4.3.2.2余角和补角（课件）-2026-2027学年湘教版数学七年级上册

该初中数学课件聚焦角的度量计算与余角补角，先通过度分秒60进制换算、角度加减运算夯实基础，再以长方形纸片折叠情境导入余角补角概念，构建从基础运算到性质应用的知识支架。 其亮点在于以运算能力培养为核心，设计换算“满分模板”和“核心口诀”规范步骤，结合几何语言推导余角补角性质培养推理意识，融入中考题实例（如三角尺摆放、量角器测量）强化应用意识。学生能提升解题规范性与逻辑思维，教师可直接使用分层练习与系统总结提升教学效率。

湘教版数学7年级上册培优精做课件 授课教师： . 班 级： 7年级（ ）班 . 时 间： . 2026年5月24日 4.3.2.2余角和补角 第4章 图形的认识 湘教版七年级上册4.3.2.1 角的度量与计算 专项复习 一、本节核心考点 本节是角度计算的核心基础，必考内容：度、分、秒60进制换算、角度加减运算、单度与度分秒互化，掌握几何角度计算规范格式，是后续角平分线、余角补角、几何综合计算的必备基础。 二、角度单位与进制（唯一60进制，必考） 1. 角度三级单位 度（°）、分（′）、秒（″） 进制规则：60进制（时间同款，区别100进制） $$1^\circ=60'$$ $$1'=60''$$ $$1^\circ=3600''$$ 2. 单位换算两大方向 ① 大单位换小单位：乘60（细化） 例：把度换成分、分换成秒，数值变大。 ② 小单位换大单位：除以60（合并） 例：把秒换成分、分换成度，数值变小。 三、四类核心换算题型（满分模板） 1. 度 → 度、分（整数度拆分） 方法：整数部分保留度，小数部分×60化成分。 示例：$$2.5^\circ=2^\circ+0.5\times60'=2^\circ30'$$ 2. 度、分 → 度（合并成单度） 方法：分÷60化为度，和原有度数相加。 示例：$$3^\circ12'=3^\circ+\left(\frac{12}{60}\right)^\circ=3.2^\circ$$ 3. 度、分、秒精细化拆分 小数度先化分，分的小数部分再化秒。 示例：$$1.25^\circ=1^\circ15'$$，$$1.22^\circ=1^\circ13'12''$$ 4. 秒、分进阶合并 从最小单位开始逐级除以60向上合并。 四、角度加减计算法则（考试重点、易错重灾区） 1. 加法规则 度加度、分加分、秒加秒，满60进1。 秒满60进分为1，分满60进度为1。 2. 减法规则 度减度、分减分、秒减秒，不够减向前借1。 借1°=60′，借1′=60″，借位后再计算。 3. 计算核心口诀 同级对齐再运算，加法满六进一，减法不够借六。 五、标准例题（满分步骤） 例题1：单位换算 将$$4.3^\circ$$化为度分形式 解：$$4.3^\circ=4^\circ+0.3^\circ$$ $$0.3\times60'=18'$$ ∴ $$4.3^\circ=4^\circ18'$$ 例题2：角度加法 计算：$$23^\circ15'+45^\circ50'$$ 解：原式$$=(23^\circ+45^\circ)+(15'+50')$$ $$=68^\circ+65'$$ $$=68^\circ+1^\circ5'=69^\circ5'$$ 例题3：角度减法（借位计算） 计算：$$90^\circ-32^\circ20'$$ 解：把$$90^\circ$$变形为$$89^\circ60'$$ 原式$$=89^\circ60'-32^\circ20'=57^\circ40'$$ 六、高频易错点 1. 误用100进制换算，牢记角度是60进制，不是100进制； 2. 减法不借位、借位后数值计算错误； 3. 加法满60不进位，导致结果错误； 4. 度分秒书写混乱，不同级单位不对齐计算； 5. 小数度换算时分秒遗漏小数部分。 七、基础填空题（单位换算专项） 1. $$1^\circ=$$______$$'$$，$$1'=$$______$$''$$。 2. $$2.2^\circ=$$______$$^\circ$$______$$'$$。 3. $$30^\circ18'=$$______$$^\circ$$。 4. $$1.5^\circ=$$______$$'$$。 5. $$45'=$$______$$^\circ$$。 八、计算题（加减运算专项） 1. $$32^\circ25'+47^\circ35'$$ 2. $$85^\circ10'-36^\circ40'$$ 3. $$90^\circ-56^\circ18'$$ 4. $$180^\circ-120^\circ30'15''$$ 九、参考答案与详细解析 1. 填空题答案 1. 60、60 2. 2、12 解析：$$0.2\times60=12'$$ 3. 30.3 解析：$$18\div60=0.3^\circ$$ 4. 90 5. 0.75 2. 计算题解答 1. 解： 原式$$=79^\circ60'=80^\circ$$ 2. 解： 原式$$=84^\circ70'-36^\circ40'=48^\circ30'$$ 3. 解： 原式$$=89^\circ60'-56^\circ18'=33^\circ42'$$ 4. 解： 原式$$=179^\circ59'60''-120^\circ30'15''=59^\circ29'45''$$ 十、本节满分口诀 角度单位六十进，度分秒级要分清； 大化小来乘六十，小化大除六十行； 加法满六向前进，减法不够向前借； 对齐同级细心算，角度计算不丢分。 在具体的现实情境中，认识一个角的余角和补角，掌握余角和补角的性质. 运用余角和补角的性质进行计算和简单的推理. 通过余角和补角的学习过程，进一步提高学生的抽象概括能力，发展空间观念，学会简单的逻辑推理，并能对问题的结论进行合理的猜想. 情境导入 如图，将一张长方形纸片，沿一个角折叠后，折痕与长方形的边形成了4个角. 1 2 3 4 1.∠1和∠2有什么数量关系？ 2.∠3和∠4有什么数量关系？ ∠1+∠2=90° ∠3+∠4=180° 探索新知 余角和补角的定义 如果两个角的和等于一个直角(90°)，那么就说这两个角互为余角(简称互余)，也说其中一个角是另一个角的余角. 若∠1＋∠2＝ 90°，则∠1 与∠2 互为余角，其中∠1 是∠2 的余角， ∠2 也是∠1的余角. 1 2 几何语言： ∵∠1+∠2=90°， ∴∠1与∠2互为余角. 如果两个角的和等于一个平角(180°)，那么就说这两个角互为补角(简称互补)，也说其中一个角是另一个角的补角. 若∠3＋∠4 ＝ 180°，则∠3 与∠4 互为补角，其中∠3 是∠4 的补角， ∠4 也是∠3 的补角. 几何语言： ∵∠3+∠4=180°， ∴∠3与∠4互为补角. 3 4 ∠α ∠α的余角 ∠α的补角 5° 45° 60° 77° 81°15′ x° （0＜x＜90） 85° 175° 45° 135° 30° 120° 13° 103° 8°45′ 98°45′ (90-x)° (180-x)° 锐角的补角比它的余角大______. 90° 填表： 判断： (1) 一个角的余角必为锐角. (2) 一个角的补角必为钝角. (3) 同一个锐角的补角比它的余角大90°. (4) 互余的两个角一定都是锐角，两个锐角一定互余. (5) 如果∠1=30°，∠2=25°，∠3=35°，那么∠ 1、 ∠ 2、∠3这三个角互为余角. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) √ × √ × × 练一练 余角和补角的性质 思 考 ∠1 ∠2 ∠3 30° 150° 150° 90° 90° 90° 150° 30° 30° 观察下表，你有什么发现？ ∠1 与∠2 互补，∠1 与∠3 互补， ∠2与∠3大小相等. 由于 ∠1 +∠2 = 180°，∠1 +∠3 = 180°， 所以 ∠2 = 180°-∠1，∠3 = 180°-∠1. 因此 ∠2 =∠3（等量代换）. 结论： 同角(或等角)的补角相等. 几何语言： ∵∠1+∠2=180°，∠1+∠3=180° ∴∠2=∠3(同角的补角相等) 等量代换是指“如果a=b且c=b，那么a=c” 试着画一画下表中的图形(顶点相同)，你有什么发现？ ∠4 ∠5 ∠6 图① 30° 60° 60° 图② 45° 45° 45° 图③ 60° 30° 30° ∠4 与∠5 互余，∠4 与∠6 互余， ∠5与∠6大小相等. 图① 图② 图③ 由于 ∠4 +∠5= 90°，∠4 +∠6 = 90°， 所以 ∠5 = 90°-∠4，∠6 = 90°-∠4. 因此 ∠5 =∠6（等量代换）. 结论： 同角(或等角)的余角相等. 