上海市2025-2026学年度第二学期高三年级模拟考试数学试卷

格致中学二〇二五学年度第二学期模拟考试 高三年级 数学试卷（共4页） （测试120分钟内完成，总分150分，试后交答题卷） 友情提示：昨天，你既然经历了艰苦的学习，今天，你必将赢得可喜的收获！ 祝你：诚实守信，沉着冷静，细致踏实，自信自强，去迎接胜利！ 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6每题4分，第7-12每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果． 1．已知集合，，若，则实数__________． 2．若复数满足（为虚数单位），则__________． 3．当时，的最大值为__________． 4．若是直线的一个法向量，则直线的倾斜角大小为__________． 5．小明连续记录了7天自己每天花在课外阅读上的时间（单位：min），分别为70，42，54，90，55，47，58，则这组数据的第60百分位数是__________． 6．二项式的展开式中常数项为第__________项． 7．已知数列是以3为公差的等差数列，是其前项和，若是数列中的唯一最小项，则数列的首项的取值范围是__________． 8．小红和小梅大学毕业后，决定从包括甲学校在内的（为正整数）所学校中随机选择一所学校去支教，设事件为“两人至少有一人选择甲学校”，事件为“两人选择的学校不同”，若，则__________． 9．设抛物线上的一点到此抛物线的准线的距离为，到直线的距离为，则的最小值为__________． 10．若在上恰有5个零点，且在上是严格增函数，则正实数的取值范围为__________． 11．已知平面向量，，满足，且对任意实数，有，则与夹角为，则的最小值为__________． 12．如图是一种“四脚帐篷”的示意图，其中半圆和半圆的直径均为2.6米，平面和平面均垂直于平面，用任意平行于帐篷底面的平面截帐篷，假设所得截面均为正方形，则该帐篷围成几何体的体积为__________立方米．（精确到0.1立方米） 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑． 13．下列函数为奇函数的是（ ） A． B． C． D． 14．已知，为实数，则“”是“成立”的（ ）条件． A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 15．已知无穷等比数列的公比为，前项和为，且，下列条件中，使得（为正整数）恒成立的是（ ） A．， B．， C．， D．， 16．已知定义在上的函数．对任意区间和，若存在开区间，使得，且对任意，都有成立，则称为在上的一个“点”．有以下两个命题：①若是在区间上的最大值，则是在区间上的一个“点”；②若对任意，都是在区间上的一个“点”，则在上严格增．那么（ ） A．①、②都是真命题 B．①、②都是假命题 C．①是真命题，②是假命题 D．①是假命题，②是真命题 三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤． 17．（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分） 已知中，角，，的对边分别为，，，且． （1）求的大小； （2）若为锐角三角形，求的取值范围． 18．（本题满分14分，第1小题5分，第2小题9分） 如图，正方体的棱长为2，为的中点．点在线段（不包括端点）上． （1）求证：平面； （2）若，求直线与平面所成角的大小． 19．（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分） 某企业生产的智能机器人需要用到一种高精度零件，现收到一批零件共有10个，其中不合格的零件占总数的，从中随机抽取3个零件，设抽到的不合格的零件数为． （1）求的值．小明的求解过程如下：因为不合格的零件占总数的，所以，故．请问以上解答过程是否正确？如果正确，请说明解题依据；如果不正确，请写出正确的解答过程； （2）对抽取的3个零件进行检测，每个零件的检测费用为10元，每发现1个不合格品，需额外支出25元的处理费用．设本次检测的总费用为元，求随机变量的分布与数学期望． 20．（本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分） 已知双曲线：的渐近线方程为，焦距为4，直线：与双曲线交于不同的两点，（异于双曲线的顶点）． （1）求双曲线的方程； （2）为双曲线的右顶点，若以为直径的圆过点，试判断直线是否过定点？若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，请说明理由； （3）若，在双曲线的右支上，且线段的垂直平分线过点，求的取值范围． 21．（本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分） 设函数，其中，定义：对于给定的一组有序实数，若对任意，都有，则称为函数的“魅力数组”． （1）若，判断是否为函数的“魅力数组”，并说明理由； （2）已知为的导函数，讨论函数的单调性； （3）若对任意，都是函数的“魅力数组”，求实数的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $