精品解析：2026年山东省济南市市中区数学二模试卷

2026年九年级学业质量检测 数学试题 第I卷（选择题 共40分） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．每小题只有一个选项符合题目要求． 1. 在，0，，1中，最小的数是（ ） A. B. 0 C. D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】利用有理数大小比较的基本规则：正数大于0，0大于负数，两个负数比较，绝对值大的数更小，即可求解． 【详解】解：∵，，且， ∴， ∴， 故最小的数是． 2. 下列几何体中，左视图和俯视图相同的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查几何体的三视图，具体为左视图（从几何体左面看得到的视图）和俯视图（从几何体上面看得到的视图）的形状判断．解题关键在于准确把握从不同方向观察几何体时所呈现的形状，明确左视图和俯视图的观察角度及对应的图形特征．分别分析每个选项中几何体的左视图和俯视图的形状，然后对比它们是否相同，从而得出答案． 【详解】选项A：圆柱的左视图是一个矩形．圆柱的俯视图是一个圆．左视图和俯视图形状不同，不符合题意． 选项B：球无论从哪个方向看，得到的视图都是圆．所以球的左视图是圆，俯视图也是圆．左视图和俯视图形状相同，符合题意． 选项C：三棱柱的左视图是一个矩形（中间有一条竖直的虚线，用于表示三棱柱内部的棱）．从三棱柱的左面看，看到的是三棱柱的一个侧面，其形状为矩形．俯视图为三角形，左视图和俯视图形状不同． 不符合题意． 选项D：四棱锥的左视图是一个三角形，四棱锥的俯视图是一个四边形（内部有顶点与各边中点相连的线段，用于表示四棱锥的顶点和底面的连接关系）．不符合题意． 故选：B． 3. 根据国家统计局的数据，2025年11月中国生产芯片约 颗，彰显了中国芯片产业的强大实力．数据用科学记数法可以表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：． 4. 如图，，，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴． 5. 下列各式计算正确的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】试题分析：根据幂的运算性质可知，A．不能合并，故错误；B．，故错误；C．，故错误；D．，故正确． 故选D． 考点：幂的运算性质． 6. 实数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，下列式子正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据数轴确定a、b、c的大小，然后利用绝对值的性质和不等式的基本性质，对每个选项逐一验证． 【详解】解：由数轴上可知：在和之间，即；在和之间，即；在和之间，即； A．∵，， ∴， ∴，故本选项正确，符合题意； B．不等式两边同时减去a，得到：，即． 但从数轴上看，矛盾，故本选项错误，不符合题意； C． ∵ ，不等式两边同时除以c，不等号方向不变，得到：． 但从数轴上看，矛盾，故本选项错误，不符合题意； D．∵ ，不等式两边同时除以a，不等号方向改变，得到：． 但从数轴上看，矛盾，故本选项错误，不符合题意； 7. 如图，在正五边形中，连接对角线，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意得到，，根据三角形内角和定理得到，同理得到，计算即可得到答案． 【详解】解：五边形是正五边形， ，， ， ， 同理得到， ． 8. 不透明的盒子中有三张卡片，上面分别印有2026年米兰-科尔蒂纳冬奥会的金、银、铜奖牌图案，除图案外三张卡片无其他差别．从中随机摸出一张卡片，记录其图案，放回并摇匀，再从中随机摸出一张卡片，记录其图案，那么两次记录的图案是相同奖牌图案的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】画树状图得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可． 【详解】解：画树状图如下： 由树状图知，共有9种等可能结果，其中两次记录的图案是相同奖牌图案的情况有3种， 所以两次记录的图案是相同奖牌图案的概率是． 9. 如图，在中，，分别以点和为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点和，作直线交于点，再以点为圆心，以的长为半径作弧交直线于点，连接交于点，连接．以下结论不一定正确的是（ ） A. B. C. D. 平分 【答案】B 【解析】 【分析】连接，可得是等边三角形，然后证明，再由四点共圆判断各选项即可． 【详解】解：连接， 由作图可得，垂直平分， ∴ ∴是等边三角形， ∴，故A正确； ∵ ∴ ∴ ∴ ∴，故C正确； ∵ ∴四点共圆， ∴ ∴ ∴平分，故D正确， 对于B，现有条件不足以证明，故B不一定成立． 10. 在平面直角坐标系中，已知二次函数，将其图象在直线左侧部分沿轴翻折，其余部分保持不变，组成图形，，是图形上两点，若对于，，都有，则的取值范围是（ ） A. 或 B. C. D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】先求出翻折后图形G的分段解析式，计算对应的，再根据所在区间的位置分情况讨论，求出区间内的最大值，当时，一定成立；当时，不一定成立；当时，可使一定成立；当时，一定成立；综合四种情况即可得出结果． 【详解】解：∵二次函数，将其图象在直线左侧部分沿轴翻折，其余部分保持不变，组成图形， ∴当时，图形的解析式为；当时，图形的解析式为，即图形的解析式为，其图像如图1所示： ∵二次函数， ∴二次函数关于直线对称， 下面我们来结合图象对的范围进行分类讨论： ∵， ∴当，即时，此时，都在二次函数的图象上，如图1所示， ∴将代入，得：， ∵当时，；当时，； ∴当时，，一定小于与中的较大值， ∵当时，；， 即当时，；， ∴当时，，即符合题意； 当，即时，此时，，点在二次函数的图象上，如图2所示， 此时，当时，取最大值为， 而当，，即此时对于，，不都有， ∴不符合题意； 当，即时，此时点在图象上， ∵， ∴点在二次函数的图象上，如图3所示， 此时，， 若对于，，都有，即， ∴，解得：或（舍去）， ∵， ∴符合题意； 当，即时，此时点，都在图象上，如图4所示： 此时在图象上随着的增大而增大， ∵， ∴， ∴符合题意； 综上：或． 第II卷（非选择题 共110分） 二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分．直接填写答案． 11. 结论开放若二次根式在实数范围内有意义，请写出一个符合要求的x的值：_________． 【答案】3（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件（被开方数为非负数），熟练掌握该条件并据此列不等式求解是解题的关键． 要使二次根式在实数范围内有意义，被开方数需是非负数，据此列出不等式求解，再取一个满足条件的值即可． 【详解】解：∵二次根式在实数范围内有意义， 则被开方数 解不等式， 得， 那么取，满足 故答案为：（答案不唯一）． 12. 在不透明的盒子中装有一个黑球，两个白球，三个红球，四个绿球，这十个球除颜色外完全相同．那么从中随机摸出一个球是绿球的概率为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据简单事件的概率公式计算即可得． 【详解】解：因为在不透明的盒子中，总共有10个球，其中有四个绿球，并且这十个球除颜色外，完全相同， 所以从中随机摸出一个球是绿球的概率为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了求概率，熟练掌握概率公式是解题关键． 13. 将一把直尺和一个含角的直角三角板按如图方式放置．若，那么的度数是__________． 【答案】##度 【解析】 【分析】根据直角三角形两锐角互余的性质得出，根据平行线的性质结合对顶角相等得出，进而可得出答案． 【详解】解：如图所示， ∵将一把直尺和一个含角的直角三角板按如图方式放置， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 14. 共享电动车是一种新理念下的交通工具，现有，两种品牌的共享电动车，图象反映了收费（元）与骑行时间（分钟）的关系，其中品牌共享电动车的收费方式对应，品牌共享电动车的收费方式对应．当骑行时间为25分钟时，品牌共享电动车比品牌共享电动车收费少__________元． 【答案】1 【解析】 【分析】利用待定系数法，根据图象上的关键点坐标分别求解出和的函数表达式，需要注意的是是分段函数； 求解出当骑行时间为25分钟时，对应的和，再求解价格差． 【详解】解：是分段函数，由图可知， 当时，， 当时，设， 将，代入中， 可得， 解得， 当时，设， 所以； 是正比例函数图象，设， 将代入中， 可得， 解得， 所以的解析式为； 当时，， ， ． 15. 如图，在矩形纸片中，，是上一点，将纸片沿过点的直线翻折，使点落在点处，点恰好落在延长线上的点处，折痕交于点．若，，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】过点F作于点G，连接，设，，由矩形的性质和折叠的性质可知 ，，，，，由勾股定理可得 ，，则有 ， ，在中，由勾股定理可得，即 ，同理在中可得 ，即 ，则有 ，最后求解即可． 【详解】如图，过点F作于点G，连接， 在矩形纸片中， ，，， 设，， 由折叠可知：，， 在中， ， 在中，，有， 即 ， ， ， ， ， 在中，， 即， ， 在中，， 即 ， ， ， 解得：， 即． 三、解答题：本题共10小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】先运算算术平方根，零次幂，负整数指数幂，化简特殊角的三角函数值以及绝对值，再运算乘法，最后运算加减法，即可作答． 【详解】解： 原式 ． 17. 解不等式组：，并写出所有正整数解． 【答案】不等式组的解集为，正整数解为 【解析】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 先分别解两个不等式，再求不等式组的解集，最后找出正整数解. 【详解】解： 解①得：； 解②得： ∴不等式组的解集为 ∴所有正整数解为 ． 18. 如图，在菱形ABCD中，E、F分别在边BC、CD上，且CE＝CF， 求证：∠BAE＝∠DAF． 【答案】见解析 【解析】 【分析】只需要证明△ABE≌△ADF，即可得到答案. 【详解】证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝AD＝BC＝CD，∠B＝∠D， ∵CE＝CF， ∴BC－CE＝CD－CF， ∴BE＝DF， ∴△ABE≌△ADF（SAS）， ∴∠BAE＝∠DAF， 【点睛】本题主要考查了菱形的性质，全等三角形的性质与判定，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解. 19. 数学兴趣小组借助无人机开展实物测量的社会实践活动．如图所示，兴趣小组令一架无人机从河岸边的处，沿仰角方向飞行130米到达点处，然后无人机沿水平线方向继续飞行30米至处，测得此时河对岸处的俯角为．线段的长为无人机距地面的铅直高度，点，，在同一条直线上． （1）求无人机的飞行高度； （2）求的长．（结果精确到．参考数据：，，，，，） 【答案】（1）无人机的飞行高度为 （2）的长为 【解析】 【分析】（1）由题意可得，再代入数据计算即可； （2）过点作，垂足为，先求出，再在中，根据，求得的长，最后再求解即可． 【小问1详解】 解：， ， 在中，， ， ； 答：无人机的飞行高度为； 【小问2详解】 解：过点作于点， ， ， ，， ， ∴四边形为矩形， ，， 在中，，， ， 在中，，， ， ， 答：的长为． 20. 如图，是四边形的外接圆，点在上，过点作的切线交延长线于点，对角线，交于点，是的直径． （1）求证： （2）若，，求直径的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接，根据切线的性质得出，由题可知是的直径，得出，进而根据等角的余角相等以及同弧所对的圆周角相等，即可得证； （2）先证明得出 ，求得，设，，根据勾股定理求得，即可求解． 【小问1详解】 解：如图，连接， 为的切线， ， ， 由题可知是的直径 ， ， ， ， ， ， ． 【小问2详解】 连接 是的直径， ， ， ， ， ． 在中， 设， ，即 解得 ． 21. 某校举行校园体育文化节，体育社团为了解学生日常体育锻炼的情况开展了统计活动． 【收集数据】体育社团设计了如下调查问卷，在全校随机抽取部分学生进行调查，收集得到“问题1”和“问题2”的数据．（被调查学生两个问题全部按要求作答并提交） 调查问卷 问题1：你日常体育锻炼的主要项目是（）．（单选） A．跑步类B．球类C．健身操类D．其他 问题2：你每周体育锻炼的时间是_______分钟． 【整理和表示数据】 第一步：将“问题1”的数据进行整理后，绘制成如下的人数统计表和扇形统计图； 第二步：将“问题2”中每周体育锻炼的时间（分钟）整理分成4组：①，②，③，④，并绘制成如下的频数分布直方图． 学生体育锻炼项目的人数统计表和扇形统计图 项目 人数 A 30 B m C 15 D 3 （1）求随机抽取的学生人数； （2）统计表中的________，扇形统计图中D项目所对应扇形的圆心角为_______度； （3）补全频数分布直方图； 【分析数据，解答问题】 （4）已知“”这组的数据是：60，61，63，63，64，65，65，65，70，70，75，75，75，75，75，80，80，80，80，85．被调查的全部学生每周体育锻炼时间的中位数为________分钟； （5）若该校共有4200名学生，请你估计该校全体学生中每周体育锻炼时间不少于60分钟的学生人数． 【答案】（1）60人 （2）12，18 （3）图见解析 （4）62 （5）估计该校全体学生中每周体育锻炼时间不少于60分钟的学生人数是2240人 【解析】 【分析】（1）由B项目对应人数除以占比即可解答； （2）由D项目人数除以总数求出占比，再乘以即可； （3）用总人数减去其余三组的人数求出在这一组的人数，即可补全频数分布直方图； （4）由中位数的定义求解； （5）用样本估计总体的方法解即可． 【小问1详解】 解：∵健身操类占比为，对应人数为15人． ∴总人数人． 【小问2详解】 解：∵总人数为60，，，， ∴ ∵D项目人数为3，占比为， ∴图中D项目所对应扇形的圆心角为：； 【小问3详解】 解：∵总人数为60（人）， ∴每周体育锻炼的时间在这一组的人数为：， ∴补全频数分布直方图为： 【小问4详解】 解：∵在和人数分别为12，16，而总人数为人，则中位数为第30、31个数据的平均数， 第30、31个数据都落在这一组，该组数据按顺序排列为： 60，61，63，63，64，65，65，65，70，70，75，75，75，75，75，80，80，80，80，85（共20个） ∴第30个数据是这组中的第个，即61； 第31个数据是这组中的第3个，即63； ∴中位数， 答：中位数为62分钟． 【小问5详解】 解：∵不少于60分钟的人数：人，占比为． ∴（人） 答：估计该校全体学生中每周体育锻炼时间不少于60分钟的学生人数是2240人． 22. 为构建蓝色粮仓，某沿海新区启动“深蓝计划”，在远海部署两种新型智能养殖单元：A型深海网箱与B型水下机器人．已知用180万元购买A型网箱的数量与用300万元购买B型机器人的数量相等，且B型机器人的单价比A型网箱的单价多40万元． （1）求A型网箱和B型机器人的单价； （2）若该海域计划共采购A，B两种单元共20个（两种单元均需采购），且采购B型机器人的数量不少于A型网箱数量的，则采购A单元多少个时，可使投资总额最少？最少投资总额为多少万元？ 【答案】（1）A型网箱的单价是60万元，B型机器人的单价是100万元 （2）采购A网箱15个投资总额最少，最少投资总额为1400万元 【解析】 【分析】（1）先设A型网箱单价，结合价格差表示出B型机器人单价，依据花费金额÷单价=数量，利用两种器材购买数量相等列出分式方程，解方程并检验，求出两种器材单价即可． （2）先设购进A型网箱数量，表示出B型数量，根据数量之间不等关系列出一元一次不等式，求出自变量取值范围；再根据总价公式列出总投资的一次函数关系式，利用一次函数增减性，确定自变量取值，求出最少投资金额． 【小问1详解】 解：设型网箱的单价是万元，则型机器人的单价是万元 由题意得：， 解得：， 经检验是原方程的根，且符合题意， ， 答：型网箱的单价是60万元，型机器人的单价是100万元． 【小问2详解】 设购买型网箱个，则购买型机器人个， ∵两种单元均需采购， ∴且， 故m的取值范围为的整数， ∵采购B型机器人的数量不少于A型网箱数量的， ∴， 解得：， 综上m的取值范围为 的整数， 设投资总额为万元， 由题意得： ， ， 随的增大而减小， ∵m为正整数， ∴当，有最小值， 此时 （万元）， 答：采购网箱15个时总投资总额最少，最少投资总额为1400万元． 23. 已知反比例函数的图象与正比例函数的图象交于点，一次函数的图象经过点，交轴于点，交轴于点．为反比例函数图象上点右侧一动点，连接，将沿着的方向平移，的对应点为，的对应点为，连接． （1）求，的值； （2）如图1，若四边形的面积为6，求坐标； （3）如图2，连接，若，求的坐标． 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先将点A坐标代入正比例函数求出a，得到A点坐标；再将A点坐标分别代入反比例函数和一次函数，即可求解k和m的值； （2）由平移性质可知四边形是平行四边形，所以其面积等于以为底、对应高为参数的平行四边形面积，或者用坐标割补法表示面积；结合P在反比例函数上的坐标关系，联立方程求解P点坐标； （3）根据平移的坐标变换规律，用P点坐标表示出Q点坐标；先求出C点坐标，结合直线的斜率，构造所在的直角三角形，利用建立斜率关系或边长比例方程，联立Q点坐标满足的平移关系求解Q点坐标． 【小问1详解】 解：（1）∵正比例函数经过点， ∴， ∴点， ∵反比例函数经过点， ∴， ∵一次函数经过点， ∴， ∴． 【小问2详解】 ∵沿方向平移得到， ∴且， ∴四边形为平行四边形， 连接， ∵平行四边形为面积为6， ∴的面积为3， ∴， ∵一次函数， ∴， 设， 则 ， 解得， ∴． 【小问3详解】 过点作，交的延长线于点， 过点作轴的平行线，过点和点，分别作，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵一次函数， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴解析式：， 设， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∵在反比例函数上， ∴， 解得，（舍去） ∴． 【点睛】本题考查了函数图象上点的坐标特征、正比例函数、反比例函数、一次函数的性质与解析式求解、平移的性质、平行四边形的面积计算等知识点，本题掌握函数图像与性质是解题的关键． 24. 在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，，与轴交于点．直线经过点，与轴交于点． （1）求抛物线的表达式； （2）如图1，为直线与抛物线对称轴在第一象限的交点，连接，，，若是锐角三角形，求的取值范围； （3）如图2，若，点是抛物线第四象限图象上一点，连接并延长，交直线与点，连接，，求面积的最大值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解抛物线的表达式。将已知点和B的坐标代入抛物线方程中，得到关于、的二元一次方程组，解方程组即可求得和的值，从而确定抛物线的解析式； （2）通过勾股定理的逆定理判定三角形形状。首先根据直线过点确定与的关系，结合抛物线对称轴方程求出交点的坐标；然后计算线段、、的平方值；最后利用“锐角三角形中任意两边的平方和大于第三边的平方”这一性质，通过分类讨论排除直角情况，建立关于的不等式组求解取值范围； （3）用参数法求解三角形面积最值，设出第四象限内点的坐标参数，利用平行线性质或解析式求出相关辅助点（如与的交点）的坐标；将的面积表示为关于该参数的二次函数；最后通过配方或顶点公式求出二次函数的最大值，即为三角形面积的最大值． 【小问1详解】 过，； ，解得； ∴抛物线的表达式． 【小问2详解】 ∵直线过点， ， ， 抛物线的对称轴为直线 ， ∵点和， ，，， 若是直角三角形，则只能或 若，则，解得 若，则，解得 是锐角三角形，∴综合得 ． 【小问3详解】 连接，由点和，则直线的解析式为， 过点作轴，交于点， 设点的坐标为， ∴点的坐标为， ， ， ∴当时，的面积最大，最大值为， ， ∴直线的解析式为， ， 到的距离到的距离（或到的距离） ，为定值， 面积的最大值为． 25. 在中，，，，在中，，且，连接，． 【初步感知】 （1）如图1，判断线段与的数量关系并给出证明； 【深入探究】 （2）如图2，点在在内部，若，，共线，且，求线段的长； （3）如图3，点在在内部，，过点作于点，点为线段上一点，且，连接，当的面积取最大值时，求的值． 