均数 C. 算术平均数 D. 众数 【答案】A 【解析】 【分析】根据各统计量的定义判断变化情况即可求解． 【详解】解：将7个评分从小到大排序，设为， ∵原始7个数据的中位数为排序后第4个数，即，去掉最高分和最低分后，剩余5个数据排序为，其中位数为第3个数，仍为， ∴中位数一定不发生变化， 加权平均数和算术平均数的总和与数据个数都改变，因此可能发生变化， 众数可能因去掉数据后发生改变． 9. 如图，木工师傅只用两枚钉子就把一根木条固定在墙上，依据的数学原理是（ ） A. 两点确定一条直线 B. 经过一点有无数条直线 C. 垂线段最短 D. 两点之间，线段最短 【答案】A 【解析】 【分析】根据公理“两点确定一条直线”即可得出结论． 【详解】解：∵木工师傅只用两枚钉子就把一根木条固定在墙上， ∴这一操作利用了“经过两点有且只有一条直线”的性质 即两点确定一条直线． 10. ，是关于的一元二次方程两个根，则值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】直接利用一元二次方程的根与系数的关系，计算两根之积即可得到答案． 【详解】解：对于一元二次方程 ， 若方程两根为，则两根之积 ， ∵原方程为，可得， ∴ ． 11. 中国古人用十二根长短不同的竹子做成律管，用它们分别吹出十二个标准音，称为十二律，十二根竹管的管长和频率乘积为定值，设管长为，频率为，选取组数对，在平面直角坐标系中进行描点，则下列描点正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意得到，即，根据反比例函数的图象即可得到答案． 【详解】解：∵十二根竹管的管长和频率乘积为定值，设管长为x，频率为y， ∴， 即， 根据反比例函数的图象可知，只有选项D符合题意． 12. 《算学启蒙》是我国古代的数学著作，其中有一道题：“今有罗七尺，绫九尺，其价適等，只云绫尺价不及罗尺价三十六文．问：二色尺价各几何？”意思是：7尺罗类丝绸和9尺绫类丝绸的价格相同，每尺绫类丝绸的价格比罗类丝绸少36文，问这两类丝绸每尺的价格各是多少文？设罗类丝绸每尺的价格为x文，绫类丝绸每尺的价格为y文，则可以列出的方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意找出两个等量关系，即可列出对应方程组． 【详解】解：∵设罗类丝绸每尺价格为文，绫类丝绸每尺价格为文， 根据“7尺罗类丝绸和9尺绫类丝绸价格相等”，可得， 根据“每尺绫类丝绸的价格比罗类丝绸少36文”，可得， ∴所列方程组为，对应选项A． 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分．） 13. 单项式的系数为________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查单项式的系数定义，熟记定义并应用解答问题是关键．单项式中的数字因数是单项式的系数，根据定义即可得到答案． 【详解】解：单项式的系数为， 故答案为：． 14. 如图，在月历表中任取天，恰好这一天是星期二的概率是_______． 【答案】## 【解析】 【分析】首先根据月历表确定该月的总天数，然后统计出其中是星期二的天数，最后根据概率公式求解即可． 【详解】解：由图可知，该月历表中显示的日期从1号到30号，共有30天， 观察月历表可知，星期二的日期分别为2号，9号，16号，23号，30号，共有5天， 则恰好这一天是星期二的概率为． 15. 用若干张图中的直角三角形和四边形纸片密铺（不重叠、无空隙）成图，则_______°． 【答案】 【解析】 【详解】解：由图像可知，中间是由2个角，1个角和两个直角组成， ∴， 解得． 16. 汽车在转弯时会产生内轮差盲区，内轮差指车辆在转弯时前内轮与后内轮转弯半径之差．如图所示，为了安全，许多路口都设置如图的“右转危险区”（阴影部分）示意图．，与扇形分别相切于点，点，与扇形分别相切于点，点，后内轮转弯半径，前内轮转弯半径，．则“右转危险区”（阴影部分）的面积是_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据“右转危险区”的面积，求解即可． 【详解】解：延长和相交于点， ∵，与扇形分别相切于点，点， ∴，， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， 同理，四边形是正方形， “右转危险区”的面积 ． 三、解答题（本大题共7小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 按要求完成下列计算： （1）计算：； （2）化简：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. 如图，在扇形中，． （1）尺规作图：作的中点（不写作法，保留作图痕迹）； （2）在（1）的条件下，连接，，并且，交于点，若． ①求的长； ②如图，将如图中的扇形围成圆锥，，恰好重合，求圆锥的底面半径． 【答案】（1）答案见解析 （2）①；② 2 【解析】 【分析】（1）尺规作图，作的角平分线，与的交点就是点C； （2）①先求扇形的半径，再根据弧长公式计算即可；②设圆锥底面半径为r，根据圆锥底面周长等于扇形弧长，列方程计算即可． 【小问1详解】 解：如下图， 分别以A、B为圆心，以大于的长度为半径画弧，两弧交于点E，连接，射线与交于点C，点C即为所求； 【小问2详解】 ①设扇形的半径为R，则， ， ， 是的中点， ， ， ， 在中， ，即， 解得：， ； ②设圆锥底面半径为r ， ， ， 圆锥的底面半径是2． 19. 某校开展牛顿杯物理竞赛，并对竞赛成绩开展抽样调查（成绩为百分制，为卓越奖，为优秀奖；为鼓励奖）． 【数据的收集】随机抽取名学生成绩如下： 93.5 75.5 89.5 81 46.5 95.5 82 77.5 81.5 55.5 99 70.5 86 92 95.5 52 57 65.5 68 85.5 【数据的整理】成绩频数分布表如下： 分组 组中值 划记 频数 一 正 【数据的描述】成绩频数分布直方图如下： 【数据的分析与应用】根据以上信息，回答下列问题： （1）填空： ； ；并补全成绩的频数分布直方图； （2）求本次抽样的平均数（计算平均数时，用这组数据的组中值代表该组的实际数据）； （3）若该校参加竞赛的学生共有人，估算该校获得卓越奖的人数． 【答案】（1）2；6；频数分布直方图见解析 （2）77.5 （3）165 【解析】 【分析】（1）根据名学生成绩数成绩在的个数得出，数成绩在的个数得出，根据的值补全频数分布直方图； （2）各组组中值乘以频数之和算出20人总成绩，再除以20即可得平均数； （3）用300乘以20人中获卓越奖的比例估算该校获得卓越奖的人数． 【小问1详解】 解：根据名学生成绩得，； 频数分布直方图如下， 【小问2详解】 解：本次抽样的平均数：， 答：本次抽样的平均数为77.5； 【小问3详解】 解：（人）， 答：该校获得卓越奖的人数为165人． 20. 如图，的对角线，为的中点，连接，并延长，交的延长线于点，连接． （1）求证：； （2）求证：四边形是矩形． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）由得，，由E为的中点得，故； （2）由（1）得，，又，故四边形是平行四边形，由，点F在的延长线上得，故四边形是矩形． 【小问1详解】 证明：四边形是平行四边形， ， ，， E为的中点， ， 在和中， ， ； 【小问2详解】 证明：由（1）得，， 又， 四边形是平行四边形， ，点F在的延长线上， ， 四边形是矩形． 21. 已知三个正整数，，满足，且，求，，． 解：，； 由，，可得， ，解得， 又，解得， 综上，的取值范围是① ， 为正整数，② ． （1）直接填空：① ；② ． （2）类比上述探究方法，求出的取值范围； （3）直接写出方程的正整数解． 【答案】（1），2 （2）； （3），，． 【解析】 【分析】（1）根据题意填空即可； （2）类比上述探究方法，求得的取值范围是； （3）结合（1）（2）得到，据此求解即可． 【小问1详解】 解：， ； 由，， 可得， ，解得， 又， 解得， 综上，的取值范围是， 为正整数， ； 【小问2详解】 解：已知，则， ∵， ∴， ∴，即， 解得， 又∵， 解得， 结合， ∴的取值范围是； 【小问3详解】 解：由是正整数且，得， 代入，即， 解得， ∴方程的正整数解为，，． 22. 【研究背景】某实验室研发了一款面向复杂地形场景的巡检机器人．为避免其与障碍物发生碰撞，优化起跳性能，研究团队将机器人近似看作一点，以起跳点为坐标原点，水平向右为轴正方向，在固定起跳仰角下，机器人的跳跃高度与跳跃水平距离的关系，可用函数描述，式中为起跳速度（单位：），，是常数，轨迹系数由起跳速度的大小与仰角共同决定． 例如：以起跳时，则满足；以起跳时，则满足． 【模型研究】如图，将机器人跳跃轨迹抽象成形如的二次函数图象（，均为常数，，），该函数图象与轴交于点，取抛物线顶点，过作轴于点．机器人单次跳跃的水平距离为线段的长，跳跃最大高度为线段的长，经研究发现与存在一定的比例关系． （1）当，时，则，； （2）用含，的式子来表示，的长度，并求出的值； 【模型应用】图是研究团队利用高速摄像机记录的某次机器人连续两次跳跃的轨迹，两次跳跃均以某相同的起跳仰角起跳，每段跳跃轨迹均可用描述，两次共跳了远．在起跳点正上方处，设置有一条平行于地面的观测线．若两次跳跃过程中，均未触碰到，设两次跳跃的最大高度分别为，． （3）①求的值； ②设其第一次起跳的速度为（单位：），求的取值范围． 【答案】（1）6，9 （2），， （3）①；② 【解析】 【分析】（1）当，时，跳跃轨迹为抛物线，令，即可求出点A的坐标，得到的长，将抛物线解析式化为顶点式，即可得到顶点B的坐标，得到的长； （2）同（1）思路求解即可； （3）①由（2）可得，，则，，根据两次共跳了远，即可得到． ②根据两次跳跃的高度和均小于，得到，求出，由（2）可得，得到，即可求解． 【小问1详解】 解：当，时，跳跃轨迹为抛物线， 令，则，解得，， ∴， ∴， ∵抛物线， ∴顶点B的坐标为， ∴． 【小问2详解】 解：对于抛物线， 令，则，解得，， ∴， ∴， ∵抛物线， ∴顶点B的坐标为， ∴． ∴． 【小问3详解】 解：①∵每段跳跃轨迹均可用， ∴， ∵第一次跳跃距离为，最大高度为，第二次跳跃距离为，最大高度为， 由（2）可知，，， ∴，， ∵两次共跳了远，即， ∴． ②由①有， ∴， ∵两次跳跃的高度和均小于， ∴， ∴， ∵跳跃轨迹均可用， ∴由（2）可得， ∴， 解得． 23. 四边形的形状特征与几何性质，和它的对角线有着密不可分的关系．在凸四边形中，若它的两条对角线互相垂直，且其中一条对角线与四边形的一边相等，则称该凸四边形为“垂等四边形”．如图，在四边形中，，，此时，四边形是“垂等四边形”． 【探究性质】 （1）如图，在垂等四边形中，，与相交于点． ①判断与的数量关系是______； ②若，，求垂等四边形的面积； 【判定推理】 （2）如图，在中，，将绕点顺时针旋转，得到，若点恰好落在的垂直平分线上，连接，，求证：四边形是垂等四边形； 【综合运用】 （3）如图，在平面直角坐标系中，点，，的坐标分别为，，，点为平面内一个动点，若以，，，为顶点的四边形是垂等四边形，且，直接写出点的坐标． 【答案】（1）①；②24 （2）见解析 （3），， 【解析】 【分析】（1）①根据“垂等四边形”的定义，可知,，根据，可知，再结合，联立化简，得到； ②根据“垂等四边形”的定义，可知,易得，可得垂等四边形的面积； （2）连接、，先证明，结合，可得，即，因为点在的垂直平分线上，所以,所以四边形是垂等四边形； （3）根据“垂等四边形”的定义，分三种情况讨论：①，②，③，分别求出P点的坐标． 【小问1详解】 解：①四边形是“垂等四边形”， ，， ， ， ， ， 化简得． ②， ， ，， ． 【小问2详解】 证明：连接、，交于点F， 是旋转得到的， ， ， ， ， ， ， ， ， 即， 点在的垂直平分线上， ， 四边形是垂等四边形． 【小问3详解】 解：，，，， ， 设P点坐标为，分三种情况讨论： ①， 是对角线，且， 四边形是“垂等四边形”， 连接，、交于点，过点P分别作轴，轴，垂足分别为点E，点F，如下图 ， 又 得， 得，则， ， 中，， ，， ， 将代入，得， 点P的坐标为． ②， 是对角线，， 四边形是“垂等四边形”， 过点作轴，垂足为点，如下图 ， ， ， ，则， 在中，， ， 即， ， 在中，， ， 点P的坐标为． ③, 点P必然在的延长线上，即在y轴上， 过B点作线段，交y轴于点P， 如下图； 是对角线，， 四边形是“垂等四边形”， ，， ， 点P的坐标为． 综上所述，满足条件的点P有三个，坐标分别是，，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $