7.3 组合（第1课时 组合、组合数公式）分层同步练习-2025-2026学年高二下学期数学苏教版选择性必修第二册

**基本信息** 高中数学“组合”同步练，分层设计科学，A层夯实基础、B层提升能力、C层拓展探究，形成从概念到综合应用再到创新的知识巩固路径，适配新授课教学需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A层|组合概念、组合数公式简单应用|以选科、分配等实际情境题为主，巩固基础运算，发展抽象能力| |B层|组合综合应用、分类分步计数|含多选题、解答题，涉及间接法、分组分配，培养推理能力| |C层|组合数推广|探究组合数性质推广，体现创新意识，提升数学思维|

7.3　组合 第1课时　组合、组合数公式 A层 基础达标练 1.学校要求学生从物理、历史、化学、生物学、思想政治、地理这6科中选3科参加考试,规定先从物理和历史中任选1科,然后从其他4科中任选2科,不同的选法种数为(　　) A.5 B.12 C.20 D.120 2.某新农村社区共包括n个自然村,假设这些村庄分布零散,没有任何三个村庄在同一条直线上,现要在该社区内建“村村通”工程,共需建公路的条数为28,则n=(　　) A.6 B.8 C.9 D.10 3.某中学招聘5位老师,其中安排2位老师去高一,安排2位老师去高二,安排1位老师去高三,则不同的安排方法有(　　) A.30种 B.60种 C.90种 D.120种 4.甲、乙等6人计划分两组(每组3人)去旅行,每组将在云南丽江、广西桂林、河北石家庄、内蒙古呼和浩特选1个地方,且两组去的地方不同.已知甲不想去云南丽江,乙只想去广西桂林,其余4人这4个地方都想去,则符合他们心意的分组旅行的方案种数为(　　) A.24 B.30 C.18 D.36 5.某班有一7人小组参加烧烤活动,老师将从小组成员中选出2名同学整理烧烤架,再选出3名同学生火.若小组中的甲、乙两位同学至多有1人生火,则不同的安排方案种数为(　　) A.120 B.150 C.180 D.240 6.近年来,中小学校车安全问题引起社会的广泛关注,为了彻底消除校车安全隐患,某市购进了50台完全相同的校车,准备发放给10所学校,每所学校至少2台,则不同的发放方案种数为(　　) A. B. C. D. 7.若=12,则n=　　　　　.  8.(2025新高考Ⅰ)某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课,学生需从这8门课中选修2门或3门课,并且每类选修课至少选修1门,则不同的选课方案共有　　　　种(用数字作答).  9.如图,某区有7条南北向街道、5条东西向街道. (1)图中有多少个矩形? (2)从A点走向B点最短的走法有多少种? B层 能力提升练 10.已知圆上有9个点,每两点连成一条线段,若任意两条线的交点不同,则所有线段在圆内的交点有(　　) A.36个 B.72个 C.63个 D.126个 11.(多选题)有13名医生,其中女医生6人,现从中抽调5名医生组成医疗小组前往某地支援,若医疗小组至少有2名男医生,同时至多有3名女医生,设不同的选派方法种数为N,则下列等式能成为N的算式是(　　) A. B. C. D. 12.=　　　　　.  13.某同学有同样的画册2本、同样的集邮册3本,从中取出4本赠送给4位朋友,每位朋友1本,则不同的赠送方法共有　　　　　种.  14.将5个不同的小球装入编号为1,2,3,4的4个盒子中,不允许有空盒子出现,共　　　　种放法;若将5个相同的小球放入这4个盒子中,允许有空盒子出现,共　　　　种放法.(结果用数字作答)  15.从5名男生和4名女生中选出4人去参加辩论比赛. (1)如果4人中男生和女生各选2人,有多少种选法? (2)如果男生中的甲与女生中的乙必须在内,有多少种选法? (3)如果男生中的甲与女生中的乙至少要有1人在内,有多少种选法? (4)如果4人中必须既有男生又有女生,有多少种选法? 16.(1)计算:. (2)求证:+2. C层 拓展探究练 17.规定,其中x∈R,m是正整数,且=1,这是组合数(n,m∈N*,且m≤n)的一种推广. (1)求的值. (2)设x>0,当x为何值时,取得最小值? (3)组合数的两个性质①,②是否都能推广到(x∈R,m是正整数)的情形?若能推广,则写出推广的形式并给出证明;若不能,则说明理由. 参考答案 1.B　从物理和历史中任选1科,有=2(种)选法,然后从其他4科中任选2科,有=6(种)选法,共有2×6=12(种)不同的选法.故选B. 2.B　由于“村村通”公路的修建是组合问题,故共需要建=28,因此n=8. 3.A　根据题意,不同的安排方法可以按照以下步骤求解:在5个老师中选出2人,安排去高一,有=10(种)选法;在剩下3人中,选出2人,安排到高二,有=3(种)选法;将最后1人安排到高三,仅有1种选法.由分步计数原理,共有10×3×1=30(种)不同的安排方法.故选A. 4.A　若甲和乙都去广西桂林,则有=12(种)方案;若甲不去广西桂林,则有=12(种)方案.故符合他们心意的分组旅行的方案种数为12+12=24.故选A. 5.C　根据题意,小组中的甲、乙两位同学都生火,共有=30(种)安排方案,故不同的安排方案种数为-30=180.故选C. 6.D　首先每所学校配送一台,这个没有顺序和情况之分,剩下40台;将剩下的40台像排队一样排列好,则这40台校车之间有39个空,对这39个空进行插空.故不同的方案种数为. 7.8　因为=n(n-1)(n-2),n(n-1), 所以n(n-1)(n-2)=12×n(n-1). 由n∈N*,且n≥3,解得n=8. 8.64　(1)当从8门课中选修2门,则不同的选课方案共有=16(种). (2)当从8门课中选修3门, ①若选修体育类1门,则不同的选课方案共有=24(种).　 ②若选修体育类2门,则不同的选课方案共有=24(种).　 综上所述,不同的选课方案共有16+24+24=64(种). 9.解 (1)在7条南北向街道中任选2条、5条东西向街道中任选2条,这样4条线可组成一个矩形,故可组成矩形有=210(个). (2)每条东西向的街道被分成6段,每条南北向街道被分成4段,从A到B最短的走法包括10段,其中6段是走东西方向的,剩下4段即走南北方向的,共有=210(种)走法. 10.D　根据题意,此题可化归为圆上9个点可组成多少个四边形,所有四边形的对角线交点个数即为所求,所以交点有=126(个). 11.BC　由题意知,有13名医生,其中女医生6人、男医生7人. (方法一　直接法)符合条件的可以是2男3女,选派方法种数为;3男2女,选派方法种数为;4男1女,选派方法种数为;5男,选派方法种数为.所以N=. (方法二　间接法)13名医生,任取5人,减去选4名或5名女医生的情况,即N=. 故选BC. 12.220　=220. 13.10　依题意,就所剩余的1本进行分类: 第1类,剩余的是1本画册,此时满足题意的赠送方法有4种; 第2类,剩余的是1本集邮册,此时满足题意的赠送方法有=6(种). 因此,满足题意的赠送方法共有4+6=10(种). 14.240　56　5个不同的小球分成4组,每组个数分别为1,1,1,2,不同的分组情况有=10(种)方法,再将4组球放入4个不同的盒子,共=240(种)方法;5个相同的小球放入4个盒子,若允许有空盒子,可先借4个小球,共9个小球,再用隔板法分成4组放入盒子,共=56(种)方法. 15.解 (1)先从男生中选2人,有种选法,再从女生中选2人,有种选法,所以得到符合条件的选法有=60(种)选法. (2)除去甲、乙之外,其余2人可以从剩下的7人中任意选择,所以得到符合条件的选法有=21(种). (3)在9人选4人的选法中,把甲和乙都不在内的去掉,所以得到符合条件的选法有=91(种). 直接法则可分为3类:只含甲;只含乙;同时含甲和乙.所以得到符合条件的选法有=91(种). (4)在9人选4人的选法中,把只有男生和只有女生的情况排除掉,所以得到符合条件的选法有=120(种). 直接法为分别按照含男生1、2、3人分类,所以得到符合条件的选法有=120(种). 16.(1)解 原式=×1==56+4 950=5 006. (2)证明 由组合数的性质可知, 右边=()+() ==左边,所以原等式成立. 17.解 (1)=1 365. (2)因为22-3·+1,当,即x=时,取得最小值,最小值为-. (3)性质①不能推广,例如有意义,无意义. 性质②能推广,它的推广形式为(x∈R,m是正整数), 证明如下:当m=1时,=x+1=; 当m≥2时, = =+1 =. 学科网（北京）股份有限公司 $