【答案】（1），证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）观察图形可知，和可以分别放在和中，然后结合已知条件证明这两个三角形相似即可得出与的数量关系； （2）首先在第（1）问的基础上，利用对应角相等证明，然后在中，结合已知条件用勾股定理列方程即可求解； （3）由于的底边为定值，因此需确定边上的高的最大值，也就是要确定点P的运动轨迹，然后结合已知条件，通过构造与相似的三角形来确定点P的运动轨迹，进而求解． 【小问1详解】 解：． 证明：∵如图，在中，，， ． ， ， ． ， ， ， ， ，即； 【小问2详解】 解：如图，由（1）得，， ． 又 ， ． ，，A、E、D三点共线， ． ∵在中，，， 由勾股定理得， ∴在中，， ， ； 【小问3详解】 解：如图，过点作交于点， ． ， ， ． ， ， ． ， ∴点在以为直径的圆周上运动（一段圆弧），记圆心为，半径 ， 当时，取最大值． ， ， 所以此时． 【点睛】本题围绕“手拉手模型”综合考查了相似三角形的性质和判断、勾股定理及圆的有关知识．熟悉常见的一些基本几何结构，能充分结合问题之间的内在联系是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年九年级学业质量检测 数学试题 第I卷（选择题 共40分） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．每小题只有一个选项符合题目要求． 1. 在，0，，1中，最小的数是（ ） A. B. 0 C. D. 1 2. 下列几何体中，左视图和俯视图相同的是（ ） A. B. C. D. 3. 根据国家统计局的数据，2025年11月中国生产芯片约 颗，彰显了中国芯片产业的强大实力．数据用科学记数法可以表示为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，，，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 5. 下列各式计算正确的是（ ）． A. B. C. D. 6. 实数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，下列式子正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在正五边形中，连接对角线，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 8. 不透明的盒子中有三张卡片，上面分别印有2026年米兰-科尔蒂纳冬奥会的金、银、铜奖牌图案，除图案外三张卡片无其他差别．从中随机摸出一张卡片，记录其图案，放回并摇匀，再从中随机摸出一张卡片，记录其图案，那么两次记录的图案是相同奖牌图案的概率是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，，分别以点和为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点和，作直线交于点，再以点为圆心，以的长为半径作弧交直线于点，连接交于点，连接．以下结论不一定正确的是（ ） A. B. C. D. 平分 10. 在平面直角坐标系中，已知二次函数，将其图象在直线左侧部分沿轴翻折，其余部分保持不变，组成图形，，是图形上两点，若对于，，都有，则的取值范围是（ ） A. 或 B. C. D. 或 第II卷（非选择题 共110分） 二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分．直接填写答案． 11. 结论开放若二次根式在实数范围内有意义，请写出一个符合要求的x的值：_________． 12. 在不透明的盒子中装有一个黑球，两个白球，三个红球，四个绿球，这十个球除颜色外完全相同．那么从中随机摸出一个球是绿球的概率为________． 13. 将一把直尺和一个含角的直角三角板按如图方式放置．若，那么的度数是__________． 14. 共享电动车是一种新理念下的交通工具，现有，两种品牌的共享电动车，图象反映了收费（元）与骑行时间（分钟）的关系，其中品牌共享电动车的收费方式对应，品牌共享电动车的收费方式对应．