几何语言： ∵∠1+∠2=90°，∠1+∠3=90° ∴∠2=∠3(同角的余角相等) 如图，已知∠ACB =∠CDB =90° (1)图中有哪几对互余的角？ (2)图中哪几对角是相等的角(直角除外)？为什么？ 解：(1)∠A+∠B=90°， ∠A+∠ACD=90°， ∠BCD+∠B=90°， ∠BCD+∠ACD=90°， (2) ∠B=∠ACD(同角的余角相等) ∠A=∠BCD(同角的余角相等) 例1 如图，∠AOB 与∠BOD 互为余角，OC 是∠BOD 的平分线，∠AOB = 29.66°，求∠COD 的度数. 解：因为∠AOB 与∠BOD 互为余角， 所以∠BOD = 90° -∠AOB = 90° - 29.66° = 60.34°. 又因为 OC 是∠BOD 的平分线， 因此，∠COD 的度数为 30.17°. 29.66° 所以 30.17° 典例精析 3. 如图，已知 O 为 AD 上一点，∠AOC 与∠AOB 互补，OM，ON 分别为∠AOC，∠AOB 的平分线，若∠MON = 40°，试求∠AOC 与∠AOB 的度数． O D A B C N M 解：设∠AOB = x. 因为∠AOC 与∠AOB 互补， 所以∠AOC = 180° - x． 练一练 所以 解得 x = 50°. 则 180° - x = 130°. 即∠AOB = 50°，∠AOC = 130°. O D A B C N M 因为 OM，ON 分别为∠AOC，∠AOB 的平分线， 所以∠AOM = (180° - x)，∠AON = . 例2 已知一个角的余角是这个角的补角的 ，求这个 角的度数. 解：设这个角为 x°，则这个角的余角为 (90 - x)°， 补角为 (180 - x)°. 根据题意，得 ， 解得 x = 45. 因此，这个角为 45°. 典例精析 4.已知 ∠A 与∠B 互余，且 ∠A 的度数比∠B 度数的 3 倍还多 30°，求∠B的度数. 解：设∠B 的度数为 x°，则 ∠A 的度数为 (3x + 30)°. 根据题意得： x + ( 3x + 30 ) = 90. 解得 x = 15. 故 ∠B 的度数为 15°. 方法总结：涉及到角度的计算时，除常规的和差倍分计算外，通常还需运用方程思想解决问题. 练一练 1. 若 的余角为，则 的补角的度数是( ) C A. B. C. D. 2. ［2025长沙望城区期末］一个角的补角比这个角的余角的 3倍少 ，这个角是( ) B A. B. C. D. 返回 中考考法 18 3. ［2025汕头月考］如图，, , ，下列判断：①射线是 的 角平分线；是的补角；； 的余角有和 .其中正确的是( ) C A. ①③④ B. ①②③ C. ①②③④ D. ②③④ 中考考法 19 【点拨】因为，所以射线 是 的角平分线，故①正确；因为 ，且的补角是 ，所以 是的补角，故②正确；因为 ， 所以 ，所以 .因为 ，所以 ，故③正确；因为 中考考法 20 ，所以 是的余角，是 的余角.因为 ，所以的余角有和 ， 故④正确.综上分析可知，正确的有①②③④. 返回 中考考法 4.如图，将一副三角尺按不同位置摆放. 与 互补的摆法是____； 与 相等的摆法是______.（填序号） ④ ①② 返回 中考考法 22 5.一位同学利用如图所示的量角器，采用如图①所示的方法 测量锐角 的度数，其中量角器有两条刻度线分别在射 线，上,则 的度数为____.另外一位同学用同样的 方法，测量的余角 的度数，如图②所示，已知射 线所指示的度数为 ，则射线 所指示的度数为_____ _____. 或 返回 中考考法 23 6.如图，点在直线 上， ， . 中考考法 24 （1）求 的度数. 中考考法 25 【解】因为点在直线 上,所以 . 因为 ， 所以 . 又因为 ， 所以 . 所以 . 中考考法 26 （2）图中有哪几对角互为余角？ 与，与，与， 与 ,这4对角互为余角. 中考考法 27 （3）图中有哪几对角互为补角？ 与，与,与， 与 ，与，与，与 ,这7 对角互为补角. 返回 中考考法 28 互余 互补 两角间的数量关系 对应图形 性质 2 1 4 3 ∠1 +∠2 = 90° 或∠1 = 90° -∠2 ∠3 +∠4 = 180° 或∠3 = 180° -∠4 同角或等角的 补角相等 同角或等角的 余角相等 课堂小结 $