第4章 图形的认识 小结与复习（讲解课件）-【优翼·学练优】新教材2024-2025学年七年级数学上册同步备课（湘教版2024）

小结与复习 第4章 图形的认识 ÷ 七年级上册数学（湘教版） 一、几何图形 1. 立体图形与平面图形 (1) 立体图形的各部分不都在同一平面内，如： (2) 平面图形的各部分都在同一平面内，如： 要点梳理 2. 从不同方向看立体图形 3. 立体图形的展开图 正方体 圆柱 三棱柱 圆锥 4. 点、线、面、体之间的联系 (1) 体是由面围成，面与面相交成线，线与线 相交成点； (2) 点动成线、线动成面、面动成体. 二、直线、射线、线段 1. 有关直线的基本事实 过两点有且只有一条直线. 2. 直线、射线、线段的区别 类型 线段 射线 直线 端点个数 2 个 不能延伸 延伸性 可否度量 可度量 1 个 向一个方向 无限延伸 不可度量 无端点 向两个方向 无限延伸 不可度量 3. 基本作图 (1)作一线段等于已知线段； (2)利用尺规作图作一条线段等于两条线段的和、差. 5. 有关线段的基本事实 两点之间，线段最短. 4. 线段的中点 应用格式： 因为 C 是线段 AB 的中点， 所以 AC＝BC＝ AB，AB＝2AC＝2BC. A C B 6. 连接两点的线段的长度，叫做这两点间的距离. 三、角 1. 角的定义 (1) 有公共端点的两条射线组成的图形，叫做角； (2) 角也可以看作一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一位置时所成的图形. 2. 角的度量 度、分、秒的互化： 1°＝60′，1′＝60″. 3. 角的平分线 O B A C 应用格式： 因为 OC 是∠AOB 的平分线， 所以∠AOC＝∠BOC＝ ∠AOB， ∠AOB＝2∠BOC＝2∠AOC. 4. 余角和补角 (1) 定义 ① 如果两个角的和等于 90° (直角)，就说这 两个角互为余角 (简称为两个角互余). ② 如果两个角的和等于 180° (平角)，就说这 两个角互为补角 (简称为两个角互补). (2) 性质 ① 同角 (等角) 的补角相等. ② 同角 (等角) 的余角相等. 考点一 几何图形的认识 例1 如图所示，是柱体的有______________，是锥体的有____________，是球体的有________．(填序号) d a，b，c，g e，f 考点讲练 1. 下面物体中，最接近圆柱的是 (　　) 2. 请画出从左边看下面立体图形得到的图形. 解：如图所示． C 针对训练 考点二 线段长度的计算 例2 如图，已知点 C 为 AB 上一点，AC = 15 cm， CB = AC，D，E 分别为 AC，AB 的中点，求 DE 的长. E C A D B 解：因为 AC = 15 cm，CB = AC， 所以 CB = ×15 = 9 cm，所以 AB = 15 + 9 = 24 cm. 因为 D，E 分别为 AC，AB 的中点， 所以 DE = AE－AD = AB－ AC = 12－7.5 = 4.5 (cm). 例3 点 C 在线段 AB 所在的直线上，点 M，N 分别是 AC，BC 的中点. (1) 如图，AC = 8 cm，CB = 6 cm，求线段 MN 的长； A M C N B 所以 CM＝ AC＝4 (cm)，CN＝ BC＝3 (cm). 解：因为点 M，N 分别是 AC，BC 的中点， 所以 MN＝CM＋CN＝4＋3＝7 (cm). (2) 若 C 为线段 AB 上任一点，满足 AC + CB = a cm， 其它条件不变，你能猜想 MN 的长度吗？并说明 理由； A M C N B 理由：同(1)可得 CM ＝ AC，CN ＝ BC， 所以 MN ＝ CM＋CN ＝ AC＋ BC ＝ (AC＋BC) ＝ a (cm). 猜想：MN = a cm. (3) 若C 在线段 AB的延长线上，且满足 AC－BC = b cm， M，N 分别为 AC，BC 的中点，你能猜想 MN 的长 度吗？请画出图形，并说明理由. A M B N C MN = MC－NC = AC－ BC = (AC－BC) = b (cm)． 猜想：MN = b cm. 理由：根据题意画出图形，由图可得 3. 如图：线段 AB = 100 cm，点 C，D 在线段 AB 上. 点 M 是线段 AD 的中点，MD = 21 cm，BC = 34 cm . 则线段 MC 的长度为______cm. B A M C D 4. 如图：AB =120 cm，点C，D在线段 AB 上，BD = 3BC， 点 D 是线段 AC 的中点. 则线段 BD 的长度为____cm. B A C D 45 72 针对训练 5. 已知：点 A，B，C 在一直线上，AB = 12 cm，BC = 4 cm. 点 M，N 分别是线段 AB，BC 的中点. 求线 段 MN 的长度. A M C N B 图① 所以 BM = AB = ×12 = 6 (cm)， BN = BC = ×4 = 2 (cm). 解：如图①，当 C 在线段 AB 上时， 因为 M，N 分别是 AB，BC 的中点， 所以 MN = BM－BN = 6－2 = 4 (cm). 方法总结：无图条件下，注意多解情况要分类讨论，培养分类意识. C A M N B 图② 所以 BM = AB = ×12 = 6 (cm)， BN = BC = ×4 = 2 (cm) 如图②，当 C 在线段 AB 外时， 因为 M，N 分别是 AB，BC 的中点， 所以 MN = BM + BN = 6 + 2 = 8 (cm). 考点三 关于线段的基本事实 例4 如图，是一个三级台阶，A 和 B 是这个台阶的两个相对的端点，A 点上有一只蚂蚁，想到 B 点去吃可口的食物. 若这只蚂蚁从 A 点出发，沿着台阶面爬到 B 点，你能画出蚂蚁爬行的最短路线吗？ A B 解：如图，将台阶面展开成平 面图形. 连接 AB 两点，因为两点 之间线段最短，所以线段 AB 为蚂蚁爬行的最短路线. A B B B 6. 如图，在 A 点有一只壁虎，要沿着圆柱体的侧面 爬到 B 点去吃蚊子. 请画出壁虎在圆柱体表面爬 行的最短路线. A 针对训练 考点四 角的度量及角度的计算 例5 如图，BD 平分∠ABC，BE 把∠ABC 分成 2︰5 的两部分，∠DBE = 21°，求∠ABC 的度数. E B A C D 所以∠ABD = ∠ABC = 3.5x°. 解：设∠ABE = 2x°，则∠CBE = 5x°， ∠ABC =∠ABE +∠CBE = 7x°. 因为 BD 平分∠ABC， 由∠ABE +∠DBE =∠ABD，得 2x + 21 = 3.5x， 解得 x = 14. 所以∠ABC = 7x° = 7×14° = 98°. 例6 如图，∠AOB 是直角，ON 是∠AOC 的平分线，OM 是∠BOC 的平分线. (1) 当∠AOC = 50° 时，求∠MON 的大小； O B M A N C 提示：先求出∠BOC 的度数，再根据角平分线的定义求出∠COM，∠CON，然后根据∠MON =∠COM－∠CON 代入数据进行计算即可得解. 所以∠MON =∠COM－∠CON = 70°－25° = 45°. 解：因为∠AOB 是直角，∠AOC = 50°， 所以∠BOC =∠AOB +∠AOC = 90° + 50° = 140°. 因为 ON 是∠AOC 的平分线， OM 是∠BOC 的平分线， 所以∠COM = ∠BOC = ×140° = 70°， ∠CON = ∠AOC = ×50° = 25°. O B M A N C (2) 当∠AOC＝α 时，∠MON 等于多少度？ O B M A N C 所以∠MON =∠COM－∠CON = (90° + α)－ α = 45°. 解：∠BOC =∠AOB +∠AOC = 90° + α. 因为 ON 是∠AOC 的平分线， OM 是∠BOC 的平分线， ∠CON = ∠AOC = α. 所以∠COM = ∠BOC = (90° + α)， (3) 当锐角∠AOC 的大小发生改变时，∠MON 的大小 也会发生改变吗？为什么？ 解：不会发生变化. 由 (2) 可知∠MON 的大小与∠AOC 无关，总是等于∠AOB 的一半. O B M A N C 7. 若∠A = 20°18′，∠B = 20°15′30″，∠C = 20.25°，则 ( ) A. ∠A＞∠B＞∠C B. ∠B＞∠A＞∠C C. ∠A＞∠C＞∠B D. ∠C＞∠A＞∠B A 8. 19 点整时，时钟上时针与分针之间的夹角是 ( ) A. 210° B. 30° C. 150° D. 60° C 针对训练 O A C B 图② 9. 已知一条射线 OA，若从点 O 再引两条射线 OB 和 OC， 使∠AOB = 50°，∠BOC = 10°，求∠AOC 的度数． 解：有两种情况： 如图①所示：∠AOC =∠AOB +∠BOC = 50° + 10° = 60°； O A C B 图① 如图②所示：∠AOC =∠AOB－∠BOC = 50°－10° = 40°. 综上所述，∠AOC 为 60° 或 40°. 考点五 余角和补角 例7 已知∠α 和∠β 互为补角，并且∠β 的一半比∠α 小 30°，求∠α，∠β． 解：设∠α＝x°，则∠β＝180°－x°． 根据题意得 ∠β＝2(∠α－30°)， 则有 180－ x＝2(x －30)， 解得 x＝80． 所以∠α＝80°，∠β＝100°． 提示：此题和差倍分关系较复杂，可列方程解答. 例8 如图，直线 AB，CD 相交于点 O，OF 平分∠AOE，∠FOD = 90°． (1) 写出图中所有与∠AOD 互补的角； 解：与∠AOD 互补的角有∠AOC，∠BOD，∠DOE. O A C B D E F (2) 若∠AOE = 120°，求∠BOD 的度数． O A C B D E F 所以∠AOF = ∠AOE = ×120° = 60°. 解：因为 OF 平分∠AOE， 因为∠COF = 180° －∠FOD = 90°， 所以∠AOC =∠COF－∠AOF = 90°－60° = 30°. 由 (1) 知，∠AOC 和∠BOD 都与∠AOD 互补， 所以∠BOD =∠AOC = 30° (同角的补角相等). 例9 已知∠AOB = 90°，∠COD = 90°，画出示意图，并探究∠AOC 与∠BOD 的关系． 解：如图①，因为∠AOB = 90°， ∠COD = 90°， 所以∠AOC = 90°－∠BOC， ∠BOD = 90°－∠BOC， 所以∠AOC =∠BOD； 如图②，∠AOC = 90° +∠BOC， ∠BOD = 90°－∠BOC， 所以∠AOC +∠BOD = 180°； D O A C B 图① D O A C B 图② 如图③，因为∠AOB = 90°，∠COD = 90°， 所以∠AOC = 90° +∠BOC， ∠BOD = 90° +∠BOC， 所以∠AOC =∠BOD； 如图④，∠AOC +∠BOD = 360°－ 90°×2 = 180°， 所以∠AOC +∠BOD = 180°． 综上所述，∠AOC =∠BOD，或 ∠AOC +∠BOD = 180°． O A C B D 图③ O A C B D 图④ 10. 如图，直线 AB，CD 相交于点 O，OA 平分∠EOC. (1) 若∠EOC = 70°，求∠BOD 的度数； O A C B D E 所以∠AOC = ∠EOC = ×70° = 35°. 解：因为直线 AB，CD 相交于点 O， 所以∠AOC =∠BOD = 180°－∠AOD. 因为 OA 平分∠EOC， 所以∠BOD =∠AOC = 35°. 针对训练 (2) 若∠EOC : ∠EOD = 2 : 3，求∠BOD 的度数． 解：设∠EOC = 2x°，∠EOD = 3x°， 由∠EOC +∠EOD = 180°，得 2x + 3x = 180°， 解得 x = 36°. 所以∠EOC = 2x° = 72°. 所以∠AOC = ∠EOC = ×72° = 36°， ∠BOD =∠AOC = 36°． O A C B D E 几何图形 立体图形 平面图形 展开或从不同方向看 面动成体 平面图形 直线、射线、线段 角 表示方法 线段长短的比较与计算 两个基本事实 中点 表示方法 角的度量、比较与计算 余角和补角 角平分线 概念、性质 课堂小结 见教材章末练习题 课后作业 本文件著作权为创作公司所有, 仅限于教师教学及其他非商业性和非盈利性用途。如发现盗用、转卖、网络传播等侵权行为, 本公司将依法追究其相应法律责任。 部分素材选自网络, 如有争议, 请联系删改。 声 明 本文件著作权为创作公司所有, 仅限于教师教学及其他非商业性和非盈利性用途。如发现盗用、转卖、网络传播等侵权行为, 本公司将依法追究其相应法律责任。 部分素材选自网络, 如有争议, 请联系删改。 声 明 $$