当骑行时间为25分钟时，品牌共享电动车比品牌共享电动车收费少__________元． 15. 如图，在矩形纸片中，，是上一点，将纸片沿过点的直线翻折，使点落在点处，点恰好落在延长线上的点处，折痕交于点．若，，则__________． 三、解答题：本题共10小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16. 计算：． 17. 解不等式组：，并写出所有正整数解． 18. 如图，在菱形ABCD中，E、F分别在边BC、CD上，且CE＝CF， 求证：∠BAE＝∠DAF． 19. 数学兴趣小组借助无人机开展实物测量的社会实践活动．如图所示，兴趣小组令一架无人机从河岸边的处，沿仰角方向飞行130米到达点处，然后无人机沿水平线方向继续飞行30米至处，测得此时河对岸处的俯角为．线段的长为无人机距地面的铅直高度，点，，在同一条直线上． （1）求无人机的飞行高度； （2）求的长．（结果精确到．参考数据：，，，，，） 20. 如图，是四边形的外接圆，点在上，过点作的切线交延长线于点，对角线，交于点，是的直径． （1）求证： （2）若，，求直径的长． 21. 某校举行校园体育文化节，体育社团为了解学生日常体育锻炼的情况开展了统计活动． 【收集数据】体育社团设计了如下调查问卷，在全校随机抽取部分学生进行调查，收集得到“问题1”和“问题2”的数据．（被调查学生两个问题全部按要求作答并提交） 调查问卷 问题1：你日常体育锻炼的主要项目是（）．（单选） A．跑步类B．球类C．健身操类D．其他 问题2：你每周体育锻炼的时间是_______分钟． 【整理和表示数据】 第一步：将“问题1”的数据进行整理后，绘制成如下的人数统计表和扇形统计图； 第二步：将“问题2”中每周体育锻炼的时间（分钟）整理分成4组：①，②，③，④，并绘制成如下的频数分布直方图． 学生体育锻炼项目的人数统计表和扇形统计图 项目 人数 A 30 B m C 15 D 3 （1）求随机抽取的学生人数； （2）统计表中的________，扇形统计图中D项目所对应扇形的圆心角为_______度； （3）补全频数分布直方图； 【分析数据，解答问题】 （4）已知“”这组的数据是：60，61，63，63，64，65，65，65，70，70，75，75，75，75，75，80，80，80，80，85．被调查的全部学生每周体育锻炼时间的中位数为________分钟； （5）若该校共有4200名学生，请你估计该校全体学生中每周体育锻炼时间不少于60分钟的学生人数． 22. 为构建蓝色粮仓，某沿海新区启动“深蓝计划”，在远海部署两种新型智能养殖单元：A型深海网箱与B型水下机器人．已知用180万元购买A型网箱的数量与用300万元购买B型机器人的数量相等，且B型机器人的单价比A型网箱的单价多40万元． （1）求A型网箱和B型机器人的单价； （2）若该海域计划共采购A，B两种单元共20个（两种单元均需采购），且采购B型机器人的数量不少于A型网箱数量的，则采购A单元多少个时，可使投资总额最少？最少投资总额为多少万元？ 23. 已知反比例函数的图象与正比例函数的图象交于点，一次函数的图象经过点，交轴于点，交轴于点．为反比例函数图象上点右侧一动点，连接，将沿着的方向平移，的对应点为，的对应点为，连接． （1）求，的值； （2）如图1，若四边形的面积为6，求坐标； （3）如图2，连接，若，求的坐标． 24. 在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，，与轴交于点．直线经过点，与轴交于点． （1）求抛物线的表达式； （2）如图1，为直线与抛物线对称轴在第一象限的交点，连接，，，若是锐角三角形，求的取值范围； （3）如图2，若，点是抛物线第四象限图象上一点，连接并延长，交直线与点，连接，，求面积的最大值． 25. 在中，，，，在中，，且，连接，． 【初步感知】 （1）如图1，判断线段与的数量关系并给出证明； 【深入探究】 （2）如图2，点在在内部，若，，共线，且，求线段的长； （3）如图3，点在在内部，，过点作于点，点为线段上一点，且，连接，当的面积取最大值时，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $